intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một tương tự của định lý Maso"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
89
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học Vinh năm 2005 tác giả: 9. Nguyễn Thành Quang - Cao Trường - Phan Viết Bắc, Một tương tự của định lý Mason...Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp φύσις (phusis) có nghĩa là tự nhiên và...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một tương tự của định lý Maso"

  1. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Mét t−¬ng tù cña ®Þnh lý mason NguyÔn Th nh Quang (a) Cao Tr−êng (b), Phan ViÕt B¾c(c) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy b»ng c¸ch sö dông ®¹o hµm cña ®a thøc vµ kü thuËt Wronskian, chóng t«i ®−a ra mét t−¬ng tù cña ®Þnh lý Mason trªn ph−¬ng tr×nh Borel cña c¸c ®a thøc phøc. 1. Giíi thiÖu C¸c ®a thøc f0, f 1, ..., f n+1, (n ≥ 2) ®−îc gäi lµ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh Borel nÕu f 0 + f 1 + ...+ f n+1 = 0. §©y lµ d¹ng tæng qu¸t cña c¸c ph−¬ng tr×nh Diophant. GÇn ®©y, ng−êi ta th−êng nghiªn cøu sù t−¬ng tù cña lý thuyÕt Nevanlinna vµ xÊp xØ Diophant. Sù t−¬ng tù cña lý thuyÕt Nevanlinna vµ xÊp xØ Diophant kh«ng chØ thÓ hiÖn ë kÕt qu¶ mµ cßn ë ph−¬ng ph¸p chøng minh. ChØ cÇn mét tõ ®iÓn thÝch hîp, ng−êi ta cã thÓ phiªn dÞch c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt Nevanlinna thµnh c¸c kÕt qu¶ sè häc. ChÝnh nhê mét tõ ®iÓn nh− vËy mµ Vojta ®· chøng minh ®−îc nhiÒu kÕt qu¶ ®Æc s¾c trong sè häc (xem [6]). Mét tr−êng hîp ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh Borel, ®ã lµ ph−¬ng tr×nh “abc”: a + b = c, cïng víi gi¶ thuyÕt “abc”. Sù t−¬ng tù cña gi¶ thuyÕt “abc” trªn tr−êng hµm ®· ®−îc x©y dùng trong c«ng tr×nh cña Mason (xem [4]), sau ®ã ®−îc më réng trªn ph−¬ng tr×nh Borel trong c¸c c«ng tr×nh cña Volch, Brownawell, Masser, Wang [1], [2]. GÇn ®©y, gi¶ thuyÕt “abc” trªn tr−êng c¬ së kh«ng Acsimet ®· ®−îc x©y dùng vµ chøng minh bëi Hu - Yang [2]. Gi¶ sö F lµ mét tr−êng ®ãng ®¹i sè, cã ®Æc sè 0 vµ gi¶ sö f(z) lµ ®a thøc víi hÖ tö trong tr−êng F. KÝ hiÖu n  1  lµ sè nghiÖm ph©n biÖt cña ®a thøc f(z). N¨m  f   1983, R.C. Mason ®· chøng minh ®Þnh lý rÊt ®Ñp sau ®©y vÒ c¸c ®a thøc §Þnh lý Mason. (xem [4]) Gi¶ sö a(t), b(t), c(t) lµ c¸c ®a thøc víi hÖ sè trong F, kh«ng ®ång thêi lµ h»ng sè, nguyªn tè cïng nhau sao cho a + b = c. Khi ®ã ( ) max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ n 1 − 1, abc trong ®ã a, b, c lµ viÕt gän cña a(t), b(t), c(t). Chó ý r»ng, tõ ®Þnh lý Mason ta suy ra ®−îc §Þnh lý Fermat trªn ®a thøc. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i tiÕp tôc t×m mét kÕt qu¶ t−¬ng tù cña ®Þnh lý Mason. NhËn bµi ngµy 01/8/2005. Söa ch÷a xong 28/11/2005 57
  2. Mét t−¬ng tù cña ®Þnh lý Mason, tr. 57-63 N. T. Quang – C. Tr−êng – P. V. B¾c, 2. §Þnh nghÜa. Cho u1, u2, ..., um lµ c¸c phÇn tö cña kh«ng gian vect¬ trªn tr−êng F vµ I lµ mét tËp con thùc sù kh¸c rçng cña M = {1, 2, ..., m}. Ta gäi I lµ tËp con cùc tiÓu cña M nÕu c¸c phÇn tö ui, i ∈ I phô thuéc tuyÕn tÝnh vµ víi mäi tËp con thùc sù I’ cña I, c¸c phÇn tö ui, i ∈ I’ ®Òu ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn F. ∑ m 3. Bæ ®Ò. (xem [1]) Gi¶ sö u i = 0 vµ kh«ng cã tæng con thùc sù kh¸c rçng i =1 nµo triÖt tiªu. H¬n n÷a, tån t¹i tËp con thùc sù kh¸c rçng c¸c phÇn tö nµo ®ã phô thuéc tuyÕn tÝnh. Khi ®ã, chóng ta cã thÓ t×m ®−îc mét sè nguyªn l ≥ 2, vµ mét ph©n ho¹ch M = I1 ∪ I2 ∪ ... ∪ Il thµnh c¸c tËp con kh¸c rçng rêi nhau I1, I2, ..., Il vµ c¸c tËp kh¸c rçng J1, ..., Jl - 1 sao cho J1 ⊆ I1, J2 ⊆ I1 ∪ I2, ... , Jl - 1 ⊆ I1 ∪ I2 ∪... ∪ Il - 1 vµ I1, I2 ∪ J1, ..., Il ∪ Jl - 1 lµ c¸c tËp cùc tiÓu cña M. f ( x) ≠ 0 lµ mét hµm h÷u tØ, trong ®ã f(c), g(x) lµ c¸c ®a thøc Gi¶ sö ϕ ( x) = g ( x) kh¸c kh«ng vµ nguyªn tè cïng nhau. BËc cña ϕ(x), kÝ hiÖu lµ degϕ(x) ®−îc ®Þnh nghÜa bëi deg f(x) – deg g(x). Tõ tÝnh chÊt cña ®a thøc, ta cã 4. MÖnh ®Ò. NÕu ϕ1 vµ ϕ2 lµ c¸c hµm h÷u tØ trªn tr−êng F, khi ®ã i) deg(ϕ1ϕ2) = degϕ1 + degϕ2. ii) deg (1/ϕ1) = - degϕ1. iii) deg(ϕ1 + ϕ2) ≤ max {degϕ1, degϕ2}. 5. §Þnh nghÜa. Cho ϕ(x) ≠ 0 lµ mét hµm h÷u tØ trªn tr−êng F. Víi mäi α ∈ F, ta viÕt f ( x) ϕ(x) = (x - a)m 1 , (m ∈ Z), g1 ( x) ë ®©y f1(x), g1(x) lµ c¸c ®a thøc nguyªn tè cïng nhau, kh«ng chøa nh©n tö d¹ng (x-α)k vµ f1(x)g1(x) ≠ 0. Ta gäi m lµ cÊp cña ϕ t¹i α vµ kÝ hiÖu ordα(ϕ). Tõ ®Þnh nghÜa nµy ta nhËn ®−îc i) ordα(ϕ1ϕ2) = ordα(ϕ1) + ordα(ϕ2),  ii) ordα  1  = - ordα(ϕ1), ϕ   1 ϕ  iii) ordα  1  = ordα(ϕ1) - ordα(ϕ2). ϕ   2 6. MÖnh ®Ò. Cho ϕ(x) ≠ 0 lµ mét hµm h÷u tØ trªn F vµ gi¶ sö ϕ(k) lµ ®¹o hµm  ϕ (k )  cÊp k cña ϕ(x) sao cho ϕ(k) ≠ 0. Khi ®ã, ta cã bÊt ®¼ng thøc: ordα   ϕ  ≥ −k .    58
  3. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 f ( x) Chøng minh. §Æt ϕ ( x) = ( x − α ) m , ë ®©y f(x), g(x) lµ c¸c ®a thøc trªn F, g ( x) nguyªn tè cïng nhau víi f(x)g(x) ≠ 0. Khi ®ã, ta cã (m f ( x) + ( x − α ) f ' ( x)) g ( x) − ( x − α ) f ( x) g ' ( x) ϕ ' ( x) = ( x − α ) m−1 . g 2 ( x) V× ordα (g(x)) = 0, nªn ta cã ordα(ϕ ’) ≥ m - 1. Do ®ã ordα  ϕ '  = ordα(ϕ ’) – ordα(ϕ) ≥ - 1.  ϕ   V× vËy, ta nhËn ®−îc ordα  ϕ  = ord  ϕ ' ϕ ' ' ϕ ( k ) = (k )   α   ϕ ϕ Λ ϕ ( k −1) ϕ       = ordα  ϕ '  + ordα  ϕ ' '  + ... + ordα  ϕ  (k )  ( k −1)  ≥ - k.   ϕ  ϕ  ϕ      7. MÖnh ®Ò. Gäi ϕ1, ϕ2 lµ hai hµm h÷u tØ trong F vµ a ∈ F. Khi ®ã ta cã bÊt ®¼ng thøc ordα(ϕ1 + ϕ2) ≥ min { ordα(ϕ1), ordα(ϕ2)}. Chøng minh. §Æt ordα(ϕ1) = m1 vµ ordα(ϕ2) = m2. Ta cã f ( x) f ( x) ϕ1 ( x) = ( x − α ) m1 1 ; ϕ 2 ( x) = ( x − α ) m2 2 , g1 ( x ) g 2 ( x) ë ®©y f1, f2, g1, g2 lµ c¸c ®a thøc trªn tr−êng F vµ f1(x)f2(x)g1(x)g2 (x) ≠ 0. §Æt m = min{m1, m2}. Ta ®−îc [ (x − α ) ] m1 − m f1 ( x) g 2 ( x) + ( x − α ) m2 −m f 2 ( x) g1 ( x) . ϕ1( x) + ϕ2 ( x) = ( x − α ) m f 2 ( x) g 2 ( x) V× f2(α)g2 (α) ≠ 0 nªn ta cã ordα(ϕ1 + ϕ2) ≥ m = min { ordα(ϕ1), ordα(ϕ2)}. 8. §Þnh lý. Gi¶ sö f0, f1, ..., fn+1, (n ≥ 2) lµ c¸c ®a thøc víi hÖ sè trong F, kh«ng ®ång thêi lµ h»ng sè, nguyªn tè cïng nhau, sao cho f0 + f1 + ...+ fn+1 = 0. Gi¶ sö thªm r»ng c¸c ®a thøc f0, f1, ..., fn phô thuéc tuyÕn tÝnh. Khi ®ã, nÕu ∑ f i ≠ 0 víi mäi tËp con thùc sù I cña {0, ..., n+1} th× i ∈I n +1  1  − n. ∑n max { deg f i }  f ≤n  i 0 ≤ i ≤ n +1 i =0 59
  4. Mét t−¬ng tù cña ®Þnh lý Mason, tr. 57-63 N. T. Quang – C. Tr−êng – P. V. B¾c, Chøng minh. Theo bæ ®Ò trªn, ta cã thÓ t×m ®−îc mét sè nguyªn d−¬ng l ≥ 2 sao cho cã mét ph©n ho¹ch {0, 1, ..., n+1} = I1∪... ∪ Il vµ c¸c tËp con J1 ⊆ I1, J2 ⊆ I1 ∪ I2, ..., Jl-1 ⊆ I1 ∪ I2 ∪ ... ∪ Il -1 sao cho I1, I2∪ J1, ..., Il ∪ Jl -1 lµ c¸c tËp cùc tiÓu. §Æt ni = #Ii ta cã l ∑n = n+2. i i =1 Kh«ng lµm mÊt tÝnh tæng qu¸t chóng ta gi¶ sö r»ng 0, 1, ..., n1 – 1 ∈ I1; n1, n1+ 1, ..., n1 + n2 – 1, ∈ I2; ....................... n + 2 – nl, ..., n + 1 ∈ Il. V× I1 lµ tËp cùc tiÓu nªn cã mét hÖ thøc tuyÕn tÝnh t−¬ng øng β0f0 + β1f1 + ... + β n 1 − 1 f n 1 − 1 . §¹o hµm ®Õn cÊp n1 - 2 ta cã β0f0 + β1f1 + ... + β n 1 − 1 f n 1 − 1 = 0. ′ ′ f ' n −1 f0 f1 β0 f 0 + β1 f1 + ... + β n1 −1 1 f n1 − 1 = 0 f0 f1 f n1 −1 f n( n11− 2) f 0( n1 − 2) f ( n1 −2 ) − β0 f 0 + β1 1 f1 + ... + β n1 −1 1 f n −1 = 0 . f0 f1 f n1 −1 1 T−¬ng tù nh− vËy do Ij ∪ Ij – 1 lµ c¸c tËp cùc tiÓu nªn tån t¹i c¸c hÖ thøc tuyÕn tÝnh t−¬ng øng cña c¸c hµm thuéc tËp Ij ∪ Ij – 1. §¹o hµm mçi ph−¬ng tr×nh nµy ®Õn cÊp nj - 1. Do ®ã, ta sÏ thu ®−îc ∑ l n j – 1 = n + 1 ph−¬ng tr×nh. Ta cã thÓ viÕt c¸c ph−¬ng tr×nh ®ã d−íi d¹ng j =1 (mj ) fi ∑ fi = 0 . βi fi i∈ I j ∪ J j −1 0≤ m j ≤n j −1 (m j ) fi lµ ma trËn cÊp (n+1)×(n+2) lËp bëi c¸c hÖ sè β i Gäi cña fi. Gi¶ sö lµ i fi ®Þnh thøc cña ma trËn nhËn ®−îc tõ b»ng c¸ch xo¸ cét t−¬ng øng víi fi cña . Khi ®ã ta cã 60
  5. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 = δij fj i, 0 ≤ i, j ≤ n+1 vµ δij = ± 1. (1) fi j Gi¶ sö I = {i1, ..., ik} lµ mét tËp con cña {0, ..., n+1}. KÝ hiÖu 1 ..... 1 ′ ′ f i1 f ik ...... f i1 f ik γ (I ) = . ................................. f i1( ik −1) f ik( ik −1 ) ..... f i1 f ik V× 0 ∈ I1 nªn 0 = a0γ(I’)γ(I2)...γ(Il), ë ®©y a0 lµ h»ng sè kh¸c kh«ng vµ I’ nhËn ®−îc tõ I1 b»ng c¸ch xo¸ cét t−¬ng øng víi f0. V× c¸c phÇn tö cña I’ vµ Ij, (2 ≤ j ≤ l) ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn γ(I’) ≠ 0 vµ γ(Ij) ≠ 0. V× vËy 0 ≠ 0, kÕt hîp víi (1), ta suy ra i ≠ 0. Tõ (1), ta ®Æt f0 f f = δ 01 1 = ... = δ 0 n+1 n+1 = k . ∆0 ∆1 ∆ n+1 V× vËy f0 = k 0, do ®ã suy ra deg( f 0 ) = deg (k ) + deg (∆ 0 ) . (2) B©y giê ta chøng minh deg k (t ) ≤ n ∑i =0 n  1  . ThËt vËy, gi¶ sö a lµ mét n +1  f  i nghiÖm cña k(t) th× a lµ mét nghiÖm cña ®a thøc fi nµo ®ã (v× k(t) lµ mét ph©n thøc cã tö thøc lµ tÝch cña c¸c fi). Do f0, f1, ..., fn+1 nguyªn tè cïng nhau, nªn tån t¹i i0 sao cho f i0 (a ) ≠ 0 . Ta cã f i0 (t ) k (t ) = δ i0 . ∆ i0 NÕu gäi {β0, β2, ..., βn} = {0, 1, ..., n+1}\{i0} th× ∆ i0 b»ng tæng c¸c sè h¹ng cã f β(0j1 ) ... f β(njn ) , ë ®©y 0 ≤ β0, β2, ..., βn ≤ n+1; 1 ≤ j1, ..., jn ≤ n, γ lµ h»ng sè kh¸c d¹ng γ f β 0 ... f β n 0. V× vËy, tõ ®Þnh nghÜa 5 vµ mÖnh ®Ò 6 suy ra    f β( j1 ) ... f β( jn )   ( j1 )   f β(njn )   ≥ − n  ∑1  .   = ord  f β 0 ord a  0  + Λ + ord a  n   fβ   fβ   f β ... f β  a  0f ≤(ka≤= 0 1  0   n   n+ k )  0 n Do ®ã, tõ mÖnh ®Ò 7, ta cã 61
  6. Mét t−¬ng tù cña ®Þnh lý Mason, tr. 57-63 N. T. Quang – C. Tr−êng – P. V. B¾c, ∑1 . ord a ∆ i0 ≥ − n 0≤ k ≤ n +1 f k (a ) =0 V× vËy, tõ nhËn xÐt trong ®Þnh nghÜa 5, ta suy ra ∑1 . ord a k (t ) ≤ n 0≤ k ≤ n +1 f k ( a ) =0 BÊt ®¼ng thøc trªn ®óng víi mäi a lµ nghiÖm cña k(t). Theo ®Þnh nghÜa bËc cña hµm h÷u tØ, suy ra n +1 deg k (t ) ≤ n ∑ n  1  . (3)  f  i i =0 B©y giê ta chøng minh deg ≤ - n. ThËt vËy, 0 b»ng tæng c¸c sè h¹ng cã d¹ng 0 f j(1i1 ) ... f j(nin ) γ . f j1 ... f jn §èi víi mçi sè h¹ng nµy th×  f j( i1 ) ... f j(nin )   f (in )   f (i1 )  deg  1  = deg  j1  + ... + deg jn  ≤  fj   f j ... f j   fj   1 1   n n ≤ (− 1) + ... + (− 1) = − n . Do ®ã deg (4) 0≤ - n. Tõ (2), (3) vµ (4) ta cã n +1 deg( f 0 ) ≤ n ∑ n  1  − n .  f i =0  i T−¬ng tù ®èi víi f1, ..., fn+1 ta cã n +1 max {deg ( f i )} ≤ n ∑ n  1  − n .  f i =0  i 0≤ i ≤ n +1 §Þnh lý 8 ®· ®−îc chøng minh . 62
  7. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 T i liÖu tham kh¶o [1] W. D. Brownawell and D. W. Masser, Vanishing sums in function fieds, Math. Proc. Comb. Phil. Soc., 100 (1986), 427- 434. [2] P. C. Hu and C. C. Yang, The “abc” conjecture over function fields, Proc. Japan Acad., 76, Ser. A (2000), 99-128. [3] S. Lang, Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull. Amer. Math. Soc., 23, (1990), 37-75. [4] R. C. Mason, Diophantine equation over function fields, London Math. Soc. Lecture Note Ser., Vol. 96, Cambridge Univ. Press. Cambridge (1984). [5] Nguyen Thanh Quang, Phan Duc Tuan, Siu-Yeung’s lemma in the p-adic case, Vietnam Journal of Math., 32: 2, (2004), 227-234. [6] P. Vojta, Mordel’s Conjecture over functions, Invent. Math. 98, (1998), 115- 138. SUMMARY An analog of mason’s theorem In this paper, by using the derivative of polynomials and the Wronskian technique, we give an analog of Mason’s theorem on the Borel equation for the complex polynomials. (a) Khoa to¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 11, Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh (c) Cao häc 12, khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh. 63
  8. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 64
  9. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 65
  10. TÝnh ω - x¸c ®Þnh cña c¸c mÇm h m ..., tr. 64-70 Ng« §×nh Quèc, 66
  11. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 67
  12. TÝnh ω - x¸c ®Þnh cña c¸c mÇm h m ..., tr. 64-70 Ng« §×nh Quèc, 68
  13. §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 69
  14. TÝnh ω - x¸c ®Þnh cña c¸c mÇm h m ..., tr. 64-70 Ng« §×nh Quèc, 70
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
207 tài liệu
1479 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2