Báo cáo khoa học: "Mécanique de l’arbre sur pied : modélisation d’une structure en croissance soumise à des chargements permanents et évolutifs. 2. Analyse tridimensionnelle des contraintes de maturation, cas du feuillu standard"

Chia sẻ: Nguyễn Minh Thắng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

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Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "Mécanique de l’arbre sur pied : modélisation d’une structure en croissance soumise à des chargements permanents et évolutifs. 2. Analyse tridimensionnelle des contraintes de maturation, cas du feuillu standard"

Article original Mécanique de l’arbre pied : sur modélisation d’une structure en croissance soumise à des chargements permanents et évolutifs. 2. Analyse tridimensionnelle des contraintes de maturation, cas du feuillu standard M Fournier B Chanson 1 B Thibaut D Guitard CNRS UMR C023, laboratoire de rhéologie du bois de Bordeaux, domaine de l’Hermitage, BP 10, 33610 Cestas Gazinet, 2 Université de Montpellier II, URA 1214 du CNRS, laboratoire de mécanique et de génie civil, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier Cedex 5, France (Reçu le 5 février 1991; accepté le 3 juin 1991 ) Résumé — L’outil d’analyse des contraintes mécaniques supportées par le bois de l’arbre précé- demment développé (partie 1) est ici appliqué à l’étude tridimensionnelle des contraintes mécani- ques engendrées par la maturation cellulaire du bois en différenciation, compte tenu d’une modélisa- tion rhéologique simple de ce phénomène. Il permet de généraliser les modélisations antérieures des contraintes internes dites de «croissance», les paramètres du modèle (constantes élastiques du bois vert, diamètre de l’arbre, déformations résiduelles à la surface de l’arbre sur pied) restant éva- luables par des essais usuels. Les distributions d’efforts sont alors calculées dans un cas «standard» représentant un ordre de grandeur moyen et réaliste de ces paramètres pour un arbre feuillu, constitué d’un bois homogène radialement mais présentant la dissymétrie angulaire de défor- mations résiduelles pratiquement toujours observée. Ces distributions montrent classiquement une tension longitudinale et une compression tangentielle superficielles, équilibrées par une compres- sion longitudinale et des tensions transverses internes. La dissymétrie angulaire fait apparaître d’une part, des valeurs plus élevées de ces composantes et de leurs gradients radiaux sur une face de l’arbre et d’autre part, des cisaillements transverses. Ces contraintes de maturation sont finale- ment étudiées en superposition aux contraintes de support dues au poids propre de l’arbre (partie 1 ) et aux contraintes d’abattage dues à la suppression de ce poids (Fournier et al, 1990). Cette super- position montre que la distribution des contraintes de maturation détermine en général la répartition et l’ordre de grandeur des efforts supportés par le bois de l’arbre sur pied ou d’une grume mais qu’il convient de rester prudent pour des interprétations particulières. mécanique de l’arbre / bois / contrainte de croissance / contrainte de maturation / croissance cambiale Mechanics of standing trees: modelling a growing structure submitted to con- Summary — tinuous and fluctuating loads. 2. Tridimensional analysis of maturation stresses. Case of standard hardwood. A model of tridimensional mechanical stresses due to wood differentiation is derived from the previously presented theoretical analysis (see Part 1) of mechanical stresses which develop in stems as the tree grows. The model is based on a simple rheological scheme for cellular maturation: wood is supposed to have a tendency to strain during the formation of the secondary cell
wall. In normal wood, this tendency takes the form of a longitudinal shrinkage and a transverse swell- ing, that agrees with micro-mechanical modelling of lignification and crystallizing of cellulose in the S2 layer. In the living tree, this trend is impeded by the mass of the whole trunk, so wood is submitted to internal stresses, namely maturation stresses. This model generalizes former theories on growth stress patterns in tree stems, and the parameters of the model (the elastic compliances of green wood, the tree diameter, the residual strains at the standing stem surface) are still evaluated by cur- rent experiments. Stresses patterns are then computed in a standard situation, which uses realistic averaged values of parameters for a hardwood cross-section, composed of radially homogeneous wood, but which shows the circumferential asymmetry of residual strains usually observed. These patterns commonly show longitudinal tensile stresses and tangential compressive ones in the outer part of the trunk, equilibrated by longitudinal compressive stresses and transverse tensile ones in the inner part of the trunk. The angular asymmetry induces, on the one hand, higher values of these com- ponents and their radial variations on one side of the tree; on the other hand, transverse shear stress- These maturation stresses are finally superimposed to support stresses due to tree self-weight - es. the addition of support stresses and maturation stresses are called "growth stresses" and to felling stresses due to the removal of this self-weight, analysed in former papers (see Part 1). As analysed in Part 1, support stresses are not the opposite of felling stresses but depend on the entire history of the tree; so it is quite difficult to separate the effects of support and maturation when experimental results on internal stresses in living trees or logs are observed. Nevertheless, the conclusion is that in gener- al, maturation stres distributions determine the patterns and the magnitude of growth stresses in a liv- ing tree or a log, although particular problems may require careful consideration: for instance, in the standard stituation of a highly disymmetric leaning reorienting tree, the longitudinal growth stress gra- dient near the surface (which is responsible for the deflections of planks) is lower than the longitudinal maturation stress gradient. standing tree mechanics / wood / growth stress / maturation stress / cambial growth INTRODUCTION évidences expérimentales, puis une modé- lisation de ces champs de contraintes et un outil de calcul qui permette la simula- Le bois de tous les arbres pied sur emma- tion numérique de nombreuses situations. énergie mécanique qui peut se gasine une L’application de l’outil concernera ici un jeu manifester certaines sur essences de paramètres - le feuillu standard - qui feuillues (hêtre, peuplier, eucalyptus, servira de référence aux applications ulté- wapa...) par des déformations instanta- rieures. nées importantes à la transformation (Ar- cher, 1986a; Kubler, 1987) : les troncs «éclatent», les faces fraîchement tronçon- ÉVIDENCE EXPÉRIMENTALE nées des grumes fendent, les planches de DE CONTRAINTES SIGNIFICATIVES dosses se courbent, les débits sur maille À LA SURFACE DE L’ARBRE SUR PIED se tordent... Ces phénomènes sont attribués à la Différentes méthodes existent pour évaluer présence de forces intérieures, regrou- expérimentalement les efforts internes pées sous le nom de «contraintes de supportés par le bois à la surface de croissance». L’objectif de la présente pu- l’arbre : blication est de proposer un mécanisme d’apparition de ces efforts intérieurs, fondé mesures de déplacements résultant de - sur des connaissances physiques et ana- la perturbation du champ des contraintes tomiques, qui rend compte des diverses par perçage d’un trou (Archer, 1986b);
* de déformations résiduelles ϵ épaisse, rigide et lignifiée, sera appelée mesures - «maturation». À l’échelle macroscopique, il après découpe (2 trous, rainure...) autour est reconnu que le matériau subit lors de du point de mesure (Nicholson, 1971; Sau- tendance à défor- et al, 1976; Ferrand, 1982a; Okuyama, rat ce une se processus quantité élémentaire de bois 1983; Langbour, 1986...); mer : une isolé avant et après maturation n’aurait pas du diamètre tangentiel d’une mesures - la même forme et occuperait un volume carotte desondage extraite par une tarière différent. Cette assertion s’appuie sur deux de 5 mm en utilisant la corrélation empiri- phénomènes principaux possibles à que entre cette grandeur et la déformation l’échelle de la paroi S2 : résiduelle évaluée par les longitudinale puisque la lignine occupe dans cette décrites ci-dessus (Polge et techniques - paroi les mêmes types de sites que l’eau, Thiercelin, 1979; Ferrand, 1982b). la lignification provoque des variations di- Dans la plupart des cas, ces mesures mensionnelles analogues à une reprise montrent que le bois situé juste sous le d’humidité; la matrice de lignine et hémicel- cambium est soumis à une tension longitu- luloses pousse le filet de microfibrilles; il dinale pouvant atteindre plusieurs dizaines résulte une expansion transverse et en de MPa, et à une compression tangentielle une contraction longitudinale (Boyd, 1972); de l’ordre du MPa. la cristallisation de la cellulose dans les - observa- Comment expliquer de telles microfibrilles s’accompagne d’un retrait. tions ? Dans le milieu ’fibrilles’ + ’matrices’, il en résulte encore une contraction longitudi- nale et un gonflement transverse (Bamber, LA MATURATION DU BOIS, 1987). MOTEUR D’APPARITION La combinaison des deux théories per- DE CONTRAINTES INTERNES met de rendre compte de toutes les situa- tions structurales (bois de réaction, partie 1 de la présente publication a dé- La feuillus, résineux...),avec peut-être une veloppé une modélisation des contraintes prédominance du premier phénomène croissance soumis à dans l’arbre un en chez les résineux (hélices plus inclinées chargement permanent et évolutif, en pos- surtout dans le bois de compression), et tulant qu’une particule de bois ne supporte du second chez les feuillus (déformations d’efforts qu’à partir de l’instant où elle résiduelles plus élevées, hélices peu incli- existe. Ce principe ne semblant pas devoir nées, beaucoup de cellulose, notamment être mis en cause, si la surface de l’arbre dans le bois de tension) (Sasaki et al, est fortement contrainte, cela ne peut être 1978; Wilson, 1981).À l’échelle de la paroi que le fait d’un phénomène instantané qui S2, l’analyse quantitative micromécanique se produit dans le bois lors de la formation des phénomènes a été entreprise par diffé- de la paroi secondaire, entre l’instant où rents auteurs (Boyd, 1972; Archer, 1987 et les cellules sont différenciées dans le cam- 1989; Yamamoto, 1988; Gril, 1988). À bium et celui où elles prennent leur struc- l’échelle du tronc d’arbre, la modélisation définitive, rigide et lignifiée. ture mécanique la plus simple possible du phé- nomène implique de postuler l’existence La formation de la membrane secon- d’un changement d’état du bois lors de la daire S2, processus qui peut durer quel- maturation, représenté par une variable in- ques semaines, au cours duquel une cel- M, passant de la valeur 0 pour le lule à paroi mince faite de cellulose peu terne bois issu du cambium à la valeur 1 pour le cristalline devient une cellule à paroi
bois mature, et source d’apparition de dé- dR est créée par le cambium. Dans le même temps, une couche externe de bois formations macroscopiques α. devient plus ou moins mature. Cette Ces déformations s’apparentent donc couche externe tend donc à se déformer. dilatations ou contractions thermiques aux Comme elle est solidaire d’un massif des matériaux, ou aux retraits et gonfle- inerte, le tronc interne, cette tendance ne ments de séchage du bois; le «moteur» de peut a priori s’exprimer totalement; il en ré- la déformation n’est cependant ni la tem- sulte un état de déformations dϵ et de pérature, ni l’humidité, mais une autre va- contraintes internes dσ dans toute la struc- riable d’état physico-chimique, l’état de ture (Fournier, 1989), que l’on se propose «maturation» M. L’analogie la plus forte d’évaluer. est celle d’un matériau tel qu’une colle ou Le problème étant de calculer l’état mé- résine qui se rétracte en polymérisant, le canique d’une structure cylindrique de retrait étant au premier ordre proportionnel rayon R + dR, «M», élastique, soumise au degré de polymérisation. On notera dans la nouvelle couche en différenciation donc à ce stade, que les coefficients de à un champ de variation de la variable in- déformations de maturation α sont une ca- terne moteur de déformation «M», l’outil de ractéristique rhéologique intrinsèque du calcul utilisé repose sur des hypothèses et matériau bois, alors que les contraintes in- des méthodes relativement classiques qui vont être analysées sont une ternes pour le mécanicien des structures (défor- caractéristique de la structure, le tronc mations pseudo-planes, résolution analyti- d’arbre, sollicitée par le processus de ma- que dans chaque couche radiale du tronc turation. composite), détaillées par ailleurs (Four- nier, 1989, Fournier et al, 1990a); il a été également développé pour calculer l’état UN OUTIL MÉCANIQUE D’ANALYSE des contraintes internes dans un billon DES CONTRAINTES DE MATURATION soumis à un séchage (Tahani, 1988) ou dans un tronc d’arbre multi-couches sou- Quel est l’état des contraintes dans une mis à un gel (Fournier, 1989; Cinotti, section d’un tronc d’arbre de rayon R , f 1989). La méthode de calcul est résumée dont le bois s’est formé et est devenu ma- rappellerons simplement en annexe; nous ture par couches concentriques succes- ici les données nécessaires à la simulation sives d’épaisseur dR, entre un état initial numérique qui sont, outre les grandeurs de rayon faible Ret l’état final de rayon , i géométriques R et dR : R Comme développé précédemment f ? les rigidités ou les souplesses élastiques - dans la partie 1, le problème étant posé (Guitard, 1987), dans le référentiel R,T,L, sur une structure évolutive en croissance, du bois du tronc, formé d’un empilement demande une analyse pas à pas (entre R de N couches concentriques; soit la don- et R + dR), puis la superposition de ces C(ou ij p née de 9 x N élastiques rigidités étapes élémentaires. ) ij p S (p = 1..N), et de N rayons souplesses R d’apparition de la couche p (R 0 0); P = l’angle éventuel de la fibre torse dans - Effet de la maturation d’une couche chaque couche &p qui permet de fixer la psi; élémentaire, entre R et R+ d R position de R,T,L par rapport au repère du tronc r,&thetas;,z; ces données schématisent de Entre R et R + dR, une nouvelle couche façon générale le tronc d’arbre comme une externe élémentaire de bois d’épaisseur élastique, orthotrope (avec structure une
structure éventuellement multi- riable d’état, telle que la température ou hélice), en l’humidité, contrôlable sur de petits échan- couches; tillons qui se déforment librement, α serait le de maturation profil ΔM (entre R et + R - estimé par la mesure des variations dimen- et les coefficients de déformations de dR) sionnelles de ces petits échantillons. maturation α α &L partout où ΔM est ,, R T alpha; Or, nous ne savons pas pour l’instant non nul. Ces grandeurs peuvent a priori être définies couche par couche de façon provoquer et observer la maturation du bois sur éprouvettes détachées de l’arbre. très générale en double série, polynomiale en r, de Fourier en &thetas; ces dernières don- Le comportement du bois à la maturation, nées sont caractéristiques du problème α, sera donc déduit indirectement des me- sures de déformations relâchées à la sur- posé (ie les conséquences mécaniques de face des arbres : soient ϵ* et ϵ* les dé- la maturation cellulaire). LL TT , formations longitudinales et tangentielles Pour fixer le profil ΔM(r,&thetas;), nous allons mesurées classiquement (cf Evidences ex- supposer que la maturation est un phéno- périmentales de contraintes significatives à mène instantané qui suit rigoureusement la surface de l’arbre sur pied) juste sous le la cinétique de la croissance secondaire : dues à la libération des cambium, entre R et R + dR, seule la nouvelle contraintes élastiques autour du point de couche d’épaisseur dR change d’état et mesure. Ces déformations dans la der- devient complètement mature, alors que le nière couche d’épaisseur dR résultent du bois plus interne n’est plus modifié. Le pro- passage de l’état précontraint dσ dû à sa fil de la variable d’état ΔM est donc dis- maturation récente, à un état naturel non continu, égal à 1 dans la couche d’épais- contraint. dR, nul partout ailleurs. Cette seur comportement élas- hypothèse, implicitement adoptée par Ar- En utilisant la loi de cette couche et le fait cher et Byrnes (1974) et Archer (1986a) tique du bois dans radiale σ est nulle à est liée à l’absence d’idée plus précise que la composante RR la surface libre du tronc, il vient : concernant la physico-chimie de la matura- tion car notre outil de calcul pourrait, lui, tenir compte de cinétiques de maturation effet, permis plus complexes (il en a, l’étude de l’influence de profils de tempéra- Or, la modélisation précédente de la matu- ture ou d’humidité très généraux : Tahani, ration in situ dans l’arbre et la loi de com- 1988; Cinotti, 1989). Il reste alors à se portement «M» élastique du bois de la der- donner dans la couche externe d’épaisseur nière couche permet d’écrire : dR le profil α(R,&thetas;), fonction de la coordon- née angulaire &thetas;. Évaluation expérimentale où, selon les définitions introduites au pa- des déformations de maturation sont les ragraphe précédent, dLL dϵ ϵ TT et à la surface de l’arbre sur pied déformations tangentielles et longitudi- nales qui se sont produites dans l’arbre Les coefficients de déformations induites dans la nouvelle couche au moment de la maturation. Cette expression signifie sim- sont des grandeurs rhéologiques qui doi- vent être évaluées expérimentalement. Si plement que les contraintes qui sont appa- rues sont dues à la partie «gênée» des dé- le moteur de déformations était une va-
formations α et α qui n’a pu s’expri- étudiée a pour rayon externe R s’est ) f LL , TT mer librement lors de la maturation du fait constitué par empilements successifs de de l’effet du tronc interne massif. couches radiales de bois d’épaisseur dR, depuis R (rayon de la moelle résultant de 0 De déduit : (1) (2), et on la croissance primaire) jusqu’à R . f L’état des contraintes de maturation à l’instant R en un point repéré par ses co- f ordonnées (r,&thetas;) dans la section actuelle dans l’état final, noté σ (r,&thetas;,R est donc ), f Les déformations résiduelles enregis- défini par la somme des contraintes de trées lors de la libération des contraintes maturation accumulées en ce point depuis internes à la surface de l’arbre sont la dif- sa création à l’instant rsoit : férence entre la tendance naturelle origi- nelle du matériau, c’est-à-dire les déforma- tions de maturation et la partie de cette tendance qui n’a pas été gênée lors de la maturation. que Supposons alors le tronc interne où ∂σ (r,&thetas;,R) est l’incrément de contraintes soit suffisamment massif (dR « R) et ri- point M(r,&thetas;) dû à sa propre maturation au gide pour que dLL et dϵ soient très TT ϵ ∂σ(r,&thetas;,R) pour r < R≤R est l’incrément de f faibles par rapport aux déformations in- contraintes au point M(r,&thetas;) dû à la matura- duites α et α ce qui pourra être vérifié tion des points en différenciation au rayon LL , TT a posteriori pour chaque application, la R. des déformations résiduelles mesure Un programme de calcul a été écrit donne directement accès aux grandeurs (Fournier, 1989; Fournier et al, 1990a) qui rhéologiques cherchées &LL et &TT Cette alpha; . alpha; prmet le calcul de σ (r,&thetas;,R à partir d’une ) f mesure, répétée en plusieurs points de la formulation discrétisée du problème en N circonférence, permet alors naturellement pas d’itérations en superposant numéri- d’évaluer par lissage le profil α (&thetas;), LL quement les états mécaniques analyti- (&thetas;). TT α ques, calculés avec l’outil exposé au para- α reste une grandeur inconnue. Le graphe Effet de la maturation d’une couche RR calcul montre (Archer et Byrnes, 1974; élémentaire, entre R et R + dR, de N crois- Fournier, 1989) que dès lors que les hypo- sances et maturation successives de la thèses ci-dessus (tronc interne insuffisam- couche externe d’épaisseur ΔR Q R= ment gros et rigide) sont satisfaites, α RR R au pas Q : Q-1 - n’est pas gênée (l’épaisseur de nouvelle couche externe varie librement lors de sa maturation) et n’influence donc pas les dis- tributions de contraintes dσ. Par la suite, nous choisirons donc arbitrairement pour où est l’incrément de contraintes (r,&thetas;) σQ Δ le calcul numérique α = α point M(r,&thetas;) dû à sa propre maturation, RR TT. au c’est-à-dire celle de la couche Q où M a été créé et différencié; (r,&thetas;) est l’incrément Contraintes de maturation à l’instant f R de contraintes au point M(r,&thetas;) dû à la matu- ration des couches suivantes q > Q. Un arbre observé à l’instant R (c’est-à-dire Ce logiciel de calcul semi-analytique, f à l’instant où la section droite de référence qui donne les résultats sous la forme d’un
des situations de croissance endogènes fichier «position - contraintes» en chaque (architecture de l’espèce, génotype) ou point r situé au centre de chaque couche Q liées au milieu (station, sylviculture). Q, est un complément aux formulations analytiques proposées par Kubler (1959a utile de proposer Il donc est une et b) d’une part (qui postule la symétrie de «stratégie» d’expérimentation numérique, révolution du problème, ainsi que l’isotro- à partir d’une situation de référence pie transverse du matériau), par Archer et «standard» définie par un jeu de para- Byrnes (1974) et Archer (1976, 1986a) mètres réalistes. L’influence de chaque pa- d’autre part. Il permet en effet de simuler ramètre (sens de variation, sensibilité) des variations radiales très générales (de ensuite étudiée par rapport à ce sera la fibre torse, du comportement élastique «standard». et du comportement à la maturation) dont conduit à de la bibliographie L’analyse l’étude est au c&oelig;ur des préoccupations ac- définir : tuelles des recherches sur la qualité des une section droite «standard» circulaire, bois (bois juvénile des essences à crois- - de droit fil, de rayon R comportant une , f rapide). sance moelle assimilée à un trou (c’est-à-dire faite d’un matériau de rigidités né- gligeables par rapport à celles du bois); APPLICATION AU FEUILLU «STANDARD» le comportement élastique du bois vert - feuillu standard (tableau I) à partir du com- portement moyen du bois feuillu sec à l’air Le feuillu «standard» (H≈ 12%) de masse volumique p = 0,65 g/cm (Guitard, 1987, El Amri, 1987; 3 L’outil de calcul construit s’appuie sur une Guitard et El Amri, 1987) et de corrections modélisation mécanicienne de l’apparition moyennes d’humidité proposées par diffé- des contraintes internes de maturation, qui Cote, 1968; (Kollman et auteurs rents repose sur la modélisation des consé- Palka, 1973; Guitard, 1987); quences dans l’arbre d’un comportement le comportement du bois feuillu standard - rhéologique particulier du bois lors de la à la maturation défini par une hétérogénéi- différenciation cellulaire. L’intérêt d’un tel té circonférentielle : outil est moins de s’adapter avec précision à une situation expérimentale donnée que de permettre, par des simulations succes- sives, de qualifier et de quantifier les varia- Le choix d’un comportement standard tions d’état de contraintes entre deux situa- et des valeurs numéri- «dissymétrique», tions données, définies par des variations , &1ahplaij; ialph &0aj; ques des coefficients figurées et du jeu de paramètres d’entrée du modèle : dans le tableauI s’appuie : rayon de la section droite, propriétés élasti- sur l’observation de déformations rési- - ques du bois et déformations de matura- duelles toujours dissymétriques sur la cir- tion avec leurs hétérogénéités respectives. conférence dès que leur ordre de grandeur Ces paramètres qualifient en effet la géo- significatif (Saurat et al, 1976; Lang- est métrie de l’arbre et la nature de son bois bour, 1986; Archer, 1986a); (son plan ligneux, sa microstructure et son sur les valeurs de déformations rési- ultrastructure et la localisation de singulari- - duelles longitudinales négatives habituelle- tés telles que bois juvénile ou bois de réac- ment mesurées à la surface des arbres tion...) et peuvent a priori être reliées à
déformations de maturation étant un para- (Archer, 1986; Kubler, 1987) qui montrent ordre de grandeur de 1 000 microdéfor- mètre rhéologique, leurs variations peu- un mations (0,1%) (habituellement retenu par vent être reliées à des variations de la les expérimentateurs pour le choix de cap- structure du bois et en particulier (cf La teurs extensométriques); maturation du bois, moteur d’apparition de contraintes internes) de son ultrastructure les observations de certains auteurs sur - (Watanabe, 1965; Boyd, 1972; Archer 1978; Archer, 1986a), qui et al, (Sasaki la déformation résiduelle 1986a, 1987, 1988; Bamber, 1987; Yama- montrent que mesurée à la surface et al, 1988; Gril, 1988). tangentielle positive moto des arbres est de l’ordre de 2 fois la défor- mation longitudinale; sur les observations de cisaillements ré- Résultats de la modélisation - siduels mesurés dans le plan LT très tridimensionnelle faibles (Archer, 1986a; Fournier, 1989), qui montrent que l’hypothèse d’un compor- Dans le cas présent, d’une hétérogénéité tement orthoprope du bois à la maturation circonférentielle sinusoïdale de comporte- est licite. ment à la maturation l’état des contraintes Il convient toutefois de souligner que est défini par : les variations interarbres des déformations une partie moyenne et une partie dissy- de maturation restent grandes, de même - métrique en sin&thetas; pour les composantes &rr , sigma; que les variations intra-arbres (longitudi- nales, radiales et circonférentielles). Les σsateht&;sateht&,; σ ; zz
tées par leur propre maturation (tension in- une partie dissymétrique en cos&thetas; pour la - itiale) puis par les maturations des composante &r&thetas; .sigma; couches suivantes qui les ont progressive- Les composantes σ et &zr sont nulles z&thetas; sigma; ment comprimées, compte tenu de l’hypo- en raison de l’absence de fibre torse et de thèse d’un retrait de maturation longitudi- conicité du tronc. Les résultats sont alors nal tout au long de la croissance de l’arbre, présentés sur la figure 1, le long du dia- les zones les plus anciennes sont donc les mètre de plus grande dissymétrie (c’est-à- plus comprimées. dire &thetas; ± 90°, R≤ r ≤R pour &rr &thsigma;; 0 ) f , &,sateht&;sate sigma; = du comportement à la La dissymétrie σ sur le rayon &thetas;=0° pour σ Ils sont , zz . RT maturation induit naturellement une dissy- comparés aux valeurs calculées avec le métrie de σ à la surface, qui se tra- ) f (R zz même jeu de paramètres en utilisant la for- duit par une dissymétrie à l’intérieur du mulation analytique d’Archer (Archer et tronc. Le gradient de contrainte longitudi- Byrnes, 1974; Archer, 1976). nale &zz / ∂r, souvent considéré comme part;σ La composante longitudinale σ (R zz f ) responsable des courbures importantes est classiquement une tension moyenne observées sur les débits au sciage, varie sur la circonférence externe, équilibrée à donc fortement d’une face à l’autre : en ac- l’intérieur par une compression (Kubler, cord avec les constatations des scieurs, la 1959a; Archer et Byrnes, 1974; Archer, position du débit, l’orientation du trait de 1986a) maximale au c&oelig;ur. De fait, la scie et le plan de débit par rapport à cette couche externe n’a subi que les effets de face (sciage en plot, avec retournement) sa propre maturation où son retrait de ma- auront donc a priori des conséquences im- turation gêné s’est traduit par une tension. portantes sur les déformations des pièces Alors que les zones internes ont été sollici- extraites.
L’ordre de grandeur des contraintes lon- turations de toutes les couches posté- gitudinales &zz est très supérieur (d’envi- rieures. sigma; ron 10 fois) à celui des contraintes trans- Enfin, la prise compte d’une dissy- en verses. Dans l’esprit de la résistance des métrie angulaire montre que sur la face &thetas; = matériaux classiques appliquée aux 90°, la différence σ &rr atteint son maxi- &thetas;&thetas; sigma; - poutres, cela justifie d’imaginer une ana- mum non pas à la surface mais en un lyse unidirectionnelle découplée (Fournier, rayon intermédiaire r ≈ 0,2R de plus &r&thetas; f où sigma; 1989) pour la modélisation et l’estimation est grand, ce qui pourrait favoriser, à cet expérimentale de ces contraintes longitudi- endroit, sur cette face la moins contrainte, nales et des déformations longitudinales le déclenchement de fissurations telles des débits, analyse implicitement adoptée que des roulures. par d’autres auteurs (Kubler, 1959a; Post, Lorsqu’on compare les distributions de 1979; Gillis et al, 1979; Bege, 1982). contraintes calculées pas à pas avec La composante tangentielle σ est ) f (R &thetas;&thetas; celles proposées par Archer (Archer et une compression moyenne à la surface, et Byrnes, 1974; Archer, 1976, 1986a), il ap- tension interne, maximale une au c&oelig;ur paraît que les valeurs calculées numéri- (Kubler, 1959b; Archer et Byrnes, 1974; quement à chaque pas sont très proches, Archer, 1986a). La dissymétrie du compor- excepté dans les toutes premières tement à la maturation se traduit par une couches, les plus internes. De fait, les mo- dissymétrie de σ à la surface, et à ) f (R &thetas;&thetas; dèles d’Archer et de Kubler conduisent à l’intérieur du tronc. Notamment, alors que des valeurs infinies au voisinage de l’axe, le modèle classique de Kubler (1959b) car ils ne raisonnent pas à partir d’un prévoit que la valeur de r où &&thsigma;sateht&;sate ; s’annule noyau primaire (une moelle) de dimension est constante, égale à r =3, il apparaît /R f et de propriétés élastiques données. ici que &t& hsigma;sateht&;sate ; s’annule autour de r 0.4 R f tenu du peu d’informations Compte dispo- = sur la face la plus contrainte (ie pour &thetas; moelle (l’assimilation à un nibles sur cette = 90°), autour de r = 0.15 R sur la face op- f trou depuis le début de la croissance cam- posée. Ces valeurs ne représentent qu’un biale est sans doute abusive) et de son ordre de grandeur et dépendent du com- peu d’influence sur l’état des contraintes portement élastique du bois et de l’intensi- loin de l’axe, nous ne discuterons pas plus té de la dissymétrie, rien ne justifie donc loin ce problème. Il faut cependant rester de localiser a priori l’endroit où &t& hsigma;sateht&;sate ; est conscient de ce que les modèles classi- nulle. ques sont à reconsidérer pour de très jeunes axes ou pour des espèces particu- La composante radiale &rr nulle à la , sigma; lières où la moelle a des dimensions im- surface et à l’interface avec la moelle, est portantes. une tension radiale moyenne (Kubler, 1959b; Archer et Byrnes, 1974; Archer, 1986a) maximale au voisinage de la CONTRAINTES DE CROISSANCE moelle, plus élevée sur la face &thetas; -90°, la= DANS L’ARBRE : SUPERPOSITION plus tendue (longitudinalement). DES CONTRAINTES DE SUPPORT La dissymétrie induit également une ET DE MATURATION - CONTRAINTES contrainte de cisaillement σ proportion- , r&thetas; RÉSIDUELLES DANS UNE GRUME nelle à cos&thetas;, donc maximale sur l’axe &thetas; = 0°, nulle sur l’axe &thetas;= ± 90° (Archer, 1976). Un point du tronc supporte en perma- Cette composante reste faible, elle est maximale près du c&oelig;ur, dans les zones nence, outre des efforts de courte durée les plus anciennes, sollicitées par les ma- poids (dus gel, vents, aux occa- au aux
tions résiduelles dans l’arbre. Il en va a sionnels de neige ou de givre...) aux effets priori différemment à l’intérieur de l’arbre : supposés réversibles, des contraintes dues au support du poids propre de la la figure 2 représente la composante longi- structure, étudiées dans la première partie tudinale des contraintes de croissance, su- perposition des contraintes de support &zz de la présente publication, et des sigma; dues au moment fléchissant et à la com- contraintes de maturation que nous ve- pression exercée par le poids propre (par- nons d’analyser. En l’absence d’autres chargements permanents identifiés dans le tie 1) et des contraintes de maturation, bois de tous les arbres, la superposition de dans le cas «standard». L’allure de la dis- ces deux effets donne lieu à ce que nous tribution des contraintes de croissance ap- paraît conditionnée par celle des appellerons les contraintes «de crois- sance». Les contraintes excercées en un contraintes de maturation, ce qui peut justi- point du tronc par le poids propre supporté fier de négliger en première approche les contraintes de support pour décrire les dis- sont d’autant plus faibles que ce point est tributions de contraintes internes de crois- proche de la surface. Au voisinage de l’as- sise cambiale, les contraintes de crois- sance dans l’arbre sur pied. Une interpré- tation plus précise est délicate, en sance se limitent donc aux contraintes de l’absence de données sur l’histoire du maturation, ce qui a justifié le raisonne- ment du paragraphe Évaluation expéri- chargement et de la géométrie de la ligne mentale des déformations de maturation à moyenne de l’arbre qui permettraient d’es- timer la distribution des contraintes de sup- la surface de l’arbre sur pied, pour estimer port (qui dépendent des déformées suc- des paramètres rhéologiques du bois en différenciation, les déformations de matu- cessives de la tige et de la cinétique de ration, à partir des mesures de déforma- mise en place du poids supporté). Nous
des extrémités du billon, ces dernières pouvons toutefois remarquer que, dans le sont les contraintes dues à la suppression présenté d’un arbre qui se serait incli- cas né régulièrement dans une direction fixe, du torseur équivalent au poids total sup- négliger l’apport des contraintes de sup- porté dans l’état final (Fournier et al, port aux contraintes de croissance conduit 1990b), et ne sont pas, du fait de la cinéti- à surestimer les gradients radiaux &zz / part;σ que de mise en place du chargement exer- ∂r, donc les courbures longitudinales des cé par le poids propre dans l’arbre, l’oppo- sciages, sur la face la plus tendue &thetas; sé des contraintes de support (voir partie = - 90°, et à les sous-estimer en contrepartie 1).Comme schématisé sur la figure 3, la sur l’autre face. composante longitudinale résiduelle com- porte donc, outre la composante des Ce raisonnement peut être poursuivi contraintes de maturation, une compo- pour l’interprétation des déformations rési- sante résiduelle de support. Comme énon- duelles mesurées dans un billon lors de cé précédemment, il peut être justifié d’in- découpes successives en vue de reconsti- terpréter qualitativement en première tuer la distribution originelle des con- approximation ces contraintes internes traintes internes de croissance ou de ma- des contraintes de maturation bien comme turation dans l’arbre (Archer, 1986a; Ku- que l’influence éventuelle des contraintes 1987). Conceptuellement, les bler, résiduelles de support ne soit pas forcé- contraintes internes dans un billon sont la ment négligeable : à la surface par superposition des contraintes de matura- exemple, l’abattage induit des déforma- tion, des contraintes de support dans tions dues au moment fléchissant suppri- l’arbre sur pied et des contraintes exer- mé, qui peuvent atteindre quelques cen- cées par l’abattage et le tronçonnage. Loin
taines de microdéformations sur un indivi- CONCLUSION du fortement incliné, positives en &thetas; 90° = (face «comprimée», négatives en &thetas; -90° = Une modélisation de l’apparition de (Fournier et al, 1990b). Les déformations contraintes internes dans le bois d’un arbre résiduelles mesurées à la surface du billon sur pied a été proposée à partir d’une diffèreront donc de ces quelques centaines schématisation rhéologique simple de la de microdéformations de celles que l’on différenciation cellulaire et de la simulation aurait mesuré sur l’arbre (Okuyama et al, de la croissance cambiale couche par 1983). Les déformations qui traduisent le couche. Elle généralise celle proposée par mieux les déformations de maturation sont Archer (Archer et Byrnes, 1974; Archer, celles mesurées dans l’arbre sur pied, à la 1986a); elle rejoint dans ses résultats les surface, puisque ce bois ne participe que modèles proposés par d’autres auteurs très faiblement au support du chargement. (Boyd, 1950; Kubler, 1959a et b) en insis- Ces déformations sont des caractéristi- tant toutefois sur la notion de «déformation ques rhéologiques du changement d’état de maturation» gênée lors de l’édification du bois lors de ses premières semaines de de la tige. Il s’agit donc d’une modélisation croissance (voir paragraphe Évaluation ex- «mécaniste», qui cherche à décrire, à périmentale des déformations de matura- l’échelle de la section droite de la tige et du tion à la surface de l’arbre sur pied), c’est- bois macroscopique, les phénomènes qui à-dire des caractéristiques locales du bois conduisent à l’apparition des contraintes à l’endroit du point de mesure que l’on peut de croissance. donc chercher à relier à son ultrastructure, Elle donne alors lieu à la conception à sa nature «bois juvénile» ou «bois de ré- d’un outil de simulation très général. Celui- action»... Par contre, pour étudier l’état ci intègre en effet les modèles précédents des contraintes dans un billon et leurs mais permet d’imaginer la simulation de si- conséquences mécaniques (déformations, tuations variées : hétérogénéités radiales, ruptures des pièces sciées) il faut a priori circonférentielles, fibre torse. L’application étudier l’influence de chaque opération de a ici porté sur une situation de référence débit en superposition au champ de «standard» qui servira ultérieurement de contraintes initial dans l’arbre, influence qui référence pour l’étude de ces situations va- ne dépend pas que de la nature du bois à riées (Fournier, 1989; Fournier et al, l’endroit où les contraintes s’exercent, mais 1990a). aussi de toute la structure de la pièce et de l’arbre dont elle est issue. Les contraintes Sous réserve que les contraintes dues résiduelles de support à l’intérieur de la support du poids propre restent né- au grume sont alors difficilement chiffrables. gligeables, le modèle permet de relier le comportement du bois différencié à cha- Dans la plupart des cas, nous pouvons que étape de croissance cambiale aux donc admettre que la distribution des contraintes de croissance, chargements contraintes de maturation donne l’allure et permanents dans l’arbre libérés de l’abat- l’ordre de grandeur des contraintes de tage à la transformation (avec d’éventuels croissance dans l’arbre et des contraintes résiduelles dans une grume (loin des ex- effets néfastes sur les produits). Il laisse trémités et en l’absence de fentes d’abat- donc envisager la possibilité de relier des tage), et réciproquement. Il faut cependant paramètres technologiques caractéristi- ques de l’aptitude à la transformation (les garder d’interprétations trop précises, se notamment lorsque les déformations rési- contraintes résiduelles dans les débits) à duelles sont faibles (≈ 0,01 %). des paramètres de la structure du bois
formé dans l’arbre, donc liés à la biologie les champs de déformations associés- - de l’individu, et contrôlés par des facteurs notés de façon analogue &p dans chaque Delta;ϵ couche - entre un état initial naturel et un endogènes (génétiques, architecturaux) état final où la déformation induite de ma- ou exogènes (climat, sol, sylviculture). Une telle idée est à la base d’un pro- turation est apparue dans la couche ex- scientifique pluridisciplinaire terne; gramme «architecture, structure, mécanique de les champs de contraintes dans l’état - l’arbre» en cours de développement, finan- final notés &p dans chaque couche. Delta;σ cé par le ministère de la Recherche et de En l’état actuel, le logiciel de calcul com- la Technologie, réunissant spécialistes de porte 2 modules, l’un pour les problèmes la mécanique, de l’anatomie du bois et de axisymétriques (traction-compression- la biologie des arbres (Thibaut, 1989; torsion et champ de déformation induite in- Loup et al, 1990). dépendant de la coordonnée angulaire &thetas;), l’autre pour les problèmes asymétriques d’ordre 1 (flexion et champ de déformation ANNEXE induite dépendant sinusoïdalement de &thetas;). Un problème tel que la maturation du Résumé des formules de calcul utiles à la feuillu standard, qui comporte une partie à conception du logiciel de simulation de symétrie de révolution (l’effet de la valeur l’état tridimensionnel des contraintes dans moyenne de la déformation de maturation billon. un ) 0 α et une partie d’ordre 1 (l’effet de la dis- symétrie angulaire &1 est résolu par su- ) alpha; perposition, en utilisant successivement Données nécessaires les 2 modules). à la résolution du problème mécanique Le comportement des 3 zones est choi- de la formation et de la maturation élastique : chaque couche est homo- si d’une couche élémentaire périphérique gène orthotrope cylindrique, son com- et d’épaisseur ΔR portement étant défini en tout point par les rigidités C (Cp Le logiciel p ij tenseurs des ). La structure tronc, cylindrique circulaire, de calcul permet de définir les directe- , ii C est définie par N couches radialement c ment (en rentrant les 9 valeurs) ou en utili- concentriques de propriétés élastiques sant les modèles «standard» (à partir donc (Cp (p 1...N Dans l’application au ij ). p = de la masse volumique du bois sec à l’air) feuillu standard, 3 couches sont utiles à la (Guitard, 1987); une option permet de ren- modélisation : un noyau central de rayon trer des rigidités nulles pour la moelle. R la moelle, supposée, en l’absence d’in- , 0 Pour les problèmes axisymétriques, il est formations plus précises, de rigidités né- possible de tenir compte d’une fibre torse gligeables, une bille de bois, le tronc pré- ψ définie dans chaque couche. , p existant de rayon R, une nouvelle couche La sollicitation mécanique caractéristi- externe d’épaisseur ΔR, qui va être le que du problème est donnée : par la sollici- siège d’une déformation induite α. tation externe globale sur la section droite : Nous cherchons : effort normal de traction ou compression, les champs de déplacements, notés &p moment fléchissant, moment de torsion; Delta;u - , r p (Δu ,z &p &p thetas; Delta;u Delta;u ) dans chaque couche, (r, &thetas;, pour les problèmes de contraintes in- sont les indices associés aux coordon- ternes, sous la forme d’une série polyno- z nées cylindriques liées à l’axe du tronc; miale de la coordonnée radiale r dans cha-
que couche : α 0p Σ rj pour les pro- j &0p alpha; = blèmes à symétrie de révolution α 1p Σ = rj pour les problèmes d’ordre 1. Dans j 1p α le cas de l’application au feuillu standard 00 &03 &13 alpha; alpha; étudiée ici, seul sont non nuls. et Forme générale de la solution du problème mécanique de la formation et de la maturation d’une couche élémentaire périphérique d’épaisseur ΔR La résolution est semi-analytique : à partir des équations d’équilibre (div dσ 0), = écrites en déplacement dans chaque couche (Guitard, 1987, chapitre 5), la forme générale des déplaceme est inté- grée. Puis, à partir de la définition des dé- formations &ij; par dérivation des déplace- Delta;&epsiv ments, le champ des contraintes est calculé en utilisant la loi de comportement dans chaque couche &p C (p α Delta;σ p Δϵ p -) : = axisymétrique : cas -
aP et b définis par : p c définis par : p i et d A3 A4 sont des constantes d’in- A1, A2, , pp et : tégration, à déterminer en fonction des conditions aux frontières du problème considéré. A2 0 en l’absence de fibre = torse; puis, asymétrique d’ordre 1: cas - avec :
Aux Nc-1 interfaces, p+1 r Δu P(Rp) r Δu = (Rp) et Δσ Δσ (Rp) (Rp). p p+1 rr rr = A, sont des constantes d’inté- Lp, Mp, U p à déterminer en fonction des gration, conditions aux frontières du problème considéré. Détermination L’ensemble de ces conditions, qui sont des constantes d’intégration bien au nombre de 1 + 1 + 2 (Nc- 1) + 2 = 2Nc + 2, écrites en utilisant la forme géné- rale définie au paragraphe Forme générale Les conditions limites sont : aux de la solution du problème... forme donc interfaces entre 2 couches succes- aux - un système linéaire permettant sans ambi- sives p et p + 1, il faut assurer la continuité guïté de déterminer A1, A2, A3 , p A4p p = des déplacements ainsi que la continuité 1...Nc. Ce système est résolu numérique- des contraintes qui s’exercent sur toute fa- ment (Méthode de Gauss avec Pivot Par- cette de ces interfaces : &rr &r&thetas; et &rz , Delta;σ ; Delta;σ Delta;σ tiel). à la surface externe de la nouvelle - couche, l’effort exercé par le milieu exté- Cas asymétrique d’ordre 1 rieur soit le phloème ou l’écorce sera négli- gé; les conditions aux limites sont donc Les 3Nc 1 constantes A, du Lp, M U , pp + des contraintes nulles &rr &r&thetas; et &rz sur , Delta;σ Delta;σ Delta;σ sont déterminées comme suit. problème toute facette de cette surface; Dans la première couche, les déplace- en Z ±h, dans une grume abattue les - = ments sont finis sur l’axe donc M est nul. , 1 conditions aux limites sont des conditions De plus, Up représente un déplacement de de bord libre, mais dans un arbre, le houp- corps solide de la couche p selon x. Or, pier et la patte jouent un rôle de «frette»; pour fixer le déplacement de corps solide, les efforts qu’ils exercent sont complexes. le point 0 a été supposé immobile, donc Nous admettrons classiquement des =0. 1 U conditions intégrales sur le torseur des ef- Les fonctions de la variable r, &rr cos&thetas; p/ Delta;σ forts appliqués; d’où les conditions énon- &r&thetas; / sin&thetas; identiques. Cela peut et sont p Delta;σ cées ci-dessous. les expressions des montrer se sur contraintes ci-dessus compte tenu des dé- Cas axisymétrique finitions de λp, μp, aP, bP, c et d mais pp ii , apparaît aussi directement sur les équa- Les 2Nc 2 constantes A1 A2, , p A3 A4p + tions d’équilibre exprimées en contraintes : (p= 1...Nc) d’un problème particulier sont déterminées par les 2Nc + 2 conditions suivantes du problème particulier. La première couche contient l’axe r = 0, donc pour assurer des déplacements finis 1 0. sur l’axe, A4 =
RÉFÉRENCES Siσ F(r) cos&thetas;, &t&psateht&;satehsigma;; H(r) cos&thetas; et &&thetas; p rr psigma;r = = G(r) sin&thetas; alors ces équations impliquent = Archer RR, Byrnes FE (1974) On the distribution en éliminant G(r) que d (r F) / dr= d d (r G) / of tree growth stresses, part I: an anisotropic drd’où le résultat. plane strain theory. Wood Sci Technol 8, Les conditions au bords r R se limitent = 184-196 donc à l’unique condition Δσ 0. (1) rr Nc = Archer RR (1976) On the distribution of tree growth stresses, part 2: stresses due to De même, les conditions aux Nc - 1 inter- asymmetric growth strain. Wood Sci Technol faces se réduisent à la condition σ ) (R p rr 10, 293-309 et aux 2 conditions de conti- ) p (R p+1 rr σ = Archer RR (1986a) Growth stresses and strains nuité cinématique u ). (R p p+1 (R r +1 u ) p et ) (R p r = in trees. Springer series in wood science. )) (R (R pp &thetas; &thetas; &thetas; u u up = = E Timell, Springer Verlag, Berlin Archer RR (1986b) Application of a new method intégrales se limitent à la Les conditions for growth stress measurement to Pinus cari- baea. Proc IUFRO, Proj Group P 501, Pro- condition : perties and utilization of tropical woods, Ma- naus, Brazil (19-23 novembre 1984) (1987) On the origin of growth Archer RR part 1: micromechanics of stresses in trees, the developing cambial cell wall. Wood Sci Technot 21, 139-154 L’ensemble de ces (1 + 1 + 1 + 3(Nc- 1 ) + Archer RR (1989) On the origin of growth 1) 3Nc+1 conditions, forme un système = stresses in trees, part 2: stresses generated linéaire qui détermine de façon unique A, in a tissue of developing cells. Wood Sci L Lp, Mp, Up (p 2 à Nc). Ce système , 1 Technol 23, 311-322 = est résolu numériquement. Bamber RK The of origin growth (1987) stresses: a rebuttal. IAWA Bull ns, vol 8 (1), 80s-84s IAWA Formulation du modèle d’accumulation P (1982) Détermination de la distribution Bege des contraintes de croissance dans les es- sences feuillues. Analyse des résultats en La formation d’un arbre est une succes- métropole. Compte rendu de fin d’étude sion de n transformations élémentaires. DGRST, centre technique du bois, Paris Un programme numérique permet de si- Boyd JD(1950) Tree growth stresses 1. Growth muler les transformations successives, en stress evaluation. Aust J Sci Res B, 3, 270- 293 calculant à chaque pas Q, les déplace- ments, les déformations et l’incrément de Boyd JD (1972) Tree growth stresses V. Evi- dence of an origin in differentiation and lignifi- contraintes en des particules données sur cation. Wood Sci Technol 6, 251-262 le rayon, pour obtenir finalement par su- Cinotti B (1989) La gélivure des chênes : front points matériels (ap- perposition σ en ces de gel source de contraintes internes, inci- parus au fur et à mesure de la croissance dence des propriétés anatomiques et méca- radiale). Il a été vérifié que dès que le nophysiques. Thèse de Doctorat de l’INP de nombre d’itérations est suffisant, les solu- Lorraine tions trouvées ne dépendent pas significa- El Amri F (1987) Contribution à la modélisation tivement de la largeur de la couche élé- élastique anisotrope du matériau bois, mentaire; les résultats seront donnés pour feuillus et résineux. Thèse de Doctorat INP 50 pas, pour un pas ΔR constant. Q de Lorraine
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