Các bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo

Chia sẻ: Liễu Yêu Yêu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Các bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo" đưa ra một ví dụ để minh họa việc dùng bất đẳng thức kiểu Lyapunov chứng minh bài toán đang xét không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM PHÂN SỐ G-CAPUTO Lê Quang Long1 1. Khoa Sư phạm. Email: longlq@tdmu.edu.vn, TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi xét phương trình vi phân với đạo hàm phân số g-Caputo 𝐶 𝛼,𝑔 𝐷 𝑦(𝑡) + 𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) = 0, 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, { 𝑎+ 𝑦(𝑎) = 𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, với 2 < 𝛼 ≤ 3, 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏], và 𝑞: [𝑎, 𝑏] ⟶ 𝑅 là hàm liên tục. Chúng tôi thu được bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán trên như sau: 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ Γ(𝛼) 𝑎 Kết quả này là mới và chưa từng được công bố trước đó. Từ khoá: bất đẳng thức kiểu Lyapunov, đạo hàm phân số Caputo, hàm Green. 1. GIỚI THIỆU Xét phương trình vi phân cấp 2 y"(t) + r(t)y(t) = 0, a < t < b, { (1.1) 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, với r(t) là hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Lyapunov (1907) chứng minh rằng nếu y(t) là một nghiệm không tầm thường của phương trình (1.1) thì 𝑏 4 ∫|𝑟(𝑡)|𝑑𝑡 > . (1.2) 𝑏−𝑎 𝑎 Bất đẳng thức (1.2) được gọi là bất đẳng thức Lyapunov. Gần đây, hướng nghiên cứu về đạo hàm phân số rất được chú trọng, nhiều nhà nghiên cứu đã tìm cách xây dựng bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân với các đạo hàm phân số như đạo hàm phân số Riemann-Liouville, đạo hàm phân số Caputo, đạo hàm phân số Hilfer,… (xem thêm S. K. Ntouyas (2019), S. K. Ntouyas (2021)). Năm 2014, Ferreira đã thay đạo hàm cấp 2 trong bài toán (1.1) thành đạo hàm phân số Caputo 𝐶𝑎𝐷𝛼 (. ). Cụ thể, Ferreira xét bài toán 𝐶 𝐷 𝛼 y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b, 1 < 𝛼 ≤ 2, {𝑎 (1.3) 𝑦(𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, 718
với q(t) là hàm liên tục trên đoạn [a,b], và thu được bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán (1.3) như sau (Ferreira (2014)) : 𝑏 Γ(𝛼)𝛼 𝛼 ∫|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 > (1.4) [(𝛼 − 1)(𝑏 − 𝑎)]𝛼−1 𝑎 Trong bài báo này, chúng tôi thay đạo hàm phân số Caputo trong bài toán (1.3) bởi đạo hàm phân số bên trái g-Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼,𝑔 (. ), xét trường hợp bậc 𝛼 cao hơn, và bổ sung thêm điều kiện ban đầu. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán: 𝐶 𝛼,𝑔 𝐷 y(t) + q(t)y(t) = 0, a < t < b, 2 < 𝛼 ≤ 3, { 𝑎+ (1.5) 𝑦(𝑎) = 𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0 1 với g ∈ C+ [a, b], và q: [a, b] ⟶ R là hàm liên tục. Chúng tôi thu được bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán (1.5) như sau (xem Định lý 3.3): 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ Γ(𝛼) (1.6) 𝑎 Kết quả này là mới và chưa từng được công bố trước đó. Và để kết thúc bài báo cáo, chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ (Ví dụ 3.5) để minh hoạ việc dùng bất đẳng thức kiểu Lyapunov chứng minh bài toán đang xét không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường 2. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản, các khái niệm và kết quả này có thể tìm thấy trong I. Podlubny (1999), R. Almeida (2017), S. K. Ntouyas (2021), và T.J. Osler (1970). Trước hết, để cho thuận tiện, ta ký hiệu: 𝐶+1 [𝑎, 𝑏] = {𝑔 ∈ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏]: 𝑔′ (𝑡) > 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]} Định nghĩa 2.1 (I. Podlubny, 1999). Cho hàm 𝜙(𝑡) ∈ 𝐶 𝑛 [𝑎, 𝑏], 𝑛 ∈ 𝑁 + , và 𝛼 ∈ (𝑛 − 1, 𝑛). Khi đó, đạo hàm phân số Caputo bậc 𝛼 được định nghĩa bởi 𝑡 𝐶 𝛼 1 𝑎𝐷 𝜙(𝑡) = ∫(𝑡 − 𝑠)𝑛−𝛼−1 𝜙 (𝑛) (𝑠)𝑑𝑠, 𝛤(𝑛 − 𝛼) 𝑎 với 𝛤(. ) là hàm Gamma. Định nghĩa 2.2 (T.J. Osler, 1970). Cho 𝛼 > 0, 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏], và 𝜙 ∈ 𝐶 1 [𝑎, 𝑏]. Tích phân phân số của hàm 𝜙 tương ứng với hàm g được định nghĩa bởi 𝑡 𝛼,𝑔 1 𝐼𝑎+ 𝜙(𝑡) = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝜙(𝑠)𝑑𝑠. 𝛤(𝛼) 𝑎 719
Định nghĩa 2.3 (R. Almeida, 2017). Cho 𝛼 > 0; 𝑛 ∈ 𝑁 + ; 𝑔, 𝜙 ∈ 𝐶 𝑛 [𝑎, 𝑏] là hai hàm thoả 𝑔′ (𝑡) > 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Đạo hàm phân số bên trái g-Caputo của hàm 𝜙 với bậc 𝛼 được định nghĩa bởi 𝐶 𝛼,𝑔 𝑛−𝛼,𝑔 1 𝑑 𝑛 𝑎+𝐷 𝜙(𝑡) = 𝐼𝑎+ ( ) 𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡 1 𝑛−𝛼−1 ′ (𝑠) 1 𝑑 𝑛 = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)] 𝑔 ( ′ ) 𝜙(𝑠)𝑑𝑠, 𝛤(𝑛 − 𝛼) 𝑔 (𝑠) 𝑑𝑠 𝑎 với 𝑛 = [𝛼] + 1 nếu 𝛼 ∉ 𝑁, và 𝑛 = 𝛼 nếu 𝛼 ∈ 𝑁. Trường hợp 𝑔(𝑡) = 𝑡, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] thì đạo hàm phân số bên trái g-Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼,𝑔 (. ) trở thành đạo hàm phân số Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼 (. ). Bổ đề 2.4 (R. Almeida, 2017). Cho 𝑛 ∈ 𝑁 + , 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛 và 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏]. Với 𝜙 ∈ 𝐶 𝑛 [𝑎, 𝑏], ta có 𝑛−1 𝛼,𝑔 (𝐼𝑎+ 𝑎+𝐶𝐷 𝛼,𝑔 𝜙)(𝑡) = 𝜙(𝑡) + ∑ 𝑐𝑘 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)]𝑘 , 𝑐𝑘 ∈ 𝑅, (𝑘 = 0, … , 𝑛 − 1). 𝑘=0 3. CÁC KẾT QUẢ CHÍNH Bổ đề 3.1. Cho 2 < 𝛼 ≤ 3, và 𝑔 ∈ 𝐶+1 [𝑎, 𝑏]. Giả sử rằng 𝑦(𝑡) là một nghiệm của bài toán (1.5). Khi đó, 𝑦(𝑡) có dạng 𝑏 1 𝑦(𝑡) = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑠)[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)𝑑𝑠, 𝛤(𝛼) 𝑎 với 2 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) ( ) −( ) , 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) 𝐺(𝑡, 𝑠) = 2 (3.1) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) ( ) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏. { 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.4, ta được 𝛼,𝑔 𝑦(𝑡) = −𝐼𝑎+ 𝑦(𝑡)𝑞(𝑡) + 𝑐0 + 𝑐1 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] + 𝑐2 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)]2 , (𝑐0 , 𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝑅) 𝑡 −1 = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 + 𝑐0 + 𝑐1 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] + 𝑐2 [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)]2 Γ(𝛼) 𝑎 Từ điều kiện 𝑦(𝑎) = 0, ta phải có 𝑐0 = 0. Mặt khác: 1 𝑦 ′ (𝑡) = [𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑎)𝑞(𝑎)𝑦(𝑎) Γ(𝛼) 𝑡 𝑔′ (𝑡) − ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−2 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 + 𝑐1 𝑔′ (𝑡) Γ(𝛼) 𝑎 + 𝑐2 𝑔′(𝑡)[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] 720
Vì 𝑔′ (𝑡) > 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], và 𝑦′(𝑎) = 0 nên 𝑐1 = 0. Từ 𝑦(𝑏) = 0, ta được 𝑏 −1 0= ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 + 𝑐2 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)]2 , Γ(𝛼) 𝑎 hay 𝑏 1 𝑐2 = ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠. [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)]2 Γ(𝛼) 𝑎 Suy ra 𝑡 −1 𝑦(𝑡) = ∫[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 Γ(𝛼) 𝑎 2 𝑏 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 1 +( ) ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Γ(𝛼) 𝑎 𝑏 1 = ∫ 𝐺(𝑡, 𝑠)[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)𝑞(𝑠)𝑦(𝑠)d𝑠 Γ(𝛼) 𝑎 với 2 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) ( ) −( ) , 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) 𝐺(𝑡, 𝑠) = 2 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) ( ) , 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏. { 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 3.2. Cho hàm Green được xác định như trong (3.1). Khi đó, 𝑚𝑎𝑥 |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 1. 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] Hơn nữa, |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 1 khi và chỉ khi t=s= b. 𝑔(𝑡)−𝑔(𝑎) 2 Chứng minh. Trường hợp 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏 thì 𝐺(𝑡, 𝑠) = (𝑔(𝑏)−𝑔(𝑎)) . Dễ thấy 0 ≤ 𝐺(𝑡, 𝑠) ≤ 1, và G(t,s)=1 khi và chỉ khi t=s= b. (3.2) Trường hợp 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, xét hàm 2 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) ℎ(𝑡, 𝑠) = ( ) −( ) , 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏, 2 < 𝛼 ≤ 3. 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) Cố định 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] và lấy đạo hàm ℎ(𝑡, 𝑠) theo biến 𝑠, ta được 𝛼−2 𝜕ℎ 𝑔′ (𝑠)[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑡)] 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑠) (𝑡, 𝑠) = (𝛼 − 1) ( ) ≥ 0, ∀ 𝑎 ≤ 𝑠 < 𝑡 ≤ 𝑏. 𝜕𝑠 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]2 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠) 721
Từ đó, ℎ(𝑡, 𝑠) là hàm đồng biến theo biến 𝑠, hay ℎ(𝑡, 𝑎) ≤ ℎ(𝑡, 𝑠) < ℎ(𝑡, 𝑡) = 0, ∀ 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏]. Suy ra 𝑚𝑎𝑥 |ℎ(𝑡, 𝑠)| = |ℎ(𝑡, 𝑎)|. (3.3) 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] Kết hợp (3.2) và (3.3), ta được max |𝐺(𝑡, 𝑠)| = max{1, max |ℎ(𝑡, 𝑎)| }. 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] 𝑡∈[𝑎,𝑏] Để tìm max |ℎ(𝑡, 𝑎)| ta xét hàm: 𝑡∈[𝑎,𝑏] 2 𝛼−1 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) ℎ(𝑡, 𝑎) = ( ) −( ) , 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], 2 < 𝛼 ≤ 3. 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) Ta có 𝛼−2 𝜕ℎ 𝑔′ (𝑡)[𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎)] 𝑔(𝑡) − 𝑔(𝑎) (𝑡, 𝑎) = 2 [2 − (𝛼 − 1) ( ) ], 𝜕𝑡 [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) và 𝜕ℎ (𝑡, 𝑎) = 0 ⇔ 𝑡 = 𝑎 hoặc 𝑡 = 𝑡 ∗ , 𝜕𝑡 với 𝑡 ∗ xác định từ 1 2 𝛼−2 𝑔(𝑡 ∗ ) = ( ) [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)] + 𝑔(𝑎) 𝛼−1 Lưu ý, 𝑔′(𝑡) > 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] nên 𝑎 < 𝑡 ∗ < 𝑏. Vì ℎ(𝑎, 𝑎) = ℎ(𝑏, 𝑎) = 0 nên 2 𝛼−3 2 𝛼−2 2 𝛼−2 max |ℎ(𝑡, 𝑎)| = |ℎ(𝑡 ∗ , 𝑎)| = | ( ) [1 − ( ) ] | < 1, (𝛼 < 2 < 3). 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] 𝛼−1 𝛼−1 và |ℎ(𝑡 ∗ , 𝑎)| = 1 nếu 𝛼 = 3. Vậy max |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 1 𝑡,𝑠∈[𝑎,𝑏] và |𝐺(𝑡, 𝑠)| = 1 khi và chỉ khi 𝑡 = 𝑠 = 𝑏. Định lý 3.3. Giả sử bài toán (1.5) có nghiệm không tầm thường 𝑦(𝑡). Khi đó 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ 𝛤(𝛼). 𝑎 Chứng minh. Từ Bổ đề 3.1, ta có 1 𝑏 |𝑦(𝑡)| ≤ ∫ |𝐺(𝑡, 𝑠)|[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)||𝑦(𝑠)|d𝑠, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏], Γ(𝛼) 𝑎 722
||𝑦|| 𝑏 ≤ ∫ [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|d𝑠. Γ(𝛼) 𝑎 Suy ra ||𝑦|| 𝑏 ||𝑦|| ≤ ∫ [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|d𝑠, Γ(𝛼) 𝑎 hay 𝑏 ∫[𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑠)]𝛼−1 𝑔′ (𝑠)|𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 ≥ Γ(𝛼).  𝑎 𝐶 𝛼,𝑔 (. ) Xét 𝑔(𝑡) = 𝑡, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] , khi đó đạo hàm bên trái g-Caputo 𝑎+𝐷 trở thành đạo hàm Caputo 𝑎+𝐶𝐷 𝛼 (. ). Từ Định lý 3.3, ta được hệ quả: Hệ quả 3.4. Xét bài toán 𝐶 𝛼 𝐷 𝑦(𝑡) + 𝑞(𝑡)𝑦(𝑡) = 0, 𝑎 < 𝑡 < 𝑏, 2 < 𝛼 ≤ 3, { 𝑎+ (3.4) 𝑦(𝑎) = 𝑦 ′ (𝑎) = 𝑦(𝑏) = 0, với 𝑞: [𝑎, 𝑏] → 𝑅 là hàm liên tục. Nếu 𝑏 ∫(𝑏 − 𝑠)𝛼−1 |𝑞(𝑠)|𝑑𝑠 < 𝛤(𝛼) 𝑎 thì bài toán (3.4) không có nghiệm nào khác ngoài nghiệm tầm thường. Ví dụ 3.5. Xét bài toán 𝐶 1,5 5𝑡 { 0+𝐷 𝑦(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 0, 0 < 𝑡 < 1, (3.5) 2 𝑦(0) = 𝑦 ′ (0) = 𝑦(1) = 0. Ta thấy 1 5 2 ∫ (1 − 𝑠)0,5 𝑠𝑑𝑠 = < Γ(1,5) ≈ 0.88623 2 3 0 nên theo Hệ quả 3.4, bài toán (3.5) chỉ có duy nhất nghiệm tầm thường. 4. KẾT LUẬN Trong bài báo cáo này, chúng tôi đã xây dựng bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán (1.5) (Định lý 3.3). Kết quả này là mới và chưa từng được công bố trước đó. Hướng phát triển tiếp theo, chúng tôi sẽ thử thay đổi điều kiện của bài toán (1.5), hoặc thay bằng các đạo hàm phân số khác như đạo hàm phân số Hilfer, đạo hàm phân số Hadamard, .... Chúng tôi xin cảm ơn những nhận xét, góp ý của người đọc cho chúng tôi, đặc biệt là những góp ý rất hữu ích của Nguyễn Minh Điện đối với bài báo cáo này. 723
TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. M. Ferreira (2013). A Lyapunov-type inequality for a fractional boundary-value problem. Fract. Calc. Appl. Anal, 16, 978-984. 2. M. Ferreira (2014). On a Lyapunov-type inequality and the zeros of a certain Mittag-Leffler function. J. Math. Anal. Appl, 412, 1058-1063. 3. M. Lyapunov (1970). Problémegénéral de la stabilité du mouvement. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse 2, 203-407. 4. Podlubny (1999). Fractional differential equations. New York: Academic Press. 5. R. Almeida (2017). A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul, 44, 460–481. 6. S. K. Ntouyas, B. Ahmad, T. P. Horikis (2019). Recent Developments of Lyapunov–Type Inequalities for Fractional Differential Equations. Springer Optimization and Its Applications, in: Dorin Andrica , Themistocles M. Rassias (ed.), Differential and Integral Inequalities, 619-686. 7. S. K. Ntouyas, B. Ahmad, T. P. Horikis (2021). Lyapunov-type Inequalities for Fractional Differential Equations: a Survey. Surveys in Mathematics and its Applications, 16. 8. T.J. Osler (1970). Fractional derivatives of a composite function. SIAM J. Math. Anal, 1, 288–293. 724