Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

92
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả. 5. Nguyễn Văn Quảng, Đào Thị Hồng Thuỷ, Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính..Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính"

Më réng mét sè ®Þnh lÝ giíi h¹n cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh (a) (b) nguyÔn v¨n qu¶ng , ®µo thÞ hång thuû Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy chóng t«i sÏ thiÕt lËp mét sè luËt yÕu sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. 1 Më ®Çu §éc lËp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt. C¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu trªn c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp rÊt phong phó vµ cã nhiÒu kÕt qu¶ quan träng nh c¸c luËt sè lín, c¸c ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m... Do yªu cÇu cña thùc tÕ vµ tõ sù ph¸t triÓn cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt, gÇn ®©y xuÊt hiÖn nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu trªn c¸c ®èi tîng tæng qu¸t h¬n nh c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m, liªn kÕt ©m, ... vµ còng thu ®îc nhiÒu kÕt qu¶ thó vÞ (xem [2], [3], [6],...). Trong bµi viÕt nµy chóng t«i sÏ thiÕt lËp mét sè luËt yÕu sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. 1. X1 , ..., Xn ®îc gäi lµ phô thuéc ©m nÕu tho¶ m·n C¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa n n xi ), ∀x1 , ..., xn ∈ R P( [Xi xi ]) P (Xi (1) i=1 i=1 n n P (Xi > xi ), ∀x1 , ..., xn ∈ R. P( [Xi > xi ]) (2) vµ i=1 i=1 X1 , ..., Xn , ... D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®îc gäi lµ phô thuéc ©m nÕu mäi tËp con h÷u h¹n cña nã phô thuéc ©m. X1 , ..., Xn , ... D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®îc gäi lµ phô thuéc ©m ®«i mét nÕu víi mäi i=j Xi , X j th× lµ phô thuéc ©m. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét) lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m (phô thuéc ©m ®«i mét). Tuy nhiªn vÝ dô sau chøng tá r»ng tån t¹i c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m nhng kh«ng ®éc lËp. (Ω, F , P ) víi Ω = {1, 2, 3, 4}, F = {∀A : A ⊂ Ω} vµ P (A) = XÐt kh«ng gian x¸c suÊt |A| A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}. Khi ®ã, dÔ dµng kiÓm tra trùc tiÕp ®îc r»ng IA , IB 4 . LÊy lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m nhng kh«ng ®éc lËp. 1 NhËn bµi ngµy 21/9/2007. Söa ch÷a xong ngµy 19/12/2007.
2. X1 , ..., Xn , ... ®îc gäi lµ phô thuéc ©m tuyÕn D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa A, B vµ c¸c tËp h»ng sè d¬ng tÝnh nÕu víi c¸c tËp c¸c sè nguyªn d¬ng rêi nhau (λk , k ∈ A), (λl , l ∈ B ) th× λk X k , λl Xl phô thuéc ©m. k ∈A l ∈B Râ rµng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh th× phô thuéc ©m ®«i mét. 2 C¸c kÕt qu¶ Tríc hÕt, chóng ta cÇn mét sè bæ ®Ò. 1. X1 , ...., Xn f1 , ..., fn ([4]) NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ lµ c¸c Bæ ®Ò f (X1 ), ..., f (Xn ) hµm Borel cïng t¨ng hoÆc cïng gi¶m th× lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m. 2. X1 , X 2 ([4]) NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m th× Bæ ®Ò EX1 X2 E X1 EX2 cov (X1 , X2 ) 0. vµ 1. X1 , ..., Xn lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét th× NÕu HÖ qu¶ D(X1 + ... + Xn ) DX1 + ... + DXn . X1 , ..., Xn i=j cov (Xi , Xj ) 0. Suy Chøng minh. V× phô thuéc ©m nªn víi mäi cã ra n n n D( Xk ) = D(Xk ) + cov (Xi , Xj ) D(Xk ). i 0 tuú ý, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Chebyshev vµ HÖ qu¶ 1 Chøng minh. Víi mçi ta cã n n n 1 D( n Xi ) D( Xi ) DXi n n 1 1 i=1 i=1 i=1 P| Xi − EXi | ≥ ε = . ε2 n2 ε 2 n2 ε 2 n n i=1 i=1 n n n 1 1 1 DXi → 0 khi n → ∞ lim P | n Xi − EXi | ≥ ε = 0. V× nªn Suy ra n2 n n→∞ i=1 i=1 i=1 n n P 1 Xi − EXi − 0 khi n → ∞. → n i=1 i=1 Tõ ®Þnh lÝ ta cã c¸c hÖ qu¶ sau.
{Xn , n ≥ 1} lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét. Khi 2. Gi¶ sö HÖ qu¶ C víi mäi n ≥ 1, th× d·y {Xn } tu©n theo luËt C > 0 sao cho DXn ®ã nÕu tån t¹i sè yÕu sè lín. {Xn , n ≥ 1} lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét, cïng 3. Gi¶ sö HÖ qu¶ n P EX1 = a, DX1 = σ 2 . Khi ®ã Xi − a khi n → ∞. → ph©n phèi, i=1 Trong phÇn tíi chóng ta sÏ tr×nh bµy luËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. Tríc hÕt ta cã c¸c bæ ®Ò sau. 3. X1 , ..., Xn ([5]) Gi¶ sö lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. Khi Bæ ®Ò ®ã m m |Φ(r1 , ..., rm ) − Φj (rj )| |rk rl cov (Xk , Xl )|, j =1 k,l=1 m Φ(r1 , ..., rm ) = E (exp[(i rj Xj ]), Φj (rj ) = E (exp[irj Xj ]). víi j =1 4. (Fn ) lµ d·y hµm ph©n phèi x¸c suÊt víi (ϕn ) lµ d·y hµm ®Æc ([1]) Gi¶ sö Bæ ®Ò w Fn − F khi vµ chØ khi ϕn → ϕ, víi ϕ lµ hµm ®Æc trng cña F . → trng t¬ng øng. Khi ®ã w P Xn − C = const th× Xn − C . → → 5. ([1]) NÕu Bæ ®Ò Ngoµi ra trong c¸c phÇn tíi chóng ta thêng xuyªn sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc sau, chóng ®îc tr×nh bµy trong [1] n |a1 a2 ...an − b1 b2 ...bn | |ak − bk |, víi mäi|ak | 1, |bk | 1; (3) k=1 |eitx − 1 − itx| 2h1 (t)g1 (x); (4) t2 x2 |eitx − 1 − itx + | h2 (t)g2 (x), (5) 2 = max(|t|, t2 ), g1 (x) = min(|x|, x2 ), h2 (t) = max(t2 , |t|3 ), g2 (x) = min(x2 , |x|3 ), trong ®ã h1 (t) víi mäi x, t ∈ R. §Þnh lÝ sau ®©y lµ mét më réng cña ®Þnh lÝ 7.3.1 trong [1]. {Xni , 1 n, n ≥ 1} lµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc 2. i Gi¶ sö §Þnh lÝ n→∞ cov (Xni , Xnj ) − − 0. Khi ®ã nÕu Mn = −→ EXni = 0, ©m tuyÕn tÝnh theo hµng, i
n n n |E (eitXnk − 1 − itXnk )| 2 E min(|Xnk |, Xnk ). (6) = 2h1 (t)Eg1 (Xnk ) = 2h1 (t) k=1 k=1 k=1 2 th× min(|x|, x2 ) min(|x|, |x|r ), do ®ã 1 ε)) + Mn ε)) n k=1 k=1 n→∞ Mn − − 0. Theo ®Þnh lÝ 2 ta suy ra ®.p.c.m. −→ Suy ra 2 5. (Xk ) EX1 = a, EX1 = Gi¶ sö phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh cïng ph©n phèi, HÖ qu¶ n→∞ X1 +...+Xn P C < ∞, E (|X1 − a|I (|X1 − a| > εn)) − − 0, víi mäi ε > 0. Khi ®ã −→ − → a. n
Xk −a {Xnk , 1 k n, n ≥ 1} m¶ng c¸c Xnk = n ,k n. Chøng minh. §Æt Râ rµng EXnk = 0, cov (Xni , Xnj ) < biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh theo hµng, i ε)) = E (| |I (| | > ε)) = = n n n k=1 k=1 n→∞ = E (|X1 − a|I (|X1 − a| > εn)) − − 0. −→ Theo hÖ qu¶ 4 suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. {Xnk , k = 1, ..., n, n ≥ 1} m¶ng c¸c biÕn ngÉu 6. (LuËt sè lín Liapunov) Gi¶ sö HÖ qu¶ cov (Xni , Xnj ) → 0. Khi ®ã nÕu EXnk = 0, nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh theo hµng, i
n n→∞ ϕSn (t) − − −→ ϕXnk (t). Suy ra k=1 n t2 n→∞ ϕXnk (t) − − e− 2 , t ∈ R. Ta cã −→ Do ®ã ta chØ cÇn chøng tá k=1 n n n n t2 σnk 2 t2 σnk 2 t2 ϕXnk (t) − e− 2 | = | e− |ϕXnk (t) − e− | ϕXnk (t) − | | 2 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n n t2 Xnk 2 t2 σnk 2 t2 σnk 2 |e− |E (eitXnk − 1 − itXnk + −1+ | )+ 2 2 2 k=1 k=1 n n t4 min(Xnk , |Xnk |3 ) 2 2 h2 (t) + σnk 8 k=1 k=1 n t4 min(Xnk , |Xnk |s ) + 2 max σ 2 . h2 (t) (14) 8 k n nk k=1 0 < ε < 1 ta cã Víi 2 2 2 σnk = E (Xnk I (|Xnk | ε)) + E (Xnk I (|Xnk | > ε) ε2 + E (Xnk I (|Xnk | > 1)) + E (Xnk I (ε < |Xnk | 1)) 2 2 1 ε2 + E (Xnk I (|Xnk | > 1)) + s−2 E (Xnk I (1 ≥ |Xnk | > ε)) 2 s ε 1 ε2 + s−2 E min(Xnk , |Xnk |s ). 2 (15) ε Tõ (13), (14), (15) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. Tõ ®Þnh lÝ 3, ta rót ra hÖ qu¶ sau. {Xnk , 1 k n, n ≥ 1} lµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m 7. Gi¶ sö HÖ qu¶ tuyÕn tÝnh theo hµng, EXni = 0. Khi ®ã nÕu n n→∞ n→∞ Xni ) − − ∞, S12 S ‘2 = D( −→ cov (Xni , Xnj ) − − 0, −→ n ‘ n i=1 i
Do ®ã tõ gi¶ thiÕt ta cã 1 n→∞ cov (Xni , Xnj ) − − 0; −→ (16) 2 Sn i ε Sn )) = 0(Sn ). (17) i=1 Suy ra S ‘2 S2 1 1 n = lim ( n + 2 lim cov (Xni , Xnj )) = 1 + lim cov (Xni , Xnj ) = 1. 2 2 2 n→∞ Sn n→∞ Sn Sn n→∞ Sn i ε)) EXnk = ε)) + k=1 k=1 k=1 n 1 2 2 2 EXnk I (|Xnk | > ε Sn ). ε+ (18) 2 Sn k=1 n n→∞ 2 EZnk − − 0. −→ {Znk , 1 n, n ≥ 1} k Tõ (17), (18) suy ra VËy tho¶ m·n c¸c ®iÒu k=1 n d Znk − X , víi X → N (0.1). Tõ ®ã suy ra kiÖn cña hÖ qu¶ 1. Do ®ã cã ph©n phèi chuÈn k=1 ®iÒu cÇn chøng minh. Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn Duy TiÕn, Vò ViÖt Yªn, LÝ thuyÕt x¸c suÊt, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 2000. [2] M. H. Ko, D. H. Ryu, and T. S. Kym, The almost sure convergence of AANA sequences in double arrays, Bul. Korean Math. Soc., 43 (1), 2006, 169-178. [3] M. H. Ko, D. H. Ryu, and T. S. Kym, Strong laws of large numbers for weighted sums of negatively dependent random variables, J. Korean Math. Soc., 43 (6), 2006, 1325-1338. [4] E. Lehmann, Some concepts of dependence, Ann. Math. Statist, 37, 1966, 1137- 1153. [5] C. M. Newman, Normal fluctuations and the FKG inequalities, Comm. Mart. Physl., 91, 1980, 75-90.
[6] C. M. Ronald, Patterson, D. Wendy, L. Smith Robert, Taylor Abolghassem Bozorg- nia, Limit theorems for negatively dependent random variables, Nonlinear Analysis, 47, 2001, 1283-1295. Summary extension some limit theorems to negatively dependent and linearly negatively dependent random variables In this paper, we establish some weak laws of larger numbers and center limit the- orems for negatively dependent and linearly negatively dependent random variables. (a) Khoa to¸n, Trêng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 13 X¸c suÊt, Trêng §¹i häc Vinh.