intTypePromotion=1
ADSENSE

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về một mô hình bài toán quy hoạch ngẫu nhiên"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

163
lượt xem
23
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 4. Lê Thanh Hoa, Nguyễn Thị Thanh Hiền, Về một mô hình bài toán quy hoạch ngẫu nhiên...Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số." Theo quan điểm chính thống, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng Luận lý...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về một mô hình bài toán quy hoạch ngẫu nhiên"

  1. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh VÒ Mét m« h×nh bµi to¸n quy ho¹ch ngÉu nhiªn Lª Thanh Hoa (a) NguyÔn ThÞ Thanh HiÒn (b) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®· thiÕt lËp mét m« h×nh quy ho¹ch ngÉu nhiªn, chøng minh c¸c tÝnh chÊt riªng biÖt cña nã. Trªn c¬ së ®ã, chóng t«i xÊp xØ bµi to¸n vËn t¶i víi d÷ liÖu ngÉu nhiªn bëi bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnh. I. Më ®Çu 1.1. Bµi to¸n l−u chuyÓn hµng 1.1.1. Bµi to¸n. Cã n kho chøa hµng víi søc chøa mçi kho lµ bi. Sè l−îng hµng cÇn x¸c ®Þnh ë kho thø i lµ xi, i = 1, 2, ..., n. Kinh phÝ b¶o qu¶n l−u gi÷ mét ®¬n vÞ hµng ë kho thø i lµ si, i = 1, 2, ..., n. C−íc phÝ vËn t¶i mét ®¬n vÞ hµng tõ kho thø i ®Õn kho thø j lµ cij (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). CÇn vËn chuyÓn ®Ó ®iÒu chØnh l−îng hµng ë c¸c kho sao cho tæng chi phÝ l−u kho vµ vËn chuyÓn lµ bÐ nhÊt. BiÕt r»ng gi÷a kho i vµ kho j lu«n cã cung ®−êng vËn t¶i vµ cij = cji, (i = 1, 2,..., n; j = 1, 2, ..., n). 1.1.2. §Æt bµi to¸n. Ký hiÖu zij lµ sè ®¬n vÞ hµng ®−îc chuyÓn tõ i tíi j (zij ≥ 0). Khi ®ã mét ph−¬ng ¸n vËn t¶i z = (zij) ®−îc thùc hiÖn th× sè hµng ti, (i = 1, 2, …, n) cã ë kho thø i t¹i mét thêi ®iÓm sÏ lµ n n ∑ zij + ∑z ti = xi - , i = 1, 2, ..., n. ki j =1 k =1 Chi phÝ vËn chuyÓn vµ l−u gi÷ ®−îc tÝnh theo c«ng thøc n n n ∑ ∑c ∑ si xi + zij → min. ij i =1 i =1 j =1 VËy ta cã bµi to¸n t×m x = (xi), z = (zij) ≥ 0, sao cho n n n ∑ ∑c ∑ si xi + min { (1.1) zij } ij i =1 i =1 j =1  n n ti + ∑ zij - ∑z = xi, i = 1, 2, ..., n, (1.2)  ki  víi ®iÒu kiÖn  j =1 k =1  xi ≤ bi, i = 1, 2, …, n (1.3)  ti ≥ 0, i = 1, 2, ..., n, (1.4)   xi ≥ 0, zij ≥ 0, i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n, (1.5)  NhËn bµi ngµy 27/7/2007. Söa ch÷a xong 15/10/2007. 27
  2. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh Trong thùc tÕ, bµi to¸n ®· nªu víi biÕn xi, (i = 1, 2, ..., n), cã sù tham gia cña yÕu tè ngÉu nhiªn w. Khi ®ã biÕn z = (zij) vµ biÕn t = (ti) sÏ phô thuéc vµo yÕu tè ngÉu nhiªn ®· nªu. §Ó gi¶i quyÕt bµi to¸n nµy, ta cÇn tíi sù ®iÒu chØnh trong líp c¸c bµi to¸n quy ho¹ch ngÉu nhiªn hai giai ®o¹n. 1.2. Bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnh ngÉu nhiªn hai giai ®o¹n ([2]) Nh− chóng ta ®· biÕt bµi to¸n quy ho¹ch tuyÕn tÝnh ngÉu nhiªn 2 giai ®o¹n (two- stage stochastic linear programming), víi giai ®o¹n I: x¸c ®Þnh s¬ bé nghiÖm trªn cë së c¸c th«ng tin cã ®−îc tr−íc ®ã, giai ®o¹n II: chØnh lý nghiÖm theo thùc tÕ, cã chó ý ®Õn c¸c yÕu tè ngÉu nhiªn. Cô thÓ, chóng ta cÇn gi¶i bµi to¸n (2SSLP) sau min {g(x) = cx + Ew∈Ω[Q(x, w)]} (1.6) víi ®iÒu kiÖn A(w)x = b(w), x ≥ 0, (1.7) trong ®ã Q(x, w) = min {q(w)y : D(w)y = b(w) – A(w)x, y ≥ 0}, víi c, x ∈ »n; q, y ∈ »m; w = (ω1, ω2, …, ωk) lµ biÕn ngÉu nhiªn thuéc kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, , ℘), ⊆ »k; q(w) ®−îc hiÓu nh− mét vect¬ ph¹t khi cã sù chªnh lÖch trong ®iÒu kiÖn buéc cña bµi to¸n víi d÷ liÖu ch−a ch¾c ch¾n; Ew∈Ω[Q(x, w)] lµ kú väng cña Q(x, w) lÊy theo biÕn ngÉu nhiªn w ∈ ; A(w) = (aij(w)) lµ ma trËn hÖ sè cÊp m×n, b(w) lµ ma trËn cÊp m×1; D lµ ma trËn hÖ sè, nãi chung phô thuéc vµo w. II. C¸c kÕt qu¶ chÝnh Nh− ®· nªu trong m« h×nh (1.1)-(1.5), sè l−îng hµng cã ë kho i lµ xi cã thÓ phô thuéc ®¹i l−îng ngÉu nhiªn w. Ta ký hiÖu gi¸ trÞ thay ®æi, do t¸c ®éng cña w, nµy lµ x’i(w). Do vËy, sè l−îng hµng cã ë kho thø i lµ ti(w), khi thùc hiÖn ph−¬ng ¸n vËn t¶i z sÏ lµ n n ti(w) = xi - x’i(w) - ∑ zij(w) + ∑z (w). ki j =1 k =1 ViÖc gi¶i bµi to¸n (1.1)-(1.5) víi ®¹i l−îng xi x¸c ®Þnh nµo ®ã chØ míi ®−îc xem lµ giai ®o¹n I cña bµi to¸n quy ho¹ch ngÉu nhiªn 2 giai ®o¹n, s¬ bé t×m ra ph−¬ng ¸n tèi −u trong ®iÒu kiÖn cô thÓ ®· cho. Thùc hiÖn ë giai ®o¹n II, ®iÒu chØnh kÕ ho¹ch víi sù tham gia cña yÕu tè ngÉu nhiªn, ta cÇn gi¶i bµi to¸n quy ho¹ch n n n ∑ ∑c ∑s x min { ϕ(x, z) = + E(zij(w))} i i ij i =1 i =1 j =1 víi ®iÒu kiÖn 28
  3. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh n n  ∑ ∑z ti(w) = xi - x’i(w) - zij(w) + (w), i = 1, 2, ..., n,  ki  j =1 k =1  xi ≤ bi, i = 1, 2, …, n  xi ≥ 0, ti(w), x'i (w) ≥ 0, zij(w) ≥ 0, i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n.   Bµi to¸n nªu trªn cã thÓ viÕt l¹i nh− sau min { ϕ(x, z) = sTx + cTE(z(w))} (2.1)  x - t(w) + Az(w) = x’(w) (2.2)  x≤b (2.3)  víi ®iÒu kiÖn  x, t(w), x'(w) ≥ 0, z(w) ≥ 0, (2.4)  trong ®ã t(w) = (ti(w)), x’(w) = (x'i(w)), x = (xi), b = (bi); sT, cT t−¬ng øng lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn s = (si), c = (cij), A lµ ma trËn gåm c¸c phÇn tö t−¬ng øng víi c¸c hÖ sè cña z = (zij). BiÕn z(w) gäi lµ biÕn trî gióp cña bµi to¸n (xem [1]). §Þnh nghÜa. Ta gäi bµi to¸n (2.1) – (2.4) lµ hîp lý nÕu víi bÊt kú vect¬ t, tån t¹i vect¬ u ≥ 0, sao cho A.u = t. Trong tr−êng hîp bµi to¸n (2.1) – (2.4) tån t¹i vect¬ u > 0, sao cho A.u = 0 th× ta nãi bµi to¸n lµ nöa hîp lý. Chó ý r»ng bµi to¸n hîp lý th× lµ nöa hîp lý. MÖnh ®Ò 1. Ma trËn A cña bµi to¸n (2.1) – (2.4) cã n hµng, n(n-1) cét, nh−ng cã h¹ng n – 1. §Æc biÖt, tæng c¸c vect¬ cét lµ vect¬ 0. Chøng minh. ViÕt t−êng minh bµi to¸n (2.1) – (2.4) ta thÊy ma trËn A gåm c¸c phÇn tö 1, -1 vµ 0, trong ®ã trªn mçi hµng gåm n-1 sè 1 vµ -1, cßn l¹i lµ sè 0. Còng nh− vËy, trªn mçi cét chØ gåm 1 sè 1 vµ 1 sè -1, cßn l¹i lµ sè 0. Ch¼ng h¹n n = 2, ta cã  −1 1    1 − 1 , A=    víi n = 3, ta cã  −1 1 −1 1 0 0   0 0 − 1 1  , ... A =  1 −1  0 0 1 −1 1 −1    Khi ®ã, nÕu céng n hµng l¹i víi nhau th× ®−îc hµng toµn sè 0, tøc lµ n hµng cña A phô thuéc tuyÕn tÝnh. Nh−ng cã thÓ thÊy tån t¹i ®Þnh thøc cÊp n-1 kh¸c 0. VËy ®iÒu ®ã chøng tá h¹ng cña ma trËn A b»ng n-1. MÆt kh¸c, víi n ®Ønh sÏ cã n(n-1)/2 c¹nh. Mçi c¹nh (i, j) cã 2 Èn zij vµ zji, v× vËy sè Èn ph¶i lµ n(n-1). Tõ ®ã cho thÊy sè cét lµ n(n-1). Còng t−¬ng tù, tæng c¸c vect¬ cét sÏ lµ vect¬ 0.  MÖnh ®Ò 2. Bµi to¸n (2.1) – (2.4) thuéc líp bµi to¸n nöa hîp lý. 29
  4. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh Chøng minh. Tr−íc hÕt, nh− chøng minh mÖnh ®Ò 1, ta nhËn xÐt r»ng ma trËn A gåm c¸c phÇn tö 1, -1 vµ 0, trong ®ã trªn mçi hµng, sè phÇn tö 1 b»ng sè phÇn tö -1. Khi ®ã ta chän vect¬ u = (ui), víi ui = 1, cho mäi i = 1, 2, ..., n(n-1), th× tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n nöa hîp lý.  Bµi to¸n (2.1) - (2.4), theo nh− mÖnh ®Ò 2, nã lµ nöa hîp lý. Tuy nhiªn, cã thÓ kiÓm tra thÊy r»ng bµi to¸n ®ã ch−a hîp lý. Chóng ta h·y xÐt riªng mét m« h×nh th−êng gÆp trong bµi to¸n vËn t¶i ®· nªu nh− sau: Ta gi¶ thiÕt r»ng sè l−îng hµng ®ang cã ë kho i lµ bi. §Æt xi lµ sè hµng ®−îc vËn chuyÓn ®Õn kho i, tøc lµ n ∑z . xi = ij j =1 Khi ®ã ta cã bµi to¸n n n n ∑ ∑c ∑ si xi + min { f(x, z) = E(zij(w))} ij i =1 i =1 j =1 ∑ ti(w) = bi + xi - zji(w), i = 1, 2, ..., n,   j: ( i , j )∈V  víi ®iÒu kiÖn xi ≤ bi, i = 1, 2, …, n   xi ≥ 0, ti(w), zij(w) ≥ 0, i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n. Ký hiÖu D = ( I A*), trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ, t−¬ng øng víi hÖ sè cña xi (i = 1, 2, …, n), A* lµ ma trËn hÖ sè cña zij trong bµi to¸n nªu trªn (chó ý r»ng ma trËn A* chØ kh¸c víi ma trËn A trong mÖnh ®Ò 1, bëi xãa ®i c¸c phÇn tö 1, cßn l¹i c¸c phÇn tö - 1 vµ 0). Nh− vËy, ma trËn D cã n hµng vµ n2 cét. Lóc nµy bµi to¸n nªu trªn cã thÓ viÕt l¹i min { f(x, z) = sTx + cTE(z(w))}  t(w) - D(x, z(w)) = b  x≤b  víi ®iÒu kiÖn  x, t(w), z(w) ≥ 0.  Bµi to¸n võa nªu cã thÓ viÕt kh¸i qu¸t h¬n nh− sau: T×m x = (xi) ∈ »n vµ z = (zij) ∈ »2n sao cho min { f(x, z) = sT x + E(dTt(w)) + E(gT(z(w))} (2.5) 30
  5. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh (2.6)  Bx = b  U(w)x + Vt(w) + D(x, z(w)) = h(w), (2.7) víi ®iÒu kiÖn   x, t(w), z(w) ≥ 0, (2.8)  trong ®ã B, V lµ c¸c ma trËn hÖ sè, D vµ c¸c ký hiÖu kh¸c nh− ®· nªu trªn. U(w) vµ h(w) lµ c¸c hµm affine ®èi víi ωi, nghÜa lµ k k ∑ ∑ hω. U( w ) = U0 + Uiωi, h(w) = h0 + i i i =1 i =1 MÖnh ®Ò 3. Bµi to¸n (2.5)-(2.8) víi ma trËn D nh− ®· nªu tháa m·n ®iÒu kiÖn hîp lý. Chøng minh. Nh− ®· thÊy D = (I A*), nªn víi vect¬ t = (ti) bÊt kú thuéc »n, ph−¬ng tr×nh Du = t, øng víi mçi ti cã d¹ng (*) ui - vj = ti, ∑ trong ®ã vj = u , víi J lµ tËp hîp gåm n-1 chØ sè t−¬ng øng v¬i c¸c sè -1 trong j∈ J j D. Râ rµng ph−¬ng tr×nh (*) lu«n tån t¹i nghiÖm ui, vj ≥ 0 víi mäi ti. Tõ vj ta cã thÓ ph©n tÝch ®Ó cã ®−îc vect¬ u = (ui) ≥ 0, tháa m·n Du = t, víi mäi c¸ch chän vect¬ t. §ã lµ ®iÒu cÇn chøng minh.  Tõ ®©y trë ®i, ta xÐt bµi to¸n vËn t¶i d¹ng tæng qu¸t (2.5)-(2.8). Ta gi¶ thiÕt thªm r»ng t(ω), z(ω) còng lµ hµm affine ®èi víi ωi, nghÜa lµ k k ∑ ∑ zω. t(w) = t0 + tiωi, z(w) = z0 + i i i =1 i =1 (Chó ý r»ng trong m« h×nh (2.5)-(2.8), sù biÓu diÔn d¹ng affine cña U(ω), h(ω) vµ t(ω) lµ rÊt thùc tÕ). Khi ®ã ta xÊp xØ bµi to¸n (2.5)-(2.8) bëi bµi to¸n sau ®©y min { F(x, z) = sTx + dTt0 + gTz0} (2.9) (2.10)  Bx = b  Uix + Vti + Dzi = hi, i = 0, 1, …, k (2.11) víi ®iÒu kiÖn   x, t(w), z(w) ≥ 0. (2.12)  MÖnh ®Ò 4. Mçi ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.9)-(2.12) còng lµ ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.5)-(2.8). §ång thêi minf ≤ minF. Chøng minh. Cho x, z(ω) lµ ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.9)-(2.12), ta chØ cÇn kiÓm tra x, z(ω) cã tháa m·n ®iÒu kiÖn (2.7) hay kh«ng. Râ rµng tõ ®iÒu kiÖn Uix + Vti + Dzi = hi, i = 0, 1, …, k (2.11) céng k+1 ®¼ng thøc l¹i ta ®−îc ®iÒu kiÖn (2.7). VËy mçi ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.9)- (2.12) còng lµ ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.5)-(2.8). Trong biÓu thøc min { f(x, z) = sTx + E(dTt(w)) + E(gT(z(w))} 31
  6. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh ta thay k k ∑ ∑ zω. t(w) = t0 + tiωi, z(w) = z0 + i i i =1 i =1 Suy ra min{f(x, z) = sTx + E(dTt(w)) + E(gT(z(w))} ≤ min{F(x, z) = sTx + dTt0 + gTz0}. §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. ). Khi ®ã víi mçi i (i = 1, 2, …, n2), xÐt bµi to¸n quy Ký hiÖu q = (q1, q2, …, q n2 ho¹ch tuyÕn tÝnh g i = min gTq (2.13) víi ®iÒu kiÖn Dq = 0, qi = 1, qj ≥ 0, j ≠ i, trong ®ã g lµ vect¬ hÖ sè t−¬ng øng. V× D tháa m·n hîp lý nªn tËp ph−¬ng ¸n kh¸c rçng vµ bÞ chÆn, do vËy cã ph−¬ng ¸n tèi −u q i. Víi mçi i, ta ®−îc g i = gT q i. Bëi vËy, víi bÊt kú r(ω) (kh«ng ®ßi hái kh«ng ©m) vµ t(ω) tháa m·n U(ω)x + Vt(ω) + Dr(ω) = h(ω), (2.14) ta xÐt n ∑ (r (ω) ) q i , _ z(ω) = r(ω) + (2.15) i i =1 trong ®ã ký hiÖu a_ = max{- a, 0}. Chóng ta thÊy r»ng z(ω) ≥ 0 vµ Dz(ω) = Dr(ω). ThËt vËy, tõ (2.15), nh©n D vµo hai vÕ, v× ri(ω) lµ mét sè nªn n ∑ (r (ω) )D q i . _ Dz(ω) = Dr(ω) + i i =1 V× q i lµ nghiÖm cña (2.13) nªn D q i = 0. Tõ ®ã suy ra Dz(ω) = Dr(ω). MÆt kh¸c, do q ≥ 0 vµ qi = 1, nªn tõ (2.15) suy ra z(ω) ≥ 0. Bëi vËy, víi mçi x cho tr−íc nµo ®ã th× tån t¹i r(ω) vµ t(ω) tháa m·n (2.14). MÖnh ®Ò 5. Bµi to¸n (2.5)-(2.8) víi mäi x vµ t(ω) ®· cho, tån t¹i r(ω) sao cho U(ω)x + Vt(ω) + Dr(ω) = h(ω). Chøng minh ([1]). Nh− ®· nªu, ta cã k ∑ tω. i 0 t(w) = t + i i =1 32
  7. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh Theo mÖnh ®Ò 3, bµi to¸n ®· cho lµ hîp lý, nªn tån t¹i r0, r1, …, rk, sao cho Uix + Vti + Dri = hi, i = 0, 1, …, k. Thùc hiÖn víi ω vµ céng k+1 ®¼ng thøc trªn ta ®−îc k ∑ rω. 0 i r(ω) = r + i i =1 MÖnh ®Ò chøng minh xong. MÖnh ®Ò 6. Bµi to¸n (2.5)-(2.8) víi mäi x tháa m·n Bx = b, x ≥ 0, tån t¹i t(ω), r(ω) sao cho z(ω) tõ (2.15) tháa m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n. Chøng minh. Chó ý r»ng t(ω) = 0 lu«n tháa m·n c¸c rµng buéc. Theo MÖnh ®Ò 5 cïng víi ph−¬ng tr×nh (2.15) cho thÊy r»ng t(ω) = 0 vµ z(ω) tõ (2.15) tháa m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n ®· cho. §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. Tõ (2.15) chóng ta cã gTz(ω) = gTr(ω) + g T(r(ω)_). XÐt bµi to¸n min{φ = sTx + dTt0 + gTr0 + E[ g T(r(ω)_] (2.16) Bx = b   Uix + Vti + Dri = hi, i = 0, 1, …, k víi ®iÒu kiÖn   x ≥ 0.  MÖnh ®Ò 7. Mçi ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.16) còng lµ ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.5)-(2.8). §ång thêi minf ≤ minφ ≤ minF. Chøng minh. Bµi to¸n (2.16), râ rµng víi mäi ph−¬ng ¸n d¹ng (x, t(ω), z(ω)), trong ®ã n ∑ (r (ω) ) q _ i z(ω) = r(ω) + i i =1 lµ tháa m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n (2.5)-(2.8). Lóc nµy chóng ta cã minf ≤ minφ. Ngoµi ra, víi mäi ph−¬ng ¸n d¹ng (x, t(ω), z(ω)) cña bµi to¸n (2.9)-(2.12), chóng ta nhËn thÊy r»ng E[ g T(z(ω)_] = 0. Do ®ã, víi r(ω) = z(ω) th× (x, t(ω), z(ω)) lµ ph−¬ng ¸n cña bµi to¸n (2.16) vµ ta cã minf ≤ minφ ≤ minF. §ã lµ ®iÒu ph¶i chøng minh. Tõ MÖnh ®Ò 7, sö dông d¹ng affine cña z(ω) vµ cña t(ω), ta cã thÓ xÊp xØ bµi to¸n (2.5) -(2.8) bëi bµi to¸n (2.16). 33
  8. T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 3A-2007 §¹i häc Vinh Trong tr−êng hîp nµy, chóng ta rót bít ®−îc cËn trªn cña bµi to¸n cÇn gi¶i. Nh− vËy, ®Ó gi¶i bµi to¸n (2.5)-(2.8), ta gi¶i bµi to¸n xÊp xØ (2.16). ViÖc gi¶i bµi to¸n (2.16) cã thÓ sö dông ph−¬ng ph¸p xÊp xØ Monte - Carlo. t i liÖu tham kh¶o [1] X. Chen, M. Sim, P. Sun, A robust optimization perspective of stochastic programming, Working paper, National University of Singapore, 2005. [2] Dinh The Luc, Introduction a la optimizacion no lineal, (Chapter 10: Stochastic Programming, pp. 77-82, VI Coloquio del departamento de matematicas centro de investigacion y de estudios avanzados del IPN 31 de Julio al 18 de Agosto de 1989. [3] Bïi ThÕ T©m, TrÇn Vò ThiÖu, C¸c ph−¬ng ph¸p tèi −u ho¸, NXB Giao th«ng vËn t¶i, Hµ Néi, 1998. [4] Bïi Minh TrÝ, Quy ho¹ch to¸n häc, TËp 2, NXB Khoa häc Kü thuËt, Hµ Néi, 2005. Summary On A model of stochastic programming problems In this paper, we set up a model of stochastic programming problems, prove its distinct properties. Basing on the its distinct properties, we can approximate the chance - data transportation problem by a linear programming problem. (a) Cao häc 13 XSTK, tr−êng §¹i häc Vinh (b) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh. 34
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD


intNumView=163

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2