Bài tập Dao động kỹ thuật - ĐH Công nghiệp Hà Nội

Chia sẻ: Ntc Ntc | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

655
lượt xem 84
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài tập Dao động kỹ thuật dưới đây gồm 2 phần: phần 1 bài tập lý thuyết, phần 2 bài tập tự luận. Ngoài ra, tài liệu bài tập này còn kèm theo hướng dẫn trả lời các câu hỏi bài tập. Giúp việc tham khảo và ôn tập của các bạn được dễ dàng hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập Dao động kỹ thuật - ĐH Công nghiệp Hà Nội

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA CƠ KHÍ BÀI TẬP CHƯƠNG MÔN : DAO ĐỘNG KỸ THUẬT GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY : TS. PHẠM THỊ MINH HUỆ SINH VIÊN THỰC HIỆN : NGUYỄN THÀNH CHIẾN MÃ SỐ SINH VIÊN : 0741020019 KHÓA HỌC : KHÓA 7 Tháng 4/2014
Phần I : Lý thuyết Câu 1: Hãy trình bày các ví dụ về cách thiết lập phương trình vi phân dao động tự do không cản ? -Phương trình vi phân dao động tự do không cản được thiết lập cơ bản dựa theo các bước sau: ◦ Thiết lập các hàm động năng và thế năng của hệ ◦ Thay các hàm trên vào phương trình Lagrăng loại II ◦ Thực hiện các phép biến đổi theo phương trình ta thu được phương trình vi phân dao động của hệ. -Ta xét các ví dụ cụ thể: ◦ Ví dụ 1: Thiết lập phương trình vi phân dao động của vật nặng m treo vào lò xo ( (hình 1) c Vị trí x cân bằng m Hình 1. 1 Hàm động năng: T= m x 2 & 2 1 Hàm thế năng : = c x2 2 Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai : d �T � T �& �− =− � mx = −0 − cx && dt � x � x x ta nhận được phương trình vi phân dao động của hệ là : mx + cx = 0 && ◦ Ví dụ 2: Thiết lập phương trình vi phân dao động của con lắc toán học sau :
Q y L ϕ m x Hình2 P Gọi tọa độ của chất điểm là x,y Từ hình vẽ , ta được : x= lsin ϕ , y=lcos ϕ 1 1 2 2 Hàm động năng : T= m( x + y ) = ml ϕ &2 &2 & 2 2 Hàm thế năng : = -mgy = -mgl cos ϕ Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai d �T � T �& � − =− dt � x � x x ta được g ml 2ϕ + mgl sin ϕ = 0 && φ+ sinϕ =0 && khi ϕ ≪ → sin ϕ ≈ ϕ l Vậy phương trình vi phân dao động là : g ϕ+ ϕ =0 && l Câu 2: Hãy nêu cách tính toán dao động tự do không cản ? Cho ví dụ minh họa - Cách tính toán : Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ một bậc tự do không cản có dạng sau : mq+cq=0 && (1) 2 c hay && + ω0 q =0 với ω0 = q , ω0 là tần số dao động riêng m Điều kiện đầu t 0 = 0 , q( t 0 ) = q 0 , q(t 0 ) = q 0 & &
c Do không cản : Tần số dao động : ω0 = ( s -1 ) m 2π Chu kì dao động : T= (s) ω0 Nghiệm của phương trình vi phân (1) có dạng : q = C1cosω0 t + C 2sinω0 t (2) ( C1 ,C2 :const xác định từ điều kiện đầu) Cho nghiệm (2) thỏa mãn điều kiện đầu ,ta được q0 & q0 & c1 = q 0 , c 2 = q = q 0 cosω0 t + sinω0 t ω0 ω0 Biên độ dao động : A= c 21 + c 2 2 Pha dao động : ω0 t + α c1 q Pha ban đầu α được xác định từ tanα = =ω0 0 c2 q0 & Tùy theo yêu cầu của bài toán mà ta biến đổi các biểu thức trên sao cho phù hợp. Ví dụ : Trọng lượng vật treo là P , lò xo có độ dài tự nhiên l,độ cứng c, trọng lượng P0 .Tìm chu kì dao động của vật s Biến dạng của lò xo tại vị trí s : l c x(s) x s = x( s ) = x s l l ta được: x s 2 s 2 m x( s ) = x , x ( s) = x 2 & & & 2 & Hình 3 l l Động năng của lò xo : 1 1 2 P P Tlx = v ( s )dm , dm = 0 ds 20 gl Động năng của hệ : P0 2 1 2 P+ P 2 P0 x s & 3 x2 T= x + & 2 ds = & 2g 2 gl 0 l 2g
Thế năng của lò xo đối với vị trí cân bằng tĩnh của vật : c 2 = x 2 Thế vào phương trình Lagrange loại hai : d �T � T �& � − =− dt � x � x x Phương trình vi phân dao động của hệ : P0 P+ 3 && + cx = 0 x g P0 P+ Chu kỳ dao động của vật : 3 (s) T = 2π cg Câu 3: Trình bày cách xác định các tham số độ cứng của hệ dao động ?Cho ví dụ minh họa . 1. Các phần tử đàn hồi trong các hệ dao động hữu hạn bậc tự do thường được giả thiết bỏ qua khối lượng. Đại lượng đặc trưng cho phần tử đàn hồi có độ cứng là kí hiệu là c. Phần tử đàn hồi có nhiều hình dạng và kết cấu tùy theo sử dụng và cách chịu lực của chúng. Dưới đây là cách xác định tham số độ cứng dao động. a. Tính toán hệ số cứng quy đổi của thanh đàn hồi Nếu lò xo là các thanh đàn hồi không trọng lượng ,ta có thể tính toán hệ số cứng quy đổi tương đối đơn giản . Trong trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) chịu kéo nén (hình 4) ta có :
Fl ∆l = EA Trong đó E là môđun đàn hồi ,A là diện tích mặt cắt ngang. Từ đó suy ra : l Hình 4 EA F= ∆ l = c∆ l l Vậy độ cứng quy đổi được xác định bởi công thức : EA c= ∆l l Trong trường hợp thanh đàn hồi lò xo chịu xoắn (hình 5) M xl ∆ϕ = Mx GI p Trong đó G là môđun trượt , I p là momen l quán tính của mặt cắt ngang Từ công thức trên ta suy ra GI p Mx = ∆ϕ = c ∆ϕ l Hình 5 Vậy độ cứng quy đổi trong trường hợp thanh xoắn có dạng GI p c= l Trường hợp thanh đàn hồi (lò xo) bị uốn , hệ số cứng quy đổi c còn phụ thuộc vào các điều kiện biên . Điển hình là dầm chịu uốn như hình 6 l F 1 Fl 3 f = 3 EI Trong đó EI là độ cứng chống uốn . Ta f được 3EI Hình 6 F= f = cf l3 Vậy độ cứng quy đổi c được tính bởi công thức
EI c=3 l3 b. Tính toán lò xo thay thế tương đương của các hệ lò xo mắc song song và mắc nối tiếp Đối với hệ có hai lò xo mắc song song như hình 7 , ta có thể thay thế tương đương bằng hệ có một lò xo. Từ biểu thức lực đàn hồi của lò xo ,ta suy ra công thức tính hệ số độ cứng lò xo tương đương F = c1 x + c2 x = c* x c* = c1 + c2 c1 c2 c1 * * c c Hình 7 c2 Hình 8 m m m m Nếu hệ có n lò xo mắc song song , tính toán tương tự ta có n c = * cj j =1 Đối với hệ có hai lò xo mắc nối tiếp như hình 8 , nếu ở hệ thay thế lò xo dãn ra một đoạn x bằng tổng hai độ dãn x1 và x2 của hệ ban đầu thì ta có : F = c1 x1 = c2 x2 , x1 + x2 = x , F = c * x Từ đó suy ra F F F 1 1 1 x= + = = + c1 c2 c* c* c1 c2 Nếu hệ có n lò xo mắc nối tiếp thì thì công thức tính hệ số cứng lò xo thay thế có dạng n 1 1 * = c i= c j 1
Ngoài ra ta có thể sử dụng các công thức xác định các hệ số cứng tương đương trong các trường hợp đặc biệt theo bảng sau : Số thứ Sơđồ Hệ số c tự Gd 4 8nD3 1 d- Đường kính thiết diện D- Đường kính lò xo G- Mô đun trượt D n- Số vòng lò xo c1 2 c1 + c2 c2 c2 c1
c1c2 3 c1 c1 + c2 c2 4 l 5 a b 6 a b 7 a b 8 l b
9 l b Y 10 α 2 EI Nx α= α lchα − shα l EI l Nx Y 11 α 2 EIchα l Nx α= I (α lchα − shα l ) EI l Nx 2. Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hệ dao động gồm khối lượng và các lò xo mắc như hình 9. Hãy tính tần số riêng c1 c2 của hệ . m c3 c4 Độ cứng tương đương của lò xo c1 , c2 mắc song song Hình 9 c12 = c1 + c2 Độ cứng tương đương của lò xo c3 , c4 mắc song song c34 = c3 + c4 Độ cứng tương đương của hệ :
c* = c12 + c34 = c1 + c2 + c3 + c4 Tần số dao động riêng của hệ : c* c +c +c +c ω0 = = 1 2 3 4 m m Ví dụ 2: Xác định độ cứng tương đương và tần số dao động riêng của hệ sau c1 c4 c5 m c2 Hình10 Độ cứng tương đương của lò xo c1 , c2 mắc song song c12 = c1 + c2 (kg / s 2 , N / m) Độ cứng tương đương của lò xo c3 , c4 mắc nối tiếp c3c4 c34 = (kg / s 2 , N / m) c3 + c4 Độ cứng tương đương của hệ : c3c4 c* = c12 + c34 = c1 + c2 + (kg / s 2 , N / m) c3 + c4 Tần số dao động riêng của hệ : c3c4 c1 + c2 + c * c3 + c4 (rad/s) ω0 = = m m Ví dụ 3 : Xác định tần số dao động riêng của hệ sau : c1 = c4 = c = 0, 2kN / m , c3 = c2 = 2c , m = 200 N
Độ cứng tương đương của lò xo c1 , c2 mắc song song c12 = c1 + c2 = 200+400= 600 c4 Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3 m c c 600.400 c13 = 12 3 = = 240 c12 + c3 1000 c3 Độ cứng tương đương của hệ : c* = c4 + c13 = 200 + 240 = 440 Tần số dao động riêng của hệ : c1 c2 c * .g 440.9,81 ω0 = = = 4, 64 m 20.10 Hình 11 II. Phần hai : Bài tập Câu 1. Hãy thiết lập phương trình dao động của hệ dao động cưỡng bức chịu kích động bởi lực kích động động học như hình 12. m y c b Hình 12 u(t) Gọi y là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng tĩnh Các biểu thức :
1 ◦ Hàm động năng : T = my 2 & 2 1 ◦ Hàm thế năng : = c( y − u ) 2 2 1 ◦ Hàm hao tán : Φ = b( y − u ) 2 & & 2 Với : T d �T � T = my & �& = && � my , =0 y & dt � y � y Π Φ = c( y − u ) , = b( y − u ) & & y y & Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai d �T � T Π Φ �& �− =− − dt � y � y y y & � my + b( y − u ) + c( y − u ) = 0 � my + by + cy = bu + cu && & & && & & � my + by + cy = bu.ΩcosΩt + cu sin Ωt && & b c u � && + y + y = ( bΩcosΩt + c sin Ωt ) y & (1) m m m b c cu buΩ Đặt 2δ = và ω0 = 2 , h1 = , h2 = m m m m Thay vào (1) ta được lập phương trình vi phân dao động của hệ : && + 2δ y + ω0 2 y = h1 sin Ωt + h2cosΩt y & Nghiệm của phương trình có dạng : y* (t ) = A sin(Ωt + ϕ ) Câu 2 : Cho hệ dao động như hình 13 , tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo và tần số dao động riêng của hệ ? Biết C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = C = 20 N / m , C6 = C7 = 0,5C , C8 = C9 = 1,5C C10 = C11 = C12 = C13 = 2C , m=10 kg.
c6 c1 c12 c13 c8 c9 c2 m c3 c10 c7 c11 c4 c5 Hình 13 Độ cứng tương đương của lò xo 4,5 mắc nối tiếp : C4C5 20.20 C45 = = = 10( N / m) C4 + C5 40 Độ cứng tương đương của lò xo 1,2,3 mắc song song : C13 = C1 + C2 + C3 = 20.3 = 60( N / m) Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3,4,5 : C15 = C13 + C45 = 10 + 60 = 70( N / m) Độ cứng tương đương của lò xo 6,7 mắc song song : C67 = C6 + C7 = 2.0, 5C = 20( N / m) Độ cứng tương đương của lò xo 8,9 mắc nối tiếp : C8C9 1,5.1,5.20 C89 = = = 15( N / m) C8 + C9 3 Độ cứng tương đương của lò xo 10,11 mắc nối tiếp : C10C11 2.2.20 C1011 = = = 20( N / m) C10 + C11 4 Độ cứng tương đương của lò xo 12,13 mắc nối tiếp : C12C13 2.2.20 C1213 = = = 20( N / m) C12 + C13 4 Độ cứng tương đương của hệ lò xo 1,2,3,4,5,6,7,8,9 : C15C67 C89 70.20.15 84 C19 = = = 7.636( N / m) C15C67 + C67C89 + C15C89 70.20 + 20.15 + 70.15 11 Độ cứng tương đương của hệ lò xo 10,11,12,13 : C1013 = C1011 + C1213 = 20 + 20 = 40 (N/m)
Độ cứng tương đương của hệ lò xo : C * = C19 + C1013 = 7, 636 + 40 = 47, 636 (N/m) Tần số dao động riêng của hệ : C* 47, 636 ω0 = = = 2,183 (rad/s) m 10 Câu 3: Con lắc là chất điểm khối lượng m được gắn một đầu vào thanh cứng tuyệt đối dài L. Thanh được giữ ở vị trí cân bằng bởi một lò xo và bộ giảm chấn thủy lực với hệ số cản nhớt b như hình 14 . 1.Lập phương trình vi phân dao động của con lắc có khối lượng m? 2.Xác định tần số dao động riêng và độ tắt lôga . Biết m=10 kg, L= 1m, a= 0,6m ,độ cứng lò xo c=104 N/m , hệ số cản nhớt b=3.102 kg / s . m c b h m c b ϕ L y x a O O Hình 14 Hình 15 1. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ,khi hệ dao động có dạng như hình 15
Gọi ϕ là độ dịch chuyển của khối lượng m khỏi vị trí cân bằng Từ hình vẽ mô phỏng chuyển động của hệ , ta được : x = L sin ϕ � x = Lϕ cosϕ , y = Lcosϕ � y = − Lϕ sinϕ & & & & h = L − Lcosϕ = L (1 − cos ϕ ) , xc = a sin ϕ � xc = aϕ cos ϕ & & 1 1 Hàm động năng : T = ( x 2 + y 2 ) = L2ϕ 2 & & & 2 2 1 2 1 Hàm thế năng : Π= cxc − mgh = ca 2 sin 2 ϕ − mgL(1 − cosϕ) 2 2 1 2 1 Hàm hao tán : Φ = bx c = ba 2ϕ 2 cos 2ϕ & & 2 2 Và ta có : d �T � Φ � & � mL ϕ = 2 && = ba 2ϕ cos 2ϕ & dt � ϕ � ϕ & Τ Π =0 = ca 2 sin ϕ cosϕ − mgL sin ϕ ϕ ϕ Thế các hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai : d �T � T Π Φ �& �− =− − dt � y � y y y & � mL2ϕ + ca 2 sin ϕ cosϕ − mgL sin ϕ + ba 2ϕ cos 2ϕ = 0 && & (1) Khi dao động nhỏ sin ϕ ϕ , cosϕ 1 Nên ta có phương trình (1) trở thành : mL2ϕ + ba 2ϕ + ϕ (ca 2 − mgL ) = 0 && & ba 2 ca 2 g �ϕ + && ϕ & +ϕ( 2 − ) = 0 (2) mL2 mL L Vậy phương trình (2) là phương trình vi phân dao động của hệ ba 2 ca 2 g Đặt 2δ = , ω0 = 2 − , thay vào phương trình (2) ta được phương trình vi mL2 mL2 L phân dạng tổng quát của hệ :
ϕ + 2δϕ + ω02ϕ = 0 && & 2. Tần số dao động riêng của hệ không có cản : ca 2 g 104.(0, 6) 2 ω02 = 2 − = − 10 = 350 (s −2 ) mL L 10.1 � ω0 = 350 � 7 (s −1 ) 18, Lực cản : ba 2 3.102.(0, 6) 2 δ= 2 = = 5, 4 (s −1 ) 2mL 2.10.1 Tần số dao động riêng của hệ : ω= (ω 2 0 ) − δ 2 = 350 − (5.4)2 = 17,91 (s −1 ) Chu kỳ dao động tự do có cản : 2π 2π T= = = 0,35 (s) ω 17,91 Độ tắt loga Λ = δ T = 5, 4.0,35 = 1,89 . Câu 4 : Cho mô hình dao động cơ hệ hai bậc tự do như hình ví dụ sau : Ví dụ : Một hệ hai con lắc có chiều dài mỗi thanh là l ,khối lượng mỗi vật điểm là m . Hai thanh được nối với nhau bằng lò xo có hệ số cứng là c , ở vị trí cách trục quay một đoạn là d . Độ dài của lò xo ở trạng thái không biến dạngbằng khoảng cách giữa hai trục con lắc . Bỏ qua khối lượng của thanh , lò xo và bỏ qua lực cản . a.Xác định các tọa độ chính của hệ b.Xác định dao động tự do của hệ với điều kiện đầu : ϕ1 (0) = ϕ 0 , ϕ 2 (0) = 0 ϕ1 (0) = 0 , ϕ2 (0) = 0 & &
x O d ϕ1 c ϕ2 y l h1 h2 Hình 16 m1 m2 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Gọi ϕ1 , ϕ 2 lần lượt là độ dịch chuyển của khối lượng m1 , m2 khỏi vị trí cân bằng a. Từ hệ trên ta có : h1 = l − lcosϕ1 = l (1 − cosϕ1 ) h2 = l − lcosϕ 2 = l (1 − cosϕ2 ) Hàm động năng : 1 2 2 T= ml (ϕ1 + ϕ 2 2 ) & & 2 Hàm thế năng : 1 2 Π= cd (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 − mgh1 − mgh2 2 1 2 = cd (ϕ 2 − ϕ1 ) 2 − 2mgl + mgl (cosϕ1 + cosϕ 2 ) 2 Thế hai hàm trên vào phương trình Lagrange loại hai : d �T � T Π � � − =− dt � ϕi � ϕi & ϕi hệ phương trình dao động của hệ : ml 2ϕ1 + cd 2ϕ1 − mgl sin ϕ1 − cd 2ϕ 2 = 0 && (1) ml ϕ2 + cd ϕ2 − mgl sin ϕ2 − cd ϕ1 = 0 &&2 2 2 Khi dao động nhỏ sin ϕ ϕ , cosϕ 1 hệ (1) tương ứng
ml 2ϕ1 + (cd 2 − mgl )ϕ1 − cd 2ϕ 2 = 0 && (2) ml 2ϕ 2 − cd 2ϕ1 + (cd 2 − mgl )ϕ 2 = 0 && Hoặc dưới dạng ma trận : � 2 ml ϕ 0 ��1 � && �d 2 − mgl c ϕ − cd 2 ��1 � 0 � � � 2 �� + � 2 �� = � (t ) � 0 � ml ��ϕ2 � && − �cd 2 ϕ2 � cd − mgl �� F � � Phương trình đặc trưng : C − ω 2M = 0 �d 2 − mgl c − cd 2 � 2 � 2 ml 0 � �� 0 � � 2 �− ω � = � �� − �cd cd 2 − mgl � 0 � 0 ml 2 � �� cd 2 − mgl − ω 2 ml 2 − cd 2 =0 −cd 2 cd − mgl − ω ml 2 2 2 � (cd 2 − mgl − ω 2 ml 2 ) 2 − c 2 d 4 = 0 � (− mgl +2cd 2 − ω 2 ml 2 )(mgl − ω 2 ml 2 ) = 0 g ω12 = l g 2cd 2 ω2 = − + 2 2 l ml 1 1 Vectơ riêng : V= v1 v2 c11 − m11ω12 (cd 2 − mgl − ω12 ml 2 ) cd 2 với v1 = − =− = 2 =1 c12 − m12ω12 − cd 2 cd c11 − m11ω2 2 (cd 2 − mgl − ω2 2 ml 2 ) cd 2 v2 = − =− = − 2 = −1 c12 − m12ω2 2 −cd 2 cd Ma trận vectơ dạng riêng của hệ : 1 � 1� V =� � � −1 � 1
√ Phương trình dao động tự do không cản của hệ : Mϕ + Cϕ = 0 && (3) ϕ1 = p1 + p2 Đặt ϕ = Vp (*) ϕ2 = p1 − p2 Thay (*) vào (2) ta được : M.V . && + C.V . p = 0 p � V T M.V . && + V T C.V . p = 0 p (4) Ta có : � 1�� 1 ml 2 0 �� 1� 1 � 0� 1 V M.V = � T �.� . �� = 2ml 2 � � � − 1�� ml �� − 1� 1 1 � 1� 0 2 0 � 1 �� -mgl 1 cd 2 − cd 2 �� 1 � �mgl 0 1 2 � V C.V = � T �.� 2 �.� �=� � � − 1��cd 1 − cd 2 -mgl �� − 1� � 1 0 -2mgl+4cd 2 � Thế vào phương trình (4) ta được : 1 � 0 � &&1 � �mgl �p 2 0 ��1 � p 2ml 2 � .� � � + � = .� � 0 0 � 1� && 2 � � ��p 0 -2mgl+4cd 2 ��2 � p g &&1 + p p1 = 0 l &&1 − ω 21 p1 = 0 p � =0 (**) � g 2cd 2 � && 2 + ω 2 2 p2 = 0 p && 2 + � + p − p �2 �l ml 2 � Vậy hệ phương trình (**) là hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính Nghiệm của hệ phương trình dao động dạng tọa độ chính có dạng p1 (t ) = c1 sin(ω1t + α1 ) p2 (t ) = c2 sin(ω2t + α 2 ) Thay p1 (t ) , p2 (t ) vào (*) ta được các dạng dao động chính của hệ : ϕ1 (t ) = c1 sin(ω1t + α1 ) + c2 sin(ω2t + α 2 ) (I) ϕ2 (t ) = c1 sin(ω1t + α1 ) − c2 sin(ω2t + α 2 )