Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định cho phương trình dạng Burgers ngược thời gian"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 3. Nguyễn Văn Đức, Đánh giá tính ổn định cho phương trình dạng Burgers ngược thời gian...Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý học...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định cho phương trình dạng Burgers ngược thời gian"

®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cho ph¬ng tr×nh d¹ng Burgers ngîc thêi gian NguyÔn V¨n §øc (a) } Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder cho nghiÖm ph¬ng tr×nh Burgers ngîc thêi gian  ut = (a(x, t)ux )x − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕ(x), 0 x 1.  më ®Çu 1. } Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder cho ph¬ng tr×nh d¹ng Burgers ngîc thêi gian  ut = (a(x, t)ux )x − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  (1.1) u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕ(x), 0 x 1.  Bµi to¸n (1.1) thêng xuyªn b¾t gÆp trong øng dông khi nghiªn cøu vÒ c¸c qu¸ tr×nh sãng phi tuyÕn, trong lý thuyÕt vÒ ©m häc phi tuyÕn hay lý thuyÕt næ,... (xem [4] vµ c¸c tµi liÖu tham kh¶o trong nã). Bµi to¸n (1.1) thuéc líp bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh, cã nghÜa lµ sai sè dï nhá trong phÐp ®o d÷ kiÖn còng cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè ϕ(x) rÊt lín cña nghiÖm hoÆc thËm chÝ lµm cho ph¬ng tr×nh trë nªn v« nghiÖm. ChÝnh v× vËy, vÊn ®Ò ®Çu tiªn khi nghiªn cøu c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµ viÖc t×m c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm. C¸c ®¸nh gi¸ nµy cho ta biÕt ®îc bµi to¸n "xÊu" ®Õn møc nµo, ®Ó tõ ®ã cã thÓ ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p sè h÷u hiÖu. Ngoµi ra, c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh còng rÊt quan träng trong viÖc chøng minh sù héi tô vµ c¸c ®¸nh gi¸ sai sè cña c¸c ph¬ng ph¸p chØnh khi gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Ó ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ngêi ta thêng bæ sung c¸c th«ng tin cã ý nghÜa vÒ ph¬ng diÖn vËt lý cho nghiÖm, sau ®ã míi ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh trong líp nghiÖm thu hÑp nµy. §èi víi ph¬ng tr×nh d¹ng Burger võa ®îc ®Ò cËp ë trªn, th«ng C 2 ,1 tin vÒ nghiÖm cã thÓ chÊp nhËn ®îc ®ã lµ chuÈn cña nghiÖm lµ giíi néi. Cô thÓ nh sau 1 NhËn bµi ngµy 18/5/2007. Söa ch÷a xong ngµy 02/10/2007.
D = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < 1}. Gi¶ thiÕt a(x, t) lµ hµm thuéc C 2,1 (D), KÝ hiÖu trong ®ã C 2,1 (D ) lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ vi liªn tôc hai lÇn theo biÕn x, mét lÇn theo biÕn t trong D , liªn tôc trªn D vµ tån t¹i h»ng sè d¬ng β > 0 sao cho a(x, t) β > 0, víi mäi (x, t) ∈ D. 1. u(x, t) ®îc gäi lµ thuéc vµo tËp V Mét hµm nÕu §Þnh nghÜa u(x, t) M, C 2,1 (D) M víi lµ mét h»ng sè d¬ng cho tríc. Khi nghiÖm cña (1.1) ®îc h¹n chÕ trong tËp V võa ®îc ®Þnh nghÜa ë trªn th× ta cã thÓ ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña nã. C¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cho ph¬ng tr×nh Burgers ®· ®îc nghiªn cøu trong [2] vµ [4]. Trong [4] t¸c gi¶ gi¶i quyÕt cho ph¬ng tr×nh víi hÖ sè cña lµa(t) tøc lµ hµm sè chØ phô thuéc vµo biÕn thêi gian, cßn trong uxx [2], t¸c gi¶ ®¸nh gi¸ æn ®Þnh cho trêng hîp hÖ sè cña uxx lµ h»ng sè. Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i gi¶i quyÕt cho trêng hîp hÖ sè nµy võa phô thuéc biÕn kh«ng gian võa phô thuéc biÕn thêi gian. Mét sè c¸c kÕt qu¶ liªn quan cho ph¬ng tr×nh Navier-Stokes ngîc thêi gian cã thÓ tham kh¶o ë c¸c tµi liÖu [1, 3]. KÕt qu¶ chÝnh 2. Ký hiÖuu1 (x, t) vµ u2 (x, t) lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña bµi to¸n (1.1) t¬ng øng víi c¸c 1 d÷ kiÖn ϕ1 (x) vµ ϕ2 (x); ®Æt z (x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) vµ f (t) = 0 z 2 (x, t)dx. 1. NÕu ui (x, t) ∈ V, i = 1, 2, th× tån t¹i c¸c h»ng sè d¬ng c1 c2 vµ (kh«ng phô §Þnh lý ui (x, t)) sao cho thuéc vµo e(c2 /c1 )[t−α] [f (0)](1−α) [f (1)]α , ∀t ∈ [0, 1], (2.1) f (t) trong ®ã exp{c1 t} − 1 (2.2) α= . exp{c1 } − 1 Chøng minh. V× ui (x, t), i = 1, 2, tho¶ m·n (1.1), nªn zt = (azx )x − u2 zx − u1x z. (2.3) MÆt kh¸c, tõ biÓu thøc 1 z 2 dx f (t) = 0
ta nhËn ®îc 1 f (t) = 2 zzt dx 0 1 z {(azx )x − u2 zx − u1x z }dx =2 0 1 1 1 u1x z 2 dx z (azx )x dx − 2 u2 zzx dx − 2 =2 0 0 0 1 1 1 1 a(zx )2 dx − u2 z 2 {u2x − 2u1x }z 2 dx −2 = 2azx z + 0 0 0 0 1 1 1 a(zx )2 dx − u1x z 2 dx − z 2 zx dx = −2 0 0 0 1 1 a(zx )2 dx − u1x z 2 dx = −2 0 0 vµ 1 1 at (zx )2 dx − 4 f (t) = −2 azx zxt dx 0 0 1 1 u1xt z 2 dx − 2 − u1x zzt dx 0 0 1 1 1 at (zx )2 dx − 4azx zt = −2 +4 zt (azx )x dx 0 0 0 1 1 u1xt z 2 dx − 2 − u1x zzt dx 0 0 1 1 1 1 at (zx )2 dx + 4 u1xt z 2 dx − 2 = −2 zt {zt + u2 zx + u1x z }dx − u1x zzt dx 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 at (zx )2 dx + 4 u1xt z 2 dx zt dx − 2 u1x zzt dx − =4 u2 zx zt dx + 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 at (zx )2 dx + 2 zt dx − 2 =4 (2u2 zx + u1x z )zt dx + 2u1t zzx dx 0 0 0 0 1 1 1 2 at (zx )2 dx + 2 zt dx − 2 (2u2 zx + u1x z ){(azx )x − u2 zx − u1x z }dx =4 0 0 0 1 + 2u1t zzx dx 0 1 1 1 2 {4u2 (ax − u2 ) − 2(au1x ) − (au2 )x − 2at }(zx )2 dx =4 zt dx + 2 0 0 1 1 (u1x )2 z 2 dx. (u1x ax − (au1x )x − 3u1x u2 + 2u1t )(zzx )dx − 2 +2 0 0
¯ a ∈ C 2,1 (D), nªn tån t¹i h»ng sè d¬ng c3 u∈V Do vµ kh«ng phô thuéc vµo sao u1 , u 2 cho |u1x ax − (au1x )x − 3u1x u2 + 2u1t | c3 , ∀(x, t) ∈ D. εb2 c2 |bc| MÆt kh¸c, v× víi bÊt kú ε > 0 vµ b, c, nªn chóng ta cã ®¸nh gi¸ + 2 2ε 1 1 1 1 (zx )2 dx + z 2 dx . (u1x ax − (au1x )x − 3u1x u2 )(zzx )dx −c3 ε 2 ε 0 0 0 Do ®ã, chóng ta sÏ cã ®¸nh gi¸ 1 1 1 2 {4u2 (ax − u2 ) − 2(au1x ) − (au2 )x − 2at − c3 ε}(zx )2 dx f (t) 4 zt dx + 2 0 0 1 c3 + 2u2x )z 2 dx = − ( 1 0 1 1 1 1 2 {−2u2 (ax − u2 ) + (au1x ) + (au2 )x + at + c3 ε}(zx )2 dx zt dx − 2 =4 4 2 0 0 1 c3 + 2u2x )z 2 dx = − ( 1 0 1 1 {−2u2 (ax − u2 ) + (au1x ) + (au2 )x + at + c3 ε} 1 1 4 2 2 .a(zx )2 dx −2 =4 zt dx a 0 0 1 c3 + 2u2x )z 2 dx. − ( 1 0 Ngoµi ra, tån t¹i h»ng sè c1 kh«ng phô thuéc vµo ®Ó cho u1 , u 2 1 1 {−2u2 (ax − u2 ) + (au1x ) + (au2 )x + at + c3 ε} 4 2 c1 , ∀(x, t) ∈ D. a Nh vËy ta cã ®¸nh gi¸ 1 1 1 c3 2 a(zx )2 dx − + 2u2x )z 2 dx zt dx − 2c1 f (t) 4 ( 1 0 0 0 1 1 1 c3 2 u1x z 2 dx} − + 2u2x )z 2 dx zt dx + c1 {f (t) + =4 ( 1 0 0 0 1 1 c3 2 + 2u2x )}z 2 dx. {c1 u1x − ( =4 zt dx + c1 f (t) + 1 0 0 Ta l¹i nhËn thÊy r»ng, tån t¹i h»ng sè d¬ng c2 kh«ng phô thuéc vµo u1 , u2 sao cho c3 + 2u2x )| |c1 u1x − ( c2 , ∀(x, t) ∈ D. 1
V× vËy 1 1 2 z 2 dx zt dx + c1 f (t) − c2 f (t) 4 0 0 1 2 zt dx + c1 f (t) − c2 f (t). (2.4) =4 0 Nh©n hai vÕ cña (2.4) víi 0 nhê bÊt ®¼ng thøc Cauchy-Schwarz ta ®îc f (t) 1 1 2 z 2 dx + c1 f (t)f (t) − c2 f 2 (t) f (t).f (t) 4 zt dx. 0 0 2 1 + c1 f (t)f (t) − c2 f 2 (t) 2 zzt dx 0 (f (t))2 + c1 f (t)f (t) − c2 f 2 (t), ∀t ∈ (0, 1). (2.5) Nh vËy, chóng ta ®· chøng minh ®îc f (t).f (t) − (f (t))2 c1 f (t)f (t) − c2 f 2 (t), ∀t ∈ (0, 1). (2.6) ∈ (0, 1) ®Ó f (t0 ) = 0. Tõ §Þnh lý vÒ tÝnh duy B©y giê, ta gi¶ sö r»ng tån t¹i t0 nhÊt (ch¼ng h¹n, xem [4,5]), ta suy ra f (t) ®ång nhÊt b»ng 0 trªn [0,1]. Trong trêng hîp nµy, kh¼ng ®Þnh (2.1) hiÓn nhiªn ®óng. Do ®ã, ta chØ cÇn xÐt trêng hîp f (t) > 0, víi mäi t ∈ (0, 1). Chia c¶ hai vÕ cña (2.6) cho f 2 (t) ta ®îc f (t).f (t) − (f (t))2 f (t) − c2 , ∀t ∈ (0, 1). (2.7) c1 f 2 (t) f (t) Nhng ®iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi f (t) f (t) − c2 , ∀t ∈ (0, 1) c1 f (t) f (t) f (t) f (t) ⇔( ) − c1 −c2 , ∀t ∈ (0, 1) f (t) f (t) f (t) f (t) ⇔ e−c1 t {( −c2 e−c1 t , ∀t ∈ (0, 1) ) − c1 } f (t) f (t) f (t) ⇔ {e−c1 t −c2 e−c1 t , ∀t ∈ (0, 1). } (2.8) f (t) s = ec1 t , tõ (2.8) chóng ta ®¹t ®îc B»ng c¸ch ®Æt d 1 df c2 1 − . c2 s2 ds f ds 1
c2 −2 ln(f s c1 ) lµ hµm låi Tõ ®iÒu nµy, chóng ta dÔ dµng kiÓm tra thÊy r»ng hµm ψ1 (s) = 0). Do ®ã (ψ1 (s) exp{c1 } − exp{c1 t} c2 c2 ln(exp{− t}f (t)) ln(exp{− 0}f (0)) exp{c1 } − 1 c1 c1 exp{c1 t} − 1 c2 ln(exp{− 1}f (1)). (2.9) + exp{c1 } − 1 c1 Tõ (2.9) ta suy ra kh¼ng ®Þnh (2.1) cña §Þnh lý 1. ui (x, t) ∈ V, i = 1, 2, lÇn lît lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña c¸c ph¬ng tr×nh 1. NÕu VÝ dô  ut = uxx − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕi (x), 0 x 1, (i = 1, 2)  1 1 − ϕ2 (x))2 dx} 2 ϕ1 − ϕ2 = { 0 (ϕ1 (x) ε th× ta cã ®¸nh gi¸ víi e(c2 /c1 )[t−α] [2M ](1−α) εα , ∀t ∈ [0, 1], u1 (·, t) − u2 (·, t) (2.10) L2 (0, 1) vµ · trong ®ã lµ kÝ hiÖu chuÈn exp{c1 t} − 1 α= ; exp{c1 } − 1 9 = 3M 2 + M c1 4 35 2 9 3 c2 = 3M + M + M. 4 2 ui (x, t) ∈ V, i = 1, 2, lÇn lît lµ nghiÖm cæ ®iÓn cña c¸c ph¬ng tr×nh 2. NÕu VÝ dô  ut = ((x + t + 1)ux )x − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕi (x), 0 x 1, (i = 1, 2)  1 1 − ϕ2 (x))2 dx} 2 ϕ1 − ϕ2 = { 0 (ϕ1 (x) ε th× ta cã ®¸nh gi¸ víi e(c2 /c1 )[t−α] [2M ](1−α) εα , ∀t ∈ [0, 1], u1 (·, t) − u2 (·, t) (2.11)
L2 (0, 1) vµ · trong ®ã lµ kÝ hiÖu chuÈn exp{c1 t} − 1 α= ; exp{c1 } − 1 21 = 3M 2 + M + 1 c1 2 7 = 3M 3 + 14M 2 + M. c2 2 = 1, víi mäi (x, t) ∈ ThËt vËy, dïng chøng minh cña §Þnh lý 1 trong trêng hîp a(x, t) ta cã thÓ chän D c3 = 3M 2 + 3M 2 = 3 9 c1 = 3M 2 + M 4 35 2 9 3 c2 = 3M + M + M 4 2 a(x, t) = x + t + 1, víi mäi (x, t) ∈ D vµ trong trêng hîp ta cã thÓ chän c3 = 3M 2 + 5M =2 21 c1 = 3M 2 + M +1 2 7 = 3M 3 + 14M 2 + M. c2 2 vµ thu ®îc ngay kÕt qu¶ nh trong c¸c vÝ dô 1,2. L2 (0, 1) cña d÷ Tõ ®¸nh gi¸ (2.10), (2.11) ta thÊy r»ng nÕu ®é lÖch theo chuÈn ε kiÖn cuèi lµ nhá kÐo theo ®é lÖch cña nghiÖm t¬ng øng theo chuÈn L2 (0, 1) còng sÏ nhá víi mäi t ∈ (0, 1] vµ ®ã chÝnh lµ tÝnh æn ®Þnh cña líp nghiÖm thuéc vµo tËp V . Hoµn toµn t¬ng tù, khi cho hµm a(x, t) cô thÓ, ta cã thÓ tÝnh to¸n dÔ dµng c¸c h»ng sè c1 , c2 theo M nh trong c¸c vÝ dô 1,2. Cuèi cïng, t¸c gi¶ muèn nhÊn m¹nh r»ng bµi to¸n ®¸nh gi¸ æn ®Þnh nghiÖm cho ph¬ng tr×nh d¹ng Burgers ngîc thêi gian lµ mét bµi to¸n khã. MÆt dï ®©y lµ m« h×nh cña nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ, nghiªn cøu vÒ d¹ng ph¬ng tr×nh nµy lµ cÇn thiÕt nhng cho ®Õn b©y giê, t¸c gi¶ còng cha thÊy mét bµi b¸o nµo ®a ra ®îc ®¸nh gi¸ L2 æn ®Þnh cho nghiÖm cña bµi to¸n nµy theo mét chuÈn kh¸c vµ ®¸nh gi¸ theo chuÈn còng chØ míi cã ®îc hai kÕt qu¶ ®· ®îc tr×nh bµy trong [2] vµ [4] nh t¸c gi¶ ®· tr×nh bµy ë ®Çu bµi b¸o.
tµi liÖu tham kh¶o [1] K. A. Ames and B. Straughan, Aca- Non-Standard and Improperly Posed Problems, demic Press, San Diego, 1997. [2] A. Carasso, Computing Small Solutions of Burgers Equation Backward in Time, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 59 (1977), 169-209. [3] L. E. Payne and B. Straughan, Comparison of viscous flows backwards in time with small data, Int. J. Nonlinear Mech., 24 (1989), 209–214. [4] S. M. Ponomarev, On an Soviet Math. ill-posed problem in nonlinear wave theory, Dokl., 33 (1986), 621-624. [5] A. Friedman, Partial Prentice-Hall, Engle- differential equations of parabolic type, wood Cliﬀs, N. J., 1964. summary Estimating Stability for a Burgers Type Equation Backward in Time } In this paper, we give a estimate of the stability in Holder type for solutions of a Burgers type equation backward in time:  ut = (a(x, t)ux )x − uux , (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),  u(0, t) = u(1, t) = 0, 0 t 1,  u(x, 1) = ϕ(x), 0 x 1.  (a) Khoa To¸n, trêng §¹i Häc Vinh.