Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về không gian S-đóng đếm được"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2009 tác giả: 6. Lê Ngọc Minh, Bùi Minh Tuyển, Về không gian S-đóng đếm được

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về không gian S-đóng đếm được"

VÒ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc Lª Ngäc Minh (a) , Bïi Minh TuyÓn (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c kh«ng gian S -®ãng, c¸c kh«ng gian s-®ãng, c¸c kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc vµ c¸c kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc. më ®Çu N¨m 1963, kh¸i niÖm tËp nöa më, tËp nöa ®ãng trong t«p« ®îc N. Levine giíi thiÖu nh»m më réng nhiÒu tÝnh chÊt quan träng cña tËp më vµ tËp ®ãng trong t«p«. N¨m 1970, N. Levine tiÕp tôc më réng kh¸i niÖm tËp ®ãng thµnh líp c¸c tËp ®ãng suy réng. Tõ ®ã ®Õn nay, tËp nöa më vµ tËp nöa ®ãng ®· thu hót ®îc sù quan t©m cña nhiÒu nhµ to¸n häc trªn thÕ giíi. ViÖc nghiªn cøu tËp nöa më vµ tËp nöa ®ãng cho ta nh÷ng kÕt qu¶ thó vÞ, ch¼ng h¹n nhê sö dông kh¸i niÖm tËp nöa më, n¨m 1975, S. N. Maheshwari vµ R. Parasad ®· nghiªn cøu c¸c tiªn ®Ò t¸ch vµ ®a ra ba tiªn ®Ò t¸ch míi lµ nöa - T0 - kh«ng gian, nöa - T1 - kh«ng gian vµ nöa - T2 - kh«ng gian. N¨m 1976, T. Thompson ®· sö dông tËp nöa më ®Ó ®Ò xuÊt kh¸i niÖm kh«ng gian S -®ãng. Sau ®ã kÕt qu¶ cña T. Thompson ®· ®îc c¸c nhµ to¸n häc më réng theo nhiÒu híng kh¸c nhau, kh«ng gian s-®ãng ®îc giíi thiÖu bëi G. Di Maio vµ T. Noiri (1987), kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc ®îc giíi thiÖu bëi K. Dlaska, N. Ergun vµ M. Ganster (1991), kh«ng gian s-®ãng ®Þa ph¬ng ®îc ®Ò xuÊt bëi C. K. Basu (1996),... Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt cña líp c¸c kh«ng gian S -®ãng, c¸c kh«ng gian s-®ãng, c¸c kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc vµ c¸c kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc. Tríc hÕt, chóng ta nh¾c l¹i mét vµi kh¸i niÖm, ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt ®· biÕt sÏ sö dông trong bµi. Cho (X, τ ) lµ mét kh«ng gian t«p« vµ A lµ mét tËp con cña X . TËp A ®îc gäi lµ nöa më nÕu tån t¹i tËp më U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ). PhÇn bï cña tËp nöa më ®îc gäi lµ tËp nöa ®ãng. Hä tÊt c¶ c¸c tËp nöa më (t¬ng øng, nöa ®ãng) trong (X, τ ) ®îc ký hiÖu lµ SO(X, τ ) (t¬ng øng, SC (X, τ )). Râ rµng, mçi tËp ®ãng lµ tËp nöa ®ãng vµ mçi tËp më lµ tËp nöa më. Giao cña tÊt c¶ c¸c tËp nöa ®ãng chøa A ®îc gäi lµ bao nöa ®ãng cña A vµ ký hiÖu lµ scl(A). Hîp cña tÊt c¶ c¸c tËp nöa më n»m trong A ®îc gäi lµ nöa phÇn trong cña A vµ ký hiÖu lµ sint(A). DÔ thÊy r»ng scl(A) lµ tËp nöa ®ãng nhá nhÊt chøa A vµ sint(A) lµ tËp nöa më lín nhÊt n»m trong A. I. TËp ®ãng chÝnh quy 1.1. §Þnh nghÜa ([2]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ nöa chÝnh quy (semi-regular) nÕu A lµ tËp nöa ®ãng vµ nöa më. Ký hiÖu SR(X, τ ) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp nöa chÝnh quy trong (X, τ ). NhËn bµi ngµy 19/10/2009. Söa ch÷a xong 30/12/2009. 1
1.2. MÖnh ®Ò ([2]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) A lµ tËp nöa më trong (X, τ ); (ii) sint(A) = A; (iii) A ⊂ cl(int(A)); 1.3. MÖnh ®Ò ([2]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) A lµ tËp nöa ®ãng trong (X, τ ); (ii) scl(A) = A; (iii) int(cl(A)) ⊂ A; 1.4. §Þnh lý ([2]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã (i) scl(A) ∈ SR(X, τ ) víi mäi A ∈ SO(X, τ ); (ii) int(cl(A)) = scl(A) víi mäi A ∈ τ . 1.5. §Þnh nghÜa ([3]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ ®ãng chÝnh quy (regular closed) nÕu A = cl(int(A)). Ký hiÖu RC (X, τ ) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ). 1.6. NhËn xÐt. NÕu A lµ tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ) th× A lµ tËp ®ãng. 1.7. MÖnh ®Ò. NÕu A1 , A2 ∈ RC (X, τ ) th× A1 ∪ A2 ∈ RC (X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö A1 , A2 ∈ RC (X, τ ). Khi ®ã A1 = cl(int(A1 )) vµ A2 = cl(int(A2 )). Suy ra A1 ∪ A2 = cl(int(A1 ) ∪ int(A2 )) ⊂ cl(int(A1 ∪ A2 )). V× A1 ∪ A2 lµ tËp ®ãng vµ int(A1 ∪ A2 ) ⊂ A1 ∪ A2 nªn cl(int(A1 ∪ A2 )) ⊂ A1 ∪ A2 . Tõ ®ã suy ra A1 ∪ A2 = cl(int(A1 ∪ A2 )). VËy A1 ∪ A2 ∈ RC (X, τ ). 1.8. §Þnh nghÜa ([3]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ më chÝnh quy (regular open) nÕu X \A lµ tËp ®ãng chÝnh quy. Ký hiÖu RO(X, τ ) lµ hä tÊt c¶ c¸c tËp më chÝnh quy trong (X, τ ). 1.9. NhËn xÐt. (i) NÕu A lµ tËp më chÝnh quy trong (X, τ ) th× A lµ tËp më. (ii) A lµ tËp më chÝnh quy trong (X, τ ) khi vµ chØ khi A = int(cl(A)). 1.10 MÖnh ®Ò. NÕu A1 , A2 ∈ RO(X, τ ) th× A1 ∩ A2 ∈ RO(X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö A1 , A2 ∈ RO(X, τ ). Khi ®ã, A1 = int(cl(A1 )) vµ A2 = int(cl(A2 )). Suy ra, int(cl(A1 ∩ A2 )) ⊂ int(cl(A1 )∩cl(A2 )) = A1 ∩A2 . Do A1 ∩A2 lµ tËp më vµ A1 ∩A2 ⊂ cl(A1 ∩ A2 ) nªn A1 ∩ A2 ⊂ int(cl(A1 ∩ A2 )). Tõ ®ã suy ra, A1 ∩ A2 = int(cl(A1 ∩ A2 )). VËy, A1 ∩ A2 ∈ RO(X, τ ). 1.11. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã (i) NÕu A ∈ RO(X, τ ) hoÆc A ∈ SO(X, τ ) th× cl(A) ∈ RC (X, τ ). (ii) NÕu A ∈ RC (X, τ ) hoÆc A ∈ SC (X, τ ) th× int(A) ∈ RO(X, τ ).
Chøng minh. (i) Gi¶ sö A ∈ RO(X, τ ). Khi ®ã ta cã A = int(cl(A)). Suy ra cl(A) = cl(int(cl(A))), §iÒu nµy kÐo theo cl(A) ∈ RC (X, τ ). Gi¶ sö A ∈ SO(X, τ ). Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 1.2, A ⊂ cl(int(A)). Suy ra cl(A) ⊂ cl(int(A)) ⊂ cl(int(cl(A))). MÆt kh¸c, v× int(cl(A)) ⊂ cl(A) nªn cl(int(cl(A))) ⊂ cl(A). Tõ ®ã suy ra cl(A) = cl(int(cl(A))). VËy cl(A) ∈ RC (X, τ ). (ii) Gi¶ sö A ∈ RC (X, τ ). Khi ®ã ta cã A = cl(int(A)). Suy ra int(A) = int(cl(int(A))). Do ®ã int(A) ∈ RO(X, τ ). Gi¶ sö A ∈ SC (X, τ ). Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 1.3, int(cl(A)) ⊂ A. Suy ra int(cl(int(A))) ⊂ int(cl(A)) ⊂ int(A). MÆt kh¸c, v× int(A) ⊂ cl(int(A)) nªn int(A) ⊂ int(cl(int(A))). Tõ ®ã ta cã int(A) = int(cl(int(A))). VËy int(A) ∈ RO(X, τ ). 1.12. §Þnh nghÜa ([2]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ nöa më chÝnh quy (regular semi-open) nÕu tån t¹i tËp më chÝnh quy U sao cho U ⊂ A ⊂ cl(U ). 1.13. NhËn xÐt. (i) Mçi tËp më chÝnh quy hoÆc ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ) lµ tËp nöa më chÝnh quy. (ii) Mçi tËp nöa më chÝnh quy trong (X, τ ) lµ tËp nöa më. 1.14. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) F lµ tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ); (ii) Tån t¹i tËp më chÝnh quy U sao cho F = cl(U ); (iii) Tån t¹i tËp më U sao cho F = cl(U ); (iv) Tån t¹i tËp nöa më U sao cho F = cl(U ); (v) Tån t¹i tËp nöa më chÝnh quy U sao cho F = cl(U ). Chøng minh. (i) ⇒ (ii). Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng chÝnh quy trong kh«ng gian t«p« (X, τ ). Khi ®ã F = cl(int(F )). §Æt U = int(F ). Nhê MÖnh ®Ò 1.11 (ii), U lµ tËp më chÝnh quy vµ F = cl(U ). (ii) ⇒ (iii). Suy tõ nhËn xÐt mçi tËp më chÝnh quy lµ tËp më. (iii) ⇒ (iv). Suy tõ nhËn xÐt mçi tËp më lµ tËp nöa më. (iv) ⇒ (i). Gi¶ sö tån t¹i tËp nöa më U sao cho F = cl(U ). Khi ®ã theo MÖnh ®Ò 1.11 (i), F lµ tËp ®ãng chÝnh quy. (i) ⇒ (v). Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ). §Æt int(F ) = U . Nhê MÖnh ®Ò 1.11 (ii) vµ NhËn xÐt 1.13 (i), U lµ tËp nöa më chÝnh quy vµ F = cl(U ). (v) ⇒ (i). Gi¶ sö tån t¹i tËp nöa më chÝnh quy U sao cho F = cl(U ). V× U lµ nöa më chÝnh quy nªn tån t¹i tËp më chÝnh quy V sao cho V ⊂ U ⊂ cl(V ). Suy ra F = cl(V ). Nhê MÖnh ®Ò 1.11 (i) ta cã F lµ tËp ®ãng chÝnh quy. 1.15. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) A lµ tËp më chÝnh quy trong (X, τ ); (ii) Tån t¹i tËp ®ãng chÝnh quy F sao cho A = int(F ); (iii) Tån t¹i tËp ®ãng F sao cho A = int(F );
(iv) Tån t¹i tËp nöa ®ãng F sao cho A = int(F ). Chøng minh. Suy tõ MÖnh ®Ò 1.11 vµ MÖnh ®Ò 1.14. 1.16. §Þnh nghÜa ([3]). TËp con A cña kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ trï mËt ®Þa ph¬ng (locally dense) nÕu A ⊂ int(cl(A)). 1.17. NhËn xÐt. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, nÕu tËp hîp A lµ më chÝnh quy, hoÆc lµ më, hoÆc trï mËt trong (X, τ ) th× A lµ trï mËt ®Þa ph¬ng. II. Kh«ng gian S -®ãng vµ kh«ng gian s-®ãng 2.1. §Þnh nghÜa ([9]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ S -®ãng (S -closed) nÕu víi mäi phñ {Uα : α ∈ ∧} cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më, tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. 2.2. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng; (ii) Mäi phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy cã phñ con h÷u h¹n; (iii) Mäi phñ U = {Vα : α ∈ ∧} cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më chÝnh quy, tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 }. Chøng minh. (i) ⇒ (ii). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng vµ {Uα : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy. Khi ®ã, v× mçi tËp ®ãng chÝnh quy lµ tËp nöa më nªn {Uα : α ∈ ∧} lµ phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më. Do (X, τ ) lµ S -®ãng nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. L¹i v× mçi tËp ®ãng chÝnh quy lµ tËp ®ãng nªn ta cã cl(Uα ) = Uα, víi mäi α ∈ ∧0 . Suy ra X = ∪{Uα : α ∈ ∧0 }. (ii) ⇒ (iii). Gi¶ sö {Vα : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më chÝnh quy. Khi ®ã, {cl(Vα ) : α ∈ ∧} lµ phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy. Nhê (ii), tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{cl(Vα ) : α ∈ ∧0 }. (iii) ⇒ (i). Gi¶ sö {Uα : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më. Khi ®ã, v× bao ®ãng cña mçi tËp nöa më lµ tËp ®ãng chÝnh quy vµ mçi tËp ®ãng chÝnh quy lµ tËp nöa më chÝnh quy nªn ta cã {cl(Uα ) : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më chÝnh quy. Nhê (iii), tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα) : α ∈ ∧0 }. VËy (X, τ ) lµ S -®ãng. 2.3. Bæ ®Ò ([3]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp con trï mËt ®Þa ph¬ng cña X . Khi ®ã, RC (A, τA) = {F ∩ A : F ∈ RC (X, τ )}, trong ®ã τA lµ t«p« c¶m sinh cña t«p« τ trªn A. 2.4. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ B lµ kh«ng gian con S -®ãng trï mËt trong X . Khi ®ã, (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng.
Chøng minh. Gi¶ sö {Fα : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña X bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy. Khi ®ã nhê Bæ ®Ò 2.3, {B ∩ Fα : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña B bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy trong B . V× B lµ kh«ng gian con S -®ãng nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho B = ∪{B ∩ Fα : α ∈ ∧0 }. Tõ ®ã suy ra, X = cl(B ) = ∪{cl(B ∩ Fα ) : α ∈ ∧0 } ⊂ ∪{cl(Fα ) : α ∈ ∧0 } = ∪{Fα : α ∈ ∧0 }. Do ®ã ta cã, X = ∪{Fα : α ∈ ∧0 }. VËy, (X, τ ) lµ S -®ãng. 2.5. §Þnh nghÜa ([4]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ kh«ng liªn th«ng cùc trÞ (extremally disconnected) nÕu víi mäi U ∈ τ ta cã cl(U ) ∈ τ . 2.6. §Þnh lý ([3], [4]) Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p«. Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) (X, τ ) lµ kh«ng gian kh«ng liªn th«ng cùc trÞ; (ii) Mçi tËp më chÝnh quy trong (X, τ ) lµ ®ãng vµ mçi tËp ®ãng chÝnh quy trong (X, τ ) lµ më; (iii) RO(X, τ ) = RC (X, τ ); (iv) cl(U ) = scl(U ), víi mäi tËp nöa më U trong (X, τ ). 2.7. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian kh«ng liªn th«ng cùc trÞ vµ compact. Khi ®ã (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian kh«ng liªn th«ng cùc trÞ vµ compact vµ gi¶ sö {Uα : α ∈ ∧} lµ mét phñ cña (X, τ ) bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy. Khi ®ã, theo §Þnh lý 2.6, {Uα : α ∈ ∧} lµ mét phñ më cña (X, τ ). Nhê gi¶ thiÕt (X, τ ) compact ta suy ra tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{Uα : α ∈ ∧0 }. VËy (X, τ ) lµ S -®ãng. 2.8. §Þnh nghÜa ([3]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ tùa H -®ãng (quasi-H - closed) nÕu víi mäi phñ {Uα : α ∈ ∧} cña X bëi c¸c tËp më, tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{cl(Uα) : α ∈ ∧0 }. 2.9. NhËn xÐt. NÕu (X, τ ) lµ kh«ng gian compact th× (X, τ ) lµ tùa H -®ãng. 2.10. §Þnh nghÜa ([2]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ s-®ãng (s-closed) nÕu víi mäi phñ {Uα : α ∈ ∧} cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa më, tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = ∪{scl(Uα ) : α ∈ ∧0 }. 2.11. NhËn xÐt. NÕu (X, τ ) lµ kh«ng gian s-®ãng th× (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng. 2.12. MÖnh ®Ò ([2]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ s-®ãng nÕu vµ chØ nÕu mäi phñ cña X bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy cã phñ con h÷u h¹n. 2.13. §Þnh nghÜa ([2]). ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) tõ kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµo kh«ng gian t«p« (Y, σ) ®îc gäi lµ kh«ng gi¶i ®îc (irresolute) nÕu f −1 (U ) ∈ SO(X, τ ), víi mäi U ∈ SO(Y, σ). 2.14. MÖnh ®Ò ([5]). Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµo kh«ng gian t«p« (Y, σ). Khi ®ã, c¸c kh¼ng ®Þnh sau ®©y lµ t¬ng ®¬ng (i) f lµ kh«ng gi¶i ®îc;
(ii) scl(f −1 (B )) ⊂ f −1 (scl(B )), víi mäi B ⊂ Y . 2.15. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian s-®ãng vµ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh kh«ng gi¶i ®îc. Khi ®ã, (Y, σ) lµ kh«ng gian s-®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian s-®ãng, f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh kh«ng gi¶i ®îc vµ {Uα : α ∈ ∧} lµ phñ cña Y bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy trong Y . Khi ®ã, v× f lµ ¸nh x¹ kh«ng gi¶i ®îc nªn {f −1 (Uα ) : α ∈ ∧} lµ phñ cña X bëi c¸c tËp nöa më trong X . Theo §Þnh lý 1.4, {scl(f −1 (Uα)) : α ∈ ∧} lµ phñ cña X bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy. V× (X, τ ) lµ s-®ãng nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = scl(f −1 (Uα )). Do f lµ toµn ¸nh kh«ng gi¶i ®îc nªn theo MÖnh ®Ò 2.14, α∈∧ 0 scl(f −1 (Uα )) ⊂ f −1 (scl(Uα )), víi mäi α ∈ ∧0 . Tõ ®ã ta cã f (scl(f −1 (Uα ))) ⊂ f (f −1 (scl(Uα ))) = Y = f (X ) = scl(Uα ) = Uα . α∈∧0 α∈∧0 α∈∧0 α∈∧0 §iÒu nµy kÐo theo, Y Uα . VËy, (Y, σ ) lµ kh«ng gian s-®ãng. = α∈∧0 2.16. §Þnh nghÜa ([1]). ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) tõ kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµo kh«ng gian t«p« (Y, σ) ®îc gäi lµ ν -liªn tôc (ν -continuous) nÕu f −1 (U ) lµ tËp më trong (X, τ ), víi mäi tËp nöa chÝnh quy U trong (Y, σ ). 2.17. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian compact vµ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh ν -liªn tôc. Khi ®ã, (Y, σ) lµ kh«ng gian s-®ãng. Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian compact, f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh ν -liªn tôc vµ {Uα : α ∈ ∧} lµ phñ cña Y bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy. Khi ®ã, {f −1 (Uα ) : α ∈ ∧} lµ phñ më cña X . V× (X, τ ) lµ kh«ng gian compact nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n ∧0 cña ∧ sao cho X = f −1 (Uα ). Do f lµ toµn ¸nh nªn ta cã α∈∧0 f −1 (Uα ) f (f −1 (Uα )) = Y = f (X ) = f = Uα . α∈∧0 α∈∧0 α∈∧0 VËy, (Y, σ) lµ kh«ng gian s-®ãng. 2.18. NhËn xÐt. V× mçi kh«ng gian s-®ãng lµ kh«ng gian S -®ãng nªn tõ MÖnh ®Ò 2.17 suy ra, nÕu (X, τ ) lµ kh«ng gian compact vµ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh ν -liªn tôc th× (Y, σ) lµ kh«ng gian S -®ãng. III. Kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc 3.1. §Þnh nghÜa ([3]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ S -®ãng ®Õm ®îc (count- ably S -closed) nÕu mäi phñ ®Õm ®îc cña X bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy cã phñ con h÷u h¹n. 3.2. NhËn xÐt. Mäi kh«ng gian S -®ãng lµ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc.
3.3. MÖnh ®Ò ([3]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc nÕu vµ chØ nÕu mäi phñ ®Õm ®îc {Un : n = 1, 2, . . . ) cña X bëi c¸c tËp nöa më, tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = cl(Un ). n∈I 3.4. §Þnh nghÜa ([8]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ compact yÕu (feebly compact) nÕu víi mäi phñ ®Õm ®îc {Un : n = 1, 2, . . . } cña X bëi c¸c tËp më, tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = ∪{cl(Un ) : n ∈ I }. 3.5. NhËn xÐt. NÕu (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc th× (X, τ ) lµ kh«ng gian compact yÕu. 3.6. §Þnh nghÜa ([3]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ P -kh«ng gian (P -space) nÕu mäi Gδ -tËp trong (X, τ ) lµ më. 3.7. MÖnh ®Ò. Tån t¹i mét kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ P -kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc. Chøng minh. Gi¶ sö X lµ mét tËp hîp kh«ng ®Õm ®îc vµ τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X \A ®Õm ®îc }. Ta sÏ chøng minh r»ng τ lµ mét t«p« trªn X vµ kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ P -kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc. ThËt vËy, tríc hÕt ta chøng minh τ lµ mét t«p« trªn X . Râ rµng ∅ vµ X lµ thuéc τ . Gi¶ sö A1 ∈ τ vµ A2 ∈ τ . NÕu A1 = ∅ hoÆc A2 = ∅ th× A1 ∩ A2 = ∅ ∈ τ . NÕu A1 = ∅ vµ A2 = ∅ th× X \A1 vµ X \A2 lµ c¸c tËp ®Õm ®îc. Suy ra X \(A1 ∩ A2 ) = (X \A1 ) ∪ (X \A2 ) lµ tËp ®Õm ®îc. Do ®ã A1 ∩ A2 ∈ τ . B©y giê, gi¶ sö {Ai : i ∈ I } lµ mét hä c¸c phÇn tö thuéc τ . NÕu Ai = ∅, víi mäi i ∈ I th× ∪{Ai : i ∈ I } = ∅ ∈ τ . NÕu tån t¹i i0 ∈ I sao cho Ai = ∅ th× X \Ai lµ tËp ®Õm ®îc. 0 0 V× X \ ∪ {Ai : i ∈ I } = ∩{X \Ai : i ∈ I } ⊂ X \Ai nªn X \ ∪ {Ai : i ∈ I } còng lµ tËp ®Õm 0 ®îc. Suy ra ∪{Ai : i ∈ I } ∈ τ . VËy τ lµ mét t«p« trªn X . TiÕp theo, ta chøng minh (X, τ ) lµ P -kh«ng gian. ThËt vËy, gi¶ sö G lµ Gδ -tËp trong X . Khi ®ã G = ∩{Un : n = 1, 2, . . . }, trong ®ã Un ∈ τ víi mäi n. NÕu tån t¹i n0 sao cho Un = ∅ th× G = ∅ ∈ τ . NÕu Un = ∅ víi mäi n th× X \Un lµ tËp ®Õm ®îc víi 0 mäi n. Suy ra Un = X \Bn, víi Bn lµ tËp ®Õm ®îc. Tõ ®ã suy ra ∩{Un : n = 1, 2, . . . } = ∩{X \Bn : n = 1, 2, . . . } = X \ ∪ {Bn : n = 1, 2, . . . }. V× Bn lµ tËp ®Õm ®îc víi mäi n nªn ∪{Bn : n = 1, 2, . . . } lµ tËp ®Õm ®îc. §iÒu nµy kÐo theo X \ ∩ {Un : n = 1, 2, . . . } lµ ®Õm ®îc. VËy G = ∩{Un : n = 1, 2, . . . } ∈ τ vµ do ®ã (X, τ ) lµ P - kh«ng gian. Cuèi cïng, ta chøng minh (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc. Gi¶ sö F lµ tËp ®ãng chÝnh quy bÊt kú trong (X, τ ). Khi ®ã, tån t¹i A ∈ τ sao cho F = cl(A). NÕu A = ∅ th× F = ∅. NÕu A = ∅ th× X \A ®Õm ®îc. Suy ra A = X \B , trong ®ã B lµ tËp ®Õm ®îc. Tõ ®ã ta cã cl(A) = cl(X \B ) = X \int(B ). Gi¶ sö int(B ) = ∅. Khi ®ã v× int(B ) ∈ τ nªn X \int(B ) lµ ®Õm ®îc. MÆt kh¸c, do X lµ kh«ng ®Õm ®îc vµ int(B ) lµ ®Õm ®îc nªn X \int(B ) lµ kh«ng ®Õm ®îc. §iÒu m©u thuÉn nµy chøng tá int(B ) = ∅. Tõ ®ã suy ra F = cl(A) = X . VËy, nÕu F lµ tËp ®ãng chÝnh quy bÊt kú trong X th× F = ∅ hoÆc F = X . §iÒu nµy chøng tá r»ng mäi phñ ®Õm ®îc cña X bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy ®Òu cã phñ con h÷u h¹n. Do ®ã (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc.
3.8. §Þnh lý ([3]). P -kh«ng gian (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc nÕu vµ chØ nÕu mäi kh«ng gian con trï mËt cña (X, τ ) lµ compact yÕu. 3.9. MÖnh ®Ò ([3]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian Hausdorff, S -®ãng ®Õm ®îc vµ tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø hai. Khi ®ã, X lµ tËp h÷u h¹n. 3.10. MÖnh ®Ò. Tån t¹i mét kh«ng gian t«p« v« h¹n (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc vµ tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø hai nhng kh«ng lµ kh«ng gian Hausdorff. Chøng minh. Gi¶ sö X lµ tËp hîp v« h¹n ®Õm ®îc vµ τ = {∅} ∪ {A ⊂ X : X \A h÷u h¹n }. T¬ng tù nh MÖnh ®Ò 3.7, ta chøng minh ®îc r»ng τ lµ mét t«p« trªn X vµ kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc. TiÕp theo, ta chøng minh (X, τ ) lµ kh«ng gian tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø hai. ThËt vËy, v× X lµ tËp v« h¹n ®Õm ®îc nªn X = {x1 , x2 , . . . , xn, . . . }. Víi mçi n = 1, 2, . . . , ®Æt An = {x1 , x2 , . . . , xn} vµ Un = {X \A : A ∈ P (An )}, trong ®ã P (An ) = {A : A ⊂ An }. Ta cã Un lµ hä h÷u h¹n víi ∞ mäi n. §Æt U = Un . Khi ®ã U lµ mét c¬ së cña t«p« τ vµ râ rµng U ®Õm ®îc. VËy n=1 (X, τ ) lµ kh«ng gian tháa m·n tiªn ®Ò ®Õm ®îc thø hai. Cuèi cïng, ta chøng minh (X, τ ) kh«ng lµ kh«ng gian Hausdorff. ThËt vËy, gi¶ sö ngîc l¹i (X, τ ) lµ kh«ng gian Hausdorff. Khi ®ã, víi mäi x, y ∈ X mµ x = y, tån t¹i c¸c l©n cËn më U cña x vµ V cña y sao cho U ∩ V = ∅. V× U ∈ τ vµ V ∈ τ nªn X \U vµ X \V lµ c¸c tËp h÷u h¹n. Suy ra (X \U ) ∪ (X \V ) = X \(U ∩ V ) = X lµ tËp h÷u h¹n. §iÒu nµy m©u thuÉn víi gi¶ thiÕt X lµ v« h¹n ®Õm ®îc. VËy (X, τ ) kh«ng lµ kh«ng gian Hausdorff. 3.11. NhËn xÐt. Tõ MÖnh ®Ò 3.10 suy ra r»ng, nÕu tÝnh Hausdorff cña (X, τ ) kh«ng ®îc gi¶ thiÕt th× MÖnh ®Ò 3.9 kh«ng ®óng. 3.12. §Þnh nghÜa ([4]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ compact ®Õm ®îc (countably compact) nÕu mäi phñ më ®Õm ®îc cña X cã phñ con h÷u h¹n. 3.13. NhËn xÐt. Mäi kh«ng gian compact lµ kh«ng gian compact ®Õm ®îc vµ mäi kh«ng gian compact ®Õm ®îc lµ kh«ng gian compact yÕu. 3.14. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian compact ®Õm ®îc vµ kh«ng liªn th«ng cùc trÞ. Khi ®ã, (X, τ ) lµ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc. Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian compact ®Õm ®îc vµ kh«ng liªn th«ng cùc trÞ, {Fn : n = 1, 2, . . . } lµ mét phñ ®Õm ®îc cña (X, τ ) bëi c¸c tËp ®ãng chÝnh quy. V× (X, τ ) lµ kh«ng gian kh«ng liªn th«ng cùc trÞ nªn theo §Þnh lý 2.6, {Fn : n = 1, 2, . . . } lµ phñ më ®Õm ®îc cña (X, τ ). Do (X, τ ) lµ compact ®Õm ®îc nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = Fn . VËy, (X, τ ) lµ S -®ãng ®Õm ®îc. n∈I
3.15. §Þnh nghÜa ([5]). ¸nh x¹ f : (X, τ ) −→ (Y, σ) tõ kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµo kh«ng gian t«p« (Y, σ) ®îc gäi lµ nöa liªn tôc m¹nh (strongly semi-continuous) nÕu f −1 (V ) ∈ τ , víi mäi V ∈ SO(Y, σ ). 3.16. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian compact ®Õm ®îc vµ f : (X, τ ) −→ (Y, σ ) lµ toµn ¸nh nöa liªn tôc m¹nh. Khi ®ã, (Y, σ ) lµ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc. Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian compact ®Õm ®îc, f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh nöa liªn tôc m¹nh vµ {Un : n = 1, 2, . . . } lµ mét phñ ®Õm ®îc cña (Y, σ) bëi c¸c tËp nöa më. Khi ®ã, {f −1 (Un ) : n = 1, 2, . . . } lµ phñ më ®Õm ®îc cña (X, τ ). V× (X, τ ) lµ compact ®Õm ®îc nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho f −1 (Un ). Suy ra X= n∈I f −1 (Un ) Y = f (X ) = f = Un ⊂ cl(Un ) ⊂ Y. n∈I n∈ I n∈I §iÒu nµy kÐo theo, Y cl(Un ). VËy, (Y, σ ) lµ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc. = n∈I 3.17. §Þnh nghÜa ([7]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ s-®ãng ®Õm ®îc (count- ably s-closed) nÕu víi mäi phñ ®Õm ®îc {Un : n = 1, 2, . . . } cña X bëi c¸c tËp nöa më, tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = ∪{scl(Un) : n ∈ I }. 3.18. NhËn xÐt. Mäi kh«ng gian s-®ãng lµ kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc vµ mäi kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc lµ kh«ng gian S -®ãng ®Õm ®îc. 3.19. MÖnh ®Ò ([7]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc nÕu vµ chØ nÕu mäi phñ ®Õm ®îc cña X bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy cã phñ con h÷u h¹n. 3.20. Bæ ®Ò ([1]). Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian t«p« vµ A lµ tËp trï mËt ®Þa ph¬ng trong (X, τ ). Khi ®ã, SR(A, τA) = A ∩ SR(X, τ ), trong ®ã τA lµ t«p« c¶m sinh cña t«p« τ trªn A. 3.21. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc vµ U ∈ RO(X, τ ). Khi ®ã, U lµ kh«ng gian con s-®ãng ®Õm ®îc cña (X, τ ). Chøng minh. Gi¶ sö (X, τ ) lµ kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc, U ∈ RO(X, τ ) vµ {An : n = 1, 2, . . . } lµ phñ ®Õm ®îc cña U bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy trong U . V× U ∈ RO(X, τ ) nªn U lµ tËp trï mËt ®Þa ph¬ng. Nhê Bæ ®Ò 3.20, víi mçi n ∈ {1, 2, . . . }, tån t¹i Fn ∈ SR(X, τ ) sao cho An = U ∩ Fn . Do X \U ∈ RC (X, τ ) nªn X \U ∈ SR(X, τ ). Hä {X \U } ∪ {Fn : n = 1, 2, . . . } lµ mét phñ ®Õm ®îc cña (X, τ ) bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy. Suy ra, tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = (X \U ) ∪ Fn . n∈I
§iÒu nµy kÐo theo, U ⊂ Fn vµ do ®ã U = An. VËy, U lµ kh«ng gian con s-®ãng n∈I n∈I ®Õm ®îc cña (X, τ ). 3.22. §Þnh nghÜa ([5]). Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ tõ kh«ng gian t«p« (X, τ ) vµo kh«ng gian t«p« (Y, σ ). Khi ®ã (i) f ®îc gäi lµ tiÒn nöa më (pre-semi-open) nÕu f (U ) ∈ SO(Y, σ), víi mäi U ∈ SO(X, τ ). (ii) f ®îc gäi lµ tiÒn nöa ®ãng (pre-semi-closed) nÕu f (F ) ∈ SC (Y, σ), víi mäi F ∈ SC (X, τ ). 3.23. Bæ ®Ò ([5]). Song ¸nh f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ tiÒn nöa më nÕu vµ chØ nÕu f lµ tiÒn nöa ®ãng. 3.24. MÖnh ®Ò. (i) Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh kh«ng gi¶i ®îc vµ (X, τ ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc. Khi ®ã, (Y, σ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc. (ii) Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ song ¸nh tiÒn nöa më vµ (Y, σ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc. Khi ®ã, (X, τ ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc. Chøng minh. (i) Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh kh«ng gi¶i ®îc vµ (X, τ ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc. Ta chøng minh (Y, σ ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc. ThËt vËy, gi¶ sö {Un : n = 1, 2, . . . } lµ phñ ®Õm ®îc cña Y bëi c¸c tËp nöa më. Khi ®ã, {f −1 (Un ) : n = 1, 2, . . . } lµ phñ ®Õm ®îc cña X bëi c¸c tËp nöa më. Nhê gi¶ thiÕt (X, τ ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc, tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = scl(f −1 (Un)). V× f lµ ¸nh x¹ kh«ng gi¶i n∈I ®îc nªn theo MÖnh ®Ò 2.14, scl(f −1 (Un )) ⊂ f −1 (scl(Un )), víi mäi n = 1, 2, . . . . Suy ra, f −1 (scl(Un )). §iÒu nµy kÐo theo, Y = f (X ) ⊂ scl(Un ). VËy, Y = X⊂ scl(Un ) n∈I n∈I n∈I vµ do ®ã Y lµ s-®ãng ®Õm ®îc. (ii) Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ song ¸nh tiÒn nöa më vµ (Y, σ) lµ kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc. Ta chøng minh (X, τ ) lµ kh«ng gian s-®ãng ®Õm ®îc. ThËt vËy, gi¶ sö {Un : n = 1, 2, . . . } lµ phñ ®Õm ®îc cña X bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy. V× mçi tËp nöa chÝnh quy lµ nöa më vµ f lµ tiÒn nöa më nªn {f (Un ) : n = 1, 2, . . . } lµ phñ ®Õm ®îc cña Y bëi c¸c tËp nöa më. L¹i v×, f lµ song ¸nh tiÒn nöa më nªn f lµ tiÒn nöa ®ãng. Suy ra, f (Un ) lµ nöa ®ãng, víi mäi n = 1, 2, . . . Tõ ®ã ta cã, {f (Un) : n = 1, 2, . . . } lµ phñ ®Õm ®îc cña Y bëi c¸c tËp nöa chÝnh quy. Do (Y, σ) lµ s-®ãng ®Õm ®îc nªn tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho Y = f (Un). §iÒu nµy kÐo theo, n∈I Un . VËy X lµ s-®ãng ®Õm ®îc. X = f −1 (Y ) = n∈I 3.25. §Þnh nghÜa ([7]). Kh«ng gian t«p« (X, τ ) ®îc gäi lµ s-compact yÕu (feebly s-compact) nÕu mäi phñ më ®Õm ®îc {Un : n = 1, 2, . . . } cña (X, τ ), tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, 3, . . . } sao cho X = ∪{scl(Un) : n ∈ I }. 3.26. Bæ ®Ò ([5]). Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ ¸nh x¹ liªn tôc vµ më. Khi ®ã, f lµ ¸nh x¹ kh«ng gi¶i ®îc.
3.27. MÖnh ®Ò. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh liªn tôc vµ më. Khi ®ã, nÕu (X, τ ) lµ s-compact yÕu th× (Y, σ ) lµ s-compact yÕu. Chøng minh. Gi¶ sö f : (X, τ ) −→ (Y, σ) lµ toµn ¸nh liªn tôc vµ më, (X, τ ) lµ s- compact yÕu. Ta chøng minh (Y, σ) lµ s-compact yÕu. ThËt vËy, gi¶ sö {Un : n = 1, 2 . . . } lµ phñ më ®Õm ®îc cña Y . V× f lµ toµn ¸nh liªn tôc nªn {f −1 (Un ) : n = 1, 2, . . . } lµ phñ më ®Õm ®îc cña X . Nhê gi¶ thiÕt X lµ s-compact yÕu, tån t¹i tËp con h÷u h¹n I cña {1, 2, . . . } sao cho X = scl(f −1 (Un )). MÆt kh¸c, v× f lµ toµn ¸nh liªn tôc vµ më n∈I nªn theo Bæ ®Ò 3.26 th× f lµ kh«ng gi¶i ®îc. Suy ra, scl(f −1 (Un)) ⊂ f −1 (scl(Un)), víi mäi n = 1, 2, . . . Tõ ®ã ta cã, Y = f (X ) = scl(Un). VËy, (Y, σ) lµ s-compact yÕu. n∈I tµi liÖu tham kh¶o C. K. Basu, On locally s-closed spaces, Internat. J. Math. & Math. Sci., 19, 1996, 67 - [1] 74. [2] G. Di Maio and T. Noiri, On s-closed spaces, Indian J. Pure Appl. Math., 18 (3), 1987, 226 - 233. [3] K. Dlaska, N.Ergun and M. Ganster, Countably S -closed spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 131 (8), 1991, 1 - 14. [4] R. Engelking, General topology, PWN-Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1977. [5] M. Khan, T. Noiri and B. Ahmad, On locally s-closed spaces, Indian J. Pure Appl. Math., 27 (11), 1996, 1087 - 1092. [6] M. Ganster and I. L. Reilly, A note on S -closed spaces, Indian J. Pure Appl. Math., 27 (11), 1988, 1031 - 1033. [7] G. B. Navalagi, Countably s-closed spaces and feebly s-compact spaces,... [8] J. R. Porter and R. G. Woods, Feebly compact spaces, Martin's Axiom and "Diamond", Topology Proc., 9, 1984, 105 - 121. [9] T. Thompson, S -closed spaces, Proc. Amer. Math. Soc., 60, 1976, 335 - 338. summary On countably S -closed spaces In this paper, we investigated some properties of classes of S -closed spaces, s- closed spaces, countably S -closed spaces and countably s-closed spaces. (a) Cao häc 15, chuyªn ngµnh Gi¶i tÝch, Trêng §¹i häc Vinh.