Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Nguyên hàm - tích phân

Chia sẻ: Mã Thiên Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Nguyên hàm - tích phân được nghiên cứu nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan đặt ra nhiệm vụ xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, và trình bày một số điểm cần tránh khi soạn câu hỏi. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cách viết câu hỏi trắc nghiệm khách quan - Chủ đề: Nguyên hàm - tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – ĐẠI HỌC HUẾ KHOA TOÁN Hoàng Nguyễn Mỹ Anh CÁCH VIẾT CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Chủ đề : Nguyên hàm – Tích phân Học phần : Lý luận dạy học toán nâng cao và đánh giá trong dạy học toán. GVHD : Nguyễn Đăng Minh Phúc. Huế, 4/2017
Mục đích của chủ đề này nhằm giúp người soạn câu hỏi trắc nghiệm khách quan đặt ra nhiệm vụ xây dựng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp, và trình bày một số điểm cần tránh khi soạn câu hỏi. Giả sử một giáo viên phải soạn những câu hỏi trắc nghiệm khách quan cho một phần nội dung nào đó của chương trình và giáo viên đó biết ở mức độ khả năng nào để đặt những câu hỏi của mình. Đòi hỏi sau này đặt ra 2 điều phải cân nhắc cho người viết câu hỏi, thứ nhất là những câu hỏi phải đúng mức độ khó và thứ 2 là chũng phải bao quát được các mức độ tư duy đòi hỏi: kiến thức, hiểu, áp dụng hay những khả năng cao nhất. Sau đây là một ví dụ về chủ đề nguyên hàm – tích phân mà từ câu hỏi truyền thống chúng ta có thể xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan phù hợp. I. Câu hỏi truyền thống Giả sử chúng ta đang cần viết một hay nhiều câu hỏi để đánh giá khả năng toán của học sinh trong một tình huống cụ thể là sử dụng công thức và các phương pháp khác nhau để tính nguyên hàm của một hàm số. Trong kì thi thông thường, điều này có thể được làm tốt bằng cách dùng công cụ câu hỏi sau: x 2 dx Bài toán: Tìm nguyên hàm của hàm số: I1 . 2 x 4 Nhiệm vụ đầu tiên của học sinh là sử dụng các kiến thức về nguyên hàm đã được học để có thể giải quyết bài toán. Bước này liên quan đến khả năng hệ thống các kiến thức của học sinh, khả năng áp dụng lý thuyết, công thức vào một bài toán tính nguyên hàm cụ thể. Ở bài toán này học sinh thấy rằng mẫu số là căn bậc 2 và phương pháp giải quyết thích hợp là đổi biến số để đơn giản hóa bài toán. Và khi gặp dạng căn bậc 2 có chứa a 2 x 2 thì một trong các công cụ hữu hiệu mà các em có là phương pháp đổi biến lượng giác hóa. Nếu hàm f(x) có chứa a 2 x 2 thì đặt: adt dx d a tan t cos 2t x a tan t a x2 a2 a 2 tan 2 t a 2 cos t
Nhìn vào hàm số có dạng a 2 x 2 , học sinh đặt x a tan t với a 2 và tiếp theo học sinh sẽ thu được tích phân mới đơn giản hơn tích phân ban đầu, từ đó tiếp tục áp dụng các phép biến đổi thích hợp để có thể đưa ra đáp số. x 2 dx I ; a 2 2 x 4 2dt dx d 2 tan t 2 1 tan 2 t dt Đặt x 2 tan t cos 2t x2 4 4 tan 2 t 4 4 tan 2 t.2 1 tan 2 t dt I 4 tan 2 t 1 tan 2 t dt 2 2 1 tan t sin 2 t sin 2 t.cos t sin 2 t.d (sin t ) 4 dt 4 dt 2 cos3 t cos 4 t 1 sin 2 t Đặt u sin t 2 2 u2 u 1 1 u 1 u I d (u ) 4 du 4 du 2 2 1 u2 2 1 u 1 u 1 u 1 1 1 1 1 1 du du du 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 2 1 1 du du 2du du 1 u 1 u (1 u ) 2 (1 u ) 2 1 u 1 u d 1 u d 1 u 1 u 1 u d u (1 u ) 2 (1 u ) 2 1 u 1 u 1 1 1 1 u 1 ln 1 u ln u 1 C ln C 1 u 1 u u 1 1 u u 1 1 1 u 1 1 1 sin t 1 I3 ln C ln C u 1 u 1 u 1 sin t 1 sin t 1 sin t 1 Từ giả thiết x 2tan t x 1 x2 2 2 4 2 x2 tan t 1 tan t 1 cos t sin t 2 cos 2 t 4 4 x2 4 x2 x 1 x 1 1 4 x2 sin t I3 ln C 4 x2 x x x 1 1 1 4 x2 4 x2 4 x2
Khi phân tích theo cách này, ta thấy bài toán đang cố gắng để làm nhiều thứ cùng một lúc. Nếu các em thất bại ngay ở bước đầu, không biết cách đổi biến số sao cho phù hợp thì bài toán tự luận này không cho ta biết điều gì về khả năng của học sinh về các khía cạnh khác của câu hỏi, ví dụ như: Đổi biến số theo phương pháp lượng giác hóa. Xử lí khi gặp tích phân chứa hàm lượng giác. Bởi vì, khi đặt ẩn phụ, học sinh thu được tích phân hàm lượng giác. Qua đó, kiến thức về nguyên hàm của các hàm lượng giác cơ bản, các công thức của hàm lượng giác như công thức nhân đôi, công thức nhân 3, hạ bậc,…sẽ được thể hiện. Đổi biến số và cách xử lí hàm hữu tỉ. Nếu tích phân lượng giác thu được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng giác cơ bản để tính được thì khía cạnh cụ thể được thể hiện trong bài toán tự luận trên là khả năng đổi biến, đưa hàm lượng giác về hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm. Trắc nghiệm khách quan cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của bài toán thì học sinh có thể trả lời được. II. Những câu hỏi trắc nghiệm khách quan tương đương Khía cạnh 1: Đầu tiên chúng ta sẽ kiểm tra phương pháp đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa. Với cách đổi biến như ở ví dụ trên, một số câu hỏi phù hợp để kiểm tra kiến thức này như sau: Ví dụ 1: Đổi biến x 3tan t thì tích phân I x2 9 trở thành: 9dt dt A. B. cos3 t cos t dt C. D. cos tdt cos 2t 3dt dx d 3tan t cos 2t Đặt x 3tan t 3 x2 9 9 tan 2 t 9 cos t
3dt dt I 3 cos t .cos 2 t cos t Đáp án B. Phương án gây nhiễu: B, C, D gây nhầm lẫn cho học sinh trong quá trình biến đổi tương đương, nhẫm lẫn khi chia cho phân số, rút gọn cos t. Ví dụ 2: a dx Nếu đặt x a tan t thì I 2 ; a 0 sẽ trở thành tích phân nào? 0 x2 a2 /4 /4 1 1 A. I 1 cos t dt B. I 1 cos 2t dt 2a 3 0 2a 3 0 /4 a 1 1 C. I 1 cos 2t dt D. I 1 cos 2t dt 2a 3 0 2a 3 0 adt Ở bài toán này với x a tan t dx d a tan t cos2t x 0 t 0 Đổi cận: x a t /4 /4 /4 adt 1 dt I2 cos 2 t. a 2 a 2 tan 2 t 2 a3 1 0 0 cos 2 t. cos 4 t /4 /4 1 2 1 cos tdt 1 cos 2t dt a3 0 2a 3 0 Đáp án B. Ở câu trắc nghiệm này đã có sẵn hướng đi, việc các em cần làm là biến đổi tương đương. Phương án gây nhiễu: Phương án A, C kiểm tra xem học sinh có nắm chắc công thức hạ bậc không. Khi học sinh đã ra kết quả, phương án D sẽ đánh bẫy đối với các học sinh quên đổi cận. Ví dụ 3: 3 dx Nếu đổi biến x 3 tan t thì I 2 ; a 0 sẽ tương đương với tích 3 x 3 phân nào?
/3 /3 dt A. I 3 dt B. I 3 /4 /4 t /4 /3 3 3 C. I dt D. I dt 3 /3 3 /4 3dt Ở bài toán này với x 3 tan t dx d 3 tan t cos 2t x 3 t /4 Đổi cận: x 3 t /3 /3 /3 /3 3dt 3 3 I 2 2 dt t /4 cos t.3 1 tan t 3 /4 3 /4 Đáp án D. Câu trắc nghiệm này yêu cầu học sinh phải tính toán cẩn thận, đổi cận chính xác. Phương án gây nhiễu: A,B kiểm tra xem học sinh có mắc sai lầm gì trong tính toán hay không. Phương án C sẽ làm các em nhầm lẫn khi không chú ý vị trí của cận / 4 và / 3. Ví dụ 4: 2 dx Đặt I 2 và x 2tan t . Khẳng định nào sai? 0 x 4 A. 4 x 2 4 tan 2 t 1 B. dx 2 tan 2 t 1 dt /4 1 3 C. I dt D. I 2 0 4 2dt Ở bài toán này với x 2 tan t dx d 2 tan t 2 1 tan 2 t cos 2t x 0 t 0 Đổi cận: x 2 t /4 /4 /3 /4 2dt 1 1 I dt t 0 cos 2 t.4 1 tan 2 t 2 /4 2 0 8 Đáp án D. Ở các câu trắc nghiệm trên theo như bài toán gốc, hàm f(x) có chứa a2 x 2 thì đặt:
adt dx d a tan t cos 2t x a tan t a x2 a2 a 2 tan 2 t a 2 cos t Tương tự; đối với các bài toán khác nếu hàm f(x) có chứa a2 x2 , x2 a 2 ta chọn cách đổi biến như sau: Dấu hiệu Cách chọn x a sin t t ; 2 2 a2 x2 x a cos t t 0; a x t ; \ 0 sin t 2 2 x2 a2 a x t 0; \ cos t 2 Ví dụ như ta có thể biến đổi: Nếu hàm f(x) có chứa a2 x 2 thì đặt: dx d a sin t a cos tdt x a sin t t ; 2 2 a2 x2 a2 a 2 sin 2 t a cos t Nếu hàm f(x) có chứa x2 a 2 thì đặt: a a cos tdt dx d a sin t sin 2 t x t ; \ 0 sin t 2 2 a2 a x2 a2 a2 sin 2 t cot t Từ các dấu hiệu đó, ta có thể xậy các câu trắc nghiệm tương tự như các ví dụ trên. Khía cạnh 2: Sau khi đổi biến theo phương pháp lượng giác hóa, chúng ta sẽ thu được tích phân dạng lượng giác. Ở đây, ta có thể viết các câu hỏi trắc nghiệm khách
quan liên quan đến bước tiếp theo của bài toán gốc là biết vận dụng các công thức lượng giác thường gặp (CT nhân đôi, CT hạ bậc, CT góc nhân 3, CT đổi tích thành tổng…), các mẫu nguyên hàm lượng giác hay gặp của từ đó suy ra cách đổi biến số thích hợp. Ví dụ 5: Phát biểu nào sau đây là đúng? 1 1 A. dx tan x C B. dx tan x C cos 2 x cos 2 x 1 1 C. dx cot x C D. dx cot x C cos 2 x cos 2 x 1 Ta có: I dx tan x C cos2 x Đáp án A. Theo bảng nguyên hàm cơ bản của tích phân lượng giác ta có: 1 dx tan x C . Đáp án gây nhiễu B, C, D kiểm tra xem học sinh có cos 2 x nắm được chắc chắn về dấu của nguyên hàm cơ bản này hay không. Ví dụ 6: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x tan 2 x và F 1. 4 Khi đó ta có F x là: A. tan 2 xdx tan x x B. tan 2 xdx tan x x 4 C. tan 2 xdx x tan x D. tan 2 xdx x tan x 4 4 1 Ta có: I tan 2 xdx 1 dx tan x x C cos 2 x F 1 1 C 1 C 4 4 4 Đáp án A. Phương án gây nhiễu: Phương án B học sinh dễ nhầm vì quên hằng số C khi tính nguyên hàm. Phương án C, D gây nhầm lẫn về dấu của hằng số C khi ta chuyển vế hoặc sai khi nhớ nhầm dấu nguyên hàm của tích phân.
Ví dụ 7: dx Nguyên hàm của tích phân I bằng: cos x 1 sin x 1 1 sin x 1 A. ln B. ln 2 sin x 1 2 sin x 1 1 sin x 1 1 sin x 1 C. ln D. ln 2 sin x 1 2 sin x 1 dx cos xdx cos xdx Ta có: I cos x cos 2 x 1 sin 2 x Đặt u sin x du cos xdx du du 1 du du I 1 u2 u 1 u 1 2 u 1 u 1 1 u 1 1 sin x 1 ln ln 2 u 1 2 sin x 1 Đáp án C. Ở ví dụ này học sinh phải có kỹ năng xử lí hàm số lương giác, thêm 1 lượng để từ đó có thể đặt được ẩn. Phương án gây nhiễu: A, B, D đánh bẫy học sinh khi các em chỉ cần biến đổi tương đương sai một lỗi về dấu thì đáp số sẽ ra 1 trong 3 phương án sai đó. Ví dụ 8: /4 5 1 tan x a a a Cho I dx ; nguyên dương và tối giản. Tìm khẳng 0 cos 2 x b b b định đúng? A. a b B. ab 1 C. a 10b 1 D. a 2 b2 1 Ta có: 6 /4 /4 5 1 tan x 1 21 a 21 I 1 tan x d 1 tan x 64 1 0 6 6 2 b 2 0 a 10b 1 Đáp án C. Ở câu trắc nghiệm này giúp học sinh phát hiện cách đổi biến nhanh khi gặp hàm số lượng giác cơ bản, đơn giản hóa biểu thức và tính toán.
Ví dụ 9: /4 tan x Biết I dx a b. (với a, b là 2 số tự nhiên.) Tìm 0 cos 2 x tan 2 x 2 đáp án đúng? A. a b B. ab 6 C. a 2 b2 12 D. a 2 b 2 1 tan x Đặt t tan 2 x 2 t2 tan 2 x 2 tdt dx cos 2 x 3 3 tdt a 3 I dt 3 2 2 t 2 b 2 ab 6 Đáp án B. Phương án gây nhiễu: Phương án D gây nhầm sai sót khi học sinh tính ra I 3 2 sau đó các em nhầm lẫn cho a 3; b 2 . Phương án A, C kiểm tra xem học sinh biến đổi tương đương và ra kết quả có đúng hay không. Khía cạnh 3: Nếu tích phân lượng giác thu được khá phức tạp, học sinh không thể áp dụng các nguyên hàm lượng giác cơ bản để tính được học sinh phải có khả năng đơn giản hóa bài toán, cụ thể là đưa hàm lượng giác về hàm hữu tỉ , từ đó xử lí hàm hữu tỉ để xác định nguyên hàm. Ví dụ 10: 3 dx Giá trị của tích phân I bằng: 2 x x2 1 1 4 1 A. ln B. 2 3 2 1 4 1 3 4 C. ln D. ln ln 2 3 2 2 3 Ta có: 1 x 1 x 1 1 x x2 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1
x x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 1 1 1 2 x 1 x 2 x 1 3 3 3 3 1 dx 1 dx dx 1 I ln x 2 1 23x 1 23x 1 3 x 2 2 1 8 3 1 8 1 3 1 3 1 8 2 1 3 ln ln ln ln ln ln . ln 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 1 3 4 ln ln 2 2 3 Đáp án D. Ở câu trắc nghiệm này chúng ta cần sử dụng thuật phân tích tử số có chứa nghiệm mẫu số. Từ đó giản ước và có thể suy ra các tích phân có dạng cơ bản để tính toán. Phương án gây nhiễu: Phương án A, B, C gây nhầm lẫn khi học sinh phân chia và tính toán các số theo hàm ln. Ví dụ 11: 3 dx Biết I 2 a ln 2 b ln 3 c ln 5; a, b, c . Tổng a b c bằng: 2 x x A. 6 B. 2 C. 2 D. 0 Ta có: 4 4 4 4 x 1 x dx dx x 4 3 I dx ln ln ln 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 13 5 4 ln 4 ln 5 ln 3 ln 4 4ln 2 ln 3 ln 5 a b c 4 1 1 2 Đáp án B. Ví dụ 12: 1 x3dx Biết I ln a b ln c a, b, c . Khẳng định nào đúng? 0 x 4 3x 2 2
5 1 3c A. a b c B. a 2 b 2 C. b 2c c 2a a 2b 1 D. a c b Ta có: t x2 dt 2 xdx; t 0;1 1 1 t. dt 1 1 tdt 1 1 I 2 . ln t 2 1 ln t 1 2 0 t 3t 2 2 0 t 1 t 2 0 2 0 1 3 ln 3 ln 2 ln 2 ln 3 ln 2 2 2 a 3 1 b a c b 2 c 2 Đáp án D. Ở ví dụ 11, 12 này, học sinh không thể bấm máy mà phải giải bằng tay để có thể tìm ra các số a, b, c. Nắm rõ công thức của hàm ln để chuyển về dạng mà đề đã cho.