Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường trung học cơ sở

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE<br /> Educational Sci., 2016, Vol. 61, No. 6, pp. 43-52<br /> This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn<br /> <br /> DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0047<br /> <br /> BỒI DƯỠNG THỦ PHÁP BỔ SUNG YẾU TỐ PHỤ CHO HỌC SINH<br /> TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ<br /> Nguyễn Thị Thanh Tâm<br /> Khoa Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Hà Tĩnh<br /> Tóm tắt. Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ đóng vai trò quan trọng trong giải quyết vấn đề<br /> Toán học nói chung và Hình học nói riêng. Khi học sinh biết sử dụng các yếu tố phụ một<br /> cách hợp lí sẽ tạo được “cầu nối” liên hệ giữa các yếu tố đã cho, tri thức đã biết với các yếu<br /> tố cần tìm, cần giải quyết giúp họ thuận lợi trong việc chứng minh định lí và giải toán hình<br /> học. Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra một số biện pháp nhằm bồi dưỡng cho học sinh<br /> thủ pháp bổ sung yếu tố phụ trong dạy học Hình học ở trường Trung học cơ sở.<br /> Từ khóa: Thủ pháp; bổ sung yếu tố phụ; bồi dưỡng; học sinh; dạy học Hình học; trung học<br /> cơ sở.<br /> <br /> 1.<br /> <br /> Mở đầu<br /> <br /> Trong chứng minh định lí hay giải bài tập Hình học, thủ pháp (TP) bổ sung yếu tố phụ (như<br /> vẽ hình phụ, bài toán phụ ...) đóng vai trò là yếu tố trung gian quan trọng giúp tìm ra lời giải hoặc<br /> lời giải ngắn gọn, độc đáo và sáng tạo. Nghiên cứu của Trần Luận [4], đã đưa ra một số phương<br /> pháp vẽ hình phụ đơn giản thường được vận dụng trong các chủ đề “Tứ giác” và “Đường tròn”,<br /> như: vẽ các hình phụ bằng hoặc tỉ lệ (hoặc có diện tích bằng hoặc tỉ lệ với các hình có trong kết<br /> luận; vẽ đường tròn phụ, ... Các tác giả nghiên cứu [5], [6] đã đưa ra một số ví dụ về vẽ hình phụ<br /> minh họa cho các kĩ thuật nhằm kết nối tri thức và việc khai thác sâu các định lí trong sách giáo<br /> khoa. Nguyễn Đức Tấn [7], đã trình bày những lời giải hay của các bài toán hình học thể hiện được<br /> sự độc đáo và tính hiệu quả của việc sử dụng hình phụ. Nhưng hướng dẫn về cách thức làm thế nào<br /> để học sinh (HS) có thể kẻ thêm hình phụ có lợi cho việc giải bài toán thì vẫn còn bỏ ngỏ. Trong<br /> [8], tác giả đã sử dụng các thao tác tư duy phân tích, tổng hợp để vẽ tìm cách vẽ hình phụ trong<br /> giải toán Hình học 9. Như vậy, các tác giả đó đều khẳng định, việc bổ sung các yếu tố phụ thể<br /> hiện sự khéo léo, độc đáo và mang tính nghệ thuật, giúp giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu<br /> quả nhưng chưa đưa ra các cách thức chung để trang bị TP này cho HS Trung học cơ sở (THCS).<br /> Tuy nhiên, qua các nghiên cứu trên chúng ta nhận thấy, để tìm được yếu tố phụ có lợi trong việc<br /> giải quyết vấn đề (GQVĐ) thì người giải toán phải dựa trên cơ sở xem xét, tìm hiểu đặc điểm của<br /> các đối tượng được đề cập đến, biết biến đổi đối tượng một cách phù hợp và biết đặt nó trong mối<br /> liên hệ với các đối tượng có liên quan... Trên cơ sở đó, bài viết này đề cập đến một số cách thức<br /> bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho HS trong dạy học Hình học nhằm giúp các em có thể<br /> nhanh chóng tìm ra giải pháp GQVĐ và có thể độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập.<br /> Ngày nhận bài: 15/3/2016. Ngày nhận đăng: 25/6/2016.<br /> Liên hệ: Nguyễn Thị Thanh Tâm, e-mail: tam.nguyenthithanh@htu.edu.vn<br /> <br /> 43<br /> <br /> Nguyễn Thị Thanh Tâm<br /> <br /> 2.<br /> 2.1.<br /> <br /> Nội dung nghiên cứu<br /> Thủ pháp bổ sung yếu tố phụ trong dạy học Hình học ở trường THCS<br /> <br /> 2.1.1. Quan niệm về thủ pháp bổ sung yếu tố phụ<br /> Chúng tôi quan niệm, yếu tố phụ là những chi tiết mới, được đưa vào vấn đề ban đầu (ngoài<br /> những yếu tố đã cho), để giúp những yếu tố đã cho, những tri thức đã biết “xích lại” gần hơn với<br /> cái cần giải quyết. Do đó, yếu tố phụ trong toán học là bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ.<br /> Từ góc độ Triết học duy vật biện chứng, việc bổ sung yếu tố phụ được đặt trong mối quan<br /> hệ với quy luật lượng - chất của quá trình vận động, phát triển của sự vật, hiện tượng. Do đó, người<br /> học cần bổ sung các yếu tố phụ một cách khéo léo để tạo sự thay đổi về lượng dẫn đến sự thay đổi<br /> về chất nhằm đưa vấn đề phức tạp ban đầu về dạng quen thuộc, có thể vận dụng các tri thức đã có.<br /> G. Polya [3] cho rằng, những hoạt động trí tuệ của quá trình giải toán có thể biểu diễn trong<br /> sơ đồ hình vuông sau (Hình 1). Trong đó, thao tác “bổ sung” được ghi trên cạnh nối các đỉnh “tổ<br /> chức” và “liên kết”. Theo tác giả, “bổ sung” là thêm những chi tiết mới, đưa vào những yếu tố phụ,<br /> những hiểu biết của chúng ta về bài toán để khắc phục các “lỗ hổng” và làm cho bài toán được<br /> hoàn thiện nhất định.Từ đó, chúng ta đã có được “một ý chói lọi” trong quan niệm mới về bài toán<br /> sau khi bổ sung những phần tử phụ nhất định.<br /> <br /> Hình 1. Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán [3, tr16]<br /> Như vậy, bản chất của việc phát hiện, bổ sung đúng đắn các yếu tố phụ là việc tìm tòi các<br /> tri thức trung gian nhằm giúp HS dễ dàng kết nối tri thức đã có với tri thức cần tìm theo một hệ<br /> thống liên hệ nhân quả, phụ thuộc lẫn nhau tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng<br /> đắn cách giải quyết các vấn đề toán học. Việc khai thác tư tưởng này, nhằm khắc sâu nguyên tắc<br /> hệ thống của tri thức trong dạy học toán.<br /> Trong nghiên cứu này, trên cơ sở các nghiên cứu [1], [6], [9], chúng tôi quan niệm “TP bổ<br /> sung yếu tố phụ là cách khéo léo, linh hoạt đưa các đối tượng toán học (bài toán phụ, hình phụ, ẩn<br /> phụ) vào các yếu tố đã cho của VĐ cần giải quyết làm “cầu nối” gắn kết các tri thức đã biết với các<br /> tri thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng đắn cách giải<br /> quyết vấn đề”.<br /> <br /> 2.1.2. Một số yếu tố phụ thường sử dụng trong dạy học Hình học ở trường THCS<br /> Có nhiều yếu tố phụ được dùng nhằm mục đích tạo ra đối tượng mới hữu ích hơn để dễ<br /> dàng giải quyết được vấn đề ban đầu trong dạy học Hình học ở trường THCS [7], [8], theo chúng<br /> tôi một số yếu tố phụ thường sử dụng, đó là: i) Các bài toán phụ: bài toán tương đương, bài toán<br /> 44<br /> <br /> Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường ...<br /> <br /> thành phần..; ii) Hình phụ: điểm (trung điểm, điểm chia trong, chia ngoài đoạn thẳng theo một tỉ<br /> số cho trước...); tia (tia đối của một tia, tia phân giác của một góc, tia hợp với một tia cho trước một<br /> góc cho trước...); đoạn thẳng (đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho<br /> trước, đoạn thẳng bằng k lần đoạn thẳng cho trước, dây cung chung của hai đường tròn cắt nhau,<br /> đường nối tâm của hai đường tròn...); góc (góc bằng k lần góc cho trước, góc có số đo đặc biệt...);<br /> đường thẳng (đường thẳng qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho<br /> trước, đường thẳng đi qua một điểm cho trước là tiếp tuyến của một đường tròn...); đường tròn (nội<br /> tiếp, ngoại tiếp một đa giác...). Chúng ta sẽ thấy rõ các minh họa cho những yếu tố phụ này trong<br /> mục 2.<br /> <br /> 2.2.<br /> <br /> Một số biện pháp bồi dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ cho HS trong dạy học<br /> Hình học ở trường THCS<br /> <br /> 2.2.1. Tập luyện cho học sinh phân tích yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong tình huống<br /> cần giải quyết bằng cách khai thác mối liên hệ nhân quả của yếu tố đã cho, kiến thức<br /> đã biết và yếu tố cần tìm nhằm phát hiện ra yếu tố phụ cần bổ sung<br /> Theo [2, tr. 12] “Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình<br /> trí tuệ”. Trên cơ sở tính khách quan, tính phổ biến của mối liên hệ nhân quả theo quan điểm duy<br /> vật biện chứng, cụ thể: một nguyên nhân có thể sinh ra nhiều kết quả và một kết quả cũng có thể<br /> do nhiều nguyên nhân gây ra, GV tập luyện cho HS thói quen vận dụng liên tưởng nhân quả để<br /> GQVĐ. Khi HS giải quyết một bài toán, cần tập luyện cho HS biết phân tích yếu tố cần tìm của bài<br /> toán một cách toàn diện, đầy đủ để tìm ra yếu tố phụ cần bổ sung trên cơ sở những yếu tố đã cho<br /> và kiến thức đã biết. Các tình huống trong dạy học Hình học, có thể có nhiều cách khác nhau để<br /> bổ sung yếu tố phụ nhờ mối liên hệ nhân quả. Bởi vậy, trong dạy học Hình học GV cần tập luyện<br /> cho HS một số cách định hướng hữu ích để HS có thể nhanh chóng xác định được các yếu tố phụ<br /> thích hợp, chẳng hạn:<br /> + Nếu điều kiện cần tìm liên quan đến độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc thì chúng<br /> ta thường sử dụng các tam giác bằng nhau, tính chất các đường đặc biệt của tam giác, hình bình<br /> hành (chữ nhật, thoi, vuông), đường tròn. . . ; nếu điều cần chứng minh liên quan đến tích độ dài ta<br /> thường sử dụng tam giác đồng dạng. . .<br /> + Nếu các yếu tố đã cho có trung điểm của một cạnh thì có thể liên hệ với đường với đường<br /> trung tuyến (của tam giác), đường trung bình đi qua nó (tam giác, hình thang), tâm của hình bình<br /> hành nhận cạnh đó làm một đường chéo. . . ; nếu cho dây cung ta nghĩ đến đường kính, bán kính<br /> đi qua trung điểm hoặc qua đầu dây cung; hai đường tròn thường liên hệ với đường nối tâm, tiếp<br /> tuyến chung, dây cung; cho tam giác hoặc tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o (hay có hai đỉnh<br /> cùng nhìn một đoạn thẳng dưới các góc bằng nhau) ta thường nghĩ đến đường tròn ngoại tiếp. . .<br /> Trong biện pháp này, chúng tôi đề ra 3 hướng thực hiện: 1) Tập luyện cho HS khai thác đặc<br /> điểm, tính chất của yếu tố đã cho để tìm định hướng bổ sung yếu tố phụ có liên quan đến vấn đề<br /> cần giải quyết; 2) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố cần tìm trong mối liên hệ với yếu tố đã cho<br /> để xác định các hướng có thể bổ sung yếu tố phụ nhằm tìm cách đưa vấn đề về dạng quen thuộc;<br /> 3) Tập luyện cho HS khai thác, phát triển các vấn đề nhằm khắc sâu việc bổ sung yếu tố phụ từ<br /> vấn đề ban đầu.<br /> Để minh họa cho các ý tưởng trên, chúng tôi dẫn ra đây ví dụ chứng minh định lí đường<br /> trung bình của hình thang trong sách giáo khoa Toán 8:<br /> Ví dụ 1. “Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai<br /> đáy”.<br /> 45<br /> <br /> Nguyễn Thị Thanh Tâm<br /> <br /> Trong sách giáo khoa, định lí được chứng minh<br /> bằng cách: Gọi K là giao điểm của các đường thẳng AF<br /> và DC.Suy ra ∆FBA = ∆FCK, rồi áp dụng tính chất<br /> đường trung bình của tam giác ∆ADK, ta có điều phải<br /> chứng minh.<br /> Điều chứng minh này ngắn gọn và đa số HS có<br /> thể hiểu được khi nắm vững các kiến thức đã có. Nhưng<br /> Hình 1.1.<br /> nếu GVchỉ trình bày như vậy thì nhiều HS sẽ không hiểu<br /> được vì sao lại lại bổ sung yếu tố phụ là điểm K như trên? Và có thể bổ sung yếu tố phụ nào khác<br /> hay không?<br /> Tuy nhiên, nếu GV để HS tự khám phá ra việc bổ sung yếu tố phụ thì họ sẽ biết vì sao lại<br /> bổ sung điểm K như trên và có thể nhận ra được những cách bổ sung yếu tố phụ khác nữa.<br /> Khảo sát thực tế cho thấy, một số HS đã bổ sung yếu tố phụ theo hướng sau “kéo dài EF và<br /> lấy điểm G sao cho EG = 2EF và tìm cách chứng minh EG = AB + CD”. Khi đó, GV giúp HS<br /> nhận ra theo hướng này thì sẽ không chứng minh được bằng những kiến thức đã biết mà phải dùng<br /> đến kiến thức chưa được học (đó là tính chất hình bình hành). Từ đó, GV có thể kích thích sự tích<br /> cực học tập của HS trong việc phân tích mối liên hệ giữa cái cần tìm với cái đã cho, tri thức đã biết<br /> để bổ sung yếu tố phụ thích hợp bởi các câu hỏi, gợi ý, chẳng hạn:<br /> 1<br /> Biểu thức cần chứng minh EF//AB, EF//CD và EF = (AB + CD) gợi cho em liên tưởng<br /> 2<br /> đến tính chất, định lí nào đã biết? Một định lí nào quen thuộc trong tam giác?<br /> Chúng ta mong đợi HS sẽ trả lời rằng: Đó là định lí về đường trung bình của tam giác.<br /> “Trong hình vẽ, đã có đường trung bình của tam giác hay chưa? (Chưa có)<br /> Em có thể bổ sung yếu tố phụ như thế nào để có thể áp dụng được định lí đường trung bình<br /> của tam giác không?”.<br /> GV dẫn dắt để HS biết cách bổ sung yếu tố phụ là tạo tam giác có đường trung bình EF và<br /> đáy bằng AB + CD; hoặc chia đoạn EF thành hai đoạn tương ứng bằng đường trung bình của các<br /> tam giác có cạnh đáy là AB, CD. Từ đó, HS biết bổ sung yếu tố phụ theo hai hướng:<br /> Thứ nhất, tạo một tam giác có đường trung bình là EF và<br /> đáy bằng AB + CD bằng bốn cách bổ sung yếu tố phụ, đó là giao<br /> điểm K của AF và DC (hình 1.1) (hoặc giao điểm K1 của DF và<br /> AB; hay giao điểm K2 của BE và CD; haygiao điểm K3 của DE<br /> và BA).<br /> Thứ hai, tạo các đường trung bình tương ứng với các cạnh<br /> đáy AB, CD của hai tam giác nào đó và chứng tỏ EI + IF = EF<br /> bằng hai cách bổ sung yếu tố phụ là trung điểm I của AC (hình 1.2)<br /> Hình 1.2.<br /> (hoặc trung điểm J của BD).<br /> Như vậy, các em đã tự mình khám phá được nhiều cách bổ sung yếu tố phụ và phát huy tính<br /> độc lập, sáng tạo trong học tập nhờ khai thác mối liên hệ nhân quả. Ngoài ra, để khắc sâu việc vẽ<br /> hình phụ, GV có thể gợi ý cho HS khai thác phát triển các bài toán từ định lí trên.<br /> Trong hình vẽ chứng minh định lí trên, giả thiết gồm hai yếu tố: “Tứ giác ABCD là hình<br /> thang” và “E, F tương ứng là trung điểm của AD, BC”, GV gợi ý cho HS thay đổi các giả thiết để<br /> phát triển thành các bài toán mới. Chẳng hạn:<br /> - GV có thể gợi ý cho HS thay điều kiện “Tứ giác ABCD là hình thang” bởi một “tứ giác<br /> bất kì” thì kết luận sẽ thay đổi như thế nào nhằm khắc sâu việc bổ sung hình phụ với các bài toán<br /> có giả thiết là trung điểm các cạnh, sử dụng dụng định lí đường trung bình của tam giác. . .<br /> 46<br /> <br /> Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học sinh trong dạy học hình học ở trường ...<br /> <br /> Bằng cách vẽ hình phụ tương ứng theo hai hướng như trên, HS dễ dàng tìm ra được:<br /> Theo hướng thứ nhất, bổ sung yếu tố phụ là giao điểm K của AF và DC, các em dễ dàng<br /> 1<br /> 1<br /> chứng minh được: EF = DK, mà DK ≤ AB + CD nên EF ≤ (AB + CD) .<br /> 2<br /> 2<br /> Theo hướng thứ hai, bổ sung yếu tố phụ là trung điểm I của AC, các em dễ dàng chứng<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> minh được: EI = CD, IF = AB mà EF ≤ EI + IF nên EF ≤ (AB + CD) .<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> Từ đó, có bài toán mới:<br /> Bài toán 1.1. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC.<br /> 1<br /> a) Chứng minh rằng EF ≤ (AB + CD) .<br /> 2<br /> 1<br /> b) Tứ giác ABCD có điều kiện gì thì EF = (AB + CD)?<br /> 2<br /> (Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển toán 8, tập 1, bài tập 16, tr. 78)<br /> - Hoặc, sau khi học xong phần định lí Ta-lét, GV gợi ý để HS khai thác định lí trên bằng<br /> cách viết giả thiết “E, F tương ứng là trung điểm của AD, BC” dưới dạng “E, F là các điểm trên<br /> BF<br /> 1<br /> AE<br /> =<br /> = ” thay đổi giả thiết này bởi “E, F là các điểm trên cạnh<br /> cạnh AD, BC sao cho:<br /> AD<br /> BC<br /> 2<br /> BF<br /> AE<br /> =<br /> = k, với 0 < k < 1” bằng cách bổ sung yếu tố phụ như trên để<br /> AD, BC sao cho:<br /> AD<br /> BC<br /> chứng minh, ta có bài toán:<br /> Bài toán 1.2. Cho hình thang ABCD có AB // CD. Gọi E, F theo thứ tự là các điểm thuộc<br /> BF<br /> AE<br /> =<br /> = k, với 0 < k < 1. Chứng minh EF = k (AB + CD) .<br /> AD, BC sao cho<br /> AD<br /> BC<br /> Chúng ta xét thêm một bài toán khác:<br /> Ví dụ 2. Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong<br /> của góc đó. Dựng đường thẳng d đi qua I lần lượt cắt các<br /> cạnh Ox, Oy tại các điểm M, N sao cho I là trung điểm<br /> của đoạn MN.<br /> Đối tượng nhận thức trong tình huống này là:<br /> Phương pháp dựng đường thẳng qua I cắt hai nửa đường<br /> thẳng giao nhau tại M, N sao cho IM = IN. Như vậy,<br /> điểm M, N cần dựng có thể được xuất phát từ các nguồn<br /> gốc sau:<br /> Hình 2.1.<br /> i) M, N là hai đỉnh đối diệncủa hình bình hành có<br /> tâm là I, khi đó vẽ hình phụ là hình bình hành, bằng cách:<br /> Xác định O′ trên đường thẳng OI sao cho IO = IO′ , O′<br /> nằm khác phía O đối với I và dựng qua O′ các đường<br /> thẳng lần lượt song song với Oy và Ox (hình 2.1).<br /> ii) M là ảnh đối xứng của N qua phép đối xứng<br /> tâm I, khi đó hình phụ là ảnh O′ y′ của Oy qua phép đối<br /> xứng tâm I, suy ra M = Ox ∩ O′ y′ (hình 2.2).<br /> iii) IM, IN là hai cạnh tương ứng của hai tam giác<br /> bằng nhau. Ta bổ sung yếu tố phụ là điểm O’ trên tia đối<br /> Hình 2.2.<br /> của IO sao cho IO’ = IO, dựng đường thẳng O’y’//Oy cắt<br /> Ox tại M; MI cắt Oy tại N (DeltaOIN = DeltaO’IM) (hình 2.2).<br /> 47<br /> <br />