Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về đề tài: Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về cấu trúc đối xứng của tích Descartes các nữa không gian trên"

T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 M T S K T QU V C U TRÚC Đ I X NG C A TÍCH DESCARTES CÁC N A KHÔNG GIAN TRÊN Tr n Đ o Dõng, Đ i h c Hu Hoàng Thái Vũ, S GD-ĐT Th a Thiên Hu Tóm t t. M t trong các bài toán cơ b n trong hình h c vi phân và lý thuy t Lie là kh o sát không gian đ i x ng đ a phương dư i d ng không gian thương c a không gian đ i x ng c m sinh qua tác đ ng c a các nhóm (con) s h c, đ c bi t là các nhóm r i r c. Trong [6], chúng tôi đã kh o sát c u trúc không gian đ i x ng c a n a không gian trên H3 đư c th hi n như không gian đ i x ng SL(2, C)/SU (2) qua tác đ ng c a SL(2, C). T đó, ng d ng kh o sát m t s tính ch t c a không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) c m sinh qua tác đ ng c a nhóm r i r c SL(2, Z + iZ) trên H3 . Trong bài vi t này, chúng tôi m r ng các k t qu trên cho trư ng h p tích Descartes n H3 := H3 × ... × H3 c a các n a không gian trên đư c th hi n như không gian đ i x ng SLn (2, C)/SU n (2) c m sinh qua tác đ ng c a nhóm (con) r i r c SLn (2, Z + iZ) trên Hn . 3 1. C u trúc đ i x ng c a tích Descartes các n a không gian trên Đ nh nghĩa 1.1. Cho H = {s + tj |s, t ∈ C} là đ i s quaternion (chu n t c). T p h p H3 := {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0} = {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0} ≡ {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0}, đư c g i là n a không gian trên. Khi đó H3 là m t đa t p 3 chi u v i c u trúc Riemann |dz |2 dx2 + dy 2 + dt2 ds2 := = . t2 t2 Hơn n a, ta có: M nh đ 1.2. Cho đa t p H3 và đi m c đ nh z0 = (x0 , y0 , t0 ) ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f z0 : H3 H3 (x, y, t) −→ (2x0 − x, 2y0 − y, t), là m t vi phôi đ ng c và đ i h p. Suy ra H3 là m t không gian đ i x ng. Ch ng minh. i) fz0 song ánh là rõ. 17
ii) Do các ánh x thành ph n kh vi nên fz0 kh vi. iii) Ta có, (fz0 )2 (x, y, t) = fz0 (fz0 (x, y, t)) = fz0 (2x0 − x, 2y0 − y, t) = (x, y, t), ∀(x, y, t) ∈ H3 . V y (fz0 )2 = IdH3 . Suy ra, fz0 là m t phép bi n đ i đ i h p. Hơn n a, do (fz0 )2 = IdH3 nên (fz0 )−1 = fz0 . Suy ra, (fz0 )−1 cũng kh vi. iv) M t khác, fz0 đư c bi u di n dư i d ng: −→ f z0 : H3 H3 x + yi + tj −→ (−x − yi + tj ) + (2x0 + 2y0 i). Suy ra fz0 là m t phép bi n đ i đ ng c c a H3 . T đó fz0 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . Ch ng minh tương t M nh đ (1.2), chúng ta có hai m nh đ sau: M nh đ 1.3.Cho đa t p H3 , xét k ∈ S 1 ⊂ C và z0 = s0 + t0 j ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f: H3 H3 z = s + tj −→ −[t0 ] [k (s − s0 ) + tj ]−1 + s0 , 2 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . M nh đ 1.4. Cho đa t p H3 , xét k ∈ S 0 = {−1, 1} và z0 = s0 + t0 j ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f: H3 H3 z = s + tj −→ −[t0 ] [k (s − s0 ) + tj ]−1 + s0 , 2 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . K t qu dư i đây th hi n m i liên h gi a H3 v i không gian đ i x ng SL(2, C)/SU (2) qua tác đ ng c a nhóm Lie SL(2, C) trên H3 M nh đ 1.5.([6, M nh đ 1.5]) Cho nhóm Lie G = SL(2, C) và n a không gian trên H3 = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R, t > 0}. Khi đó, ánh x G × H3 −→ ϕ: H3 ab ab .z := [az + b][cz + d]−1 , , z ) −→ ( cd cd là m t tác đ ng (trái) đ ng c và b c c u c a nhóm Lie G = SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . Hơn n a, ta có H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). = Bây gi chúng ta xác đ nh c u trúc không gian đ i x ng c a tích Descartes các n a không gian trên Hn := H3 × ... × H3 . 3 18
Xét đa t p tích Hn . G i dH3 là mêtric trên n a không gian trên H3 . Khi đó, mêtric 3 dHn trên Hn đư c xác đ nh b i 3 3 dHn (z ; w) = dHn ((z1 , ..., zn ); (w1 , ..., wn )) := dH3 (z1 ; w1 ) + ... + dH3 (zn ; wn ); 3 3 v i m i z = (z1 , ..., zn ), w = (w1 , ..., wn ) ∈ Hn . 3 M nh đ 1.6. Cho đa t p Hn và ph n t c đ nh z 0 = (z1 , ..., zn ) ∈ Hn . 0 0 3 3 Khi đó, ánh x Hn Hn −→ fz 0 : 3 3 (z1 , ..., zn ) −→ (f1 (z1 ), ..., fn (zn )), là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a Hn , trong đó, 3 −→ fi : H3 H3 (xi , yi , ti ) −→ (2Re(zi ) − xi , 2Imi (zi0 ) − yi , ti ); 0 i = 1, n. Suy ra Hn là m t không gian đ i x ng. 3 Ch ng minh. i) fz0 song ánh là rõ. ii) Do các ánh x thành ph n kh vi nên fz0 kh vi. iii) Ta có, (fi )2 = IdH3 , ∀i = 1, n. Do đó, (fz0 )2 ((z1 , ..., zn )) = fz0 ((f1 (z1 ), ..., fn (zn ))) = (f1 (f1 (z1 )), ..., fn (fn (zn ))) = ((f1 )2 (z1 ), ..., (fn )2 (zn )) = (z1 , ..., zn ); ∀(z1 , ..., zn ) ∈ Hn . 3 V y (fz0 )2 = IdHn . Suy ra, fz0 là m t phép bi n đ i đ i h p. 3 Hơn n a, do (fz0 )2 = IdHn nên (fz0 )−1 = fz0 . Suy ra, (fz0 )−1 cũng kh vi. 3 iv ) Ta có, m i fi là phép bi n đ i đ ng c c a H3 . Do đó, dHn (fz0 (z1 , ..., zn ); fz0 (w1 , ..., wn )) = dHn ((f1 (z1 ), ..., fn (zn )); (f1 (w1 ), ..., 3 3 fn (wn ))) = dH3 (f1 (z1 ); f1 (w1 ))+...+dH3 (fn (zn ); fn (wn )) = dH3 (z1 ; w1 )+...+dH3 (zn ; wn ) = dHn ((z1 , ..., zn ); (w1 , ..., wn )); ∀(z1 , ..., zn ), (w1 , ..., wn ) ∈ Hn . 3 3 V y fz0 là m t phép bi n đ i đ ng c c a Hn . 3 Tóm l i, fz0 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a Hn . 3 Ch ng minh tương t M nh đ (??), chúng ta có hai m nh đ sau: M nh đ 1.7. Cho đa t p Hn ; xét k1 , k2 , ..., kn ∈ S 1 ⊂ C và ph n t c đ nh z 0 = 3 (s0 + t0 j, ..., s0 + t0 j ) ∈ Hn . 1 1 n n 3 Khi đó, ánh x Hn Hn −→ fz 0 : 3 3 (z1 , ..., zn ) −→ (f1 (z1 ), ..., fn (zn )), là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a Hn , trong đó 3 −→ fi : H3 H3 zi = si + ti j −→ −[ti ] [ki (si − si ) + ti j ]−1 + s0 ; 02 0 i = 1, n. i 19
M nh đ 1.8.Cho đa t p Hn ; xét k1 , k2 , ..., kn ∈ S 0 = {−1, 1} và ph n t c đ nh 3 z 0 = (s0 + t0 j, ..., s0 + t0 j ) ∈ Hn . Khi đó, ánh x 1 1 n n 3 Hn Hn −→ fz 0 : 3 3 (z1 , ..., zn ) −→ (f1 (z1 ), ..., fn (zn )), là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a Hn , trong đó 3 −→ fi : H3 H3 zi = si + ti j −→ −[ti ] [ki (si − si ) + ti j ]−1 + s0 ; 02 0 i = 1, n. i Xét nhóm Lie SLn (2, C) := SL(2, C) × ... × SL(2, C). Theo M nh đ ((1.5), chúng ta xác đ nh đư c tác đ ng c a SL(2, C) lên Hn và m i liên h gi a Hn v i không gian đ i 3 3 n n x ng SL (2, C)/SU (2) th hi n trong m nh đ sau: M nh đ 1.9.Cho nhóm Lie G = SLn (2, C) và đa t p Hn . Khi đó, ánh x 3 G × Hn −→ Hn α: 3 3 a1 b 1 an b n ); (z1 , ..., zn )) −→ V ; (( , ..., c1 d 1 cn d n trong đó, V := ([a1 z1 + b1 ][c1 z1 + d1 ]−1 , ..., [an zn + bn ][cn zn + dn ]−1 ); là m t tác đ ng (trái), đ ng c và b c c u c a nhóm Lie G = SLn (2, C) trên đa t p Hn . Hơn n a, 3 Hn ∼ SLn (2, C)/SU n (2). 3= 2. Không gian đ i x ng đ a phương SLn (2, Z + iZ)\Hn 3 Xét không gian đ i x ng H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). Qua tác đ ng c a nhóm (con) r i r c = SL(2, Z + iZ) trên H3 chúng ta xác đ nh đư c không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\H3 ∼ SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2). = Trong m c này, tương t như trư ng h p không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z)\H2 c m sinh t n a m t ph ng trên H2 đư c xét trong [5], chúng tôi m r ng khái ni m mi n cơ b n c a m t nhóm r i r c Γ tác đ ng trên H2 cho trư ng h p H3 và ng d ng đ kh o sát m t s tính ch t c a không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\H3 . K t qu sau đây cho th y có th xác đ nh mi n cơ b n c a nhóm r i r c SL(2, Z + iZ) tác đ ng trên H3 . M nh đ 2.1.([6, M nh đ 2.1]) M t mi n cơ b n Ω c a Γ := SL(2, Z + iZ) trên H3 đư c xác đ nh b i mi n sau: 1 1 1 Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | − < x < ; 0 < y < ; |z | = x2 + y 2 + t2 > 1}. 2 2 2 M t tính ch t quan tr ng c a SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact. C th , chúng ta có m nh đ sau: 2.2. ([6, M nh đ 2.3]) Không gian thương SL(2, Z + iZ)\H3 là không M nh đ compact. 20
Ch ng minh. G i (tn )n là dãy các s th c dương ti n đ n +∞ và xét t p con r i r c Γ = SL(2, Z + iZ). V i m i n ∈ N, đ t zn = tn j. Khi đó, (zn )n ⊂ H3 ; (Γ.zn )n ⊂ SL(2, Z + iZ)\H3 . ab M t khác, ∀γ = ∈ Γ = SL(2, Z + iZ), ta có: cd bd + act2 tn n γzn = +2 j. 2 + |c|2 t2 |d| + |c|2 t2 |d| n n Hơn n a, ∗ N u c = 0 thì ad = 1. Lúc đó, |d|2 = 1 và Imj (γzn ) = tn ; tn 1 ∗ N u c = 0 thì 0 ≤ Imj (γzn ) ≤ ≤ . |c|2 t2 tn n Suy ra +∞ n→∞ , ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Imj (γzn ) −−−−→ −−−− 0 Như v y, m i (γznk )nk không th h i t đ n m t ph n t trong H3 , v i m i γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Suy ra, m i (Γ.znk )nk không th h i t đ n m t ph n t trong SL(2, Z + iZ)\H3 . V y SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact. M nh đ 2.3.([6, M nh đ 2.4]) Cho F = Ω ∪ {∂ Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z ) ≥ 0}}. Khi đó, F là m t t p cơ b n kh p c a Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3 ) và ta xác đ nh đư c m t song ánh gi a các t p h p SL(2, Z + iZ)\H3 và F. 11 1i ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên c m sinh các Ch ng minh. Do T = ,U = 01 01 phép t nh ti n z −→ z + 1; z −→ z + i. i0 ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên c m sinh phép đ i x ng z = Hơn n a, do W = 0 −i s + tj −→ −s + tj. 01 ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên c m sinh phép bi n đ i z = Ngoài ra, do S = −1 0 x + yi + tj −→ − |zx|2 + |zy|2 i + |zt|2 j. Do đó, m nh đ trên đư c suy ra t M nh đ (2.1). Nh n xét 2.4. Cho F = Ω ∪ {∂ Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z ) ≤ 0}}. Khi đó, F cũng là m t t p cơ b n kh p c a Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3 ). Bây gi xét không gian đ i x ng Hn ∼ SLn (2, C)/SU n (2). Qua tác đ ng c a nhóm 3= n n (con) r i r c SL (2, Z + iZ) lên H3 , tương t như trư ng h p không gian đ i x ng H3 chúng ta xác đ nh đư c không gian đ i x ng đ a phương SLn (2, Z + iZ)\Hn ∼ SLn (2, Z + iZ)\SLn (2, C)/SU n (2). 3= 21
Trong m c này, chúng tôi m r ng khái ni m mi n cơ b n c a m t nhóm r i r c Γ trên H3 cho trư ng h p Hn và ng d ng đ kh o sát m t s tính ch t c a không gian đ i 3 x ng đ a phương SLn (2, Z + iZ)\Hn . 3 K t qu dư i đây cho th y có th xác đ nh mi n cơ b n c a nhóm r i r c SLn (2, Z + iZ) trên Hn c m sinh t mi n cơ b n c a SL(2, Z + iZ) trên H3 . 3 M nh đ 2.5. M t mi n cơ b n Ωn c a Γn := SLn (2, Z + iZ) trên Hn đư c xác đ nh 3 b i mi n sau: Ωn := Ω × ... × Ω; trong đó, 1 1 1 x2 + y 2 + t2 > 1}. Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | − < x < ; 0 < y < ; |z | = 2 2 2 Ch ng minh. i) V i z = (z1 , ..., zn ) ∈ Hn ; xét Γn −qu đ o 3 Γn .z = {γz = (γ1 z1 , ..., γn zn ) | γ = (γ1 , ..., γn ) ∈ Γn = SLn (2, Z + iZ)}. V i m i i, ta có zi ∈ H3 nên ∃γi ∈ SLn (2, Z + iZ) sao cho γi zi ∈ Ω. Xét γ = (γ1 , ..., γn ) ∈ Γn = SLn (2, Z + iZ. Khi đó, γz = (γ1 z1 , ..., γn zn ) ∈ Ω × ... × Ω = Ωn . V y m i Γn −qu đ o ch a ít nh t m t đi m trong Ωn . ii) M t khác, gi s z = (z1 , ..., zn ), γz = (γ1 z1 , ..., γn zn ) ∈ Ωn ; trong đó, γ = (γ1 , ..., γn ) ∈ Γn = SLn (2, Z + iZ. V i m i i, ta có zi , γi zi ∈ Ω nên zi = γi zi . Suy ra, γz = z. V y không có hai đi m nào c a Ωn n m trong cùng m t Γn −qu đ o. V y m nh đ đư c ch ng minh. T M nh đ (2.5) và phép ch ng minh M nh đ (2.2), chúng ta suy ra m nh đ sau: M nh đ 2.6. Không gian SLn (2, Z + iZ)\Hn là không compact. 3 Ch ng minh tương t phép ch ng minh M nh đ (2.3), chúng ta có m nh đ sau: M nh đ 2.7. Cho F n := F × ... × F, trong đó F = Ω ∪ {∂ Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z ) ≥ 0}}. Khi đó, F n là m t t p cơ b n kh p c a Γn = SLn (2, Z + iZ) (trên Hn ) và ta xác đ nh 3 đư c m t song ánh gi a các t p h p SLn (2, Z + iZ)\Hn và F n . 3 22
TÀI LI U THAM KH O [1] E.P. Van den Ban, Lie groups, Lecture Notes in Mathematics, MRI, University of Utrecht, Holland, 2003. [2] E.P. Van den Ban - H. Schlichtkrull, Harmonic analysis on reductive symmetric spaces, Progress in Math., 201, Birkhauser Verlag, Basel, 2001, 565-582. [3] B.Conrad, K.Rubin, Arithmetic algebraic geometry, IAS/Park City Math Series, vol. 9, AMS, 2001. [4] L.Ji, An introduction to symmetric spaces and their compactifications, University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2001. [5] L.Ji, Lectures on locally symmetric spaces and arithmetic groups, University of Michi- gan, Ann Arbor, MI 48109, 2004. [6] Tr n Đ o Dõng-Hoàng Thái Vũ, V không gian đ i x ng đ a phương c a n a không gian trên, T p chí khoa h c Đ i h c Hu , S 53(2009), 15-25. SOME RESULTS ON THE SYMMETRIC STRUCTURE OF THE CARTESIAN PRODUCT OF HALF UPPER SPACES Tran Dao Dong, Hue University Hoang Thai Vu, Department of Education and Training, Thua Thien Hue Province Summary Locally symmetric spaces play an important part in differential geometry and Lie theory. The typical important class consists of quotients of symmetric spaces by arithmetic groups,especially discretely groups. In [6], we studied the symmetric structure of the upper half space H3 and the relation with the symmetric space SL(2, C)/SU (2). Then we studied the locally symmetric space SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) based on the action of SL(2, Z + iZ) on H3 . In this note, firstly, we study the symmetric structure of the Cartesian product Hn of 3 upper half spaces and the relation with the symmetric space SLn (2, C)/SU n (2). Then we study the locally symmetric space SLn (2, Z + iZ)\Hn based on the action of SLn (2, Z + iZ) 3 on Hn . 3 23