Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về môđun tựa nội xạ linh"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

52
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học của trường đại học huế đề tài: Về môđun tựa nội xạ linh...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về môđun tựa nội xạ linh"

T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 65, 2011 V MÔĐUN T A N I X LINH Trương Công Quỳnh, Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Đà N ng Lương Th Minh Th y, Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Hu TÓM T T . M t môđun M đư c g i là t a n i x linh n u v i m i m ∈ N il (M ) và m i ¯ ¯ đ ng c u f : mR → M , t n t i m t đ ng c u f : M → M sao cho f (x) = f (x) v i m i x ∈ mR. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra m t s đ c trưng c a l p các môđun t a n i x linh và ch ng t m t s k t qu đư c bi t có th suy ra t các đ c trưng này. 1. Gi i thi u Trong bài báo này, vành R đã cho luôn đư c gi thi t là vành k t h p có đơn v 1 = 0 và m i R-môđun đư c xét là môđun unita. V i vành R đã cho, vi t MR (R M ) đ ch M là m t R-môđun ph i (t.ư, trái). Trong m t ng c nh c th c a bài vi t, khi không s nh m l n v phía c a môđun, đ đơn gi n chúng ta vi t môđun M thay vì MR . Chúng ta dùng các ký hi u A ≤ M (A < M ) đ ch A là môđun con (t.ư., th c s ) c a M . N u A là môđun con c c đ i (h ng t tr c ti p) c a môđun M , chúng ta vi t A ≤max M (t.ư., A ≤⊕ M ). Căn Jacobson, đ c a môđun M đư c ký hi u tương ng là Rad(M ) và Soc(M ); đ c bi t, J (R) đư c dùng đ ký hi u cho căn Jacobson c a vành R. Chúng ta vi t Mn (R) đ ch vành các ma tr n vuông c p n v i h t trên vành R. N u I là m t t p h p v i card(I ) = α và M là m t môđun, t ng tr c ti p α b n sao c a M đư c ký hi u b i M (I ) ho c M (α) , tích tr c ti p α b n sao c a M b i M I ho c M α . Chúng ta ký hi u Mod-R (R-Mod) là ph m trù các R-môđun ph i (t.ư., trái). Cho M và N là các R-môđun ph i. Đ ng c u t M đ n N đư c hi u là đ ng c u t R-môđun ph i M đ n R-môđun ph i N . Cho M là m t R-môđun ph i và t p ∅ = X ⊂ M . Linh hóa t ph i c a X trong R đư c ký hi u là rR (X ) và đư c xác đ nh như sau rR (X ) = {r ∈ R | xr = 0 (∀x ∈ X )}. Khi không s nh m l n chúng ta có th vi t g n là r(X ) thay vì rR (X ). V i X = {x1 , x2 , . . . , xn } ta vi t r(x1 , x2 , . . . , xn ) thay vì r({x1 , x2 , . . . , xn }). Ta có rR (X ) là m t iđêan ph i c a vành R. Hơn n a, n u X là môđun con c a M thì r(X ) là m t iđêan (ph i và trái) c a R. Linh hóa t trái c a X trong R đư c ký hi u là lR (X ) và đư c đ nh nghĩa tương t . 157
Như chúng ta đư c bi t, m t R-môđun ph i Q đư c g i là n i x n u m i bi u đ g m các đ ng c u c a các R-môđun ph i v i hàng là kh p Q p 6 Ip p f¯ pp f p p i 0 A B - - ¯ ¯ đ u t n t i m t đ ng c u f : B → Q đ bi u đ trên giao hoán, nghĩa là f i = f. Năm 1940, Baer đã đưa ra m t tiêu chu n quan tr ng đ ki m tra tính n i x c a môđun như sau: R-môđun ph i Q là n i x n u và ch n u m i bi u đ g m các đ ng c u c a các R-môđun ph i v i hàng là kh p Q p 6 Ip p f¯ pp f p p i RR 0 I - - ¯ trong đó I là iđêan ph i c a R, đ u t n t i m t đ ng c u f : RR → Q đ bi u ¯ đ trên giao hoán, nghĩa là f i = f. T khi có tiêu chu n Baer cho tính n i x , hai hư ng phát tri n c a m r ng n i x cùng t n t i. Đ u tiên là m r ng n i x theo đ nh nghĩa g c. T đ nh nghĩa này, Ming đã l y các R-môđun ph i A là các R-môđun ph i xyclic trong bi u đ giao hoán trên, ta có đ nh nghĩa C-n i x . Ti p t c theo hư ng đó, n u trong bi u đ giao hoán trên l y các R-môđun ph i A là đ c a B , ta đư c khái ni m soc-n i x m nh (theo [2]). Bài báo này ti p t c xét các môđun A trong bi u đ trên ch là các môđun mR v i m ∈ N il(M ), nh vào đ nh nghĩa dùng tích c a các môđun con. Theo [4], m t môđun M đư c g i là t a n i x chính n u cho ¯ m i m ∈ M và m i đ ng c u f : mR → M , t n t i m t đ ng c u f : M → M ¯ sao cho f (x) = f (x) v i m i x ∈ mR. M t s k t qu và m i liên h gi a môđun t a n i x chính và vành t đ ng c u c a nó đã đư c nghiên c u. Theo [4], m t môđun M đư c g i là t a n i x đơn n u v i m i môđun con ¯ đơn N c a M và m i đ ng c u f : N → M , t n t i m t đ ng c u f : M → M ¯(x) = f (x) v i m i x ∈ N . Rõ ràng ta có sao cho f t a n i x chính ⇒ t a n i x đơn. Bên c nh đó, hư ng th hai cũng đư c nhi u tác gi quan tâm nghiên c u. Trong [5], Nicholson-Yousif đã đưa ra khái ni m m t môđun M đư c g i là P-n i x n u cho m i a ∈ R và m i đ ng c u f : aR → M , t n t i m t đ ng c u ¯ ¯ f : RR → M sao cho f (x) = f (x) v i m i x ∈ aR. Các tác gi trên đã đưa ra nhi u đ c trưng thú v v các vành sao cho RR là P-n i x . Ngoài ra, m t s trư ng h p t ng quát c a môđun P-n i x cũng đư c nghiên c u và m r ng, ch ng h n như môđun GP-n i x , AGP-n i x .... Năm 2007, Wei và Chen ([6]) đã đưa ra m t trư ng h p t ng quát c a môđun P-n i x đó là môđun n i x linh, theo đó m t môđun M đư c g i là n i x linh 158
n u v i m i ph n t lũy linh a c a R và m i đ ng c u f : aR → M , t n t i m t ¯ ¯ đ ng c u f : RR → M sao cho f (x) = f (x) v i m i x ∈ aR. M t cách t nhiên chúng tôi đưa ra khái ni m môđun "t a n i x linh". Trong bài báo này chúng tôi nghiên c u đ c trưng c a l p môđun này. 2. K t qu Trư c khi đ nh nghĩa tích c a hai môđun con c a m t môđun, chúng ta xét tích các iđêan trong m t vành R. Gi s I, K là các iđêan c a vành R, ta có ai bi | ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗ }. IK = { i≤k Bây gi v i m i a ∈ I , chúng ta xét ánh x ha : RR → I xác đ nh b i ha (r) = ar v i m i r ∈ R. Khi đó ha là m t đ ng c u và ab = ha (b) v i m i b ∈ K . Đ t H = {h(K )| h ∈ Hom(RR , I )}. T đó chúng ta suy ra: hai (bi )| ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗ } ≤ H. IK = { i≤ k Ngư c l i l y m i ph n t h(b) ∈ h(K ) v i b ∈ K và h : RR → I là đ ng c u. Khi đó đ t a = h(1) ∈ I . Suy ra h(b) = h(1)b = ab ∈ IK . V y ta có {h(K )| h ∈ Hom(RR , I )}. IK = H = Rõ ràng IK ≤ I và IK ≤ K . T đ nh nghĩa v tích các iđêan, m t câu h i t nhiên đ t ra là đ i v i m t môđun có t n t i tích c a các môđun con hay không?. Và li u r ng khi tích c a các môđun con đó t n t i thì có trùng v i tích c a các iđêan hay không?. Trong ph n ti p theo c a bài báo chúng ta s xây d ng tích c a các môđun con và khái ni m này đã đư c Lomp gi i thi u vào năm 2005 (xem [3]). Cho M là m t R-môđun ph i và S := EndR (M ). Chúng ta ký hi u L(M ) là l p t t c các môđun con c a môđun M và L(R) (tương ng, L(S )) là l p t t các iđêan ph i c a R (tương ng, S ). Chúng ta xét các ánh x sau: φ : L(M ) → L(S ) xác đ nh b i φ(N ) = Hom(M, N ) ϕ : L(S ) × L(M ) → L(M ) xác đ nh b i ϕ(I, N ) = IN T các ánh x trên ta xét m t phép toán hai ngôi trên t p L(M ) như sau: φ×1 ϕ M L(M ) × L(M ) −→ L(S ) × L(M ) −→ L(M ). Khi đó theo [3], Lomp đã đ nh nghĩa K := ϕ(φ × 1M )(H, K ) = ϕ(Hom(M, H ), K ) = Hom(M, H )K H {f (K )| f ∈ Hom(M, H )}. = Đ nh nghĩa 2.1 Cho H, K là các môđun con c a M . Khi đó H K đư c g i là tích c a hai mô đun con c a H và K và đư c ký hi u là HK . T đ nh nghĩa trên chúng ta có các nh n xét sau: 159
Nh n xét. (i). N u M = R, tích c a hai iđêan c a R theo đ nh nghĩa trên chính là tích c a các iđêan theo nghĩa thông thư ng; nghĩa là n u I, K là các iđêan c a vành R thì ai bi | ai ∈ I, bi ∈ K, k ∈ N∗ }. IK = { i≤k (ii) HK ≤ H v i m i K ≤ M . Hơn n a n u K là môđun con b t bi n đ y, ta có HK ≤ K v i m i H ≤ M . Trư c h t chúng ta có các tính ch t sau: 2.2 Cho H, K, L là các môđun con c a M . Khi đó Bđ H (KL) ≤ (HK )L. (1) (2) L(H + K ) = LH + LK. LK + HK ≤ (L + H )K. (3) (4) N u M là x nh trong σ [M ], thì (1) và (3) tr thành các đ ng th c. Ch ng minh. Theo [3, Proposition 3.1]. Cho N là m t môđun con c a M và n ∈ N. Chúng ta xác đ nh các môđun con c a N như sau: N 1 = N, N 2 = N N, N 3 = N 2 N, . . . , N n = N n−1 N. Khi đó chúng ta có N n ≤ N n−1 ≤ · · · ≤ N 2 ≤ N 1 = N. Môđun con N đư c g i là lũy linh n u t n t i n ∈ N sao cho N n = 0. Chúng ta ký hi u N il(M ) = {m ∈ M | mR là lũy linh. } Đ nh nghĩa 2.3 M t môđun M đư c g i là t a n i x linh n u v i m i m ∈ ¯ N il(M ) và m i đ ng c u f : mR → M , t n t i m t đ ng c u f : M → M sao ¯(x) = f (x) v i m i x ∈ mR, nghĩa là bi u đ sau giao hoán: cho f M p 6Ip p f ¯ pp f pp pp i 0 mR -M - v i i : mR → M là đơn c u chính t c. Vành R đư c g i là t n i x linh ph i n u RR là t a n i x linh. Ví d 2.4 Đ t R = Z là vành các s nguyên. Khi đó đó R là t a n i x linh, nhưng không là t a n i x chính. Đ nh lý 2.5 Các đi u ki n sau là tương đương v i môđun M và S = End(M ): (1) M là t a n i x linh. (2) lM (r(m)) = Sm v i m i m ∈ N il(M ). (3) N u r(m) ≤ r(m ) v i m i m ∈ N il(M ), m ∈ M , thì Sm ≤ Sm. 160
Ch ng minh. (1) ⇒ (2). Cho m ∈ N il(M ) và x ∈ lM (r(m)). Xét f : mR → M xác đ nh b i f (mr) = xr v i m i r ∈ R. Khi đó f là m t đ ng c u. Theo (1), ¯ ¯ t n t i m t đ ng c u f : M → M sao cho f (y ) = f (y ) v i m i y ∈ mR. Suy ra ¯ x = f (m) = f (m) ∈ Sm. T đó suy ra lM (r(m)) = Sm. (2) ⇒ (3) là hi n nhiên. (3) ⇒ (1). Cho m i m ∈ N il(M ) và m i đ ng c u f : mR → M . Khi đó ¯ ¯ r(m) ≤ r(f (m)). Suy ra t n t i f ∈ S sao cho f (m) = f (m). V y M là t a n i x linh. Ti p theo chúng ta có m t tính ch t khác c a môđun t a n i x linh: M nh đ 2.6. N u M là t a n i x linh, thì lS (Ker(α) ∩ mR) = Sα + lS (m) v i m i m ∈ M, α ∈ S và α(m) ∈ N il(M ). Ch ng minh. V i m i m ∈ M, α ∈ S và α(m) ∈ N il(M ), thì Sα + lS (m) ≤ lS (Ker(α) ∩ mR). Ngư c l i v i m i s ∈ lS (Ker(α) ∩ mR) thì s(Ker(α) ∩ mR)) = 0. Hơn n a chúng ta l i có α(m) ∈ N il(M ) và r(α(m)) ≤ r(s(m)). Khi đó theo Đ nh lý 2.5, ta suy ra t n t i s ∈ S sao cho s(m) = s α(m) hay s − s α ∈ lS (m) và vì v y s ∈ Sα + lS (m). Tóm l i chúng ta có lS (Ker(α) ∩ mR) = Sα + lS (m). T các tính ch t trên chúng ta có các đ c trưng c a vành t n i x linh: H qu 2.7. Các đi u ki n sau là tương đương v i vành R đã cho: (1) R là vành t n i x linh ph i. l(r(a)) = Ra v i m i a ∈ N il(R). (2) N u r(a) ≤ r(b) v i m i a ∈ N il(R), b ∈ M , thì Rb ≤ Ra. (3) l(r(a) ∩ bR) = Ra + l(b) v i m i a, b ∈ R v i ab ∈ N il(R). (4) Ch ng minh. (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) theo Đ nh lý 2.5 và M nh đ 2.6. (4) ⇒ (1). L y a ∈ N il(R) và f : aR → RR là m t đ ng c u. Khi đó r(a) ≤ r(f (a)). Suy ra f (a) ∈ lr(f (a)) ≤ lr(a) = l(r(a) ∩ R) = Ra theo (4). Đi u này suy ra f đư c m r ng đ n RR . M nh đ 2.8. M i h ng t tr c ti p c a m t môđun t a n i x linh là t a n i x linh. Ch ng minh. Gi s M là môđun t a n i x linh và N là h ng t tr c ti p c a M . G i ι : N → M là đơn c u chính t c, p : M → N là toàn c u chính t c. L y n ∈ N il(N ) và f : nR → N là đ ng c u. Khi đó t n t i k ∈ N {f (nR)| f ∈ Hom(N, (nR)k−1 )}. M t sao cho (nR)k = 0. Ta có (nR)k = khác, v i m i g ∈ Hom(M, (nR)k−1 ), thì g (nR) = gι(nR) ≤ {f (nR)| f ∈ k −1 k Hom(N, (nR) )} = (nR) , đi u này suy ra {f (nR)| f ∈ Hom(M, (nR)k−1 )} = 0. Do đó n ∈ N il(M ). Vì M là môđun t a n i x linh, nên t n t i đ ng c u ¯ ¯ ¯ f ∈ End(M ) sao cho f (x) = f (x) v i m i x ∈ nR. T đó ta có pf ι ∈ End(N ) ¯ι(x) = f (x) v i m i x ∈ nR. V y N là môđun t a n i x linh. và pf 161
B đ 2.9. Gi s φ : N → M là m t đ ng c u và A, B ≤ N . Khi đó φ(AB ) = φ(A)φ(B ) và φ(Ak ) = φ(A)k . {f (B )| f ∈ Ch ng minh. Theo đ nh nghĩa c a tích A và B ta có AB = Hom(N, A)} và φ(A)φ(B ) = {g (φ(B ))| g ∈ Hom(M, φ(A))}. Khi đó φ(AB ) = {φ(f (B ))| f ∈ Hom(N, A)}. Ti p theo, l y f ∈ Hom(N, A) và đ t g = φ|A f φ−1 , ta có g ∈ Hom(M, φ(A)) và g (φ(B )) = φ|A f φ−1 (φ(B )) = φ|A f (B ) = φ(f (B )). T đây suy ra φ(AB ) ≤ φ(A)φ(B ). Ngư c l i v i m i g ∈ Hom(M, φ(A)), đ t f = φ−1 |φ(A) gφ, ta có f ∈ Hom(N, A). Nên φ(f (B )) = φφ−1 |φ(A) gφ(B ) = gφ(B ) và do đó gφ(B ) ≤ φ(A)φ(B ). Suy ra φ(A)φ(B ) ≤ φ(AB ). V y φ(AB ) = φ(A)φ(B ). Hơn n a, φ(Ak ) = φ(Ak−1 .A) = φ(Ak−1 ).φ(A) = φ(A)φ(A) . . . φ(A) = φ(A)k . S d ng b đ trên chúng ta có. M nh đ 2.10. Gi s M là môđun t a n i x linh và N M . Khi đó N cũng là t a n i x linh. Ch ng minh. G i φ : N → M là m t đ ng c u. Gi s n ∈ N il(N ) và f : nR → N là m t đ ng c u. Khi đó t n t i k ∈ N sao cho (nR)k = 0. Theo B đ 2.9 ta có φ(nR)k = φ((nR)k ) = 0. Suy ra (φ(n)R)k = 0 hay φ(n) ∈ N il(M ). T đó t n t i m t đ ng c u g ∈ End(M ) sao cho g là m r ng c a đ ng c u φf (φ−1 |φ(n)R ) ¯ b i vì M là t a n i x linh. Đ t f = φ−1 gφ ∈ End(M ), v i m i x ∈ R ta có ¯(nx) = φ−1 gφ(nx) = φ−1 (φf (φ−1 |φ(n)R ))(φ(nx)) = f (nx). V y f là m r ng c a ¯ f f . Do đó N là t a n i x linh. Như chúng ta đư c bi t, m t iđêan ph i c c ti u I c a vành R ho c là h ng t tr c ti p c a vành ho c là I 2 = 0. Đ nh lý sau cho chúng ta m t k t qu tương t như trong vành đ i v i môđun. Đ nh lý 2.11. Cho N là m t môđun con đơn c a M , khi đó ho c N là m t h ng t tr c ti p c a M ho c N 2 = 0. Ch ng minh. Cho N là m t môđun con đơn c a M . Gi s N 2 = 0. Suy ra {f (N )| f ∈ Hom(M, N )} = 0. Khi đó t n t i m t đ ng c u f : M → N sao cho f (N ) = 0. Vì N là đơn, nên f (N ) = N . Suy ra N = f (N ) = f (M ) và ta cũng có M = N + Kerf . M t khác, ta có N ∩ Kerf = Ker(f |N ) và f |N : N → N là m t đ ng c u (do N đơn). Suy ra N ∩ Kerf = 0 và t đó M = N ⊕ Kerf . Áp d ng Đ nh lý trên chúng ta có k t qu sau: H qu 2.12.N u M là t a n i x linh, thì M là t a n i x đơn. Ch ng minh. (1). Cho f : mR → M là m t đ ng c u v i mR là môđun con đơn c a M . Theo Đ nh lý 2.11, ho c mR là h ng t tr c ti p c a M ho c (mR)2 = 0. N u mR là h ng t tr c ti p c a M , thì f π : M → M v i toàn c u chính t c π : M → mR là m r ng c a f . N u (mR)2 = 0, ta có m ∈ N il(M ). Suy ra f đư c m r ng đ n đ ng c u M → M do M là t a n i x linh. 162
Vì v y ta có: t a n i x chính ⇒ t a n i x linh ⇒ t a n i x đơn. Tuy nhiên, các chi u ngư c l i nói chung không đúng trong trư ng h p t ng quát. Vành R Ví d 2.4 là môđun t a n i x linh nhưng không t a n i x chính. Ngoài ra, ví d sau ch ng t t n t i m t môđun t a n i x đơn nhưng không là t a n i x linh. Ví d 2.13. Xét V là m t không gian vectơ 2-chi u trên m t trư ng K . Ký hi u kv 0v R={ | k ∈ K, v ∈ V } (vành m r ng t m thư ng). Xét x = . 0k 00 Suy ra (xR)2 = 0 và lr(x) = Rx. Khi đó R là vành giao hoán không n i x linh. Hơn n a, vành các đa th c R[x] cũng là m t môđun t a n i x đơn nhưng không là t a n i x linh (xem như R[x]-môđun). H qu 2.14. N u R là t n i x linh ph i thì R là vành n i x đơn ph i. Gi s N là m t môđun con đơn c a M . Ký hi u {X ≤ M | X N} SocN (M ) = đư c g i là thành ph n thu n nh t c a Soc(M ) ch a N . M nh đ 2.15. Gi s M là t a n i x linh và S = End(M ). Khi đó: (1) N u N là môđun con đơn c a M , thì SocN (M ) = SN . (2) N u mR là môđun con đơn c a MR , thì Sm là môđun con đơn c a S M. (3) Soc(MR ) ⊂ Soc(S M ). Ch ng minh (1). Chúng ta luôn luôn có SN ⊂ SocN (M ). Ngư c l i, gi s f : N → N1 là m t đ ng c u v i N1 ≤ M . Theo H qu 2.12, M là t a n i x đơn, nên t n t i ¯ ¯ m t đ ng c u f : M → M là m r ng c a f . Suy ra N1 = f (N ) = f (N ) ≤ SN. Đi u này suy ra SocN (M ) ⊂ SN. (2). Gi s mR là m t môđun con đơn c a MR và 0 = α(m) ∈ Sm v i α ∈ S. Khi đó α : mR → α(m)R là m t đ ng c u. Suy ra α(m)R cũng là môđun con đơn c a M . Vì M là n i x linh nên M là t a n i x đơn, do đó t n t i m t đ ng c u α : M → M là m r ng c a α−1 : α(m)R → mR. Suy ra ¯ −1 m = α (α(m)) = α(α(m)) ∈ Sαm. T đó Sm = Sαm. V y Sm là môđun con ¯ đơn c a S M. (3) đư c suy ra t (2). M là t a n i x chính và S = H qu 2.16. ([4, Proposition 1.3]) Gi s End(M ). Khi đó: (1) N u N là môđun con đơn c a M , thì SocN (M ) = SN . (2) N u mR là môđun con đơn c a MR , thì Sm là môđun con đơn c a S M. (3) Soc(MR ) ⊂ Soc(S M ). 163
TÀI TI U THAM KH O [1] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer- Verlag, New York, 1974. [2] Amin, Ismail; Yousif, Mohamed; Zeyada, Nasr, Soc-injective rings and mod- ules, Comm. Algebra, 33(11) (2005), 4229-4250 [3] Lomp, Christian, Prime elements in partially ordered groupoids applied to modules and Hopf algebra actions, J. Algebra Appl., 4(1) (2005), 77-97. [4] Nicholson, W. K.; Park, J. K.; Yousif, M. F. Principally quasi-injective modules, Comm. Algebra, 27(4) (1999), 1683–1693. [5] W.K. Nicholson and M.F. Yousif. Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ. Press. , 2003. [6] Wei, J. and Chen, J., Nil-injective rings, Int. Electron. J. Algebra, 2 (2007), 1-21. [7] R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991. [8] Yue Chi Ming, Roger, C -injectivity and C -projectivity, Hiroshima Math. J., 37 (3)(2007), 385-395. 164
ON QUASI NIL-INJECTIVE MODULES Truong Cong Quynh, College of Pedagogy, Da Nang University Luong Thi Minh Thuy, College of Pedagogy, Hue University SUMMARY A right R-module M is called quasi nil-injective if, for each m ∈ N il(M ) and ¯ every homomorphism f : mR → M , there exists a homomorphism f : M → M ¯(x) = f (x) for all x ∈ mR . In this paper, we give some characteristics such that f of quasi nil-injective modules. Some related results are obtained. 165