Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về không gian đối xứng địa phương của nửa không gian trên"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trường đại học Huế đề tài: Về không gian đối xứng địa phương của nửa không gian trên...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Về không gian đối xứng địa phương của nửa không gian trên"

T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 53, 2009 V KHÔNG GIAN Đ I X NG Đ A PHƯƠNG C A N A KHÔNG GIAN TRÊN Tr n Đ o Dõng Đ i h c Hu Hoàng Thái Vũ Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Hu TÓM T T Các không gian đ i x ng đ a phương đóng m t vai trò quan tr ng trong hình h c vi phân và đang đư c kh o sát theo nhi u hư ng ti p c n khác nhau. M t trong các hư ng ti p c n đó là kh o sát không gian đ i x ng đ a phương dư i d ng không gian thương c a không gian đ i x ng c m sinh qua tác đ ng c a các nhóm (con) s h c. Tiêu bi u cho l p không gian đ i x ng đ a phương này là không gian moduli c a các đư ng cong elliptic đư c th hi n như là không gian thương c a n a m t ph ng Poincaré H2 c m sinh qua tác đ ng c a nhóm con SL(2, Z) các ma tr n vuông c p hai v i h s nguyên. Trong bài vi t này, trư c h t chúng tôi kh o sát c u trúc không gian đ i x ng c a n a không gian trên H3 đư c th hi n như không gian đ i x ng SL(2, C)/SU (2) qua tác đ ng c a SL(2, C). Ti p đó, chúng tôi kh o sát m t s tính ch t c a không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) c m sinh qua tác đ ng c a nhóm (con) r i r c SL(2, Z + iZ) trên H3 . 1 C u trúc không gian đ i x ng c a n a không gian trên Đ nh nghĩa 1.1. Cho H = {s + tj |s, t ∈ C} là đ i s quaternion (chu n t c). T p h p H3 := {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R; t > 0} = {z = x + yi + tj ∈ H | x, y, t ∈ R; t > 0} ≡ {(x, y, t) | x, y, t ∈ R; t > 0}, đư c g i là n a không gian trên. Khi đó H3 là m t đa t p 3 chi u v i c u trúc Riemann |dz |2 dx2 + dy 2 + dt2 2 ds := 2 = . t2 t Hơn n a, ta có 15
M nh đ 1.2. Cho đa t p H3 và đi m c đ nh z0 = (x0 , y0 , t0 ) ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f z0 : H3 H3 (x, y, t) −→ (2x0 − x, 2y0 − y, t), là m t vi phôi đ ng c và đ i h p. Suy ra H3 là m t không gian đ i x ng. Ch ng minh. i) fz0 song ánh là rõ. ii) Do các ánh x thành ph n kh vi nên fz0 kh vi. iii) Ta có, (fz0 )2 (x, y, t) = fz0 (fz0 (x, y, t)) = fz0 (2x0 −x, 2y0 −y, t) = (x, y, t), ∀(x, y, t) ∈ H3 . V y (fz0 )2 = IdH3 . Suy ra, fz0 là m t phép bi n đ i đ i h p. Hơn n a, do (fz0 )2 = IdH3 nên (fz0 )−1 = fz0 . Suy ra, (fz0 )−1 cũng kh vi. iv) M t khác, fz0 đư c bi u di n dư i d ng: −→ f z0 : H3 H3 x + yi + tj −→ (−x − yi + tj ) + (2x0 + 2y0 i). Suy ra fz0 là m t phép bi n đ i đ ng c c a H3 . T đó fz0 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . Ch ng minh tương t M nh đ (1.2), chúng ta có hai m nh đ sau: M nh đ 1.3. Cho đa t p H3 , xét k ∈ S 1 ⊂ C và z0 = s0 + t0 j ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f: H3 H3 z = s + tj −→ −[t0 ] [k (s − s0 ) + tj ]−1 + s0 , 2 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . M nh đ 1.4. Cho đa t p H3 , xét k ∈ S 0 = {−1, 1} và z0 = s0 + t0 j ∈ H3 . Khi đó, ánh x −→ f: H3 H3 z = s + tj −→ −[t0 ] [k (s − s0 ) + tj ]−1 + s0 , 2 là m t vi phôi đ ng c và đ i h p c a H3 . Bây gi , chúng ta kh o sát tác đ ng c a nhóm Lie SL(2, C) trên H3 và th hi n m i liên h gi a H3 v i không gian đ i x ng SL(2, C)/SU (2). 16
M nh đ 1.5. Cho nhóm Lie G = SL(2, C) và n a không gian trên H3 = {z = s + tj ∈ H | s ∈ C; t ∈ R, t > 0}. Khi đó, ánh x G × H3 −→ ϕ: H3 ab ab .z := [az + b][cz + d]−1 , , z ) −→ ( cd cd là m t tác đ ng (trái) đ ng c và b c c u c a nhóm Lie G = SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . Hơn n a, ta có H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). = Ch ng minh. Xét G × H3 −→ ϕ: H3 ab ab .z := [az + b][cz + d]−1 . , z ) −→ ( cd cd Trư c h t, ta ch ng minh ϕ là m t tác đ ng (trái) c a nhóm Lie SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . ab Th t v y, ∀γ = ∈ SL(2, C), ∀z = s + tj ∈ H3 , ta có ad − bc = 1. cd Gi s cz + d = 0. Khi đó, cs + d = 0 cs + d = 0 d=0 (cs + d) + ctj = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ct = 0 c=0 c = 0. Suy ra ad − bc = 0. Do ad − bc = 1 nên đi u này là mâu thu n. Như v y, cz + d = 0. Hay [cz + d]−1 t n t i. 17
M t khác, [az + b][cz + d]−1 = [(as + b) + atj ][(cs + d) + ctj ]−1 = [(as + b) + atj ]{[(cs + d) − ctj ][(cs + d) − ctj ]−1 }[(cs + d) + ctj ]−1 = {[(as + b) + atj ][(cs + d) − ctj ]}{[(cs + d) − ctj ]−1 [(cs + d) + ctj ]−1 } = {[(as + b) + atj ][(cs + d) − ctj ]}{[(cs + d) + ctj ][(cs + d) − ctj ]}−1 = [(as + b)(cs + d) + atj (cs + d) − (as + b)ctj − atjctj ] [|cs + d|2 + ctj (cs + d) − (cs + d)ctj − ctjctj ]−1 = [(as + b)(cs + d) + at(cs + d)j − (as + b)ctj + atct] [|cs + d|2 + |c|2 |t|2 ]−1 = [(as + b)(cs + d) + (ad − bc)tj + atct][|cs + d|2 + |c|2 |t|2 ]−1 (as + b)(cs + d) + ac|t|2 t j ∈ H3 . = + 2 + |c|2 |t|2 2 + |c|2 |t|2 |cs + d| |cs + d| V y, ϕ là ánh x t G × H3 vào H3 . Hơn n a, ki m tra tr c ti p ta suy ra ϕ là m t tác đ ng (trái) c a nhóm Lie SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . Ti p theo, ta ch ng minh ϕ là m t tác đ ng b c c u và đ ng c c a nhóm Lie SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . Th t v y, ∀z1 = s1 + t1 j, z2 = s2 + t2 j ∈ H3 , ta có t1 , t2 ∈ R; t1 , t2 > 0. Xét các ph n t t2 t1 t2 t1 .s2 − a= ; b= .s1 ; c = 0; d = . t1 t2 t1 t2 t2 t1 t2 − .s .s ab t2 2 t1 1 t1 t2 t1 = = . = 1. Ta có, t1 t2 cd t1 0 t2 ab .z1 = [az1 + b][cz1 + d]−1 = [as1 + b + at1 j ][cz1 + d]−1 Hơn n a, cd t2 t1 t2 t2 t1 −1 − =[ .s + .s .s + .t j ][ ] t1 1 t2 2 t1 1 t1 1 t2 = [ t1 .s2 + t2 .t1 j ][ t2 t2 t2 ] = s2 + .t . j] t1 1 t2 t1 t1 t1 = s2 + t2 j = z2 . ab Như v y, ∀z1 = s1 + t1 j, z2 = s2 + t2 j ∈ H3 , t n t i γ = ∈ SL(2, C) th a cd γ.z1 = z2 . Hay ϕ là m t tác đ ng b c c u c a nhóm Lie SL(2, C) trên t p h p (đa 18
t p) H3 . ab ∈ G = SL(2, C), ánh x Ngoài ra, v i m i γ = cd f : H3 −→ H3 ab .z := [az + b][cz + d]−1 −→ γ.z = z cd là m t phép bi n đ i đ ng c . Do đó ϕ là m t tác đ ng đ ng c c a nhóm Lie SL(2, C) trên t p h p (đa t p) H3 . Bây gi , ta ch ng minh H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). = Trư c h t, ta ch ng t nhóm con n đ nh K = {γ ∈ G = SL(2, C)|γ.j = j } c a ph n t j ∈ H3 trong SL(2, C) chính là SU (2). Th t v y, ab ∈ K ⇔ γ.j = j ⇔ [aj + b][cj + d]−1 = j ⇔ aj + b = j (cj + d) γ= cd a=d d=a ⇔ aj + b = −c + dj ⇔ ⇔ b = −c c = −b. ab ∈ G = SL(2, C) nên ad − bc = 1. Ngoài ra, γ = cd ab , trong đó a, b ∈ C : |a|2 + |b|2 = 1. Do đó, γ ∈ K ⇔ γ = −b a Hay K = SU (2). Như v y, ánh x tác đ ng c a nhóm Lie SL(2, C) trên H3 G × H3 −→ ϕ: H3 ab ab .z := [az + b][cz + d]−1 , , z ) −→ γ.z = (γ = cd cd là m t ánh x trơn, tác đ ng đ ng c và b c c u trên H3 . 19
Theo ([1, Proposition 13.6]), ánh x ϕj : SL(2, C) −→ H3 −→ γ.j, γ c m sinh vi phôi (đ ng c ) H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). = V y m nh đ đư c ch ng minh. Không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\H3 2 Xét không gian đ i x ng H3 ∼ SL(2, C)/SU (2). Qua tác đ ng c a nhóm (con) r i = r c SL(2, Z + iZ) trên H3 chúng ta xác đ nh đư c không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\H3 ∼ SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2). = Trong m c này, tương t như trư ng h p không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z)\H2 c m sinh t n a m t ph ng trên H2 đư c xét trong [6], chúng tôi m r ng khái ni m mi n cơ b n c a m t nhóm r i r c Γ tác đ ng trên H2 cho trư ng h p H3 và ng d ng đ kh o sát m t s tính ch t c a không gian đ i x ng đ a phương SL(2, Z + iZ)\H3 . K t qu sau đây cho th y có th xác đ nh mi n cơ b n c a nhóm r i r c SL(2, Z + iZ) tác đ ng trên H3 . M nh đ 2.1. M t mi n cơ b n Ω c a Γ := SL(2, Z + iZ) trên H3 đư c xác đ nh b i mi n sau: 1 1 1 x2 + y 2 + t2 > 1}. Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | − < x < ; 0 < y < ; |z | = 2 2 2 Ch ng minh. Ta chia phép ch ng minh ra làm hai ph n: i) Ch ng minh r ng, m i Γ−qu đ o ch a ít nh t m t đi m trong Ω. ii) Ch ng minh r ng, không có hai đi m nào c a Ω n m trong cùng m t Γ−qu đ o. i) Th t v y, v i z ∈ H3 , xét Γ−qu đ o ab z = [az + b][cz + d]−1 | a, b, c, d ∈ Z + iZ; ad − bc = 1}. Γ.z = { cd 1 −1 1 −i 11 1i , T −1 = , U −1 = ∈ Γ nên Do T = ,U = 01 01 01 01 c m sinh các phép t nh ti n z −→ z + 1; z −→ z − 1; z −→ z + i; z −→ z − i. 20
i0 ∈ Γ nên c m sinh phép đ i x ng Tương t , W = 0 −i z = x + yi + tj = s + tj −→ −s + tj = −x − yi + tj. Do đó, m i Γ−qu đ o ch a m t đi m z v i Re(z ) ∈ [− 2 , 1 ] và Imi (z ) ∈ [0, 1 ]. 1 2 2 Ti p theo, xét z ∈ H3 v i Re(z ) ∈ [− 1 , 1 ]; Imi (z ) ∈ [0, 2 ] và xét Γ−qu đ o Γ.z 1 22 tương ng. Bây gi , ta s ch n γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) sao cho Imj (γz ) là t i đ i. ab ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) và z = s + tj = x + yi + tj, ta có: Viγ= cd [(as + b)(cs + d) + ac|t|2 ] t ab −1 γz = z = [az + b][cz + d] = + j. 2 |cz + d|2 |cz + d| cd t t Suy ra Imj (γz ) = = . |cz +d|2 |cs+d|2 +|c|2 t2 Ta có t = 0, ∀c ∈ Z + iZ; lim d|2 + |c|2 t2 |cs + |d|→+∞ t = 0, ∀d ∈ Z + iZ. lim d|2 + |c|2 t2 |cs + |c|→+∞ Do đó, v i 0 < < t, t n t i M > 1 sao cho Imj (γz ) < ; ∀|c| > M, ∀d ∈ Z + iZ; Imj (γz ) < ; ∀|d| > M, ∀c ∈ Z + iZ. Đt ab E = {γ = ∈ Γ = SL(Z + iZ) | (|c| > M ) ∨ (|d| > M )}; cd ab E0 = {γ = ∈ Γ = SL(Z + iZ) | (|c| ≤ M ) ∧ (|d| ≤ M )}; cd J = {Imj (γz ) | γ ∈ E0 } ⊂ R . Khi đó E ∪ E0 = Γ = SL(Z + iZ); Imj (γz ) < , ∀γ ∈ E. 21
Hơn n a, J là t p (khác r ng) có h u h n ph n t trong R. Suy ra, trong J t n t i ph n t Imj (γz ) t i đ i. Do 0 < < t = Imj (Id.z ) ∈ J nên Imj (γz ) đ t c c đ i. Do các phép t nh ti n z −→ z + 1; z −→ z − 1; z −→ z + i; z −→ z − i và phép đ i x ng z = s + tj −→ −s + tj không ph thu c ph n j − o nên ta có th gi s γz có ph n j − o Imj (γz ) t i đ i và Re(γz ) ∈ [− 1 , 1 ]; Imi (γz ) ∈ [0, 2 ]. 1 22 Bây gi , xét z = x + yi + tj v i giá tr như là γz nói trên. Khi đó, Imj (z ) ≥ Imj (γz ), ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). (2.1) Ta ch ng minh |z | ≥ 1. Th t v y, gi s |z | < 1. 0 −1 ∈ Γ = SL(Z + iZ). Xét S = 10 Ta có −1 z x y t = − 2 = − 2 + 2 i + 2 j. Sz = |z | |z | |z | |z | z t Do |z | < 1 nên Imj (Sz ) = > t = Imj (z ). Đi u này là mâu thu n b t đ ng th c |z |2 (2.1). V y |z | ≥ 1 và ph n i) đư c ch ng minh. Ti p theo ta ch ng minh ph n ii). ii) V i w ∈ H3 , xét Γ−qu đ o Γ.w = {γw|γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ)}. Gi s γw, ηw ∈ Ω = {z = x + yi + tj ∈ H3 | − 1 < x < 1 ; 0 < y < 1 ; |z | > 1}; 2 2 2 trong đó γ, η ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Đ t z = γw. Ta có z, (ηγ −1 )z ∈ Ω. Ki m tra tr c ti p ta suy ra (ηγ −1 )z = z. Hay ηw = γw. Đi u này k t thúc ch ng minh ph n ii). V y m nh đ đư c ch ng minh. H qu 2.2. Nhóm Γ = SL(2, Z + iZ) đư c sinh b i 0 −1 11 1i i0 T= ,S = ,U = ,W = . 0 −i 01 10 01 22
Ch ng minh. G i ω = W (Ω) ∪ Ω. Khi đó, ω = W (Ω) ∪ Ω. Ta có T (ω ), T −1 (ω ); U (ω ), U −1 (ω ) và S (ω ) là năm mi n (t p h p) có m t chung v i ω. Tác đ ng liên ti p T, U, S, T −1 , U −1 vào nh ng mi n trên và nh c a chúng, ta thu đư c nh ng mi n có th ph d n H3 . Hơn n a, ∀z ∈ H3 , luôn t n t i m t mi n trong nh ng mi n trên ch a z. M t khác, b t kỳ m t mi n nào như v y đ u có d ng f (S, T, U )(ω ), trong đó f (S, T, U ) là m t ph n t c a nhóm S, T, U, W đư c sinh b i S, T, U, W. Suy ra, ∀z ∈ H3 , ∃f (S, T, U ) trong S, T, U, W sao cho f (S, T, U )z ∈ ω. Bây gi , l y zo ∈ Ω ⊂ ω. Khi đó, v i b t kỳ γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ), t n t i m t ph n t f (S, T, U ) trong S, T, U, W sao cho f (S, T, U )γzo ∈ ω = W (Ω) ∪ (Ω). Đ t β = f (S, T, U )γ. Ta xét hai trư ng h p x y ra: i) z0 ∈ Ω và βz0 ∈ Ω. Suy ra z0 = βz0 và β = ±Id. −1 0 = S 2 nên suy ra γ ∈ S, T, U, W . Do 0 −1 ii) z0 ∈ Ω và βz0 ∈ W (Ω). Khi đó z0 ∈ Ω và W βz0 ∈ Ω. Suy ra W β = ±Id. Tương t trên, suy ra γ ∈ S, T, U, W . T đó Γ = SL(2, Z + iZ) ⊂ S, T, U, W . Ngoài ra S, T, U, W ⊂ Γ = SL(2, Z + iZ). Suy ra Γ = SL(2, Z + iZ) = S, T, U, W . V y Γ = SL(2, Z + iZ) đư c sinh b i S, T, U, W. M t tính ch t quan tr ng c a SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact. C th , chúng ta có m nh đ sau: 23
M nh đ 2.3 ([5, p. 31]). Không gian thương SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact. Ch ng minh. G i (tn )n là dãy các s th c dương ti n đ n +∞ và xét t p con r i r c Γ = SL(2, Z + iZ). V i m i n ∈ N, đ t zn = tn j. Khi đó, (zn )n ⊂ H3 ; (Γ.zn )n ⊂ SL(2, Z + iZ)\H3 . ab M t khác, ∀γ = ∈ Γ = SL(2, Z + iZ), ta có: cd bd + act2 tn n γzn = +2 j. 2 + |c|2 t2 |d| + |c|2 t2 |d| n n Hơn n a, ∗ N u c = 0 thì ad = 1. Lúc đó, |d|2 = 1 và Imj (γzn ) = tn ; tn 1 ∗ N u c = 0 thì 0 ≤ Imj (γzn ) ≤ ≤ . |c|2 t2 tn n Suy ra +∞ n→∞ , ∀γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Imj (γzn ) −−−−→ −−−− 0 Như v y, m i (γznk )nk không th h i t trong H3 , v i m i đ n m t ph n t γ ∈ Γ = SL(2, Z + iZ). Suy ra, m i (Γ.znk )nk không th h i t đ n m t ph n t trong SL(2, Z + iZ)\H3 . V y SL(2, Z + iZ)\H3 là không compact. M nh đ 2.4. Cho F = Ω ∪ {∂ Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z ) ≥ 0}}. Khi đó, F là m t t p cơ b n kh p c a Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3 ). T đó ta có SL(2, Z + iZ)\H3 ∼ F (theo nghĩa t p h p). = 11 1i ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên c m sinh Ch ng minh. Do T = ,U = 01 01 các phép t nh ti n z −→ z + 1; z −→ z + i. i0 ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên c m sinh phép đ i x ng Hơn n a, do W = 0 −i z = s + tj −→ −s + tj. 01 ∈ Γ = SL(2, Z + iZ) nên c m sinh phép bi n đ i Ngoài ra, do S = −1 0 z = x + yi + tj −→ − |zx|2 + |zy|2 i + |zt|2 j. Do đó, m nh đ trên đư c suy ra t M nh đ (2.1). 24
Nh n xét 2.5. Cho F = Ω ∪ {∂ Ω ∩ {z ∈ H3 | Re(z ) ≤ 0}}. Khi đó, F cũng là m t t p cơ b n kh p c a Γ = SL(2, Z + iZ) (trên H3 ). TÀI LI U THAM KH O 1. E.P. Van den Ban, Lie groups, Lecture Notes in Mathematics, MRI, University of Utrecht, Holland, 2003. 2. E.P. Van den Ban - H. Schlichtkrull, Harmonic analysis on reductive symmetric spaces, Progress in Math., 201, Birkhauser Verlag, Basel, 2001, 565-582. 3. B.Conrad, K.Rubin, Arithmetic algebraic geometry, IAS/Park City Math Series, vol. 9, AMS, 2001. 4. L.Ji, An introduction to symmetric spaces and their compactifications, University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2001. 5. L.Ji, Lectures on locally symmetric spaces and arithmetic groups, University of Michigan, Ann Arbor, MI 48109, 2004. ON LOCALLY SYMMETRIC SPACES OF HALF UPPER SPACES Tran Dao Dong Hue University Hoang Thai Vu College of Pedagogy, Hue University SUMMARY Locally symmetric spaces play an important part in differential geometry and arise from many different areas such as topology, number theory, representation theory, alge- braic geometry,..The typical important class consists of quotients of symmetric spaces by arithmetic groups, for example, the moduli space of elliptic curves is the quotient of the upper half plane H2 by SL(2, Z). In this note, firstly, we study the symmetric structure of the upper half space H3 and the relation with the symmetric space SL(2, C)/SU (2). Then we study the locally symmetric space SL(2, Z + iZ)\SL(2, C)/SU (2) based on the action of SL(2, Z + iZ) on H3 . 25