Bài giảng Xác suất - Bài 1: Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng cung cấp cho người học các kiến thức: Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối, đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, tham số đặc trưng cơ bản của xác suất,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất - Bài 1: Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối

Đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối • Định nghĩa 1:Xét một phép thử, Ω là không gian biến cố sơ cấp liên kết với phép thử.Ánh xạ X: Ω R được gọi là đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên. • Định nghĩa 2: X là đại lượng ngẫu nhiên . F(X) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên X được xác định: F ( X ) = P ({ ω �Ω : X (ω ) < x } ; viết tắt F(X)= P(X
•Bảng phân phối xác suất: • Định nghĩa 3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là đại X x1 x2 … Xn lượng ngẫu nhiên rời rạc nếu miền giá trị của nó là P(X) P(x1) P(x2) … P(xn) tập hữu hạn hay vô hạn đếm được . aP(x1)+P(x2)+… +P(xn) =1 Định nghĩa 4 : Hàm phân phối ( hàm tích lũy ) F ( X < x) = P ( X = xi ) xi < x •Đại lượng ngẫu nhiên liên tục •Định nghĩa 5: X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm phân phối xác (− ị, nh sao cho : suất F(X) . Nếu tồn tại một hàm số f(x) xác đ + ) x F(X ) = thì X là đ f (t ) dt ại lượng ngẫu nhiên liên tục và f(x) − g ọi là hàm mật độ xác su ất.
Tính chất của hàm mật độ f(x) 1)0 f ( x), ∀x R + 2) f ( x ) dx = 1 − b 3) a, b P(a x < b) = f ( x )dx = F (b) − F (a ) a Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất: 1) Kỷ vọng toán Định nghĩa 6: n • X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thì E(X)= xi.P ( xi ) i =1 • X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: + E( X ) = x. f ( x)dx −
Các tham số đặc trưng cơ bản của xác suất: 2) Phương sai Định nghĩa 7: • X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc E(X) là kỳ vọng thì D(X) = E { X E(X)}2 = E(X2) –E(X)2 • X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì: ( x − a) + 2 E( X ) = a D( X ) = . f ( x ) dx; −
1) Gieo 10 lần một đồng tiền cân đối đồng chất. X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 10 lần gieo.Tìm phân phối xác suất của X. Tính P(0≤ x≤ 8) Hướng dẫn : Xác suất xuất hiện mặt sấp là 0,5; gieo 10 lần được xem là 10 phép thử Bernoulli. Bài toán thỏa mãn điều kiện của Bernoulli với n=10; p=0,5 và q=0,5. Áp dụng công thức ta có: k 10 − k 10 P(X)= �C p q = �C 0,5 k k 10 10 k
2) Bắn liên tục vào một mục tiêu. Bắn đến trúng đích thì dừng. Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên trúng đích. Xác suất trúng đích là 0,2. Tìm phân phối xác suất. Viết hàm phân phối.Tính xác suất P( x≥ 2), P(x
3) Biến ngẫu nhiên X có phân phân phối xác suất ( bảng 3) viết hàm phân phối của X .Tính xác suất P ( 1 ≤ x
4)Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn từng phát cho tới khi có viên đầu Hàm phân phối : tiên trúng hoặc hết đạn thì thôi bắn. Biết xác suất bắn trúng là 0,7. Lập bảng phân phối xác 0 nếu x
5)Một túi đượng có 10 thẻ đỏ 6 thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên 3 X 0 1 2 3 tấm thẻ. P(X) 2/56 15/56 27/56 12/56 a) X là số thẻ đỏ. Tìm phân bố xác suất của X. b) Giả sử rút thẻ đỏ 5 điểm, rút b) Theo định nghĩa biến cố Y : thẻ xanh 8 điểm. Y là tổng điểm trên 3 thẻ rút ra. Tìm phân phối xác suất của Y. Y=5X+(3X)8= 243X với ( X = 0,1,2,3) Hướng dẫn : P(x=0)=P(y =24); P(x=1)= P(y =21); a)Miền giá trị của X là (0,1,2,3) p(x=2)=P(y=18; P(x=3)= P(y=15) 0 C 10.C 3 2 Phân phối xác suất của Y: P (0) = 2 6 = C 16 56 Y 15 18 21 25 1 2 p (1) = C .C 10 6 = 15 2 C 16 56 P(X) 12/56 27/56 15/56 2/56 2 1 p (1) = C .C 10 6 = 27 2 C 16 56 3 0 p (1) = C .C 10 6 = 12 2 C 16 56
6) Gieo đồng thời hai con xúc xắc đồng chất cùng khối lượng. X là biến cố tổng số nốt xuất hiện mặt trên của chúng. Lập bảng phân phối xác suất. Tính E(X),D(X), Mod, Med. Hướng dẫn : a)Miền giá trị của X (2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12). Bằng lập b ảng xác định khả năng có thể và khả năng thuận lợi cùa X tìm được : 1 2 3 P ( x = 2) = ; p ( x = 3) = ; p ( x = 4) = ; 36 36 36 4 5 6 p ( x = 5) = ; p ( x = 6) = ; p ( x = 7) = ; 36 36 36 5 4 3 P ( x = 8) = ; p ( x = 9) = ; p ( x = 10) = ; 36 36 36 2 1 p ( x = 11) = ; p ( x = 12) = 36 36 Phân phối xác suất của X X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 E(X) = 7; D(X) = 5,833; Mod=7; Med=7
7) Trong một chiếc hộp có 5 bóng đèn trong có 2 bóng tốt và 3 bóng hỏng.Ta chọn từng bóng để thử ( có hoàn trả lại sau khi thử) cho đến khi lấy được 2 bóng tốt thì thôi. Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bổ xác suất của X. Trung bình cần thử bao nhiêu. Hướng dẫn : X là số lần bốc cần thiết .Miền giá trị của X là ( 2,3,4,5). 2 1 2 2 3 1 3 2 1 4 P ( x = 2) = . = ; P ( x = 3) = . . + . . = 5 4 20 5 4 3 5 4 3 20 3 2 2 1 3 2 2 1 2 3 2 1 6 P ( x = 4) = . . . + . . . + . . . = 5 4 3 2 5 4 3 2 5 4 3 2 20 8 P ( x = 5) = 1 − {P (2) + P (3) + P (4)} = 20 X 2 3 4 5 P(X) 2 4 6 8 20 20 20 20 2 4 6 8 80 E ( X ) = 2. + 3. + 4. + 5. = =4 20 20 20 20 20 Vậy trung bình phải bốc 4
8) Hai xạ thủ cùng bắn tập, xác suất trúng bia của A là 0,4, của B là 0,5. Mỗi người bắn hai phát. X là biến cố phát trúng của A trừ số phát trúng của B. a)Tìm phân bổ xác suất của X b) Tìm phân bổ xác suất của Y = /X/ Hướng dẫn : a) X là hiệu số viên trúng của A và B nên miền giá trị của X = ( 2, 1,0,1,2) Gọi Ai; Bi là các viên đạn bắn trúng của mỗi người ( i= 0,1,2) P(A0)= 0,36; P(A1) =0,48; P(A2)=0,16 ; P(B0)= 0,25; P(B1)=0,5; P(B2)=0,25 P ( x = −2) = P ( A0).P ( B 2) = 0, 09 p ( x = −1) = P ( A0).P ( B 1) + P ( A1).P ( B 2) = 0, 3 p ( x = 0) = P ( A0).P ( B 0) + P ( A1).P ( B 1) + P ( A 2).P ( B 2) = 0, 37 p ( x = 1) = P ( A1).P ( B 0) + P ( A 2).P ( B 1) = 0, 2 P ( x = 2) = P ( A 2).P ( B 0) = 0, 04 b) Y có miền giá trị ( 0,1,2 ) P(y=0)= P(x=0) = 0,37; P(y=1) = P(x=1)+ P(x=1)=0,5; P(y=2) = P(x=2) +P(x=2) = 0,13 . (L ập b ảng)
9) Một hộp đựng có 4 chiếc thẻ đánh số từ 1 đến 4. Lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ. Tìm phân bổ xác suất của X . Tìm E(X), D(X) , ModX, MedX Hướng dẫn : X có miền giá trị ( 3,4,5,6,7) P(x=3)=1/6 ; P(x=4)=1/6 ; P(x=5)= 2 /6; P(x=6) 1/6; P(x=7)= 1/6 X 3 4 5 6 7 P(X) 1/6 1/6 2/6 1/6 1/6 E(X) = 5 = ModX= MedX ; D(X )=1,667
10) Một hộp đựng có 10 chiếc thẻ, trong đó bốn thẻ số 1, ba thẻ ghi số 2, hai thẻ ghi số 3 và một thẻ số 4. Lấy ra hai thẻ, X là tổng các số ghi trên mỗi thẻ. Tìm phân bổ xác suất của X . Tìm E(X) Hướng dẫn : X có miền giá trị (2, 3,4,5,6,7) . P(x=2)= 6/45; P(x=3)=12/45 ; P(x=4)=11/45 P(x=5)= 10/45; P(x=6)= 4/45; P(x=7)= 2/45 X 2 3 4 5 6 7 P(X) 6/45 12/45 11/45 10/45 4/45 2/45 E(X) = 4 11) Một người có 7 chìa khóa giống nhau trong đó có 2 chìa mở được ổ khoá. Thử từng chìa, thử xong bỏ ra đến khi tìm được chìa mở được thì thôi. X là số lần thử cần thiết. Tìm phân phối xác suất và E(X). Hướng dẫn : X có miền giá trị (1,2, 3,4,5,6) . P(x=1)= 12/42; P(x=2)=10/42 ; P(x=3)=8/42 P(x=4)= 6/42; P(x=5)= 4/42; P(x=6)= 2/42( L ập b ảng );
11) Một người đi thi lấy bằng lái xe. Nếu thi không đạt phải thi lại cho đến đạt thì thôi.Gọi X là số lần anh ta phải thi lại.Tìm phân phối xác suất. Biết xác suất đậu của anh ta và mọi người đều 1/3. Giả sử có 243 người thi cùng đợt. Có bao nhiêu người thi đạt lần đầu.lần thứ hai. Phải thi ít nhất 4 lần. Hướng dẫn : Bài toán thỏa mãn luật phân phối hình học vớ p= 1/3 k −1 P( X = k ) = ( 2 .1 ) 3 3 X 1 2 3 . . . P(X) 1/3 2/9 4/27 . . . Số người thi đạt lần đầu là 243/3 =81 người. Số người phải thi 2 lần là 243.9/2= 51 . Xác suất để số người thi lại ít nhất 4 lần : P(x≥4)=1P(x≤3)= 1( 1/3+2/9+4/27)= 8/27, tương ứng với số ng ười là 243.8/27= 72 ng ười
12) Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 0 nếu x3 Tìm a; xác suất P( 1 ≤ x≤ 2) Giải + 1= f ( x) dx = Theo tinh chất của − hàm mật độ : 1 3 + = − �f ( x ) dx + � f ( x ) dx + � 1 f ( x ) dx 3 3 3 2 a 3 3 = � f ( x ) dx = ax � dx = 3 .x / 1 1 1 = a (9 − 1 / 3) = 1 a = 3 / 26
Hàm mật độ 0 nếu x3 3 2 P( 1 ≤ x≤ 2) = � 2 3 2 f ( x)dx = � x dx = x / 2 = 7 1 −1 1 26 26 26
13) Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối 0 nếu F(X)= x
14) Một rổ trứng 10 quả có 4 quả hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Gọi X là số trứng hỏng có trong 3 quả ta lấy ra, lập bảng phân bổ xác suất, hàm phân phối .Tìm E(X); D(X) và Mod(X) Hướng dẫn : Miền giá trị của X, D = ( 0,1,2,3); Tìm P (0); P(1); P(2);P(3) ta có bảng phân phố xác suất : 0 nếu x≤ 0 5 nếu 0
Áp dụng công thức : 15 9 1 E(X) = 1. + 2. + 3. = 1,2 30 30 30 D(X) = E(X2) X(E) 2 = 21,44= 0,56, Xmod = 1 8) X là đại lượng ngẫu niên có bảng phân phối xác suất X 1 1 3 P(X) 0,3 0,5 0,3 Xác định hàm phân phối Hướng dẫn : Áp dụng công thức F(X)= P(X