Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Vành các tự đồng cấu của môđun giả nội xạ và môđun giả xạ ảnh"

Vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh (a) (b) (c) Ng« Sü Tïng , Lª V¨n An NguyÔn ThÞ §øc HiÒn Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh c¸c tù ®ång Σ−tùa néi cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh vµ mét ®Æc trng m«®un Σ − (1 − C1 ). x¹ bëi ®iÒu kiÖn gi¶ néi x¹ vµ C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù tiÕp tôc nh÷ng nghiªn cøu cña chóng t«i trong [2], [3], [4] vµ cña nh÷ng t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [6], [7], ...). I. Më ®Çu Trong bµi b¸o nµy c¸c vµnh ®Òu lµ vµnh kÕt hîp cã ®¬n vÞ vµ tÊt c¶ c¸c m«®un lµ R nµo ®ã (nÕu kh«ng nãi g× thªm). Cho hai R−m«®un A m«®un ph¶i unita trªn vµnh N . M«®un N ®îc gäi lµ A−néi x¹ nÕu víi mäi m«®un con X cña A, mçi ®ång cÊu vµ ϕ : X −→ N cã thÓ më réng tíi ®ång cÊu ψ : A −→ N . M«®un N ®îc gäi lµ tùa néi x¹ nÕu N lµ N −néi x¹. Vµnh R ®îc gäi lµ vµnh tùa néi x¹ ph¶i (tr¸i) nÕu RR (R R) lµ m«®un tùa néi x¹. M«®un N ®îc gäi lµ A−x¹ ¶nh nÕu víi mäi m«®un con X cña A, mçi ®ång cÊu ϕ : N −→ A/X cã thÓ ®îc n©ng lªn thµnh ®ång cÊu ψ : N −→ A. Cho mét m«®un M , ta xÐt c¸c ®iÒu kiÖn sau: (C1 ) Mäi m«®un con cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M , hay nãi c¸ch kh¸c mäi m«®un con ®ãng trong M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C2 ) NÕu A vµ B lµ c¸c m«®un con cña M ®¼ng cÊu víi nhau vµ A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M th× B còng lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C3 ) NÕu A vµ B lµ c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ A ∩ B = 0 th× A ⊕ B còng lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (1 − C1 ) Mäi m«®un con ®Òu (uniform) cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M . M«®un M ®îc gäi lµ CS −m«®un (t¬ng øng m«®un (1 − C1 ), liªn tôc, tùa liªn tôc), nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C1 ) (t¬ng øng (1 − C1 ), (C1 ) vµ (C2 ); (C1 ) vµ (C3 )). Theo [12] ⇒ (C3 ) vµ s¬ ®å kÐo theo sau lµ ®óng: ta cã (C2 ) = ⇒ Tùa néi x¹ =⇒ Liªn tôc =⇒ Tùa liªn tôc =⇒ CS =⇒ (1 − C1 ). Néi x¹ = M«®un M ®îc gäi lµ (®Õm ®îc) Σ−néi x¹ (t¬ng øng (®Õm ®îc) Σ−tùa néi x¹, (®Õm ®îc) Σ − (1 − C1 )) nÕu m«®un M (I ) (t¬ng øng M (N) ) lµ néi x¹ (t¬ng øng tùa néi x¹, (1 − C1 )) víi tËp chØ sè I bÊt kú (trong ®ã N lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn). M«®un M ®îc gäi lµ m«®un 1−chuçi (uniserial) nÕu tËp hîp c¸c m«®un con cña M s¾p thø tù tuyÕn tÝnh. M«®un M ®îc gäi lµ m«®un chuçi (serial) nÕu M lµ tæng trùc tiÕp cña c¸c m«®un con 1−chuçi. Vµnh R ®îc gäi lµ vµnh 1−chuçi (t¬ng øng chuçi) ph¶i (tr¸i) nÕu m«®un RR (t¬ng øng m«®un R R) lµ m«®un 1−chuçi (t¬ng øng m«®un chuçi). 1 NhËn bµi ngµy 28/2/2008. Söa ch÷a xong 21/4/2008.
Vµnh ®îc gäi lµ QF - vµnh nÕu lµ vµnh Artin ph¶i vµ tr¸i, tùa néi x¹ ph¶i vµ R R tr¸i. A−gi¶ néi x¹ (A−pseudo −injective) nÕu mäi m«®un con X cña M«®un ®îc gäi lµ N ϕ : X −→ N ®Òu cã thÓ më réng tíi ®ång cÊu ψ : A −→ N . M«®un N A, mäi ®¬n cÊu ®îc gäi lµ gi¶ néi x¹ (pseudo − injective) nÕu N lµ N −gi¶ néi x¹. M«®un N ®îc gäi lµ A−gi¶ x¹ ¶nh (A−pseudo − projective) nÕu víi mäi m«®un con X cña A, mçi toµn cÊu ϕ : N −→ A/X cã thÓ ®îc n©ng lªn thµnh ®ång cÊu ψ : N −→ A. M«®un N ®îc gäi lµ gi¶ x¹ ¶nh (pseudo - projective) nÕu N lµ N − gi¶ x¹ ¶nh. Chóng ta dïng ký hiÖu A ⊆ M , A ⊆e M , A ⊆⊕ M vµ End(M ) ®Ó chØ A lµ m«®un con cña m«®un M , A lµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M , A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un M vµ vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un M t¬ng øng. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra mét sè tÝnh chÊt vÒ vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh. Chóng t«i còng ®a ra mét ®Æc trng cña Σ−tùa néi x¹ th«ng qua ®iÒu kiÖn gi¶ néi x¹, qua ®ã øng dông ®Ó ®Æc trng QF m«®un - vµnh. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù tiÕp tôc nh÷ng nghiªn cøu cña chóng t«i trong [2], [3], [4] vµ cña nh÷ng t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [6], [7], ...). II. Vµnh c¸c tù ®ång cÊu cña m«®un gi¶ néi x¹ vµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh Cho M lµ m«®un 1− chuçi vµ S = End(M ). Khi ®ã Bæ ®Ò 2.1. M lµ m«®un gi¶ néi x¹ th× S lµ 1−chuçi tr¸i. (a) NÕu M lµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh th× S lµ 1−chuçi ph¶i. b) NÕu 1−chuçi vµ gi¶ néi x¹. Tríc hÕt ta chøng Chøng minh. (a) Ta gi¶ sö r»ng lµ m«®un M minh lµ m«®un tùa néi x¹. M A lµ m«®un con cña M vµ ®ång cÊu f : A −→ M, (f = 0). ThËt vËy, xÐt - NÕu Kerf = 0 th× f lµ ®¬n cÊu vµ do M lµ gi¶ néi x¹ nªn f cã thÓ më réng tíi ®ång cÊu g : M −→ M . - NÕu Kerf = 0 . XÐt α = i − f víi i lµ phÐp nhóng chÝnh t¾c m«®un con A vµo m«®un M . Ta cã Kerf ∩ Kerα = 0. V× M lµ m«®un 1−chuçi nªn Kerf ∩ Kerα = Kerα hoÆc Kerf ∩ Kerα = Kerf . MÆt kh¸c, Kerf = 0 nªn Kerf ∩ Kerα = Kerα = 0. Tõ ®ã α lµ ®¬n cÊu nªn α cã thÓ më réng tíi ®ång cÊu g : M −→ M sao cho gi = α = i − f , suy ra f = i − gi = i(idM − g ). VËy M lµ m«®un tùa néi x¹. XÐt ϕ, ψ ∈ S , ta cã Kerϕ, Kerψ lµ c¸c m«®un con cña M . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö Kerϕ ⊆ Kerψ . Ta cã M/Kerψ ∼ Imψ ⊆ M vµ M/Kerϕ ∼ Imϕ ⊆ M . Ta x©y = = dùng c¸c ®ång cÊu ϕ∗ : M/Kerϕ −→ M bëi ϕ∗ (m + Kerϕ) = ϕ(m) vµ ψ ∗ : M/Kerϕ −→ M bëi ψ ∗ (m + Kerϕ) = ψ (m). Râ rµng ϕ∗ lµ ®¬n cÊu. Do M lµ m«®un tùa néi x¹ nªn tån t¹i ®ång cÊu h ∈ S sao cho hϕ∗ = ψ ∗ . Víi mäi m ∈ M ta cã hϕ∗ (m + Kerϕ) = ψ ∗ (m + Kerϕ), suy ra hϕ(m) = ψ (m), nghÜa lµ hϕ = ψ . VËy ψ ∈< ϕ > vµ do ®ã < ψ >⊆< ϕ > trong S S nªn S lµ vµnh 1−chuçi tr¸i. (b) Ta gi¶ sö r»ng M lµ m«®un 1−chuçi vµ gi¶ x¹ ¶nh. Tríc hÕt ta chøng minh M lµ m«®un tùa x¹ ¶nh.
f : M −→ M/X . XÐt ®ång cÊu f ∗ : M −→ - NÕu lµ toµn cÊu vµ doM gi¶ x¹ ¶nh th× f cã thÓ ®îc n©ng tíi ®ång cÊu f M. - NÕu f kh«ng ph¶i lµ toµn cÊu, ®Æt α = π − f víi π lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c m«®un M vµo m«®un th¬ng M/X , ta suy ra Imf + Imα = M/X. V× M lµ m«®un 1−chuçi nªn Imf + Imα = Imf hoÆc Imf + Imα = Imα. MÆt kh¸c, Imf = M/X nªn Imf + Imα = Imα = M/X . Do ®ã α lµ toµn cÊu. Tõ ®ã, tån t¹i ®ång cÊu h sao cho hπ = α, suy ra f = (1 − h)π . VËy M lµ m«®un tùa x¹ ¶nh. B©y giê chóng ta xÐt ϕ, ψ ∈ S , ta cã Imϕ, Imψ lµ c¸c m«®un con cña M . Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö Imϕ ⊆ Imψ . Khi ®ã ψ : M −→ Imψ lµ toµn cÊu vµ cã thÓ xem ϕ lµ ®ång cÊu tõ M vµo Imψ . Do M lµ m«®un tùa x¹ ¶nh nªn tån t¹i ®ång cÊu h sao cho ψh = ϕ. VËy ϕ ∈< ψ > vµ do ®ã < ϕ >⊆< ψ > trong SS nªn ta cã S lµ vµnh 1−chuçi ph¶i. §Þnh lý 2.2. Cho lµ m«®un chuçi vµ h÷u h¹n sinh, S = End(M ). Khi ®ã M (a) NÕu lµ m«®un gi¶ néi x¹ th× S lµ chuçi tr¸i. M (b) NÕu lµ m«®un gi¶ x¹ ¶nh th× S lµ chuçi ph¶i. M Chøng minh. Do M lµ m«®un chuçi h÷u h¹n sinh nªn M = ⊕n Mi víi Mi lµ c¸c m«®un i=1 1−chuçi, i = 1, 2, ..., n. Tõ ®ã, ta cã End(M ) = ⊕n End(Mi ). Theo Bæ ®Ò 2.1 th× c¸c kh¼ng i=1 ®Þnh (a), (b) trong ®Þnh lý ®îc chøng minh. Σ - tùa néi x¹ bëi ®iÒu kiÖn gi¶ néi x¹ III. §Æc trng m«®un M = ⊕i∈I Ui , víi Ui Bæ ®Ò 3.1. Cho m«®un lµ c¸c m«®un ®Òu. NÕu A lµ m«®un con cho: A ⊕ (⊕i∈F Ui ) ⊆e M. ®ãng trong th× tån t¹i tËp con F cña I sao M Chøng minh. - NÕu A = M th× F lµ tËp rçng. A lµ mét m«®un con ®ãng cña M , nªn tån t¹i i ∈ I sao cho A ∩ Ui = 0. - NÕu do A=M Theo bæ ®Ò Zorn, tån t¹i tËp con F tèi ®¹i cña I sao cho A ∩ ⊕i∈F Ui = 0. §Æt V1 = ⊕i∈F Ui vµ V2 = ⊕i∈K Ui víi K = I \F . Do tÝnh chÊt tèi ®¹i cña F ta cã A ∩ (V1 ⊕ Uk ) = 0 víi mäi k ∈ K . Do ®ã, tån t¹i a ∈ A, a = 0 sao cho a = x − u, víi x ∈ V1 , u ∈ Uk . Ta cã u = 0 vµ u = a − x ∈ A ⊕ V1 nªn Uk ∩ (A ⊕ V1 ) = 0 víi mäi k ∈ K . Do ®ã A ⊕ V1 ⊆e M . §Þnh lý 3.2. Cho m«®un lµ tæng trùc tiÕp v« h¹n c¸c m«®un ®Òu. Khi ®ã c¸c M kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng: M lµ m«®un gi¶ néi x¹ vµ ®Õm ®îc Σ − (1 − C1 ); (i) M lµ m«®un Σ−tùa néi x¹. (ii) Chøng minh (i) ⇒ (ii): Gi¶ sö cã (i) chóng ta sÏ chøng minh M lµ m«®un Σ−tùa néi x¹. Do M lµ m«®un gi¶ néi x¹ nªn (theo [7, Theorem 2.6]) M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C2 ). §Æt M = ⊕i∈I Ui víi Ui lµ c¸c m«®un ®Òu. Ta sÏ chøng minh M lµ CS −m«®un. Gi¶ sö A lµ mét m«®un con ®ãng cña M . Khi ®ã theo Bæ ®Ò 3.1 tån t¹i F ⊆ I sao cho: A ⊕ (⊕i∈F Ui ) ⊆e M.
V1 = ⊕i∈F Ui vµ V2 = ⊕i∈K Ui víi K = I \F . XÐt p1 vµ p2 t¬ng øng lµ c¸c phÐp chiÕu §Æt M lªn V1 vµ V2 th× ®ång cÊu p2 |A lµ ®¬n cÊu. §Æt h = p1 (p2 |A )−1 lµ ®¬n cÊu tù nhiªn tõ tõ p2 (A) −→ V1 . Ta cã A = {x + h(x) | x ∈ p2 (A)}. Ta sÏ chØ ra r»ng h kh«ng thÓ cã më réng trong V2 . ThËt vËy, gi¶ sö g : B −→ V1 víi p2 (A) ⊆ B ⊆ V2 lµ mét më réng cña h trong V2 . §Æt C = {x + g (x) | x ∈ B }, ta cã A ⊕ V1 ⊆e M , p2 (A) = p2 (A ⊕ V1 ) ⊆e p2 (M ) = V2 lµ m«®un con cèt yÕu cña p2 (M ) = V2 . Do ®ã p2 (A) ⊆e B ⊆ V2 , suy ra A ⊆e C . Tõ A lµ m«®un con ®ãng cña M nªn ta cã A = C vµ p2 (A) = B . VËy g = h. B©y giê chóng ta xÐt k ∈ K , ®Æt Xk = Uk ∩ p2 (A). Ta cã Xk = 0, ∀k ∈ K vµ Xk lµ m«®un ®Òu. §Æt Ak = {x + h(x) | x ∈ Xk }, ta cã Xk ∼ Ak , nªn Ak lµ m«®un con ®Òu cña A. Gi¶ sö r»ng Ak ⊆e P ⊆ Uk ⊕ V1 , do Ak ∩ V1 = 0 = ta cã P ∩ V1 = 0, nªn p2 |P lµ ®¬n cÊu. §Æt hk = h |p2 (Ak ) , do h kh«ng më réng nªn hk còng kh«ng më réng ®îc. §Æt λk = p1 (p2 |P )−1 : p2 (M ) −→ V1 , khi ®ã λk lµ më réng cña hk , nªn p2 (P ) = p2 (Ak ). Tõ p2 |P lµ ®¬n cÊu, Ak ⊆e P , nªn Ak = P . Do ®ã Ak lµ m«®un con ®ãng ®Òu cña M . Theo Bæ ®Ò 3.1 tån t¹i m«®un con V3 cña M sao cho V3 = ⊕i∈L Ui , víi L ⊂ I tho¶ m·n Ak ⊕ V3 ⊆e M. lµ m«®un (1 − C1 ), chóng ta cã Ak ⊆⊕ M . MÆt kh¸c, V3 ⊆⊕ M vµ Bëi v×, M tho¶ m·n M nªn Ak ⊕ V3 ⊆⊕ M . Do ®ã Ak ⊕ V3 = M . §Æt V4 = ⊕i∈J Ui trong ®ã J = I \L, ta cã (C3 ) M = Ak ⊕ V3 = V4 ⊕ V3 . Tõ ®ã, ta cã Ak ∼ M/V3 = V4 ⊕ V3 /V3 ∼ V4 . MÆt kh¸c Ak lµ m«®un = = con ®Òu nªn | J |= 1, tøc lµ Ak ∼ Uj (j ∈ I ). Cho nªn Xk ∼ Ak ∼ Uj suy ra Xk ⊆⊕ M bëi v× = = = ⊕ e M tho¶ m·n (C2 ). MÆt kh¸c Xk ⊆ Uk ⊆ M nªn Xk = Uk , ∀k ∈ F . Do ®ã p2 (A) = V2 , suy ra A ∼ V2 = ⊕i∈K Ui nªn A ⊆⊕ M . Tõ M lµ CS −m«®un nªn M lµ m«®un liªn tôc. Theo = [10, Proposition 2.5] ta cã M lµ Σ−tùa néi x¹. (ii) ⇒ (i): Gi¶ sö cã (ii) chóng ta sÏ chøng minh M lµ m«®un gi¶ néi x¹ vµ ®Õm ®îc Σ − (1 − C1 ). V× M lµ m«®un Σ−tùa néi x¹ nªn M lµ m«®un tùa néi x¹ vµ do ®ã M lµ m«®un gi¶ néi x¹. MÆt kh¸c mäi m«®un tùa néi x¹ lµ m«®un (1 − C1 ) vµ v× M lµ m«®un Σ−tùa néi x¹ nªn chóng ta cã M lµ m«®un ®Õm ®îc Σ − (1 − C1 ). HÖ qu¶ 3.3. Cho vµnh R cã chiÒu ®Òu ph¶i h÷u h¹n, ®Õm ®îc Σ − (1 − C1 ) ph¶i. Khi ®ã c¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng: (i) RR lµ m«®un gi¶ néi x¹; RR lµ Σ−tùa néi x¹; (ii) (iii) R lµ QF - vµnh. (ii) ⇔ (iii) ⇒ (i): HiÓn nhiªn. Chøng minh. (i) ⇒ (ii): Do vµnh R cã chiÒu ®Òu ph¶i h÷u h¹n nªn RR = ⊕n Ri víi c¸c Ri lµ m«®un i=1 ®Òu. Theo §Þnh lý 3.2, ta cã RR lµ gi¶ néi x¹ th× RR lµ Σ−tùa néi x¹. tµi liÖu tham kh¶o [1] A. Ala Ahmadi, N. Er and S. K. Jain, Modules which are invariant under monomor- phism of their injective hulls, J. Australian Math. Soc., 79, 2005, 349 - 360. [2] L. V. An and N. S. Tung, Pseudo - injective modules, pseudo -projective modules and noetherian rings, J. of Sci. Hanoi Uni. of Education, Vol. 53, No. 1, 2008, 22 - 29. [3] L. V. An and D. D. Tai, Characterized rings by pseudo - injective modules, to appear.
[4]L. V. An vµ N. T. D. HiÒn, Mét sè kÕt qu¶ vÒ m«®un gi¶ néi x¹ vµ gi¶ x¹ ¶nh, T¹p chÝ khoa häc §¹i häc Vinh, tËp XXXV, Sè 4A, 2006, 5 - 11. [5] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Math. No 13, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1974. [6] H. Q. Dinh, On pseudo - injective modules, AMS meeting No.990, Bringhamton (New York), October 11 - 12, 2003. [7] H. Q. Dinh, A note on pseudo-injective modules, Comm. Algebra 33, 2005, 361- 369. [8] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK,1994. [9] C. Faith, Algebra, Ring Theory, Springer Verlag, 1976. [10] D. V. Huynh and S. T. Rizvi, On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 2001, 119 - 128. [11] S. K. Jain and S. Singh, Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canada Math. Bull., Vol.18(3), 1975, 359 - 366. [12] S. H. Mohamed and B.J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math. Soc. Lecture Notes Series147, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990. [13] N. S. Tung, L. V. An and T. D. Phong, Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December 2005, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, 235 - 241. [14] R. Wisbauer, Foundations of Modules and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991. summary THE ENDOMORPHISM RING OF PSEUDO - INJECTIVE MODULES AND PSEUDO - PROJECTIVE MODULES In this paper, we give some results about endomorphism ring of pseudo - injective Σ−quasi modules, pseudo - projective modules, and a characterization of - injective modules via the pseudo - injectivity. These results are continuation of those in [1], [2], [3], [4], [6], [7], ... (a) Khoa to¸n, Trêng §¹i häc Vinh (b) Trêng THPT Chuyªn Phan Béi Ch©u, NghÖ An (c) Cao häc 15 - §¹i sè, Trêng §¹i häc Vinh.