Báo cáo khoa học: "Mécanique de l’arbre sur pied : modélisation d’une structure en croissance soumise à des chargements permanents et évolutifs. 1. Analyse des contraintes de support"

Chia sẻ: Nguyễn Minh Thắng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

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Article original Mécanique de l’arbre sur pied : modélisation d’une structure en croissance soumise à des chargements permanents et évolutifs. 1. Analyse des contraintes de support B Thibaut B Chanson D Guitard M Fournier 1 CNRS, UMR C023, INRA laboratoire de rhéologie du bois de Bordeaux, domaine de l’Hermitage, BP 10, 33610 Cestas Gazinet; 2 CNRS, URA 1214 laboratoire de mécanique et de génie civil, 34095 Montpellier Cedex 5, France université de Montpellier II, place Eugène-Bataillon, le 3 juin (Reçu le 5 février 1991; accepté 1991 ) d’analyse des contraintes mécaniques supportées par le bois de l’arbre Résumé — Une méthode proposée, qui tient compte de la croissance secondaire. Elle est appliquée à l’étude des pied est sur contraintes longitudinales engendrées par le poids propre supporté par la tige, chargement perma- nent à l’échelle de la croissance du tronc. Les distributions d’efforts ainsi calculées sont tout à fait inattendues : d’une part, les niveaux de contraintes sont très faibles partout à la périphérie de la tige, là où le bois est très jeune donc sollicité depuis peu de temps; d’autre part, la localisation à l’intérieur de la tige et le niveau de chargement des parties les plus tendues ou comprimées ne dépend pas seulement de l’état actuel observable mais de toute l’histoire de l’arbre. Les notions intuitives de «face tendue ou comprimée» sont donc à reconsidérer. L’illustration de ces conclusions est faite à travers plusieurs situations numériques réalistes : cas de l’arbre vertical parfaitement symétrique, d’un houppier qui s’excentre dans un plan fixe plus ou moins vite ou qui se redresse, d’un houppier qui s’excentre en changeant de direction. mécanique de l’arbre / fonction de soutien / contrainte mécanique / croissance secondaire of standing trees: modelling a growing structure submitted to Summary — Mechanics continuous and fluctuating loads. 1. Analysis of support stresses. A general analysis of me- chanical stresses which develop in stems as the tree grows in weight and volume is presented and applied to the study of the distribution of longitudinal stresses due to the self weight supported. Com- pressive and bending loads, the main loads due to weight supported, are analysed using simple con- cepts of beam theory. The effect of radial growth is taken into account. Compared to the classical distribution of stresses in a non-growing initially straight cantilever beam and fully loaded at a given moment in time, the stress patterns so calculated are totally unconventional: on the one hand, stress values are very low everywhere at the stem surface where young wood has been loaded for a short time; on the other hand, the positions and values of maximal tensile or compressive stresses de- pend not only on the actual state but on the entire history of the tree. The intuitive concepts of "ten- sile or compressive face" must be reconsidered. These conclusions are shown by several realistic numerical simulations: in the case of the symmetrical straight tree (fig 3), near the pith where the wood is older, compressive stresses can be 3-6 times greater than the uniform stresses calculated from the standard distribution of the whole weight on the final cross-section. In the case of the tree which offsets its crown eccentrically in a fixed direction (fig 4), the greater stress is not at the sur- face: the more recent the offset is, the nearer to the surface is the position of greater stress. The case of the tree which straightens its eccentric crown in a fixed direction (fig 5), clearly shows that a
tree which is straight at the present time can undergo quite high tensile or compressive stresses In- side. In the case of the tree with an eccentric twisting crown (fig 6), the position of greater tensile or compressive stresses is not in the axis of the bending observed at present, but depends on the histo- ry of twisting. standing tree mechanics / support function / mechanical stress / secondary growth INTRODUCTION MODES PRINCIPAUX DE SOLLICITATIONS LIÉS AU SUPPORT DES MASSES PAR Les termes de «face tendue ou compri- UNE TIGE : COMPRESSION, FLEXION mée» sont souvent employés par le fores- tier ou le technologue devant l’arbre sur Considérons un arbre, supportant, au ni- pied assymétrique, incliné ou flexueux. d’un billon élémentaire, un poids P Ces qualificatifs traduisent une observa- veau tion géométrique dans l’état actuel de dont le centre de gravité est A (fig 1).Avec les concepts classiques de la résistance l’arbre, en termes de distribution locale d’efforts dus au support du houppier, en des matériaux appliquée aux poutres (La- utilisant les concepts de la résistance des roze, 1980), le support de cette masse se matériaux classique, qui analyse l’état traduit par différents modes de sollicitation, d’une poutre déformée dans l’instant ac- dépendant de la géométrie de l’arbre. tuel, mais initialement droite. Or, de tels Dans le but de retenir la description géo- raisonnements ne décrivent pas la méca- métrique de complexité minimale apte à nique de l’arbre en croissance, qui n’est ja- rendre compte de la réponse mécanique mais une poutre droite verticale, et qui de l’arbre au niveau d’une section du fût, s’épaissit progressivement par l’activité nous nous limiterons ici à une schématisa- cambiale, en même temps qu’il s’alourdit. tion d’un tronc vertical droit avec houppier éventuellement excentré. Le poids P se Un outil d’analyse des états mécani- traduit alors par une sollicitation combinée ques successifs de la section droite de la de compression et de flexion pure, carac- tige en croissance, soumise à des efforts térisée par : de longue durée (c’est-à-dire dont les vi- tesses de variations sont d’un ordre de un effort normal de compression : - grandeur comparable à la vitesse de crois- sance radiale) est donc proposé, qui conduit à la remise en cause de l’idée tra- ditionnelle d’une distribution de contraintes un moment fléchissant d’intensité P e - longitudinales linéaire sur la section droite, dans le plan (z.δ), dont les composantes en tension maximale sur une face et en selonx et y sont : compression maximale sur la face oppo- sée. Ce travail est réalisé dans le cadre du programme «Mécanique de l’arbre» du où e et δ représentent respectivement l’in- groupement scientifique «rhéologie et mé- tensité et la direction de l’excentricité du canique du bois». point A dans horizontal. plan un
VARIATION DE L’ÉTAT MÉCANIQUE D’UNE TIGE ENTRE 2 INSTANTS t ET t + dt, PROCHES DANS LE TEMPS La mécanique des solides analyse la varia- tion d’état mécanique, entre deux instants initial et final, d’une structure, dont tous les points matériels ont une position fixée à l’instant initial, et que l’on soumet alors à un chargement. En référence à l’état initial, les déplacements des points matériels de la structure définissent un état de déforma- tions, la répartition locale tridimensionnelle des efforts supportés dus au chargement définit un incrément de contraintes, dans l’état final (Guitard et al, 1989). Nous nous proposons d’appliquer ces concepts généraux au problème suivant : quelle est, entret et t + dt, la variation d’état mécanique, sous son poids propre, d’une tige de rayon R à l’instant t, qui croît de Rà R + dR? Il est, de fait, indispensable d’introduire Entret et t + dt, la masse P augmente la notion d’excentricité du houppier et donc de dP, en même temps que son point d’ap- de sollicitation de flexion. En effet, d’une plication A se déplace (e devient e + de, δ part il est clair que l’arbre ne présente pas devient δ + dδ). le chargement appliqué à forcément une symétrie intrinsèque de ré- l’instant t, entre t et t + dt, est donc en volution (modèle architectural de Troll par termes d’efforts intérieurs sur la section exemple, où l’axe primaire est plagiotrope : droite (par dérivation de (1 )) : Fisher et al, 1981; Edelin, 1989), et qu’il croît rarement dans un environnement iso- compression : une - trope. D’autre part, pour le mécanicien, l’élancement très important de la structure induit rapidement une prépondérance des moment fléchissant de composantes : un - effets de flexion sur ceux de compression (Fournier et al, 1990). x= F dM-e sin(δ) dP La schématisation mécanique pourrait P sin(δ) de- P e cos(δ) dδ (2) - aisément être complexifiée pour tenir y F da= e cos(δ) dP compte de l’inclinaison et de la flexuosité P cos(δ) de- Pe sin(δ) dδ + du tronc (à condition de savoir les décrire géométriquement), elle montrerait alors Les points matériels Q de la section d’éventuels effets de torsion. droite initiale, supposée circulaire, peuvent
être repérés par leurs coordonnées po- laires initiales : Q (r, &thetas;), r≤ R, 0 ≤ &thetas; < 2π (fig )1 . Une question se pose pour poursuivre L’analyse de l’incrément de déforma- démarche rigoureuse : la section fi- une tions dϵ qui conduit à celle de l’incré- , LL nale contient des points Q (r, &thetas;), R < r ≤ R ment de courbure et donc à la description + dR, inexistants dans l’état initial. Com- cinématique des formes successives ment alors définir leur position, puis leur prises par la tige en croissance sous son déformation, puis leur état de contraintes, poids propre a été exposée par ailleurs dans le problème posé ? L’objection est (Schaeffer, 1990; Castera et Fournier, levée si l’on schématise le problème en 1990). Elle ne sera pas développée ici. deux étapes : Le rayon R(t) est caractéristique de étape de croissance sans variation une - l’âge de la section droite; il s’agit donc de chargement, de R à R + dR; d’une fonction bi-univoque de l’instant t. une étape de chargement sans crois- Par la suite, la date t sera donc repérée - secondaire, sur la section finale de par le rayon R(t) et nous écrirons ainsi sance rayon R+ dR. dσ (R, Q) plutôt que dσ (t, Q). LL LL La continuité du phénomène reste res- pectée dès lors que l’on s’intéresse à un ÉTAT MÉCANIQUE DE LA SECTION intervalle de temps dt suffisamment petit. DROITE À LA DATE R f L’analyse de l’étape de chargement de- vient alors un problème classique de résis- La question posée est maintenant : quel tance des matériaux. Le chargement induit est l’état des contraintes σ (Q), dû au LL aux points Q (r, &thetas;) un incrément de support du poids propre, en un point contraintes (3), linéaire en fonction de la Q(r, &thetas;) de la section droite, à l’instant ac- coordonnée radiale r : tuel où R=R ? f Une expression σ &thetas;) (r, LL F qui ne tient pas compte de la croissance radiale 2 π R aire de la , 2 S π (R + dR) avec = = section droite; I = π/4 (R + dR) π/4 R 4 , 4 = Supposons que le poids PP(R excen- ff=), inertie diamétrale de la section droite; x=r tré de ee(R dans la direction δ= δ(R ff=) ff ), r sin&thetas;), distance entre le cos&thetas; (resp y = se rajoute intégralement à l’instant final sur point Q et l’axe y (resp l’axe x) la section déjà formée, de rayon R (d’aire f soit, en utilisant (2) : S S et d’inertie I I Le champ des f ). f = = contraintes σ &thetas;) est donné par la for- (r, LL F mule classique de la résistance des maté- riaux, analogue de (3) sans symbole diffé- rentiel :
Cette expression (4) est linéaire en r, Soit, d’après (3), les tensions et compressions maximales étant atteintes à la surface rR respecti- , f vement en &thetas; = δ + π et &thetas; &f Elle fait ap- f . delta; = paraître un secteur comprimé centré sur &thetas; &fatled,; la contrainte de compression maxi- = male étant atteinte à la surface r=R &thetas; fen =f opposé à un secteur tendu centré sur δ &thetas; = S + π, la contrainte de tension maxi- Cette dernière expression (5) appelle f male étant atteinte à la surface r= R en &thetas; quelques commentaires : pour modéliser f S + π. Dans le but de fixer des ordres f = de grandeurs des contraintes envisagées, elle est représentée sur la figure 2, le long de l’axe de tension-compression maxi- males, et le long de la circonférence à la surface, pour un jeu de données réalistes (R15 cm, P10 000N, e1m). f = f = f= Cette expression (4), correcte lorsque l’on s’intéresse à l’effet d’un effort instanta- né à l’échelle de la croissance de l’arbre (masse de neige, de givre suppression ..., du poids propre (Fournier et al, 1990), est bien entendu fictive lorsque l’on cherche à représenter l’effet du support du poids propre. Elle servira par la suite de réfé- rence. Prise en compte de la croissance radiale Le point matériel Q a été créé, libre de contraintes, à l’instant t où la section r droite avait le rayon R r. Il a alors subi = des variations infinitésimales d’état méca- nique, depuis cet instant initial, jusqu’à l’in- stant actuel t R = R En utilisant les ré- ff où . sultats du paragraphe précédent, il est donc le siège d’un état de contrainte σ LL (Q) tel que :
DONNÉES NÉCESSAIRES la croissance secondaire, nous avons été À L’ANALYSE DES CONTRAINTES amenés à raisonner «pas à pas» pour tenir compte d’une part, des variations de DE SUPPORT la section porteuse (les caractéristiques géométriques S et I augmentent dans le La formulation du problème requiert donc temps et sont donc des fonctions de R) et de se donner les lois d’évolution P(R), e(R) d’autre part, de l’âge différent des points δ(R). et situés sur un rayon de la section droite (la borne initiale de l’intégrale est la date de création r du point Q(r, &thetas;), et non un ins- Poids P(R) tant initial fixe pour les points Q. Les résultats généraux d’études de bio- (Pardé, 1980; Pardé et Bouchon, masse poussent à retenir des lois 1988) nous puissance : de r, la distribution de σ expri- dépend LL mée par (5) n’est donc pas linéaire en r. En particulier, la valeur maximale de σ LL n’est pas atteinte en un point r R de la f = surface finale comme dans l’expression (4) : en ces points, la date de création r de où est le poids total supporté dans l’état f P ces points est l’instant final R et donc σ , f LL et b un paramètre caractéristique de final, est nul. Les points de la surface, créés la cinétique de mise en place du poids tout récemment, ne supportent que l’incré- propre supporté : b 2 signifie que l’arbre = ment de chargement ajouté depuis leur supportait déjà le quart de son poids (P = création, et donc une part infinitésimale du P à la moitié de son diamètre final (R /4) f = chargement total. R /2), alors que b 3 signifie que la f = L’expression (5) montre que la réparti- masse supportée s’est accrue plus tardive- tion des contraintes σ (r, &thetas;) à l’instant ment puisque à R=2, P=P / R /9. ff LL final R dépend de la cinétique de P (R), f e(R) et δ(R), et non des seules grandeurs Lois e(R) et δ(R) P e &fatled ; identifiables à l’instant final. De ,, ff fait, des exemples très simples (Fournier, À 1990) montrent à l’évidence que la réparti- instant donné (et notamment à l’ins- un tion des efforts dans un solide chargé en e et δ sont évaluables, sur des final), tant cours de fabrication dépend des condi- individus de conformation typée, par le re- tions relatives d’élaboration et de charge- levé de la projection au sol du houppier ment. (Fournier et al, 1990).
1979). L’arbre possède donc une potentia- Les lois d’évolution de l’excentricité du lité d’adaptation (phototropisme ou gravi- houppier, fonction de l’environnement et tropisme), sa forme n’est alors plus unique- du programme génétique de l’arbre, ne ment régie par de simples lois physiques sont pas encore, à notre connaissance, «passives», et la description mécanicienne des grandeurs couramment manipulées. doit intégrer les réactions «actives» de la Quelques principes généraux permettent croissance (Fournier, 1989; Castera et toutefois d’imaginer qualitativement des Fournier, 1990). Des scénarios où une tige scénarios types. stoppe son déséquilibre ou même se re- Schématisons tout d’abord l’arbre par dresse (où le sens de variation de e(R) et un simple mât encastré qui croît en dia- δ(R) change de signe) sont donc tout à fait mètre, en supportant, à la hauteur H, une réalistes. masse concentrée P(R) qui croît avec R. schématiques suivantes Les situations Les caractéristiques du «bras de levier» étudiées, à partir de lois puis- seront donc e(R) et δ(R) sont donnés entre R et R if , dans chaque section et à chaque pas R, sance. par la détermination du torseur des efforts (a) de l’arbre parfaitement symétri- cas - répartis sur la structure en tenant compte que : de ses déformées successives. Partant d’une situation légèrement déséquilibrée e (R) petit et δ proche de π/2, à chaque (R) i i instant R, puisque la masse supportée cas (b) d’un arbre dont le déséquilibre e - augmente, les signes de l’incrément de (R) s’accroît, plus ou moins vite, dans un courbure et de la rotation autour de z sont plan fixe δ f : déterminés et conduisent automatique- ment à augmenter le déséquilibre. Selon ces principes, le déséquilibre ini- tial d’une tige ne peut que s’aggraver lors- que le poids supporté augmente, avec des où e est la valeur de l’excentricité du f risques d’atteindre des situations critiques centre de gravité dans l’état final R qua- f et de flambement (Fournier et al, 1988). Les lifie donc le déséquilibre observable dans grandeurs e(R) et δ(R) seraient donc des l’instant final estimable par des relevés fonctions croissantes de R, déterminées dendrométriques usuels (Fournier et al, par la seule action mécanique du poids 1990). Le paramètre ex, positif, qualifie la propre supporté. Cependant, l’arbre, être vitesse avec laquelle ce centre de gravité vivant, ne répond pas à une telle descrip- s’excentre : à e constant, ex élevé signifie f tion simpliste : après une éclaircie ou un que l’excentricité e a augmenté tardive- chablis, il peut occuper l’espace laissé libre ment. en développant ses axes dirigés vers la lu- (c) d’un arbre qui est d’abord désé- mière, et donc accélérer son déséquilibre cas - mécanique. À l’opposé, il peut lutter contre quilibré, puis se redresse, dans un plan fixe : ce déséquilibre par la croissance primaire (par exemple en relayant l’axe leader par un axe secondaire), ou la croissance se- condaire : formation de bois de réaction et redressement des tiges (Wardrop, 1965; Hejnowicz, 1967; Wilson et al, 1977 et
δ initialement égal à &i; évolue linéairement ,atled δ la situation finale. f dans vers Les situations (a), (b), (c), (d) vont don- lieu à des simulations numériques des ner R est le rayon où la réaction de l’arbre se r contraintes σ Le dessin schématique (Q). LL manifeste : l’excentricité e croît de 0 à R r de la morphologie de l’arbre et de son évo- puis décroît de Rà R De Rà R l’arbre rf . rf , lution, est représenté en regard de chaque rééquilibre; se simulation (figs 3-6), pour chaque situa- tion. ex > 0 qualifie la vitesse laquelle avec 1 l’excentricité augmente dans la phase in- e itiale; k > 1 représente l’excentricité maxi- NUMÉRIQUES male du centre de poussée atteinte à R SIMULATIONS = R rapportée à l’excentricité finale e , r , f observable à l’instant final. Les distributions de contraintes (Q) LL δ k, R et ex sont alors pas indépendants ne 2 sont calculées par l’intégration analytique Les comparaisons seront effectuées à déséquilibre égal dans un état R proche i de l’état initial (nous choisirons R R if= /20), c’est-à-dire à e (R e constant. Le para- ) ii = Log ke i / f mètre ex est alors fixé égal à —. 1 Log Rr /R i L’évolution géométrique de l’arbre est alors paramétrée par k, qui est le rapport entre le déséquilibre final et le déséquilibre maximal à R=R k qualifie donc l’intensi- : r té du redressement entre R R rfet . cas (d) d’un arbre dont le déséquilibre e - (R) s’accroît, et qui «vrille» progressive- ment :
s’écrit l’effet de flexion. numérique de (5) dans les différentes L’expression (4) ou situations décrites au chapitre Données alors : nécessaires à l’analyse des contraintes de support, pour diverses valeurs des para- mètres b, ex, k (Fournier, 1989). Les résul- tats sont comparés à σ (Q) donné par LL F l’expression (4) qui ne tient pas compte de la croissance en raisonnant exclusivement Cas (b) d’un arbre sur la géométrie finale. déséquilibre s’accroît, dont le plus ou moins vite, dans un plan fixe Cas (a) de l’arbre parfaitement symétrique L’arbre restant dans le plan contenant &f la , delta; distribution σ (r, &thetas;) est proportionnelle à LL L’effet du poids se limite alors à une com- pression σ La figure 3 représente la (r). LL distribution σ pour différentes cinéti- (r) LL ques de P(R) schématisées par le para- mètre b. f P fonction décroissante rapportée à—, LL σ f 2 πR de nulle à la surface r R peut prendre , f r = près du c&oelig;ur des valeurs 3 à 6 fois plus f P LL &F (Q) sigma; élevées que la constante - = f 2 πR (4). Les valeurs maximales at- prévue par teintes augmentent quand b diminue, c’est- à-dire quand la cinétique est telle que le poids supporté par l’individu jeune, de faible section, est plus important. f P (de l’ordre de Il reste que— est très faible 2 f πR quelques dixièmes de MPa, cf fig 2). À la suite de Martley (1928), nous conclurons donc que l’effort normal de compression dû au poids propre supporté n’a pas d’effet compte de la significatif, même en tenant croissance radiale. suivre, l’effet de Dans tout qui ce va devant donc négligé compression sera
apparaît alors encore plus nettement Il cos(δ &thetas;). La figure 4 représente les fonc- f - qu’au paragraphe précédent que la seule tions σ le long de l’axe &f , delta; (r) LL observation de la géométrie et de la finales ne donne aucune indication masse l’allure de la distribution des sur contraintes de support de flexion dans l’arbre, puisqu’un arbre aujourd’hui redres- pour b 2,5 et différentes valeurs de ex. = sé peut comporter des parties internes La comparaison avec la solution (11) beaucoup plus tendues et comprimées montre que les contraintes maximales peuvent être sensiblement plus élevées que la valeur δ (R &f; + π), qui est la LL , F f delta tension maximale prévue par (11), et ne s’exercent pas à la surface r R en &thetas; , f = = &fatled ; ou &thetas; &f π, mais à une position d’au- delta; + = tant plus proche de l’axe r 0 que ex est = petit (donc que l’arbre s’est incliné tôt). Ce résultat s’explique par une compétition entre l’effet de la flexion, qui induit des contraintes (LL plus importantes à la péri- σ phérie, et celui de la croissance, qui veut que les parties internes, existant depuis plus longtemps, soient plus sollicitées. Il avait été pressenti par JF Martley à propos de la croissance des branches (Martley, 1928). Cas d’un arbre qui est d’abord déséquilibré, puis se redresse, dans un plan fixe &f; delta &thetas;) reste, pour les La distribution σ (r, LL paragraphe précé- mêmes raisons qu’au dent, proportionnelle à cos(δ &thetas;). La fi- f - gure 5 représente σ le long de l’axe &f; ,atled (r) LL normée par σ (R δπ) (cf (11)) pour LL , + Fff b = 2,5, un âge de réaction R = R/ 2, e rf i e et différentes valeurs e (R / 20) f /5, f = = du paramètre de redressement k : k= 1, ce qui signifie que le déséquilibre e(R) augmente jusqu’à R puis se stabilise; k r = 2, l’excentricité finale e(R est la moitié de ) f l’excentricité maximale atteinte en R k ; r = 8, l’arbre s’est considérablement redressé, 8 fois la valeur e obser- e(R atteignait ) r f l’instant final, éventuellement vable à faible.
Dans toutes ces simulations, la crois- le laisserait supposer son faible ne que été supposée conserver une sy- déséquilibre actuel. Un cas de redresse- sance a métrie de révolution, sans excentrement 8) peut même ment très rapide (k = de la moelle, qui reste par conséquent la conduire à une situation où le moment P e fibre neutre (en négligeant l’effort de com- décroît entre R et R car l’effet de réorien- rf pression). Une modélisation tenant compte tation (décroissance de e(R)) l’emporte sur de cet éventuel excentrement a été déve- l’accroissement de masse (croissance de loppée (Fournier, 1989; voir chapitre cas P(R)) : le résultat apparemment surprenant d’un arbre qui est d’abord déséquilibré, est alors que bien que l’arbre final penche puis se redresse dans un plan fixe), qui dans la direction &f l’effet du support du ,delta; poids propre est de tendre les points proches de la surface dans cette direction &fatled ; (et de comprimer les points opposés). Cas (c) d’un arbre dont le déséquilibre s accroît, et qui vrille progressivement de δ à δ of La direction du moment fléchissant appli- est alors progressivement déviée : ini- qué tialement dans le plan (z, &i les flexions ), delta; successives appliquées à l’arbre évoluent pour atteindre le plan (z, &f Le champ ). delta; σ (Q) n’est plus alors proportionnel à LL cos(&thetas; - &f La fonction &LL (r, &thetas;) est calcu- ). thetas; sigma; lée par l’intégration numérique de (5) pour b 2,5, ex 1, et &δ= -π/4; elle est re- f - delta; i = = présentée sur la figure 6, dans le plan et en coupe dans les directions &j; et &f où delta , delta; elle est superposée aux distributions σ LL F (Q), ainsi qu’aux distributions du cas pré- cédent obtenues pour δ constant égal à &f; .atled Lorsque la direction du moment fléchis- sant appliqué par le poids propre tourne avec la croissance de l’arbre, l’angle po- laire définissant la position de la contrainte de compression maximale n’est pas locali- sé en δ &f mais s’étale entre &iatled ; et &f ,delta; , delta; = d’une façon qui dépend de la cinétique de mise en place du moment appliqué. Plus b+ ex sera faible, plus le moment suppor- té P e P e (R / R + ex sera élevé sur b ) f ff = l’individu jeune, et donc plus cet angle se rapprochera de &iatled ; en s’éloignant de &f . delta;
montre alors un déplacement de cette 1990); pour ne pas compliquer le forma- fibre neutre vers la direction de croissance lisme de l’exposé, elle a été présentée ici rapide, sans toutefois atténuer l’effet es- dans le cadre de l’étude d’un chargement sentiel du chargement évolutif qui veut particulier, le poids propre de la structure, que les points proches de la moelle, donc mais reste généralisable à d’autres sollici- les plus âgés, restent plus sollicités que tations, telles que la maturation (Fournier, 1989). Elle s’applique donc d’une part, à la les points proches de la surface. description des formes successives prises par un axe en croissance, problème non CONCLUSION développé ici (De Reffye, 1979; Schaeffer, 1990; Castera et Fournier, 1990) et d’autre part, à la description des efforts internes L’état mécanique d’une tige à un instant permanents et évolutifs supportés locale- actuel donné dépend non seulement des ment par le bois d’une tige, les contraintes conditions actuelles de géométrie et de de croissance, qui sont la superposition chargement, mais surtout de toute l’his- des contraintes de support étudiées ici et toire de l’évolution de ce chargement. En des contraintes de maturation (Bordonné particulier, les champs de contraintes lon- et al, 1987). Ce phénomène sera étudié gitudinales &LL exercées par le support de sigma; globalement dans une publication ulté- poids propre dans l’arbre déséquilibré ne rieure, ce qui permettra d’envisager la vali- sont pas une tension ou une compression dation expérimentale du modèle; en effet, LL F σ maximale à la surface, dans l’axe du dans l’arbre, les effets du support et de la déséquilibre actuel, car les points proches maturation sont simultanés et indisso- du cambium, créés récemment, ne sont a ciables (Fournier, 1989). priori que très peu sollicités. Dans tous les cas, l’analyse réclame la Ces champs de contraintes σ ont LL reconstitution de l’histoire de la géométrie alors été simulés dans une section droite, et des sollicitations de l’arbre. Il faut donc dans diverses situations schématiques de s’attacher à dégager, dans la situation ac- croissance et d’évolution conjointe du tuelle, les paramètres morphologiques et chargement, qui confirment quantitative- anatomiques pertinents, indicatifs des si- ment ce résultat. Les zones les plus sollici- tuations antérieures. tées sont en effet toujours à proximité de la moelle, là où le bois est âgé. Les va- leurs maximales de tension ou compres- RÉFÉRENCES sion peuvent être sensiblement plus éle- vées que celles prédites par la distribution statique σ Elles ne sont pas nécessai- . LL F Archer RR (1986) Growth stresses and strains in trees (E Timell, ed) Springer series in rement dans l’axe &f; du déséquilibre final. delta wood science, Springer Verlag, Berlin Prendre en compte les seules grandeurs Archer RR, Byrnes FE (1974) On the distribution globales observables dans l’état final ne of tree growth stresses. Part I: an anisotropic permet donc pas de décrire l’état mécani- plane strain theory. Wood Sci Technol 8, que interne d’une tige dû au support du 184-196 poids propre. Bordonne PA, Okuyama T, Yamamoto H, Iguchi L’analyse mécanique pas à pas propo- M (1987) Relationships between growth sée synthétise les considérations de cer- stresses and microfibril angle in the cell wall. tains auteurs (Martley, 1928; Archer et In : Colloque IAWA-UIFRO du 15 déc 1987 au CTBA, Paris Byrnes, 1974; Archer, 1986; Schaeffer,
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