Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về tính ổn định mũ bình phương trung bình của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy Markov"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "về tính ổn định mũ bình phương trung bình của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy markov"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về tính ổn định mũ bình phương trung bình của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy Markov"

vÒ tÝnh æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh cña mét líp hÖ vi ph©n ngÉu nhiªn cã bíc nh¶y Markov (a) NguyÔn TiÕn Thµnh Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra mét ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh cña mét líp hÖ vi ph©n ngÉu nhiªn. I. Më ®Çu XÐt hÖ vi ph©n ngÉu nhiªn D(r(t)) = [A(r(t))x(t) + F (x(t), r(t), u) + H (r(t))u]dt + G(x(t), r(t), u)dw(t), (1) {r(t)}t≥0 lµ qu¸ tr×nh Markov nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian tr¹ng th¸i h÷u h¹n ë ®©y, S = {1, 2, ..., N }, víi ma trËn x¸c suÊt chuyÓn Γ = (γij )N ×N x¸c ®Þnh bëi γij ∆ + o(∆) i=j nÕu + ∆) = j |r(t) = i) = P(r (t 1 + γii ∆ + o(∆) nÕu i = j ∆ > 0 vµ γij ≥ 0 lµ x¸c suÊt chuyÓn tõ tr¹ng th¸i i sang tr¹ng th¸i j víi ®îc x¸c ®Þnh γii = − γij . i=j w(t) = (wt , ..., wt )T 1 l lµ qu¸ tr×nh Brown l- chiÒu. (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt. KÝ hiÖu |.| chuÈn Euclid. NÕu A lµ ma trËn Gi¶ sö AT lµ ma trËn chuyÓn vµ x¸c ®Þnh A = sup{|Ax| : |x| = 1}. hoÆc vÐc t¬, kÝ hiÖu (1.1) ta gi¶ thiÕt A(i), D(i) vµ H (i) lµ c¸c ma trËn thuéc Rq×q , Rq×q vµ Rq×p §èi víi hÖ p chÝnh t¾c Brunovsky nghÜa lµ tån t¹i c¸c sè nguyªn d¬ng k1 (i), ..., kp (i) víi j =1 kj (i) = q sao cho: A(i) lµ ma trËn khèi d¹ng (1)   ··· Ak1 (i) 0 0 . .. .. .   . . 0 .   A(i) =  , . .. .   . 0 .  ··· 0 0 Akp (i) 1 NhËn bµi ngµy 05/4/2007. Söa ch÷a xong 01/3/2008.
p lµ ma trËn Rkj ×kJ Akj (i) , 1 j víi x¸c ®Þnh bëi   ··· 0 10 00 ··· 0 01 0 0    ··· Akj (i) = ;   0 0 ··· 0 0 1  0 0 0··· 0 00 H (i) lµ ma trËn khèi d¹ng (2)   0 ··· bk1 (i) 0 0 0 . bk2 (i) 0 .   0 0 0 .  H (i) =  ,   ··· ···   0 ··· 0 0 bkp−1 (i) 0  0 ··· 0 0 0 bkp (i) p lµ vÐc t¬ cét thuéc Rkj bkj (i) , 1 j ë ®©y x¸c ®Þnh bëi  0 . . = . bkj (i) 0 1 D(i) lµ ma trËn x¸c ®Þnh t¬ng tù A(i) (3) G = (G1 , ..., Gq ) : Rq × S × Rp −→ Rq×l F = (F1 , ..., Fq ) : Rq × S × Rp −→ Rq (4) vµ sao cho F (0, i, 0) = G(0, i, 0) = 0 q , x ∈ Rq u ∈ Rp , λ > 0 sao cho tho¶ m·n ∀j, 1 j vµ tån t¹i vµ |Fj (x, i)| + |Gj (x, i)| λ|πj (x)| Rq Rj ; πj víi lµ phÐp chiÕu chÝnh t¾c tõ vµo α ∈ R , α > 1, i∈S u (5) lµ biÕn ®iÒu khiÓn ngîc tuyÕn tÝnh. XÐt víi mäi vµ x¸c ®Þnh ma trËn chÐo − αi 1   ··· 0 0 . .. .. .   . . 0 .   · φ(i) =  . .. .   . 0 .  − αi q ··· 0 0
(A(i), H (i)) khi ®ã tån t¹i ma trËn K (i) ∈ Rp×q (R) sao cho Do gi¶ thiÕt cña cÆp ma trËn M (i) = A(i) + H (i)K (i) lµ ma trËn æn ®Þnh. Tøc lµ tån t¹i duy nhÊt ma trËn ®èi xøng, P (i) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh sau x¸c ®Þnh d¬ng M T (i)P (i)D(i) + DT (i)P (i)M (i) = −I. (2) x ≡ 0 cña hÖ (1) gäi lµ æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng §Þnh nghÜa 1.1. NghiÖm tÇm thêng α, tån t¹i β trung b×nh nÕu tån t¹i d¬ng sao cho α x0 2 e−β (t−t0 ) , víi mäi t ≥ t0 . 2 E x(t, t0 , x0 ) x ∈ Rq u ∈ Rp Bæ ®Ò 1.1 ([3]). Víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ F vµ G nh trªn, víi mäi vµ ta cã √ |φ(i)F (x, i, u)| qλ|φ(i)x| √ |φ(i)G(x, i, u)| qλ|φ(i)x|. Bæ ®Ò 1.2 ([3]). Ta cã c¸c tÝnh chÊt sau αi φ−1 (i)A(i)φ(i) = A(i); αi φ−1 (i)D(i)φ(i) = D(i), (i) K (i) ∈ Rp×q , khi ®ã tån t¹i ma trËn K (i) sao cho (ii) víi mäi ma trËn H (i)K (i) = αi φ−1 (i)H (i)K (i)φ(i) K (i) x¸c ®Þnh bëi vµ K (i) = αi H T (i)φ−1 (i)H (i)K (i)φ(i), x ∈ Rq (iii) Víi mäi − αi q |x| − αi 1 |x|. |φ(i)x| V ∈ C 2,1 (Rn × R+ × S ; R+ ), ta x¸c ®Þnh mét to¸n tö LV Rn × R+ × S Gi¶ sö tõ vµo R bëi LV (x, t, i) = Vt (x, t, i) + Vx (x, t, i)f (x, t, i) N 1 + trace[g T (x, t, i)Vxx (x, t, i)g (x, t, i)] + γij V (x, t, i), 2 j =1 ë ®©y f (x, t, i) = F (x(t), r(t), u) g (x, t, i) = G(x(t), r(t), u)dw(t)
∂V ∂V ∂V Vt = , Vx = ( , ..., ) ∂t ∂x1 ∂xn ∂2V Vxx = ( )n×n . ∂xi ∂xj V (x, i) ∈ C 2,1 (Rn × R+ × S ; R+ ) vµ c¸c h»ng sè d¬ng §Þnh lý 1.1 ([4]). NÕu tån t¹i hµm c1 , c2 c3 vµ sao cho c1 |x|2 c2 |x|2 V (x, i) vµ LV (x, i) < −c3 |x|2 (1) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh. th× nghiÖm tÇm thêng cña hÖ II. kÕt qu¶ chÝnh §Þnh lý 2.1. Víiu = K (i)x th× nghiÖm tÇm thêng cña hÖ (1) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh nÕu tån t¹i αi , i ∈ S sao cho ®iÒu kiÖn sau ®îc tho¶ m·n √ −αi φ2 (i) + N γij DT (j )φ(j )D(j ) 2 q + qλ2 ) P φ(i) (2λαi D j =1 < 0. √ (2λαi D q + qλ2 ) P φ(i) −I R = RT Bæ ®Ò 2.2 ([2]). Cho M, N, R lµ c¸c ma trËn h»ng víi chiÒu phï hîp sao cho vµ N R −1 N T M T . Khi ®ã M= M+ < 0 khi vµ chØ khi M N
P = max{ P (i) , i ∈ S }, D = max{ D(i) , i ∈ S }, theo c¸c ®¼ng thøc (2), (3) §Æt ta cã LV (x, i) = 2αi xT φ(i)DT (i)P (i)φ(i)F (x, i, u)+ N + xT γij DT (j )φ(j )P (j )φ(j )D(j )x j =1 αi xT φ(i)[(M (i)T P (i)D(i) 2 + DT (i)P (i)M (i)]φ(i)x + + trace[GT (x, i, u)φ(i)P (i)φ(i)G(x, i, u)] N −αi xT φ(i)φ(i)x + xT 2 γij DT (j )φ(j )P (j )φ(j )D(j )x j =1 2αi D |φ(i)x||φ(i)F (x, i, u)| + |φ(i)G(x, i, u)|2 +P Theo bæ ®Ò 1.1 ta cã : √ |φ(i)F (x, i, u)| qλ|φ(i)x| 2 q λ2 |φ(i)x|2 . |φ(i)G(x, i, u)| suy ra √ N 2 qλ+qλ2 ) P |φ(i)x|2 +xT T −αi +(2αi D LV (x, i) j =1 γij D (j )φ(j )P (j )φ(j )D (j )x. c > 0 sao cho Tõ bæ ®Ò 2.2 vµ kÕt hîp víi gi¶ thiÕt ta suy ra tån t¹i 2 −c|x| . LV (x, i) (1) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng Tõ ®ã, sö dông ®Þnh lÝ 1.1 ta cã nghiÖm tÇm thêng cña hÖ trung b×nh. Tµi liÖu tham kh¶o [1] A. El Bouhtouri and K. El Hardi, Robust stabilization of jump linear systems with multi- plicative noise, IMA Journal math control and information 20, 1-19, 2003. [2] Boyd, S., El Ghaoui, L., Feron, R. and Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in SIAM, Philadelphia, 1994. system and Control Theory, [3] Florchinger, P., A. Iggidr, G. Sallet, Stabilization of a class of nonlinear stochastic Stoch. Proc. Appl., 50, 235-243, 1994. systems, [4] Mao, X., stability of stochastic differential equations with Markovian switching, Stoch. Proce. Appl., 79, 45-67, 1999. Summary on the exponential stability in mean square for a class of stochastic differential systems with Markovian switching In this paper we give a sufficient condition of exponential stability in mean square for a class of stochastic differential systems. (a) Trêng Cao ®¼ng nghÒ Nha Trang.