Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính"
lượt xem 5
download
Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả. 5. Nguyễn Văn Quảng, Đào Thị Hồng Thuỷ, Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính..Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng...
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Mở rộng một số định lí giới hạn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và phụ thuộc âm tuyến tính"
- Më réng mét sè ®Þnh lÝ giíi h¹n cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh (a) (b) nguyÔn v¨n qu¶ng , ®µo thÞ hång thuû Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy chóng t«i sÏ thiÕt lËp mét sè luËt yÕu sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. 1 Më ®Çu §éc lËp lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt. C¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu trªn c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp rÊt phong phó vµ cã nhiÒu kÕt qu¶ quan träng nh c¸c luËt sè lín, c¸c ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m... Do yªu cÇu cña thùc tÕ vµ tõ sù ph¸t triÓn cña lÝ thuyÕt x¸c suÊt, gÇn ®©y xuÊt hiÖn nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu trªn c¸c ®èi tîng tæng qu¸t h¬n nh c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m, liªn kÕt ©m, ... vµ còng thu ®îc nhiÒu kÕt qu¶ thó vÞ (xem [2], [3], [6],...). Trong bµi viÕt nµy chóng t«i sÏ thiÕt lËp mét sè luËt yÕu sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. 1. X1 , ..., Xn ®îc gäi lµ phô thuéc ©m nÕu tho¶ m·n C¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa n n xi ), ∀x1 , ..., xn ∈ R P( [Xi xi ]) P (Xi (1) i=1 i=1 n n P (Xi > xi ), ∀x1 , ..., xn ∈ R. P( [Xi > xi ]) (2) vµ i=1 i=1 X1 , ..., Xn , ... D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®îc gäi lµ phô thuéc ©m nÕu mäi tËp con h÷u h¹n cña nã phô thuéc ©m. X1 , ..., Xn , ... D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®îc gäi lµ phô thuéc ©m ®«i mét nÕu víi mäi i=j Xi , X j th× lµ phô thuéc ©m. Tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp (®éc lËp ®«i mét) lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m (phô thuéc ©m ®«i mét). Tuy nhiªn vÝ dô sau chøng tá r»ng tån t¹i c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m nhng kh«ng ®éc lËp. (Ω, F , P ) víi Ω = {1, 2, 3, 4}, F = {∀A : A ⊂ Ω} vµ P (A) = XÐt kh«ng gian x¸c suÊt |A| A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}. Khi ®ã, dÔ dµng kiÓm tra trùc tiÕp ®îc r»ng IA , IB 4 . LÊy lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m nhng kh«ng ®éc lËp. 1 NhËn bµi ngµy 21/9/2007. Söa ch÷a xong ngµy 19/12/2007.
- 2. X1 , ..., Xn , ... ®îc gäi lµ phô thuéc ©m tuyÕn D·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn §Þnh nghÜa A, B vµ c¸c tËp h»ng sè d¬ng tÝnh nÕu víi c¸c tËp c¸c sè nguyªn d¬ng rêi nhau (λk , k ∈ A), (λl , l ∈ B ) th× λk X k , λl Xl phô thuéc ©m. k ∈A l ∈B Râ rµng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh th× phô thuéc ©m ®«i mét. 2 C¸c kÕt qu¶ Tríc hÕt, chóng ta cÇn mét sè bæ ®Ò. 1. X1 , ...., Xn f1 , ..., fn ([4]) NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m vµ lµ c¸c Bæ ®Ò f (X1 ), ..., f (Xn ) hµm Borel cïng t¨ng hoÆc cïng gi¶m th× lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m. 2. X1 , X 2 ([4]) NÕu lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m th× Bæ ®Ò EX1 X2 E X1 EX2 cov (X1 , X2 ) 0. vµ 1. X1 , ..., Xn lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét th× NÕu HÖ qu¶ D(X1 + ... + Xn ) DX1 + ... + DXn . X1 , ..., Xn i=j cov (Xi , Xj ) 0. Suy Chøng minh. V× phô thuéc ©m nªn víi mäi cã ra n n n D( Xk ) = D(Xk ) + cov (Xi , Xj ) D(Xk ). i 0 tuú ý, ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Chebyshev vµ HÖ qu¶ 1 Chøng minh. Víi mçi ta cã n n n 1 D( n Xi ) D( Xi ) DXi n n 1 1 i=1 i=1 i=1 P| Xi − EXi | ≥ ε = . ε2 n2 ε 2 n2 ε 2 n n i=1 i=1 n n n 1 1 1 DXi → 0 khi n → ∞ lim P | n Xi − EXi | ≥ ε = 0. V× nªn Suy ra n2 n n→∞ i=1 i=1 i=1 n n P 1 Xi − EXi − 0 khi n → ∞. → n i=1 i=1 Tõ ®Þnh lÝ ta cã c¸c hÖ qu¶ sau.
- {Xn , n ≥ 1} lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét. Khi 2. Gi¶ sö HÖ qu¶ C víi mäi n ≥ 1, th× d·y {Xn } tu©n theo luËt C > 0 sao cho DXn ®ã nÕu tån t¹i sè yÕu sè lín. {Xn , n ≥ 1} lµ d·y c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m ®«i mét, cïng 3. Gi¶ sö HÖ qu¶ n P EX1 = a, DX1 = σ 2 . Khi ®ã Xi − a khi n → ∞. → ph©n phèi, i=1 Trong phÇn tíi chóng ta sÏ tr×nh bµy luËt sè lín vµ ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m cho m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. Tríc hÕt ta cã c¸c bæ ®Ò sau. 3. X1 , ..., Xn ([5]) Gi¶ sö lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh. Khi Bæ ®Ò ®ã m m |Φ(r1 , ..., rm ) − Φj (rj )| |rk rl cov (Xk , Xl )|, j =1 k,l=1 m Φ(r1 , ..., rm ) = E (exp[(i rj Xj ]), Φj (rj ) = E (exp[irj Xj ]). víi j =1 4. (Fn ) lµ d·y hµm ph©n phèi x¸c suÊt víi (ϕn ) lµ d·y hµm ®Æc ([1]) Gi¶ sö Bæ ®Ò w Fn − F khi vµ chØ khi ϕn → ϕ, víi ϕ lµ hµm ®Æc trng cña F . → trng t¬ng øng. Khi ®ã w P Xn − C = const th× Xn − C . → → 5. ([1]) NÕu Bæ ®Ò Ngoµi ra trong c¸c phÇn tíi chóng ta thêng xuyªn sö dông c¸c bÊt ®¼ng thøc sau, chóng ®îc tr×nh bµy trong [1] n |a1 a2 ...an − b1 b2 ...bn | |ak − bk |, víi mäi|ak | 1, |bk | 1; (3) k=1 |eitx − 1 − itx| 2h1 (t)g1 (x); (4) t2 x2 |eitx − 1 − itx + | h2 (t)g2 (x), (5) 2 = max(|t|, t2 ), g1 (x) = min(|x|, x2 ), h2 (t) = max(t2 , |t|3 ), g2 (x) = min(x2 , |x|3 ), trong ®ã h1 (t) víi mäi x, t ∈ R. §Þnh lÝ sau ®©y lµ mét më réng cña ®Þnh lÝ 7.3.1 trong [1]. {Xni , 1 n, n ≥ 1} lµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc 2. i Gi¶ sö §Þnh lÝ n→∞ cov (Xni , Xnj ) − − 0. Khi ®ã nÕu Mn = −→ EXni = 0, ©m tuyÕn tÝnh theo hµng, i
- n n n |E (eitXnk − 1 − itXnk )| 2 E min(|Xnk |, Xnk ). (6) = 2h1 (t)Eg1 (Xnk ) = 2h1 (t) k=1 k=1 k=1 2 th× min(|x|, x2 ) min(|x|, |x|r ), do ®ã 1 ε)) + Mn ε)) n k=1 k=1 n→∞ Mn − − 0. Theo ®Þnh lÝ 2 ta suy ra ®.p.c.m. −→ Suy ra 2 5. (Xk ) EX1 = a, EX1 = Gi¶ sö phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh cïng ph©n phèi, HÖ qu¶ n→∞ X1 +...+Xn P C < ∞, E (|X1 − a|I (|X1 − a| > εn)) − − 0, víi mäi ε > 0. Khi ®ã −→ − → a. n
- Xk −a {Xnk , 1 k n, n ≥ 1} m¶ng c¸c Xnk = n ,k n. Chøng minh. §Æt Râ rµng EXnk = 0, cov (Xni , Xnj ) < biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh theo hµng, i ε)) = E (| |I (| | > ε)) = = n n n k=1 k=1 n→∞ = E (|X1 − a|I (|X1 − a| > εn)) − − 0. −→ Theo hÖ qu¶ 4 suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. {Xnk , k = 1, ..., n, n ≥ 1} m¶ng c¸c biÕn ngÉu 6. (LuËt sè lín Liapunov) Gi¶ sö HÖ qu¶ cov (Xni , Xnj ) → 0. Khi ®ã nÕu EXnk = 0, nhiªn phô thuéc ©m tuyÕn tÝnh theo hµng, i
- n n→∞ ϕSn (t) − − −→ ϕXnk (t). Suy ra k=1 n t2 n→∞ ϕXnk (t) − − e− 2 , t ∈ R. Ta cã −→ Do ®ã ta chØ cÇn chøng tá k=1 n n n n t2 σnk 2 t2 σnk 2 t2 ϕXnk (t) − e− 2 | = | e− |ϕXnk (t) − e− | ϕXnk (t) − | | 2 2 k=1 k=1 k=1 k=1 n n t2 Xnk 2 t2 σnk 2 t2 σnk 2 |e− |E (eitXnk − 1 − itXnk + −1+ | )+ 2 2 2 k=1 k=1 n n t4 min(Xnk , |Xnk |3 ) 2 2 h2 (t) + σnk 8 k=1 k=1 n t4 min(Xnk , |Xnk |s ) + 2 max σ 2 . h2 (t) (14) 8 k n nk k=1 0 < ε < 1 ta cã Víi 2 2 2 σnk = E (Xnk I (|Xnk | ε)) + E (Xnk I (|Xnk | > ε) ε2 + E (Xnk I (|Xnk | > 1)) + E (Xnk I (ε < |Xnk | 1)) 2 2 1 ε2 + E (Xnk I (|Xnk | > 1)) + s−2 E (Xnk I (1 ≥ |Xnk | > ε)) 2 s ε 1 ε2 + s−2 E min(Xnk , |Xnk |s ). 2 (15) ε Tõ (13), (14), (15) suy ra ®iÒu cÇn chøng minh. Tõ ®Þnh lÝ 3, ta rót ra hÖ qu¶ sau. {Xnk , 1 k n, n ≥ 1} lµ m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc ©m 7. Gi¶ sö HÖ qu¶ tuyÕn tÝnh theo hµng, EXni = 0. Khi ®ã nÕu n n→∞ n→∞ Xni ) − − ∞, S12 S ‘2 = D( −→ cov (Xni , Xnj ) − − 0, −→ n ‘ n i=1 i
- Do ®ã tõ gi¶ thiÕt ta cã 1 n→∞ cov (Xni , Xnj ) − − 0; −→ (16) 2 Sn i ε Sn )) = 0(Sn ). (17) i=1 Suy ra S ‘2 S2 1 1 n = lim ( n + 2 lim cov (Xni , Xnj )) = 1 + lim cov (Xni , Xnj ) = 1. 2 2 2 n→∞ Sn n→∞ Sn Sn n→∞ Sn i ε)) EXnk = ε)) + k=1 k=1 k=1 n 1 2 2 2 EXnk I (|Xnk | > ε Sn ). ε+ (18) 2 Sn k=1 n n→∞ 2 EZnk − − 0. −→ {Znk , 1 n, n ≥ 1} k Tõ (17), (18) suy ra VËy tho¶ m·n c¸c ®iÒu k=1 n d Znk − X , víi X → N (0.1). Tõ ®ã suy ra kiÖn cña hÖ qu¶ 1. Do ®ã cã ph©n phèi chuÈn k=1 ®iÒu cÇn chøng minh. Tµi liÖu tham kh¶o [1] NguyÔn Duy TiÕn, Vò ViÖt Yªn, LÝ thuyÕt x¸c suÊt, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o dôc, 2000. [2] M. H. Ko, D. H. Ryu, and T. S. Kym, The almost sure convergence of AANA sequences in double arrays, Bul. Korean Math. Soc., 43 (1), 2006, 169-178. [3] M. H. Ko, D. H. Ryu, and T. S. Kym, Strong laws of large numbers for weighted sums of negatively dependent random variables, J. Korean Math. Soc., 43 (6), 2006, 1325-1338. [4] E. Lehmann, Some concepts of dependence, Ann. Math. Statist, 37, 1966, 1137- 1153. [5] C. M. Newman, Normal fluctuations and the FKG inequalities, Comm. Mart. Physl., 91, 1980, 75-90.
- [6] C. M. Ronald, Patterson, D. Wendy, L. Smith Robert, Taylor Abolghassem Bozorg- nia, Limit theorems for negatively dependent random variables, Nonlinear Analysis, 47, 2001, 1283-1295. Summary extension some limit theorems to negatively dependent and linearly negatively dependent random variables In this paper, we establish some weak laws of larger numbers and center limit the- orems for negatively dependent and linearly negatively dependent random variables. (a) Khoa to¸n, Trêng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 13 X¸c suÊt, Trêng §¹i häc Vinh.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "NGHIÊN CỨU CHẤT LƯỢNG NƯỚC VÀ TÔM TỰ NHIÊN TRONG CÁC MÔ HÌNH TÔM RỪNG Ở CÀ MAU"
12 p | 1367 | 120
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "NGHIÊN CỨU NHỮNG HẠN CHẾ CỦA HOẠT ĐỘNG NHÓM TRONG CÁC LỚP HỌC TIẾNG ANH"
7 p | 333 | 94
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Chính sách “Một nước hai chế độ” trong quá trình đấu tranh thống nhất Đài Loan của Cộng hoà nhân dân Trung Hoa."
12 p | 277 | 48
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Cái tôi trữ tình trong thơ Nguyễn Quang Thiều."
10 p | 614 | 45
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "NGHIÊN CỨU PHỐI TRỘN CHI TOSAN – GELATI N LÀM MÀNG BAO THỰC PHẨM BAO GÓI BẢO QUẢN PHI LÊ CÁ NGỪ ĐẠI DƯƠNG"
7 p | 528 | 45
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Giọng điệu thơ trào phúng Tú Mỡ trong “Dòng nước ngược”"
8 p | 322 | 44
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " KHẢ NĂNG HẤP THỤ AMMONIA CỦA ZEOLITE TỰ NHIÊN TRONG MÔI TRƯỜNG NƯỚC Ở CÁC ĐỘ MẶN KHÁC NHAU"
7 p | 211 | 37
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NGHIÊN CỨU KHẢ NĂNG SINH TRƯỞNG, SỨC SẢN XUẤT THỊT CỦA LỢN LAI PIETRAIN X (YORKSHIRE X MÓNG CÁI) ĐƯỢC NUÔI BẰNG NGUỒN THỨC ĂN SẴN CÓ TRONG NÔNG HỘ Ở QUẢNG TRỊ"
8 p | 167 | 25
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Quan hệ giữa cấu trúc và ngữ nghĩa câu văn trong tập truyện ngắn “Đêm tái sinh” của tác giả Trần Thuỳ Mai"
10 p | 437 | 24
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Vai trò của toán tử tình thái trong tác phẩm của Nguyễn Công Hoan (Qua phân tích truyện ngắn Mất cái ví)"
8 p | 268 | 24
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "BIẾN ĐỘNG CÁC YẾU TỐ MÔI TRƯỜNG TRONG AO NUÔI CÁ TRA (Pangasianodon hypophthalmus) THÂM CANH Ở AN GIANG"
9 p | 173 | 23
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " HI ỆN TRẠNG CHẤT LƯỢNG NƯỚC VÙNG NUÔI ARTEMIA HUYỆN VĨNH CHÂU TỈNH SÓC TRĂNG"
13 p | 108 | 23
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NGHIÊN CỨU SỰ PHÁT TRIỂN CỦA PHÔI CÁ CHẠCH (MISGURNUS ANGUILLICAUDATUS) ĐƯỢC CHUYỂN GEN HORMONE SINH TRƯỞNG NGƯỜI"
8 p | 213 | 19
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BIỆN PHÁP KỸ THUẬT CHÍNH ÁP DỤNG CHO SẢN XUẤT NGÔ RAU Ở THỪA THIÊN HUẾ"
14 p | 154 | 18
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NGHIÊN CỨU SỨC SẢN XUẤT CỦA VỊT BỐ MẸ CHERRY VELLEY SUPER MEAT 2 (CV.SM2) NUÔI TRONG ĐIỀU KIỆN NÔNG HỘ TẠI TỈNH BÌNH ĐỊNH"
11 p | 181 | 16
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "KHẢ NĂNG KI ỂM SOÁT SỰ PHÁT TRI ỂN CỦA TẢO TRONG BỂ NUÔI TÔM SÚ (PENAEUS MONODON) BẰNG BI ỆN PHÁP KẾT TỦA PHỐT-PHO"
10 p | 134 | 13
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học: " NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA MOLYBDENUM (MO) ĐẾN SINH TRƯỞNG VÀ NĂNG SUẤT LẠC (ARACHIS HYPOGAEA L.) TRỒNG TRÊN ĐẤT CÁT Ở THỪA THIÊN HUẾ"
8 p | 150 | 13
-
Báo cáo nghiên cứu khoa học công nghệ: Kết quả nghiên cứu lúa lai viện cây lương thực và cây thực phẩm giai đoạn 2006 - 2010
7 p | 190 | 13
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn