Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52

Chia sẻ: Lam Quang Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.447
lượt xem 182
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tổng hợp bộ đề thi tham khảo môn giải tích 2

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các đề thi môn giải tích 2 khóa 52

C¸c §Ò thi m«n Gi¶i tÝch 2 khãa 52 §Ò sè 1 C©u 1 Hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc x2 + 2y 2 + 3z 2 + xy − z − 9 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng ∂ 2z ∂ 2z (M) vµ (M) t¹i M(1, −2, 1). ∂x2 ∂y 2 C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f (x, y) = 2x3 − 4y 3 − 6xy 2 − 21y 2 + 9x2 − 18xy − 24y. C©u 3 Gäi L lµ giao cña mÆt trô x2 + y 2 = 2x vµ mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 2z, M lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã vµ mÆt ph¼ng xOy. a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai yz dx + zx dy + xy dz trªn L, h-íng cñaL ng-îc chiÒu kim ®ång hå L nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng. b) TÝnh thÓ tÝch cña M. c) TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 2z n»m trong S h×nh trô x2 + y 2 ≤ 2x, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi. C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) ey dx − (xey − 2y)dy = 0. b) y + 4y = sin 3x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 0, y = 0. x=0 x=0 §Ò sè 2 C©u 1 Hµm Èn z = z(x, y) x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc 2x2 + y 2 + 2z 2 + xy − 3z − 13 = 0. TÝnh c¸c ®¹o hµm ∂z ∂ 2z riªng (M) vµ (M) t¹i M(1, 2, −1). ∂y ∂x∂y C©u 2 T×m cùc trÞ hµm f (x, y) = 4x3 − 2y 3 + 6x2 y + 21x2 − 9y 2 + 18xy + 24x. C©u 3 Gäi L lµ giao cña mÆt nãn z = x2 + y 2 vµ mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 3z, M lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi hai mÆt ®ã. a) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai yz dx + zx dy + xy dz trªn L, h-íng cñaL ng-îc chiÒu kim ®ång hå L nÕu ta ®øng däc theo trôc Oz nh×n xuèng. b) TÝnh thÓ tÝch cña M. c) TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + 2 dxdz − 2 dxdy, víi S lµ phÇn mÆt parab«l«it x2 + y 2 = 3z n»m trªn S mÆt nãn z = x2 + y 2, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng xuèng phÝa d-íi. C©u 4 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x − y 2)dx + 2xy dy = 0. b) y + y = 4 sin x, víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 1, y = 0. x=0 x=0
§Ò sè 3  2  1 − cos x x2 + y 2 nÕu y = 0 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = y2  0 nÕu y = 0 a) Hµm f cã liªn tôc t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? ∂f ∂f b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) vµ (0, 0). ∂x ∂y c) Hµm f cã kh¶ vi t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? x3 C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm f = x2 + − xy 2 + y 2 trªn h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 1. 3 x dy − y dx C©u 3 TÝnh tÝch ph©n víi C lµ ®-êng trßn x2 + (y − 2)2 = 9 theo h-íng ng-îc chiÒu kim C x2 + y 2 ®ång hå. 2 2 C©u 4 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z = e3−x −y vµ mÆt ph¼ng z = 1. a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n mÆt (y 2 − yez )dydz + y + cos z 2 dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt cong S 3−x2 −y 2 z=e n»m trªn mÆt ph¼ng z = 1, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (1 + x2)y − y − 1 = 0. b) y + 2y − 3y = ex . §Ò sè 4   x2 x2 + y 2 · sin nÕu y = 0 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = y2  0 nÕu y = 0 a) Hµm f cã liªn tôc t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? ∂f ∂f b) TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (0, 0) vµ (0, 0). ∂x ∂y c) Hµm f cã kh¶ vi t¹i O(0, 0) kh«ng? T¹i sao? y3 C©u 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ bÐ nhÊt cña hµm u = x2 + y 2 + − yx2 − 1 trªn h×nh trßn x2 + y 2 ≤ 1. 3 x dy − y dx C©u 3 TÝnh tÝch ph©n víi C lµ ®-êng trßn (x − 1)2 + y 2 = 4 theo h-íng ng-îc chiÒu kim C x2 + y 2 ®ång hå. 2 2 C©u 4 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n giíi h¹n bëi mÆt cong z = e2−x −y vµ mÆt ph¼ng z = 1. a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n mÆt sin(y 2 + yez )dydz + y − ln(1 + z 2) dxdz + dxdy, víi S lµ phÇn mÆt cong S 2 2 z = e2−x −y n»m trªn mÆt ph¼ng z = 1, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x2 + 1)y + 2y = 1. b) y − y − 2y = e−x .
§Ò sè 5 C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y) = (2x − y, xy) vµ ®iÓm M(1, 2). a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y) kh¶ vi t¹i M(1, 2). b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f (M), biÕt f = u ◦ u. C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 2 + z 2 víi ®iÒu kiÖn x − y + 2z = 6. C©u 3 Gäi V lµ miÒn kh«ng gian h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x ≥ 0, y ≥ 0, z √ 0) giíi h¹n bëi √ ≥ c¸c mÆt z = 0, x = y, x = z, y = 1. KÝ hiÖu L lµ cung thuéc giao cña mÆt trô x = z vµ mÆt ph¼ng x = y nèi ®iÓm O(0, 0, 0) víi ®iÓm A(1, 1, 1). a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai xy dx + 2z dy + y dz. L C©u 4 TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz + dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng x + y + z = 3 n»m trong S h×nh cÇu x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng theo vÐc t¬ ph¸p n(1, 1, 1) cña mÆt ph¼ng. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (y 2 + 3x2 )dx + 2xy dy = 0. b) y + 2y + y = 1 + x. §Ò sè 6 C©u 1 Cho hµm vÐc t¬ u(x, y) = (2xy, x + y) vµ ®iÓm M(1, 1). a) B»ng ®Þnh nghÜa hµm kh¶ vi, chøng minh hµm u(x, y) kh¶ vi t¹i M(1, 1). b) ¸p dông c«ng thøc ®¹o hµm hµm hîp ®Ó tÝnh f (M), biÕt f = u ◦ u. C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 2 + z 2 víi ®iÒu kiÖn x − 2y + z − 6 = 0. C©u 3 Gäi V lµ miÒn kh«ng√ h÷u h¹n trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x ≥ 0, y ≥ 0, z √ 0) giíi h¹n bëi gian ≥ c¸c mÆt z = 0, x = y, x = z, y = 2. KÝ hiÖu L lµ cung thuéc giao cña mÆt trô x = z vµ mÆt ph¼ng x = y nèi ®iÓm O(0, 0, 0) víi ®iÓm A(2, 2, 4). a) TÝnh thÓ tÝch miÒn V . b) TÝnh tÝch ph©n ®-êng lo¹i hai xy dx + z dy + y dz. L C©u 4 TÝnh tÝch ph©n mÆt dydz − dxdz + 2dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng x + y + z = 3 n»m trong S h×nh cÇu x2 + y 2 + z 2 ≤ 7, mÆt S ®-îc ®Þnh h-íng theo vÐc t¬ ph¸p n(1, 1, 1) cña mÆt ph¼ng. C©u 5 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (2y − x)dx + x dy = 0. b) y − 2y + 2y = 2x.
§Ò sè 7 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = 3 (x − 1)3 + (y − 1)3 ∂f ∂f a) Chøng minh hµm f liªn tôc t¹i ®iÓm (1, 1) vµ tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (1, 1), (1, 1). ∂x ∂y b) Hµm f cã kh¶ vi t¹i (1, 1) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y. C©u 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt z = x2y 2, z = 0, xy = 1, xy = 2, y 2 = x, y 2 = 2x. C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (x2 + y 2)dx + (x2 − y 2)dy víi L lµ cung y = 1 − |x − 1|, x ∈ [0, 2] ®Þnh h-íng L theo chiÒu t¨ng cña x. C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt y dydz + z dxdz + 2x dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(0, 1, 1), B(3, 2, 2), C(2, 1, −1). C©u 6 a) T×m hµm kh¶ vi ϕ(x) ®Ó (2x − ye−x)dx + ϕ(x)dy = 0 lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn. Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi ϕ(x) t×m ®-îc. b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + 4y = cos 2x víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 0, y = 2. x=0 x=0 §Ò sè8 C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = 3 (x + 1)3 + y 3 ∂f ∂f a) Chøng minh hµm f liªn tôc t¹i ®iÓm (−1, 0) vµ tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (−1, 0), (−1, 0). ∂x ∂y b) Hµm f cã kh¶ vi t¹i (−1, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = 3x2 y + 4y 3 − 6x − 15y. C©u 3 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ giíi h¹n bëi c¸c mÆt z = x2 + y 2, z = 0, xy = 1, xy = 2, y = x, y = 2x vµ trong gãc phÇn t¸m thø nhÊt (x > 0, y > 0). C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (x2 + y 2 )dx + (x2 − y 2)dy víi L lµ cung y = 1 − |x + 1|, x ∈ [−2, 0] ®Þnh h-íng L theo chiÒu t¨ng cña x. C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz − y dxdz + z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(1, 1, −1), B(2, 2, 1), C(2, 4, 3). C©u 6 a) T×m hµm kh¶ vi ϕ(x) ®Ó ϕ(x) cos2 y dx + (2y − x2 sin 2y)dy = 0 lµ ph-¬ng tr×nh vi ph©n toµn phÇn. Gi¶i ph-¬ng tr×nh víi ϕ(x) t×m ®-îc. b) Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + y = 4x cos x víi ®iÒu kiÖn ®Çu y = 1, y = 0. x=0 x=0
§Ò sè 9 ∂u ∂u C©u 1 Cho hµm sè u(x, y) = 4 (x + 1)4 + y 4 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) ∀(x, y) ∈ R2. ∂x ∂y Hµm u cã kh¶ vi t¹i (−1, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = 2x + y − 2z víi ®iÒu kiÖn x2 + y 2 + z 2 = 62 . dxdy C©u 3 TÝnh tÝch ph©n kÐp víi D lµ miÒn ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y = 2x, y = 3x xy D x2 + 2y 2 = 1, x2 + 2y 2 = 4 (x > 0). C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (3x2 y 2 − 2y)dx + (2x3 y − 2x)dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−1, 4) víi L ®iÓm B(2, 3). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt 3x dydz − y dxdz − z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a) víi (a > 0). C©u 6 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau y a) y = . x + y3 x2 + x + 1 b) (x2 − 1)y + 4xy + 2y = 6x, biÕt y1 = x vµ y2 = lµ 2 nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh. x+1 §Ò sè 10 ∂u ∂u C©u 1 Cho hµm sè u(x, y) = 4 x4 + (y − 1)4 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) ∀(x, y) ∈ R2. ∂x ∂y Hµm u cã kh¶ vi t¹i (0, 1) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x + 2y − 2z víi ®iÒu kiÖn x2 + y 2 + z 2 = 62 . dxdy x x C©u 3 TÝnh tÝch ph©n kÐp víi D lµ miÒn ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®-êng y = , y = xy 2 3 D 2x2 + y 2 = 1, 2x2 + y 2 = 4 (x > 0). C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (6x2 y 2 − 3y 3 )dx + (4x3 y − 9xy 2)dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−2, 3) L víi ®iÓm B(1, 2). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz + 2y dxdz − z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a) víi (a > 0). C©u 6 Gi¶i c¸c ph-¬ng tr×nh vi ph©n sau a) (x + 2y 3 )y = y. 1 x+2 x b) xy + 2y − xy = ex , biÕt y1 = ex vµ y2 = e lµ 2 nghiÖm riªng cña ph-¬ng tr×nh. 2 2x
§Ò sè 11 ∂f ∂f C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = (x + y) x2 − xy + y 2 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) víi ∂x ∂y mäi (x, y) ∈ R2 . Hµm f cã kh¶ vi t¹i (0, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 + y 3 − z 2 + 6xy + 2z. C©u 3 TÝnh diÖn tÝch miÒn D h÷u h¹n trong mÆt ph¼ng xOy, biÕt D giíi h¹n bëi c¸c ®-êng x2 + 1 − y = 0, x2 − 2(y − 1) = 0, x − 2(y − 1)2 = 0, x − 3(y − 1)2 = 0. C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (3x2 y 2 − 2y 3)dx + (2x3 y − 6xy 2 )dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(1, 2) víi L ®iÓm B(−2, 3). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz + y dxdz + z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt täa ®é c¸c ®Ønh A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 1). C©u 6 Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y − 3y = ex + cos x tháa m·n ®iÒu kiÖn y(0) = 0, y (x) = 0. §Ò sè 12 ∂f ∂f C©u 1 Cho hµm sè f (x, y) = (x − y) x2 + xy + y 2 . TÝnh c¸c ®¹o hµm riªng (x, y), (x, y) víi ∂x ∂y mäi (x, y) ∈ R2 . Hµm f cã kh¶ vi t¹i (0, 0) kh«ng? T¹i sao? C©u 2 T×m cùc trÞ hµm sè u = x2 − y 3 − z 2 − 6xy + 2z. C©u 3 TÝnh diÖn tÝch miÒn D h÷u h¹n trong mÆt ph¼ng xOy, biÕt D giíi h¹n bëi c¸c ®-êng x2 + 1 − y = 0, x2 + 2(1 − y) = 0, 2(y − 1)2 + x = 0, 3(y − 1)2 + x = 0. C©u 4 TÝnh tÝch ph©n (3x2 y 2 − 3y)dx + (2x3 y − 3x)dy víi L lµ cung tr¬n bÊt k× nèi ®iÓm A(−1, 2) víi L ®iÓm B(2, 3). C©u 5 TÝnh tÝch ph©n mÆt x dydz − y dxdz + 2z dxdy, víi S lµ phÇn mÆt ph¼ng trong tam gi¸c ABC S ®Þnh h-íng lªn phÝa trªn. BiÕt täa ®é c¸c ®Ønh A(1, 0, 0), B(0, 3, 0), C(0, 0, 2). C©u 6 Gi¶i ph-¬ng tr×nh vi ph©n y + 2y = ex + sin x tháa m·n ®iÒu kiÖn y(0) = 0, y (x) = 0.