Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

130
lượt xem 15
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả: 2. Nguyễn Văn Đức, Đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Đánh giá tính ổn định nghiệm cuả bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian"

®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cu¶ bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian NguyÔn V¨n §øc (a) older cho nghiÖm ¨ Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng H cña bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian d¹ng ∂2u   ∂u = a(t) 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), ∂t ∂x u(x, 1) = ϕ(x). më ®Çu 1. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh d¹ng Holder ®èi víi nghiÖm ¨ cu¶ bµi to¸n Cauchy cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian ∂2u   ∂u = a(t) 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), (1.1) ∂t ∂x u(x, 1) = ϕ(x). Bµi to¸n (1.1) thêng xuyªn b¾t gÆp trong øng dông (xem [1], [2]) vµ nã thuéc líp bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh; cã nghÜa lµ mét sai sè dï nhá trong d÷ kiÖn ϕ(x) còng cã thÓ dÉn ®Õn mét sai sè rÊt lín cña nghiÖm hoÆc thËm chÝ lµm cho ph¬ng tr×nh trë nªn v« nghiÖm. ChÝnh v× vËy, vÊn ®Ò ®Çu tiªn khi nghiªn cøu c¸c bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh lµ viÖc t×m c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh cña nghiÖm. C¸c ®¸nh gi¸ nµy cho ta biÕt ®îc bµi to¸n "xÊu" ®Õn møc nµo, ®Ó tõ ®ã cã thÓ ®a ra c¸c ph¬ng ph¸p sè h÷u hiÖu. Ngoµi ra, c¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh còng rÊt quan träng trong viÖc chøng minh sù héi tô vµ c¸c ®¸nh gi¸ sai sè cña c¸c ph¬ng ph¸p chØnh khi gi¶i bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh. §Ó ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh ngêi ta thêng bæ sung c¸c th«ng tin cã ý nghÜa vÒ ph¬ng diÖn vËt lý cho nghiÖm, sau ®ã míi ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh trong líp nghiÖm thu hÑp nµy. §èi víi ph¬ng tr×nh võa ®îc ®Ò cËp ë trªn, th«ng tin vÒ nghiÖm cã thÓ chÊp nhËn ®îc ®ã lµ tån t¹i mét h»ng sè d¬ng sao cho E 1 +∞ 2 u2 (x, 0)dx u(·, 0) := E. −∞ Gi¶ thiÕt nµy nãi lªn r»ng nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu lµ giíi néi. 1 NhËn bµi ngµy 20/8/2008. Söa ch÷a xong 17/10/2008.
u(·, 0) 1. u(x, t) U E, E Mét hµm ®îc gäi lµ thuéc vµo tËp nÕu víi §Þnh nghÜa lµ mét h»ng sè d¬ng cho tríc. Khi nghiÖm cña (1.1) ®îc h¹n chÕ trong tËp võa ®îc ®Þnh nghÜa ë trªn th× ta U cã thÓ ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cña nã. C¸c ®¸nh gi¸ tÝnh æn ®Þnh nghiÖm cho ph¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ngîc thêi gian thêng chØ ®¹t ®îc cho bµi to¸n hçn hîp víi hÖ sè h»ng sè hoÆc hÖ sè chØ phô thuéc vµo biÕn kh«ng gian, rÊt Ýt kÕt qu¶ cho bµi to¸n Cauchy, ®Æc biÖt trong trêng hîp hÖ sè cña ph¬ng tr×nh phô thuéc thêi gian. V× vËy, trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®¸nh gi¸ cho trêng hîp hÖ sè cña ph¬ng tr×nh cã d¹ng a(t) phô thuéc vµo biÕn thêi gian. KÕt qu¶ bæ trî 2. Tríc hÕt, chóng t«i nªu ra c¸c kÕt qu¶ bæ trî sau 11 1 (BÊt ®¼ng thøc Holder). ¨ p > 1, q > 1 lµ c¸c sè thùc tháa m·n + = 1. Gi¶ sö Bæ ®Ò pq f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) th× f g ∈ L1 (R) vµ f g f g q. NÕu 1 p f ∈ L1 (R), 2 (§Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier trong L1 (R)). NÕu ta ®Þnh §Þnh nghÜa nghÜa biÕn ®æi Fourier cña lµ f +∞ 1 e−ix.ξ f (x)dx f (ξ ) := √ (y ∈ R). 2π −∞ f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) th× f ∈ L2 (R) vµ f = f 2 (§Þnh lý Plancherel). NÕu trong Bæ ®Ò · L2 (R). ®ã lµ kÝ hiÖu chuÈn 3 (§Þnh nghÜa biÕn ®æi Fourier trong L2 (R)). Ta ®Þnh nghÜa biÕn ®æi §Þnh nghÜa f ∈ L2 (R) nh sau Fourier cña f {fk }∞ ⊂ L1 (R) ∩ L2 (R) fk → f Cho mét d·y víi trong L2 (R). Theo Bæ ®Ò 2, k=1 {fk }∞ fk − fj = fk − fj = fk − fj vµ v× thÕ lµ mét d·y Cauchy trong L2 (R). Do k=1 fk → f ®ã trong L2 (R), ta gäi lµ biÕn ®æi Fourier cña L2 (R). §Þnh nghÜa f f f trong {fk }∞ kh«ng phô thuéc vµo viÖc chän d·y t¬ng øng. k=1 f, g ∈ L2 (R). Khi ®ã 3 (Vµi tÝnh chÊt cña biÕn ®æi Fourier). Gi¶ thiÕt Bæ ®Ò +∞ +∞ ˆˆ f g dx = ¯ f g dξ , i) −∞ −∞ (iξ )α f víi mçi chØ sè α nguyªn d¬ng sao cho Dα f ∈ L2 (R). ii) D α f =
KÕt qu¶ chÝnh 3. Trong phÇn nµy, chóng t«i sÏ ddwa ra ®¸nh gi¸ æn ®Þnh nghiÖm cña bµi to¸n (1.1). 1 (§¸nh gi¸ æn ®Þnh). Gi¶ sö u(x, t) lµ nghiÖm cña bµi to¸n §Þnh lý 2   ∂u = a(t) ∂ u , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1),  ∂x2 ∂t  (3.1) u(·, 1) ,   u(·, 0) E , (0 < < E ),  t ∈ [0; 1] lµ hµm liªn tôc trªn [0;1]. a(t) B > 0, víi víi mäi Khi ®ã, chóng ta cã ®¸nh µ(t) E 1−µ(t) , víi mäi u(·, t) t ∈ [0; 1] trong ®ã gi¸ æn ®Þnh 1 +∞ 2 u2 (x, t)dx u(·, t) , víi mäi t ∈ [0, 1] = −∞ A(t) , ∀t ∈ [0, 1], µ(t) = A(1) t a(τ )dτ, ∀t ∈ [0, 1]. A(t) = 0 Chøng minh. Gi¶ sö u(x, t) lµ mét nghiÖm cña (3.1). BiÕn ®æi Fourier hai vÕ cña ®¼ng ∂2u ∂u thøc vµ sö dông Bæ ®Ò 3 ii) ta cã = a(t) 2 ∂t ∂x ∂u (ξ, t) = −ξ 2 a(t)u(ξ, t). (3.2) ∂t Gi¶i ph¬ng tr×nh vi ph©n (3.2), chóng ta thu ®îc 2 u(ξ, t) = eA(1)(1−µ(t))ξ u(ξ, 1), (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (3.3) u(·, t) ∈ L2 (R), t ∈ [0, 1], nªn ta cã Do ˆ 2 |u(ξ, t)|µ(t) = eA(1)µ(t)(1−µ(t))ξ |u(ξ, 1)|µ(t) , (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (3.4) MÆt kh¸c, ë (3.3) thay t = 0 ta cã 2 u(ξ, 0) = eA(1)ξ u(ξ, 1), ξ ∈ R, (3.5) hay lµ 2 u(ξ, 1) = e−A(1)ξ u(ξ, 0), ξ ∈ R. (3.6) Thay (3.6) vµo (3.3) ta nhËn ®îc 2 u(ξ, t) = e−A(1)µ(t)ξ u(ξ, 0), (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (3.7)
Tõ ®ã, ta suy ra 2 |u(ξ, t)|(1−µ(t)) = e−A(1)µ(t)(1−µ(t))ξ |u(ξ, 0)|(1−µ(t)) , (ξ, t) ∈ R × [0, 1]. (3.8) Nh©n (3.8) víi (3.4) theo vÕ ®Ó ®¹t ®îc |u(ξ, t)| = |u(ξ, 1)|µ(t) |u(ξ, 0)|(1−µ(t)) , ξ ∈ R. |u(·, t)| = |u(·, 1)|µ(t) |u(·, 0)|(1−µ(t)) . Do ®ã Râ rµng kh¼ng ®Þnh cña ®Þnh lý ®óng víi vµ t = 1. Do ®ã, ta chØ cÇn chøng t=0 t ∈ (0, 1). Trong trêng hîp nµy, ta ¸p dông Bæ ®Ò 1 víi minh cho trêng hîp 1 1 f = |u(·, 1)|2µ(t) , g = |u(·, 0)|2(1−µ(t)) , p = , q= 1 − µ(t) µ(t) vµ ¸p dông Bæ ®Ò 3 i) ta nhËn ®îc +∞ |u(ξ, 1)|2µ(t) |u(ξ, 0)|2(1−µ(t)) dξ 2 2 u(·, t) u(·, t) = = −∞ +∞ +∞ |f (ξ )g (ξ )|dξ = f g = f (ξ )g (ξ )dξ = 1 −∞ −∞ f g p q (1−µ(t)) µ(t) +∞ +∞ p q |f (ξ )| dξ |g (ξ )| dξ = . −∞ −∞ (1−µ(t)) µ(t) +∞ +∞ u2 (ξ, 1)dξ u2 (ξ, 0)dξ = . −∞ −∞ 2(1−µ(t)) 2µ(t) u(·, 1) . u(·, 0) = 2(1−µ(t)) 2µ(t) u(·, 1) . u(·, 0) = E 2(1−µ(t)) . 2µ(t) t ∈ (0, 1). VËy ®Þnh lý ®· ®îc chøng minh. Tõ ®ã suy ra mÖnh ®Ò cña ®Þnh lý víi 1. a(t) tháa m·n ba ®iÒu kiÖn sau §Þnh lý 1 vÉn ®óng nÕu hµm NhËn xÐt a(t) 0 h.k.n. trªn [0,1], 1) a(t) = 0 h.k.n. trªn [0,1], 2) a(t) ∈ L1 (0, 1). 3) tµi liÖu tham kh¶o [1] K. A. Ames and B. Straughan, Aca- Non-Standard and Improperly Posed Problems, demic Press, San Diego, 1997.
[2] Dinh Nho Hao, A Mollification Method for a Noncharacteristic Cauchy Problem for Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1996, a Parabolic Equation, 199, 873-909. summary Estimating the Stability for solutions of cauchy problem for a heat equation backward in time In this paper, we give a stable estimate of Holder type for solutions to Cauchy ¨ problem for a heat equation backward in time ∂2u   ∂u = a(t) 2 , (x, t) ∈ (−∞; +∞) × (0; 1), ∂t ∂x u(x, 1) = ϕ(x). (a) Khoa To¸n, trêng §¹i Häc Vinh.