Bài giảng Toán tài chính: Phần 1 - TS. Bùi Hữu Phước (Chủ biên)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán tài chính: Phần 1" cung cấp cho người học những kiến thức như: Lãi đơn, lãi kép, chuỗi tiền tệ, tài khoản vãng lai, chiết khấu thương phiếu. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán tài chính: Phần 1 - TS. Bùi Hữu Phước (Chủ biên)

KHOA TÀI CHÍNH - NGÂN HÀNG Biên soạn: TS. Bùi Hữu Phước (Chủ biên) ThS. Phạm Thị Thu Hồng ThS. Nguyễn Minh Phúc TOÁN TÀI CHÍNH Lưu hành nội bộ TP. Hồ Chí Minh
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING KHOA TÀI CHÍNH – NGÂN HÀNG Bài giảng: TOÁN TÀI CHÍNH Giảng viên biên soạn: - TS. Bùi Hữu Phước (Chủ biên) - ThS. Phạm Thị Thu Hồng - ThS. Nguyễn Minh Phúc
Chöông 1 LAÕI ÑÔN I. TOÅNG QUAÙT 1. Ñònh nghóa 1.1. Laõi (Tieàn lôøi-Lôïi töùc-lôïi nhuaän): Trong lónh vöïc tín duïng, laõi laø soá tieàn maø ngöôøi söû duïng voán (ngöôøi vay) phaûi traû cho ngöôøi chuû sôû höõu voán (ngöôøi cho vay) ñeå ñöôïc söû duïng voán trong moät thôøi gian nhaát ñònh. Trong hoaït ñoäng saûn xuaát kinh doanh, laõi laø soá cheânh leäch döông giöõa giaù trò thu ñöôïc vaø voán ñaàu tö ban ñaàu. Laõi chæ xuaát hieän sau moät thôøi gian ñaàu tö nhaát ñònh. Noùi caùch khaùc, laõi laø keát quaû taøi chính cuoái cuøng cuûa quaù trình ñaàu tö. Soá tieàn laõi phuï thuoäc vaøo: – Soá voán goác (voán ñaàu tö ban ñaàu). – Thôøi gian ñaàu tö. – Laõi suaát. – Ruûi ro 1.2. Tyû suaát lôïi töùc (Laõi suaát): Theå hieän quan heä tyû leä giöõa laõi trong moät ñôn vò thôøi gian vôùi voán goác trong thôøi gian ñoù. Noùi khaùc ñi, laõi suaát laø suaát thu lôïi cuûa voán trong moät ñôn vò thôøi gian (*). Laõi tr ong 1 ñôn vò thôøi gian Laõi suaát   100% Voán goác tr ong thôøi gian ñoù Ví duï: Ñaàu tö 100 trieäu ñoàng sau moät naêm thu ñöôïc 112 trieäu ñoàng . Nhö vaäy sau 1 naêm nhaø ñaàu tö laõi laø 12 trieäu ñoàng vaø laõi suaát laø 12%   12.000.000  100%  .  100.000.000    1.3. Laõi ñôn: Laõi ñôn laø lôïi töùc chæ tính treân soá voán vay ban ñaàu trong suoát thôøi haïn vay. Noùi khaùc ñi, soá laõi tính theo tyû leä phaàn traêm treân voán goác (*) Trong lónh vöïc kinh doanh tieàn teä thì laõi suaát laø giaù caû cuûa tieàn teä.
chính laø laõi ñôn. Trong khaùi nieäm naøy chæ coù voán sinh lôøi coøn laõi khoâng sinh lôïi. Laõi ñôn thöôøng aùp duïng trong caùc nghieäp vuï taøi chính ngaén haïn. 1.4. Giaù trò ñaït ñöôïc (giaù trò cuoái cuøng – giaù trò töông lai): Toång soá tieàn thu ñöôïc khi keát thuùc ñôït ñaàu tö . Giaù trò ñaït ñöôïc goàm hai phaàn: Voán goác vaø laõi thu ñöôïc. 2. Coâng thöùc cô baûn : 2.1 Laõi ñôn vaø giaù trò ñaït ñöôïc Goïi Cn laø giaù trò cuoái tính ñeán thôøi ñieåm n. Co laø voán goác. i laø laõi suaát. Deã daøng tính ñöôïc giaù trò ñaït ñöôïc baèng coâng thöùc sau: Cn = C0 (1+ n  i) vaø laõi ñôn nhö sau: I = Co in Ví duï: a) Gôûi ngaân haøng 100.000.000ñ theo phöông thöùc gôûi coù kyø haïn 6 thaùng vôùi laõi suaát 1%/thaùng. Xaùc ñònh giaù trò ñaït ñöôïc vaø soá laõi vaøo cuoái ñôït ñaàu tö (sau 6 thaùng)? b) Ñaàu tö 100 trieäu, laõi suaát 12%/naêm (tính theo laõi ñôn), sau moät thôøi gian thu ñöôïc caû voán laãn lôøi 118 trieäu vaøo cuoái ñôït ñaàu tö. Hoûi thôøi gian ñaàu tö bao laâu? c) Vôùi laõi suaát 12%/naêm thì phaûi boû soá voán ban ñaàu laø bao nhieâu ñeå thu ñöôïc 28,4 trieäu trong 3 naêm 6 thaùng (tính theo laõi ñôn)? GIAÛI a) Cn = 100.000.000ñ (1 + 1%  6) = 106.000.000ñ Lôïi töùc trong 6 thaùng:  1%  6 = 6.000.000ñ I = 100.000.000 b) Cn = C0 (1+ n  i) = 118.000.000 = 100.000.000 (1+ n  12%)  118.000.000  100.000.000 = 12.000.000  n 18.000.000  n = 1,5 naêm 12.000.000 c) Ta coù : 3 naêm 6 thaùng = 42 thaùng Cn = 28.400.000 = C0 (1 + 12%  42) = C0 (1+ 0,42) 12
 C0 = 28.400.000 = 20.000.000ñ 1,42 Chuù yù : Neáu ñôn vò thôøi gian cuûa i vaø n khoâng ñoàng nhaát thì tröôùc tieân phaûi bieán ñoåi coâng thöùc cô baûn ñeå chuùng ñoàng nhaát vôùi nhau roài môùi aùp duïng coâng thöùc. Cuï theå : - Neáu i tính theo naêm coøn n tính theo thaùng thì : I  C 0  i  n 12 - Neáu i tính theo naêm coøn n tính theo ngaøy thì : I  C0  i  n 360 Coâng thöùc naøy thöôøng aùp duïng roäng raõi ôû nhieàu nöôùc trong caùc nghieäp vuï taøi chính ngaén haïn vaø ñöôïc goïi laø coâng thöùc tính laõi thöông maïi. Neáu soá ngaøy tính theo lòch thì ta coù coâng thöùc tính laõi thoâng thöôøng nhö sau: C0  i  n I 365 Ví duï: a) Ñaàu tö 100.000.000ñ (tính theo laõi ñôn), sau 6 thaùng thu ñöôïc toång soá tieàn laø 105.600.000ñ. Hoûi laõi suaát ñaàu tö laø bao nhieâu? b) Ñaàu tö 100.000.000 ñoàng vôùi laõi suaát 12%/naêm. Sau moät thôøi gian ruùt heát ra thu ñöôïc 106.000.000 ñoàng. Hoûi thôøi gian ñaàu tö maát bao laâu? GIAÛI a) Ta coù : C i n 360I 360(105.600.000  100.000.000) I 0  i    11,2% 360 C0  n 100.000.000  6  30 b) Töø coâng thöùc: C i n I 0 360 360I 360(106.000.000  100.000.000)  n   C0  i 100.000.000  12% = 180 ngaøy hay 6 thaùng. 2.2 Laõi suaát ngang giaù (töông ñöông):
Hai laõi suaát i vaø ik töông öùng vôùi 2 chu kyø khaùc nhau ñöôïc goïi laø töông ñöông nhau khi cuøng moät soá voán, ñaàu tö trong cuøng moät thôøi gian thì cho cuøng möùc laõi nhö nhau (giaù trò ñaït ñöôïc baèng nhau). Giaû söû coù hai laõi suaát i (chu kyø 1 naêm) vaø ik (chu kyø 1/k cuûa naêm) töông ñöông nhau thì: Cn = Co(1+ n  i) = Co(1 + n  ik  k) => i = ik  k => i ik  k Thí duï : Ñaàu tö 20 trieäu trong voøng 9 thaùng vôùi laõi suaát 12%/ naêm theo phöông phaùp laõi ñôn. Keát thuùc ñôït ñaàu tö giaù trò ñaït ñöôïc laø : i  Neáu tính laõi suaát töông ñöông haøng thaùng : i  k  1% 12 Cn = 20 trieäu (1+ 9  1%) = 21,8 trieäu  Hoaëc giöõ nguyeân laõi suaát haøng naêm vaø tính baét ñaàu töø: Cn = 20 trieäu (1+ 9  12%) = 21,8 trieäu 12 II. TYÛ SUAÁT LÔÏI TÖÙC BÌNH QUAÂN 1. Khaùi nieäm Trong quaù trình ñaàu tö coù theå thöïc hieän ñaàu tö vôùi nhöõng möùc laõi suaát khaùc nhau trong nhöõng thôøi gian hoaøn toaøn khaùc nhau. Do ñoù caàn phaûi tính chæ tieâu tyû suaát lôïi töùc bình quaân ñeå xaùc ñònh giaù trò ñaït ñöôïc moät caùch nhanh choùng nhaát. Tyû suaát lôïi töùc bình quaân trong laõi ñôn ñöôïc tính theo phöông phaùp bình quaân gia quyeàn. k n j 1 j  ij i  k n j 1 j 2. Ví duï: Moät doanh nghieäp vay vôùi laõi ñôn 100 trieäu ñoàng vôùi laõi suaát thay ñoåi nhö sau :  8%/naêm trong 6 thaùng ñaàu.  10%/naêm trong 3 thaùng tieáp theo.  12%/naêm trong 4 thaùng cuoái cuøng. Tính :
a) Laõi suaát trung bình cuûa soá voán vay b) Tính toång soá tieàn doanh nghieäp phaûi traû khi ñaùo haïn. GIAÛI a) Ta coù : 8%x6/12 10%x3/12 12%x4/12 i  9,69% 6/12  3/12  4/12 b) Cn  C0 (1  n  i) 13  100 tr (1   9,69% )  110,4975tr 12 III. LAÕI SUAÁT THÖÏC 1. Khaùi nieäm Laõi suaát thöïc laø möùc chi phí (laõi) thöïc teá maø ngöôøi ñi vay (cho vay) phaûi traû (thu ñöôïc) ñeå söû duïng (giao quyeàn söû duïng) moät khoaûn voán vay trong moät thôøi haïn nhaát ñònh. 2. Coâng thöùc: It 360 it   Co  Ct n It: Chi phí thöïc teá trong thôøi gian vay. Ct: Chi phí thöïc teá traû ngay khi vay. Ví duï 1: Haõy tính toaùn giuùp OÂng A löïa choïn 1 trong 2 phöông aùn gôûi tieàn vaøo ngaân haøng nhö sau: – Mua kyø phieáu ngaân haøng, laõi traû ngay khi gôûi vôùi kyø haïn 1 naêm vaø laõi suaát 8%/naêm. – Gôûi tieát kieäm coù kyø haïn 1 naêm, laõi suaát 0,7%/ thaùng. Laõi nhaän khi ñaùo haïn. Giaûi Do gôûi tieát kieäm nhaän laõi khi ñaùo haïn neân laõi suaát thöïc laø: it = 0,7%  12 = 8,4%/naêm Mua kyø phieáu laõi traû tröôùc 8%/naêm: Ngay khi gôûi oâng A gôûi 100%. Cuøng luùc ñoù oâng nhaän ñöôïc 8%. Nhö vaäy thöïc chaát oâng A chæ gôûi vaøo ngaân haøng 92%(Co). Nhöng ñeán
cuoái naêm laïi nhaän ñöôïc 100%. Töùc tieàn lôøi laø 8% tính treân giaù trò cuoái khi ñaùo haïn, do ñoù laõi suaát thöïc laø: 8% it   8,7% 100% 8% Keát luaän: OÂng A neân choïn phöông aùn mua kyø phieáu ôû ngaân haøng. Ví duï 2: Doanh nghieäp H vay ngaén haïn 20 trieäu ñoàng vôùi caùc ñieàu kieän nhö sau :  Laõi suaát cuûa Ngaân haøng : 12%/naêm .  Phí mua vaø hoaøn taát hoà sô : 150.000ñ  Caùc phí khaùc tyû leä vôùi voán vay : 0,16% Xaùc ñònh laõi suaát thöïc cuûa ñôït vay trong thôøi gian: a) Moät naêm. b) 120 ngaøy. GIAÛI a) Laõi suaát thöïc 1 naêm Lôïi töùc : 12%  20.000.000ñ = 2.400.000ñ Phí hoà sô : = 150.000ñ Chi phí khaùc : 0,0016  20 tr = 32.000ñ Toång lôïi töùc vaø chi phí : = 2.582.000 ñ Laõi suaát thöïc laø: 2.582.000  13,03%/naê m 20.000.000 182.000 b) Neáu ñôït vay trong voøng 4 thaùng thì: Lôïi töùc: 12%  4  20 tr = 800.000ñ 12 Phí hoà sô = 150.000ñ Chi phí khaùc: 0,0016  20 trieäu = 32.000ñ Toång lôïi töùc vaø chi phí : 982.000ñ 982.000 12 Laõi suaát thöïc:   14,87% / naêm 20.000.000  182.000 4
 Nhö theá, thôøi gian caøng ngaén laõi suaát thöïc caøng taêng theo gaùnh naëng cuûa caùc chi phí coá ñònh (nhö phí hoà sô, ...). Nhaän xeùt : Neáu lôïi töùc vaø caùc chi phí phaûi traû tröôùc (ngay khi vay), laõi suaát thöïc seõ laø: 982.000 12   100%  15,49% /naêm 20.000.000  982.000 4 Toùm laïi, laõi suaát thöïc phuï thuoäc vaøo: – Soá voán vay (hay voán ñaàu tö). – Laõi suaát danh nghóa. – Thôøi haïn vay hay ñaàu tö. – Phöông thöùc thanh toaùn. Baøi taäp Baøi 1: Baùc Ba Phi coù moät soá tieàn nhaøn roãi ñem gôûi ngaân haøng, nhöng ñeå haïn cheá ruûi ro Baùc chia soá tieàn treân laøm ba phaàn khaùc nhau gôûi ôû ba ngaân haøng. Ba soá tieàn treân hôïp thaønh moät caáp soá nhaân. Soá tieàn lôùn nhaát thu laõi 13%/naêm, soá tieàn nhoû nhaát thu laõi 11%/naêm, soá coøn laïi thu laõi 12%/naêm. Sau moät naêm gôûi toång laõi baùc Ba thu ñöôïc laø 87 trieäu ñoàng . Yeâu caàu : Tính soá tieàn gôûi ôû moãi ngaân haøng? Bieát raèng : Soá tieàn lôùn nhaát gaáp boán laàn soá tieàn nhoû nhaát. Baøi 2: Baùc Ba Phi coù moät soá tieàn nhaøn roãi ñem gôûi ngaân haøng, nhöng ñeå haïn cheá ruûi ro Baùc chia soá tieàn treân laøm ba phaàn khaùc nhau gôûi ôû ba ngaân haøng. Ba soá tieàn treân hôïp thaønh moät caáp soá coäng. Soá tieàn lôùn nhaát thu laõi 13%/naêm, soá tieàn nhoû nhaát thu laõi 11%/naêm, soá coøn laïi thu laõi 12%/naêm. Sau moät naêm gôûi toång laõi baùc Ba thu ñöôïc laø 74 trieäu ñoàng .
Yeâu caàu : Tính soá tieàn gôûi ôû moãi ngaân haøng? Bieát raèng : Soá tieàn lôùn nhaát gaáp ba laàn soá tieàn nhoû nhaát. Baøi 3: Anh Ba gôûi ngaân haøng soá tieàn 50 trieäu ñoàng vôùi caùc möùc laõi suaát sau: 12%/naêm töø 20/5 ñeán 31/7 10%/naêm töø 31/7 ñeán 18/9 15%/naêm töø 18/9 ñeán 30/11 Yeâu caàu : 1/ Tính toång laõi thu ñöôïc trong suoát quaù trình gôûi? 2/ Tính laõi suaát trung bình? Baøi 4: Moät ngöôøi ñaàu tö 40 trieäu ñoàng trong 20 thaùng vôùi laõi suaát 12%/naêm, laõi traû 1 laàn ngay khi ñaàu tö. Haõy tính laõi suaát (hieäu duïng) thöïc? Baøi 5: Ngaøy 10/5 Coâng ty vay cuûa ngaân haøng 540.000.000 ñoàng, ñeán ngaøy ñaùo haïn, coâng ty traû caû voán laãn laõi laø 543.600.000 ñoàng. Cho bieát laõi suaát laø 12%/naêm. Xaùc ñònh ngaøy ñaùo haïn? Baøi 6: Tính toång soá tieàn laõi caùc khoaûn vay ngaén haïn sau : Voán vay Thôøi haïn 400.000.000 Töø 30/4 – 30/5 300.000.000 30/4 – 25/5 500.000.000 20/4 – 30/5 Vôùi laõi suaát : a) 11%/naêm? b) 12%/naêm? Baøi 7: Baùc Naêm coù soá tieàn lôùn beøn chia laøm hai phaàn gôûi ôû hai ngaân haøng khaùc nhau. Soá tieàn thöù nhaát gôûi ôû ngaân haøng X trong 15 thaùng, laõi suaát 14%/naêm. Soá tieàn thöù hai gôûi ôû ngaân haøng Y trong 12 thaùng höôûng laõi suaát 12,5%/naêm. Yeâu caàu : Haõy tính soá tieàn Baùc Naêm gôûi ôû moãi ngaân haøng? Bieát raèng : – Hai khoaûn tieàn treân cheânh leäch nhau laø 30 trieäu ñoàng.
– Laõi cuûa khoaûn voán thöù nhaát gaáp ñoâi laõi cuûa khoaûn voán thöù hai. – Phöông thöùc tính laõi theo laõi ñôn. Baøi 8: Baùc Taùm coù 300 trieäu ñoàng chia laøm hai phaàn gôûi ôû hai ngaân haøng khaùc nhau. Soá tieàn thöù nhaát gôûi ôû ngaân haøng X höôûng laõi suaát i/naêm. Soá tieàn thöù hai gôûi ôû ngaân haøng Y höôûng laõi suaát (i +1%)/naêm. Yeâu caàu : Haõy tính soá tieàn Baùc Taùm gôûi ôû moãi ngaân haøng ? Bieát raèng : Moãi naêm Baùc Taùm nhaän ñöôïc tieàn laõi ôû ngaân haøng X laø 10.800.000 ñoàng vaø ngaân haøng Y laø 13.260.000 ñoàng. Baøi 9: Baùc Taùm coù soá tieàn beøn chia laøm hai phaàn gôûi ôû hai ngaân haøng khaùc nhau. Soá tieàn thöù nhaát gôûi ôû ngaân haøng X höôûng laõi suaát i/naêm. Soá tieàn thöù hai gôûi ôû ngaân haøng Y höôûng laõi suaát (i +0,5%)/naêm. Yeâu caàu : Haõy tính soá tieàn Baùc Taùm gôûi ôû moãi ngaân haøng ? Bieát raèng :  Moãi naêm Baùc Taùm nhaän ñöôïc tieàn laõi ôû ngaân haøng X laø 15.000.000 ñoàng vaø ngaân haøng Y laø 21.000.000 ñoàng.  Cheânh leäch hai soá tieàn gôûi ôû 2 ngaân haøng laø 50.000.000 ñoàng Baøi 10: Anh Tö coù soá tieàn 500.000.000 ñoàng beøn chia laøm hai phaàn gôûi ôû hai ngaân haøng khaùc nhau. Soá tieàn thöù nhaát gôûi ôû ngaân haøng X, soá tieàn thöù hai gôûi ôû ngaân haøng Y. Toång laõi thu ñöôïc trong 1 naêm laø 58.500.000 ñoàng. Neáu thay laõi suaát ôû ngaân haøng X baèng laõi suaát ôû ngaân haøng Y vaø ngöôïc laïi ( neáu thay laõi suaát ôû ngaân haøng Y baèng laõi suaát ôû ngaân haøng X) thì toång laõi thu ñöôïc seõ laø 59.000.000ñoàng. Yeâu caàu : Haõy tính soá tieàn anh Tö gôûi ôû moãi ngaân haøng vaø laõi suaát tieàn gôûi ôû töøng ngaân haøng ? Bieát raèng : Cheânh leäch laõi suaát ôû 2 ngaân haøng laø 0,5%. Baøi 11: Ngaân haøng cho coâng ty AB vay 500 trieäu ñoàng tính laõi ñôn vôùi caùc möùc laõi suaát thay ñoåi nhö sau :  11%/naêm töø 1/4 ñeán 1/6
 11,5%/naêm töø 1/6 ñeán 15/7  10%/naêm töø 15/7 ñeán 20/9  13%/naêm töø 20/9 ñeán 15/12 Yeâu caàu : a) Tính laõi suaát trung bình cuûa khoaûn voán cho vay treân? b) Xaùc ñònh toång soá lôïi töùc ngaân haøng thu ñöôïc töø nghieäp vuï cho vay treân? Baøi 12: Ngaøy 1/2/2007 coâng ty Thieân Thieân vay ngaân haøng soá tieàn 2.500 trieäu ñoàng, laõi suaát 12%/naêm. Ñeán ngaøy ñaùo haïn coâng ty phaûi traû soá laõi laø 200 trieäu ñoàng. Haõy tính ngaøy ñaùo haïn cuûa khoaûn vay? Baøi 13: Ngaøy 12/3/2006 coâng ty ABC vay moät khoaûn tieàn, laõi suaát 12%/naêm ñeán ngaøy 18/7/2006 coâng ty traû khoaûn laõi laø 65,28 trieäu ñoàng. Haõy tính soá voán coâng ty ñaõ vay? Baøi 14: Coâng ty AAC vay ngaân haøng 2.500 trieäu ñoàng, laõi suaát 13%/naêm, chi phí phaûi traû ngay khi vay laø 0,2% treân voán goác, thôøi haïn vay laø 6 thaùng. Haõy tính laõi suaát thöïc maø coâng ty phaûi chòu trong tröôøng hôïp: 1- Laõi traû khi ñaùo haïn? 2- Laõi traû tröôùc 1 laàn ngay khi vay? Baøi 15: Baùc Ba coù soá tieàn chia laøm 2 gôûi ôû 2 ngaân haøng khaùc nhau. 3/5 soá tieàn baùc Ba gôûi ôû ngaân haøng X trong thôøi gian 9 thaùng, 2/5 soá tieàn coøn laïi gôûi ôû ngaân haøng Y trong thôøi gian 11 thaùng, toång laõi baùc Ba thu ñöôïc töø 2 ngaân haøng baèng 10,78% soá tieàn baùc Ba coù. Yeâu caàu tính laõi suaát ôû 2 ngaân haøng X vaø Y? Bieát raèng laõi suaát tieàn gôûi ôû 2 ngaân haøng naøy baèng nhau.
Chöông 2 LAÕI KEÙP I. KHAÙI NIEÄM LAÕI KEÙP: Vieäc tính laõi baèng caùch laáy laõi cuûa kyø tröôùc nhaäp vaøo voán ñeå tính laõi cho kyø sau ñoù laø phöông phaùp tính theo laõi keùp. Soá tieàn laõi thu ñöôïc theo phöông phaùp naøy goïi laø laõi keùp. Ñaëc ñieåm cuûa laõi keùp laø chaúng nhöõng voán sinh ra laõi maø laõi cuõng sinh ra laõi (laõi meï ñeû laõi con). Laõi keùp thöôøng aùp duïng trong caùc nghieäp vuï taøi chính daøi haïn. II. COÂNG THÖÙC CÔ BAÛN: Trong khaùi nieäm laõi keùp, laõi cuûa caùc kyø tröôùc ñöôïc tính goäp vaøo voán ban ñaàu vaø baûn thaân noù laïi mang laïi lôïi töùc trong suoát thôøi gian ñaàu tö. Neáu ta xem voán Co ñaàu tö trong voøng n kyø vôùi laõi suaát moãi kyø laø i, sau 1 kyø ta seõ coù : C1 = C0 + i  C0 = V0 (1+i) (1) Voán vaø laõi ñeàu ñöôïc doàn vaøo kyø thöù hai, nhö vaäy ñeán cuoái kyø thöù hai ta seõ coù : C2 = C1 + i  C1 = C1 (1+i)= C0 (1+i)2 Moät caùch toång quaùt : trong voøng n kyø, giaù trò ñaït ñöôïc töø quaù trình ñaàu tö seõ laø : Cn = Co(1+i)n Heä quaû: a. Tính voán ñaàu tö ban ñaàu: Töø coâng thöùc : Cn = C0 (1+i)n  Co = Cn(1+i)–n Ví duï : Ñaàu tö moät khoaûn tieàn vôùi laõi suaát 10%/naêm. Sau 4 naêm thu ñöôïc caû voán laãn lôøi laø 146.410.000 ñoàng ( tính theo laõi keùp). Hoûi voán ñaàu tö ban ñaàu laø bao nhieâu? 11
Giaûi Aùp duïng coâng thöùc : Co = Cn(1+i)–n=146,41trñ(1+10%)-4= 100 trñ b. Tính thôøi gian ñaàu tö : Töø coâng thöùc cô baûn: Cn = C0 (1+i)n C  log  n   n  C0  log(1  i) Ví duï: Ñaàu tö moät khoaûn tieàn 100.000.000 ñoàng vôùi laõi suaát 10%/naêm. Sau moät thôøi gian thu ñöôïc caû voán laãn lôøi laø 161.051.000 ñoàng ( tính theo laõi keùp). Hoûi thôøi gian ñaàu tö laø bao laâu? Giaûi AÙp duïng coâng thöùc: C  log  n  log  161.051.000    n  C0    100.000.000   5 log(1  i) log(1  10% ) c. Tính laõi suaát ñaàu tö: Töø coâng thöùc cô baûn: Cn = C0 (1+i)n Cn  in 1 C0 Ví duï: Ñaàu tö moät khoaûn tieàn 100.000.000 ñoàng vôùi laõi suaát 10%/naêm. Sau 8 naêm thu ñöôïc caû voán laãn lôøi laø 214.358.881 ñoàng (tính theo laõi keùp). Hoûi laõi suaát ñaàu tö ( tyû leä sinh lôøi cuûa ñaàu tö ) laø bao nhieâu? Giaûi Aùp duïng coâng thöùc: i  n C n  1  8 214.358.881  1  10% C0 100.000.000 Chuù yù : Trong tröôøng hôïp maùy tính khoâng theå tính ñöôïc caên caùc baäc thì coù theå duøng phöông phaùp noäi suy ñeå tính nhö sau: 12
Töø coâng thöùc cô baûn: Cn = C0 (1+i)n Cn Suy ra:  1  i n  S C0 Tra baûng taøi chính 1 theo doøng n seõ tìm ñöôïc moät soá lôùn hôn S vaø moät soá khaùc nhoû hôn S nhöng gaàn S nhaát, nhìn leân doøng laõi suaát seõ tìm ñöôïc hai laõi suaát töông öùng vôùi hai caän vöøa tìm ñöôïc. Ñaët:  i1 laø laõi suaát thaáp nhaát ñeå taïo neân moät trong hai caän tìm ñöôïc, i1 taïo ra S1. Töùc laø: (1+i1)n = S1.  i2 laø laõi suaát thaáp nhaát ñeå taïo neân moät trong hai caän tìm ñöôïc, i2 taïo ra S2. Töùc laø: (1+i2)n = S2 Ta coù : i1 < i < i2 Coâng thöùc cô baûn cuûa noäi suy nhö sau: S  S1 i  i1  (i2  i1 )  S2  S1 S2  S Hoaëc : i  i2  (i2  i1 )  S2  S1 Ví duï: Ñaàu tö moät khoaûn tieàn 100.000.000 ñoàng vôùi laõi suaát 10%/naêm. Sau 5 naêm thu ñöôïc caû voán laãn lôøi laø 177.022.300 ñoàng (tính theo laõi keùp). Hoûi laõi suaát ñaàu tö (tyû leä sinh lôøi cuûa ñaàu tö) laø bao nhieâu? Giaûi: Töø coâng thöùc cô baûn Cn = C0 (1+i)n C n 177.022.300 Suy ra: 1  in    1,770223 C0 100.000.000 Tra baûng taøi chính 1 theo doøng n = 5 seõ tìm ñöôïc moät caän treân vaø moät caän döôùi cuûa 1,770223, nhìn leân doøng laõi suaát seõ tìm ñöôïc hai laõi suaát töông öùng vôùi hai caän vöøa tìm ñöôïc. Neáu i = 12% thì ( 1+ 12%)5 = 1,762342 Neáu i = 13% thì ( 1+13%)5 = 1,842435 13
Vaäy 12% < i < 13% vaø ñöôïc tính nhö sau : 1,770223  1,762342 i  12%  (13%  12% )   12,1% 1,842435  1,762342 III. LAÕI SUAÁT NGANG GIAÙ ( TÖÔNG ÑÖÔNG) Neáu laõi suaát tính theo naêm, muoán tính treân moät giai ñoaïn khaùc trong naêm (1 quyù, 6 thaùng, ...) thì phaûi xaùc ñònh tyû suaát ik ngang giaù vôùi tyû suaát haøng naêm i. Hai laõi suaát i vaø ik töông öùng vôùi hai chu kyø khaùc nhau ñöôïc goïi laø töông ñöông nhau khi vôùi cuøng moät soá voán, ñaàu tö trong cuøng moät thôøi gian seõ cho cuøng möùc laõi nhö nhau (cuøng giaù trò ñaït ñöôïc). Giaû söû laõi suaát i tính theo naêm, laõi suaát ik töông öùng vôùi chu kyø 1/k cuûa naêm ( 1 quyù , 6 thaùng…) laø töông ñöông nhau thì: Cn = Co(1+i)n = Co(1+ik)nk  (1+i)n = (1+ik)nk ik  k 1  i 1 i  (1  i k )k  1 Ví duï: OÂng A gôûi ngaân haøng 100.000.000 ñoàng theo laõi suaát 6%/6thaùng. OÂng B cuõng gôûi ngaân haøng 100.000.000 ñoàng theo laõi suaát 12,36%/naêm. Haõy tính soá tieàn laõi oâng A vaø oâng B nhaän ñöôïc sau 1 naêm gôûi? Cho nhaän xeùt. Giaûi Soá tieàn laõi oâng A vaø oâng B nhaän ñöôïc sau 1 naêm gôûi: IA = 100(1+ 6%)2 – 100 = 12,36 IB = 100(1+ 12,36%) – 100 = 12,36 Nhaän xeùt: Hai oâng A vaø B cuøng gôûi moät soá tieàn baèng nhau theo nhöõng laõi suaát khaùc nhau. Trong cuøng thôøi gian laø moät naêm, hai oâng nhaän ñöôïc soá tieàn laõi baèng nhau. Ñieàu naøy chöùng toû raèng hai laõi suaát 6%/6thaùng töông ñöông vôùi laõi suaát 12,36%/naêm. Töùc laø i = (1 + 6%)2 – 1 = 12,36% 14
Hay i2  1  12%  1  6% Chuù yù : Laõi suaát töông ñöông khaùc vôùi laõi suaát tyû leä. Laõi suaát tyû leä: Hai laõi suaát i vaø ik ñöôïc goïi laø tyû leä nhau khi tyû leä cuûa chuùng baèng vôùi tyû leä cuûa hai thôøi gian töông öùng. Ví duï: Laõi suaát i = 12%/naêm tyû leä vôùi laõi suaát i = 3%/quí vì: 12% naêm 4 quí   4 3% quí quí Ghi chuù : Neáu thôøi gian ñaàu tö (n) khoâng laø soá nguyeân, ta coù theå chia n laøm hai giai ñoaïn nhö sau: n = k + u/v k N vaø u/v N. Ñeán ñaây coù hai phöông phaùp tính laõi vaø giaù trò cuoái: a- Phöông phaùp hôïp lyù: Theo phöông phaùp naøy ta tính giaù trò cuoái ñeán thôøi ñieåm k nhö sau: Ck = Co(1+ i )k Laõi thu ñöôïc trong u/v kyø nhö sau: u u  I  C k   i  Vo (1  i)k   i  v v   u   Vaø toång laõi: I  C o (1  i)k   i   (1  i)k  1  v    u  C n  C o (1  i)k  1   i   v  15
Ví duï: OÂng Tö gôûi ngaân haøng soá tieàn 200.000.000 ñoàng theo laõi suaát 8%/naêm, thôøi gian gôûi laø 3 naêm 9 thaùng. Haõy tính soá tieàn laõi vaø giaù trò thu ñöôïc theo phöông phaùp hôïp lyù? Giaûi  u   I  C o (1  i)k   i   (1  i)k  1  v   9  100.000.000[(1  8% )3 (8% )  (1,083  1]  33.529.472 12  u  C n  C o (1  i)k  1   i   100.000.000 x1,083 (1  8% x9/12)  v   133.529.472 b- Phöông phaùp thöông maïi: Giaù trò cuoái: Cn  Co (1  i)(n u/v) Caên cöù vaøo ví duï treân coù theå tính ñöôïc: Cn  Co (1  i)(k u/v)  100.000.000  1,08(39/12)  133.456.301 I = 133.456.301 – 100.000.000 = 33.456.301 IV. LAÕI SUAÁT BÌNH QUAÂN TRONG LAÕI KEÙP: Ví duï: Ngöôøi ta ñaàu tö 150 trieäu ñoàng tính laõi keùp vôùi laõi suaát luõy tieán.  8%/naêm trong voøng 2 naêm ñaàu tieân.  9%/naêm trong voøng 3 naêm tieáp theo.  11%/naêm trong voøng 4 naêm cuoái. a) Vaøo cuoái naêm thöù 9, toång laõi laø bao nhieâu? b) Laõi suaát trung bình haøng naêm laø bao nhieâu ? GIAÛI a) Ta söû duïng coâng thöùc tính laõi keùp : 16
Cn = C0 (1+i)n Sô ñoà tieàn teä theo thang thôøi gian nhö sau : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C2 C5 C9 Nhö theá, trong voøng 2 naêm, giaù trò ñaït ñöôïc laø : C2 = 150 trieäu (1+0,08)2 = 174,96 trieäu Nhö vaäy, ñeán cuoái naêm thöù 5, giaù trò ñaït ñöôïc laø : C5 = 174,96 trieäu (1+0,09)3 = 226,578 trieäu Cuoái naêm thöù 9, ta coù : C9 =226,578 trieäu(1+0,11)4 = 343,962trieäu Nhö vaäy, vôùi 150 trieäu voán sau 9 naêm ñaàu tö cho : 343,962 trieäu  150 trieäu = 193,962 trieäu tieàn laõi. b) Ñeå ñaït giaù trò laø 343,962 trieäu trong voøng 9 naêm, ta coù theå ñaàu tö 150 trieäu vôùi laõi suaát haøng naêm laø i: Ta coù : C9=150tr(1+i)9 = 150tr(1,08)2(1,09)3(1,11)4  (1  i)9  (1,08)2 (1,09)3 (1,11)4  2,29308  i  9 2,29308 1  9,66% Nhaän xeùt : Vôùi 9=2+3+4 (toång caùc thôøi gian ñaàu tö) Vaäy: i  n (1  i1 ) n1 (1  i 2 ) n2 ....(1  i 3 ) nk  1 Vôùi n = n1 + n2 + ...+ nk V. SO SAÙNH LAÕI KEÙP VÔÙI LAÕI ÑÔN : Ñeå so saùnh ñaàu tö theo laõi keùp với ñaàu tö theo laõi ñôn, ta coù theå nghieân cöùu ví duï sau ñaây: 17
Ñaàu tö 200 trieäu ñoàng theo laõi suaát thöïc laø 12%/naêm. Haõy tính: 1. Laõi ñôn vaø giaù trò ñaït ñöôïc trong thôøi gian:  6 thaùng?  Moät naêm?  3 naêm ? 2. Laõi keùp vaø giaù trò ñaït ñöôïc trong thôøi gian:  6 thaùng?  Moät naêm?  3 naêm ? 3. Veõ ñoà thò cuûa laõi? GIAÛI 1. Theo caùch tính laõi ñôn:  6 thaùng : Cn = Co(1+n  i) = 200(1+12%  6/12) = 212 I = Cn – Co = 212 – 200 = 12  1 naêm : Cn = Co(1+n  i) = 200(1+12%) = 224 I = Cn – Co = 224 – 200 = 24  3 naêm : Cn = Co(1+n  i) = 200(1+12%  3) = 272 I = Cn – Co = 272 – 200 = 72 2. Theo caùch tính laõi keùp:  6 thaùng : Cn = Co(1+i)n = 200(1+12%)1/2 = 211,66 Hoaëc tính laõi suaát töông ñöông kyø 6 thaùng : i2  1  12%  1  5,83% Cn = Co(1+i)n = 200(1+5,83%) = 211,66 18