Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ não để tìm bệnh của một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán Calderón có duy nhất nghiệm hay không?.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị Nguyễn Thu Hiền 1 Phòng TTr & KĐCL, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: hientn123@gmail.com Mobile: 0862078861 Tóm tắt Từ khóa: Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ Ánh xạ Dirichet-Neumann; Bài não để tìm bệnh của một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời toánCalderón; Tính dẫn  ; điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán Calderón có duy nhất nghiệm hay không? Cụ thể ta xét bài toán sau: Xét vật thể dẫn điện hình tròn B với tính dẫn  ( x) . Ta đặt một điện áp f lên B sẽ sinh ra một điện thế u trong B , thỏa mãn bài toán biên Dirichet .(u )  0 trong B, (1)   u  f trên B. Bài toán (1) có duy nhất nghiệm u  H 1 ( B) với mỗi 1 f  H 2  B  . Khi đó ta định nghĩa ánh xạ Dirichlet – Neumann 1 1   : H 2  B   H 2  B  được xác định bởi  f   vu B .  f biểu thị dòng điện đi ra theo hướng pháp tuyến trên B . Ánh xạ Dirichlet-Neumann hoàn toàn được xác định bằng phép đo đạc trên biên. 1. GIỚI THIỆU Định lý 1.1. Cho B  B(0,1) và a Î (0,1), Xét bài toán Dirichlet trong hình e0 , M>0, N ³ 0 . Khi đó tồn tại tròn đơn vị B  B(0,1) .(u )  0 trong B, C=C(a,e0 , M , N ) sao cho  (1.1)  u  f trên B. La - Lb * ³ C ( a 0 - b 0 + a 1 - b1 ), Trong đó với " ga , g b Î m(a, e0 , M , N ).  0  1(a  r ) , 0  r  a, r  x 2. CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 1.1   x    (1.2)  0 , a  r 1 Xét bài toán biên Dirichlet (1.1) với các với e £ a 0 £ M , 0 £ a 1 £ N . lớp tính dẫn được xác định tại (1.2) Trong tọa độ cực, nếu Ký hiệu các tính dẫn như trên là u (x)= å un (r )einq Î H 1 (B), m(a, e0 , M , N ) . nÎ ¢ Trong bài báo này tôi chỉ ra cách thì phương trình trong (1.1) là: tính toán để tính được tường minh ánh xạ ìï 2 ïï (g u ' )'+ g a u ' - n g a u = 0, " n Î ¢ , Dirichlet - Neumann, từ đó khôi phục lại ïï a n r n r2 n được tính dẫn của vật . Khi đó tôi chỉ ra ïï í lim u n (r ) = lim+ u n (r ), (2.1) rằng ánh xạ L g a g là Lipschitz. Cụ thể ïï r ® a- r® a ïï hơn, kết quả chính mà tôi đưa ra như sau: ïï lim (g un' )(r ) = lim+ (g un' )(r ) r ® a- ïî r® a Giải hệ phương trình ta được: + Khi n = 0 , u0 (r ) = c0 , 0 £ r < 1. * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 174
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH  +Khi n ¹ 0 , 1   mb m 1hm,n bn r n  cn r  n , a  r
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH  n     1 1 1 lim 1  b 1   b m1hm,n    (1  b) 2 .   ( 2.4) n   2 n  1  m 2   1  b 1  b0 Khi đó Từ đó suy ra 1  b0  3 Bn '(b)  . b(1  b) 2 n 1 lim  2 n  1  Bn (b)  1  2 b  . n   1 1 b (1  b) 2 (d) Ta cần chứng minh rằng Bây giờ tôi sẽ khôi phục lại tính dẫn. Lấy Bn (b)  1 f  ein ta được lim  1. n  B n 1 (b)  1   e 1 a 2n   1 a  B (b) . n e 2n   in n in .  1  a  B (b) Thật vậy 0 1 a 2n 2n  2 n  1  B (b)  1  lim  B (b)  1  1 . n   e  , khi đó n n lim in n   2 n  3  B (b)  1 n 1  B (b)  1 n  n 1 Lấy Cn  in (e) Ta đặt tử số và mẫu số của Bn '(b) lần ne lượt M n  b  và N n  b  . Bằng tính toán ta 0 1 a 2n   1 a  B (b) . 2n n tinh được: 1 a  1  a  B (b) 2n 2n n n  m  1 m 2  1 M n b   b hm,n  Mệnh đề 2.2. 2 n  1 m  2  2 n  12 1)  0  lim Cn n    m2 m1 b hm,n  I n (b), (2.3) Cn   0 2) a 2  lim m2 2 n  1 n  Cn 1   0 trong đó 3) a1  0 D , trong đó   l 2bl 1   n bk  I n (b)    hl ,n    l  2 2 n  1  k  2 2 n  1 hk ,n     2 0 a 2 n   Cn   0  1  a 2 n D  lim  2 n  1   1  .      n   2 0 a 2 n   Cn   0  1  a 2 n        l n bl 1   kbk  Chứng minh.   hl ,n   hk ,n  . 1) Từ (b) trong mệnh đề 2.1 ta có  l  2 2 n  1  k  2 2 n  1     lim Bn (b)  1 . m n  Hệ số của b trong I n (b) là: Khi đó  l2 n lnk  lim Cn   0 .   k  l 1 m   2 n  1  hl ,n hk ,n  n     2 2  2 n  1  2) Ta có Cn   0 2a  B (b)  1 2n  l n l  k   lim  lim 2 n  2 n     hl ,n hk ,n n  C n 1   0 n  2a  Bn1 (b)  1 k  l 1 m   2 n  1  2    n  k  l 2   1 a 2 n 2   1 a  B (b) . 2 n 2 n 1  1  a  B (b) 1    2 k l 1 m   2 n  12  hl ,n hk ,n . 1 a 2n 2n n   Từ đó ta thấy rằng Từ (b) và (d) của mệnh đề 3.1 ta có M n b  1 . C  0 2 n 1 lim n  a 2 . n 1   0 n  C Mặt khác ta lại có 3) Ta cần tính 1 . Từ 2  n  n  2a 2 n  Bn (b)  1 1  Nn  b   1  b b m hm,n  Cn   0   0  .  2 n 1 m2 2 n  1  1 a 2n   1 a 2n  Bn (b) Ta tính được: * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 176
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Bn (b)  2 0 a 2n    Cn   0  1  a  2n Kn  4 0 a 2 n Bn (b)  Bn (c)  0  0 1  d0 2  4d0 . 2 0 a   Cn    1  a  Từ (2.6) ta có: 2n 2n 0      C1 4 0 a 2 n Bn (b)  Bn (c) , (2.6) Khi đó ta có: * trong đó C1  C1  a,  0 , M  là hằng số.  2 0 a 2 n   Cn   0  1  a 2 n D  lim  2 n  1       1 Bn (b)  Bn (c)   b  c  B 'n   n   2 0 a 2 n   Cn   0  1  a 2 n      a0 B 'n        +  lim  2 n  1  Bn (b)  1   0  a1  0  a1  1 1 b , n  1 b a1 a1 B 'n   trong đó b      .  0  a1 .  0  a1  0  a1  0 0 Từ đó suy ra: Ta có 0 D      1  . * a 0 1  1   1  0  0   C1 4 0 a 2 n 1 B 'n   . Bây giờ, tôi sẽ đi chứng minh Định lý 1.1.  0  a1  0  a1  Chứng minh . 2 n 1 1  b0  0 1  1   C1 4 0 a .  Với mọi   ,      a,  0 , M , N  ta có: 2 n  1   0  a1  0  a1  n2 1  0  0       f   An  Bn  2 fˆ (n) , 2 2  1   H2  B  n 1  n  1 2 2  0  a1  0  a1   trong đó 1  b0   0 1  1 N  0  0   C1 4 0 a 2 n 1   .   B (b) , 2 n  1   M  aN   M  aN 2  2 1 a  1 a 2n 2n n An   0  1  a  B (b) 1 a 2n 2n Chọn n  1 . Kết hợp với (2.6) ta có: n     *  C2 1  1 . 1 a  1  a  B (c ) , 2n 2n Bn  0 n (2.7) 1 a  1  a  B (c ) 2n 2n Từ (2.5) và (2.7), chọn   n C3  min  2  d0  , C2 , 2 a1 a1 với b  , c .  0  a1  0  a1 ta suy ra điều phải chứng minh. Đặt tử số và mẫu số của An  Bn là K n và 3. KẾT QUẢ Xuât phát từ kết quả của Alessandrini H n thì H n   2  d0  . Ta có: 2 trong [2], bằng các phép tính toán tôi đã chỉ ra      f  1 ( B ) được tường minh ánh xạ Drichlet-Neumann, cũng như chứng minh được tính ổn định      H 2 sup * f Lipschitz ( Định lý 1.1) và khôi phục được tính 1 1 f  0, f H 2  B  H2 ( B ) dẫn của vật từ ánh xạ Dirichlet - Neumann Kn Kn (Mệnh đề 2.2).  sup  sup , 2  2  d0  2 n 2H n n 4. THẢO LUẬN Xoay quanh bài toán Calderón, người và Kn  2 0  0  8Md0 a 2 n . ta thường nghiên cứu về các ứng dụng trong Khi  0  0 . Với mọi n đủ lớn ta có: trong lĩnh vực y học hay thăm dò địa chất. 8Md0 a   0  0 . 2n Theo ngôn ngữ toán học, giả thiết trên miền  vật thể không có nguồn hoặc tụ, bài toán Vì thế Calderón đi xác định hàm  khi biết thông tin     *   2  d0   0  0 . 2 (2.5) về ánh xạ   , tức là nếu như ta đo được dòng Khi  0  0 ta cũng được (2.6). 1 Tiếp theo, ta thấy rằng trên biên  f , ∀ f  H 2    thì ta sẽ xác định 177 * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH được  . Cụ thể hơn trong bài báo này tôi xét TÀI LIỆU THAM KHẢO cụ thể miền  là hình tròn B , với tính dẫn được xác định ở (1.2). Khi đó bài toán [1]. Đặng Anh Tuấn (2016), Lý thuyết hàm suy Calderón được nghiên cứu bao gồm: rộng và không gian Sobolev, Đại học Quốc gia + Nếu 1   2 thì có suy ra được Hà Nội. [2].G.Alessandrini(1988),Stable  1   2 hay không? Determination of Conductivity by Boundary + Cho biết dòng trên biên  f , Measurement, Applicable Analysis, Vol.27. pp. 1 153-172. f  H 2    , ta có thể xây dựng lại hàm γ? [3]. G. Alessandrini, M. V. de Hoop, R. + Trong thực tế, quá trình đo các dòng Gaburro, E. Sincich, Lipschitz stability for the trên biên, vì những lý do khác nhau sẽ xảy ra electrostatic inverse boundary value problem những sai số nhất định. Một câu hỏi đặt ra, với with piecewise linear conductivities, J. De sai số cho phép đó liệu có thể giúp chúng ta Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 107, No. biết được gần đúng thông tin về vật dẫn hay 5 (2017), 638-664. không? [4]. J. A. Barcelo, T. Barcelo, A. Ruiz, Stability 1 1 of Calderón inverse conductivity problem in the  + Nếu  : H 2     H 2    bé liệu plane for less regular conductivities, J. Differential Equations, 173 (2001), 231-270. có thể suy ra được  1   2 L    bé hay không? [5]. J. Feldman. M. Salo and G. Uhlmann, The Trong bài báo, khi  là hình tròn , tôi đã chỉ Calderón Problem – An Introduction to Inverse ra bài toán Calderón ổn định. (Định lý 1.1). Problems (draft) Bài toán Calderón có thể xét trong hình trụ như [6]. K. Astala, L. P¨aiv¨arinta, Calderón’s trong bài báo của Mai Thị Kim Dung và TS. inverse conductivity problem in the plane, Ann. Đặng Anh Tuấn được đăng trên tạp chí “Acta of Math., 163 (2006), 265-299. Mathematica Vietnamica”, năm 2019. Hướng [7]. T. Barcelo, D. Faraco, A. Ruiz, Stability of nghiên cứu tiếp theo, bài toán Calderón có thể Calderón inverse conductivity problem in the xét trong hình cầu đơn vị. plane, J. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 88, No. 6 (2007), 552-556. [8]. P. Caro, K. Rogers, Global uniqueness for the Calderón problem with Lipschitz conductivities, Forum Math. Pi 4 (2016), e2. * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 178