zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Luận Văn - Báo Cáo

» Báo cáo khoa học

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

64
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong ¡ và chứng minh tính chất điểm bất động của X trong bài báoủa ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly c 76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn ra m câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích đưa ột Descartes Xx[0,1] có hay không tính ch điểm động. Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng ất định cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING"

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 MỘT VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CÂU HỎI CỦA BING ONE PROBLEM CONCERNING BING’S QUESTION Nguyễn Hoàng Thành Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM T ẮT 3 R.H.Bing đã sử dụng một ví dụ về tập liên thông đường X trong ¡ và chứng minh tính chất điểm bất động của X trong bài báoủa ông trong tạp chí Amer.Math.Monthly c 76(1969),119-132. Trong bài báo này ông còn ra m câu hỏi (câu hỏi 5) là liệu tích đưa ột Descartes Xx[0,1] có hay không tính ch điểm động. Ngay sau đó W.L.Young đã trả lời khẳng ất định cho câu hỏi của Bing và Le Hoang Tri đã chứng minh được rằng nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động. Bài báo này chỉ ra một ví dụ về tập A không là AR có tính ch điểm bất động mà tích ất Descartes XxA ( trong đó X là tập thi ết lập bởi R.H.Bing trong Theorem 14 của [1] ) có tính chất điểm bất động. ABSTRACT in the American Mathematical Monthly (76-1969, pp119-132) R.H.Bing utilized an 3 example of an arcwise connected set X in ¡ with a fixed point property. In that paper, he poses a question (question 5) if Xx[0,1] has a fixed point property. In 1970 W.L.Young gave a positive answer to Bing’s question. Le Hoang Tri (1995) proves that if A is a compact AR-space then XxA has a fixed point property. This paper gives an example of set A which has a fixed point property but is not an AR . And XxA also has a fixed point property. 1. Đặt vấn đề Trong toàn bộ bài báo tập ta qui ước X là tập liên thông đường do Bing thiết lập trong [1] (Hình 1). Năm 1967 Knill ch ra một tập B có tính chất điểm bất động nhưng Bx[0,1] ỉ không có tính chất điểm bất động (xem [3]). 91
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 3 Năm 1969 Bing đã thiết lập một tập X (Hình 1) trong ¡ (xem [1]) có tính chất điểm bất động mà X ∪ D không có tính ch điểm bất động, ở đây D là hình chữ nhật ất và X ∩ D là 1 đoạn. Tiếp đó Bing đặt câu hỏi liệu XxI có hay không tính chất điểm bất động với I là đoạn [0,1](xem [1], question 5). Năm 1970 Young trả lời được câu hỏi của Bing bằng việc chứng minh rằng XxI có tính chất điểm bất động (xem [5]). Năm 1995 Le Hoang Tri trong [4]ãđtổng quát được kết quả của Young với việc chứng minh định lí. Định lí 1. Nếu A là một AR compact thì XxA có tính chất điểm bất động. Câu hỏi đặt ra ở đây là nếu A không phải là AR thì liệu XxA có hay không tính chất điểm bất động? Trước hết ta đi xây dựng tập A (Hình 2). 1 1 Đặt A1 = {(0,y) ∈  2 | y ∈ [-1,1]}, A 2 ={(x,sin )| x ∈ (0, ]} và A A1 ∪ A 2 .Ta dễ = xπ dàng có được các kết quả sau Bổ đề 1. A không phải là một tập liên thông đường và vì vậy nó không phải là một AR. Bổ đề 2. A có tính chất điểm bất động. 2. Giải quyết vấn đề Định lí sau đây là câu trả lời cho câu hỏi đã nêu trong phần đặt vấn đề. Định lí 2. Tồn tại một tập A có tính chất điểm bất động mà không phải là AR và XxA có tính chất điểm bất động. Chứng minh. Giả sử XxA không có tính chất điểm bất động, khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục f : XxA → XxA không có điểm bất động. Từ đó theo kết quả của Young (xem [5]) thì 92
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 f (XxA1 ) ⊄ XxA1 . (1) Kí hiệu p : XxA → X là phép chiếu từ XxA lên X, q : XxA → A là phép chiếu từ XxA lên A Kí hiệu p1 :  2 →  , p 2 :  2 →  tương ứng là các phép chiếu từ  2 lên thành phần thứ nhất và lên thành phần thứ hai. Do (1) nên f (XxA1 ) ∩ XxA 2 ≠ ∅ . Vậy ta có f (XxA1 ) ∪ XxA 2 là tập liên thông đường. Giả sử f (XxA1 ) ⊄ XxA 2 .Khi đó f (XxA1 ) ∩ XxA1 ≠ ∅ . Vậy f (XxA1 ) ∪ XxA1 là tập liên thông đường. (f (XxA1 ) ∪ XxA1 ) ∩ (f (XxA1 ) ∪ XxA 2 ) ⊃ f (XxA1 ) Do nên liên thôngờng. đư Từ đó do (f (XxA1 ) ∪ XxA1 ) ∪ (f (XxA1 ) ∪ XxA 2 ) (XxA1 ) ∪ (XxA 2= (f (XxA1 ) ∪ XxA1 ) ∪ (f (XxA1 ) ∪ XxA 2 ) và do ) XxA XxA1 ∪ XxA 2 nên ta có XxA là tập liên thông đường. Suy ra A liên thông = đường (vô lí). Vậy f (XxA1 ) ⊂ XxA 2 . (2) Chọn x ∈ X và một dãy {M n } ⊂ A 2 sao cho M n → (0,1) . Hiển nhiên (x, M n ) → (x, (0,1)) . Vì f liên tục nên f (x, M n ) → f (x, (0,1)) . Do các phép chiếu là liên tục ta có q  f (x, M n ) → q  f (x, (0,1)) và p1  q  f (x, M n ) → p1  q  f (x, (0,1)) . Do (2) ta có p1  q  f (x, (0,1)) > 0 . Vậy tồn tại n 0 ∈  sao cho p1  q  f (x, M n 0 ) > 0 . Suy ra q  f (x, M n 0 ) ∈ A 2 và vì vậy f (x, M n 0 ) ∈ XxA 2 (3) Giả sử f (XxA 2 ) ⊄ XxA 2 . Khi đó f (XxA 2 ) ∩ XxA1 ≠ ∅ . Do đó f (XxA 2 ) ∪ XxA1 là tập liên thông đường. Và do (3) nên f (XxA 2 ) ∩ XxA 2 ≠ ∅ suy ra f (XxA 2 ) ∪ XxA 2 là một tập liên thông đường. Và do (f (XxA 2 ) ∪ XxA1 ) ∩ (f (XxA 2 ) ∪ XxA 2 ) ⊃ f (XxA 2 ) nên (f (XxA 2 ) ∪ XxA1 ) ∪ (f (XxA 2 ) ∪ XxA 2 ) liên thông đường. 93
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009 Từ đó do (XxA1 ) ∪ (XxA 2= (f (XxA 2 ) ∪ XxA1 ) ∪ (f (XxA 2 ) ∪ XxA 2 ) và do ) XxA XxA1 ∪ XxA 2 nên ta có XxA là tập liên thông đường. = Suy ra A liên thông đường (vô lí). Vậy f (XxA 2 ) ⊂ XxA 2 . (4) Từ đó f (XxA) = f (XxA1 ∪ XxA 2 ) ⊂ XxA 2 . 1 Suy ra q  f (XxA) ⊂ q(XxA 2 ) . Từ đó p1  q  f (XxA) ⊂ p1  q(XxA 2 ) ⊂ (0, ] . π Do XxA là tập compact và p1  q  f là ánh xạ liên tục nên tồn tại ε 0 = min p1  q  f (XxA) . (5) 1 1 Xét 2 điểm P( , 0 ), ε ,sin và đoạn [P,Q] trên A 2 .Ta thấy do (5) nên )A ∈ Q( 0 π ε0 2 1 suy ra q  f (XxA) ⊂ [P, Q] và vì thế f (XxA) ⊂ Xx[P, Q] . ε, ] p1  q  f (XxA) ⊂ [ π 0 Do Xx[P, Q] ⊂ XxA 2 nên f (Xx[P, Q]) ⊂ Xx[P, Q] .Và hi n nhiên vì [P,Q] là ể đồng phôi với [0,1] nên [P,Q] là AR compact. Vậy theo định lí 1 thì Xx[P,Q] có tính  chất điểm bất động. Do đó f có điểm bất động suy ra f có điểm bất động . Xx[P,Q] 3. Kết luận Với kết quả của Knill thì nếu B là tập có tính chất điểm bất động thì chưa chắc BxA với A là một AR đã có tính chất điểm bất động. Với tập liên thông đường X mà Bing nêu ra thì XxA trongđ ó A là một AR compact là có tính chất điểm bất động. Bài báo này đ chỉ ra được một ví dụ về tập A không phải là AR mà tích Descartes Xx A ã (trong đó X là tập do Bing thiết lập) có tính chất điểm bất động. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.H.Bing, The elusive fixed point property, The Amer.Math.Monthly.76, pp119- 132, 1969. [2] J. Dugundji and A.Granas, Fixed point theory, Springer, 2003. [3] R.J.Knill and Cones, Product and fixed point. Fund. Math. 60, pp 35-46, 1967. [4] Le Hoang Tri, On Bing's question about fixed point property. Acta Math. Vietnam. 20, no. 2, 257-264, 1995. [5] W.L.Young, A product space with the fixed point property, Proc. Amer. Math. Soc. 25, pp 313-317, 1970. 94

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Tài Chính Ngân Hàng

172 tài liệu

837 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.