www.hsmath.net
www.hsmath.net
Còng tõ ph−¬ng ph¸p nµy,
nhÊt (Max) cña biÓu thøc
+ + +
®−îc nh÷ng bµi to¸n míi.
qu¸t vµ t¹o ra
Sö dông bÊt ®¼ng thøc (B§T) ®H biÕt mµ ®Æc biÖt lµ B§T C«-si lµ ph−¬ng ph¸p
th−êng ®−îc ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ B§T nãi chung. Nh÷ng bµi to¸n cùc trÞ, nhÊt
lµ tr−êng hîp cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô th−êng g©y khã kh¨n cho ng−êi gi¶i trong
viÖc −íc l−îng hÖ sè vµ xÐt ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu ®¶ng thøc xÈy ra. Bµi viÕt nµy tr×nh bµy mét
ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ th«ng qua B§T C«-si ®Ó tõ ®ã, chuyÓn bµi to¸n cùc trÞ vÒ viÖc gi¶i
mét ph−¬ng tr×nh (PT) hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh (HPT) mµ viÖc gi¶i quyÕt lµ dÔ dµng hoÆc cã
®−êng lèi râ rµng h¬n, ®ã lµ ph−¬ng ph¸p c©n b»ng hÖ sè
víi mét chót s¸ng t¹o, chóng ta cã thÓ tæng
Tr−íc hÕt xin nªu l¹i mµ kh«ng chøng minh hai B§T quen thuéc sau:
i) B§T C«-si tæng qu¸t:
1 2 1 2
... ...
n
n n
a a a n a a a+ + + ≥
ii) B§T C«-si suy réng:
1 1 2 2
...
n n
a a a
α α α
≥
( )
( )
1 2
1 2
1
...
1 2 1 2
... ...
n
n
a a a
n n
a a a a
α
α α
α α
+ + +
+ + +
Trong hai B§T trªn th×
1 2
, ,..., n
a a a kh«ng ©m,
1 2
, ,..., n
α α α
d−¬ng vµ dÊu ®¼ng thøc xÈy
ra khi vµ chØ khi
1 2
... n
a a a= = = .
Chóng ta b¾t ®Çu tï bµi to¸n sau:
VÝ dô 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng ,
x y
tháa mLn ®iÒu kiÖn
3 3
1
x y
+ = (1). T×m gi¸ trÞ lín
( ; )
P x y x y
= +
Ph−¬ng ph¸p suy luËn:
Sù chªnh lÖch vÒ sè mò cña c¸c biÓu thøc
3 3
x y
+vµ ( ; )
P x y x y
= + gîi cho ta
sö dông B§T C«-si ®Ó h¹ bËc cña
3 3
x y
+. Nh−ng ta cÇn ¸p dông cho bao nhiªu sè vµ lµ
nh÷ng sè nµo? C¨n cø vµo bËc cña c¸c biÕn sè x vµ y trong c¸c biÓu thøc trªn, ta thÊy cÇn
ph¶i ¸p dông B§T C«-si lÇn l−ît cho
3
x
vµ
3
y
cïng víi 5 h»ng sè d−¬ng t−¬ng øng
kh¸c ®Ó lµm xuÊt hiÖn
x
vµ y. MÆt kh¸c do x, y d−¬ng vµ vai trß cña chóng nh− nhau
nªn ta dù ®o¸n ( ; )
P x y
®¹t Max khi
x y
=. Tõ (1) suy ra
3
1
2
x y
= = vµ ta ®i ®Õn lêi gi¶i
nh− sau.
Lêi gi¶i. ¸p dông B§T C«-si cho 6 sè d−¬ng: 1 sè
3
x
vµ 5 sè 1, ta cã:
55
3 3 6
6
1 1
5. 6 . 6.2
2 2
x x x
−
+ ≥ =
DÊu “=” xÈy ra ⇔
3
1
2
x
=
T−¬ng tù nh− vËy:
55
3 3 6
6
1 1
5. 6 . 6.2
2 2
y y y
−
+ ≥ =
DÊu “=” xÈy ra ⇔
3
1
2
y
=
Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta ®−îc:
( )
5
3 3 6
( ) 5 6.2
−
+ + ≥ + (2)
DÊu “=” xÈy ra ⇔
3
1
2
x y
= = .
CAÂN BAÈNG HEÄ SOÁ TRONG
BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂ-SI
2
www.hsmath.net
+ ≥ ≥
+ ≥ ≥
®¹t Min khi
dù ®o¸n
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
65
( ; ) 2
P x y x y
= + ≤ DÊu b»ng xÈy ra ⇔
3
1
2
x y
= = , tháa mHn ®iÒu kiÖn (1).
VËy
{ }
65
( ; ) 2Max P x y =
.
VÝ dô 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng ,
x y
tháa mLn ®iÒu kiÖn
3 3
1
x y
+ ≤ (3). T×m gi¸ trÞ lín
nhÊt (Max) cña biÓu thøc ( ; ) 2
P x y x y
= +
Ph−¬ng ph¸p suy luËn:
ë vÝ dô 1, chóng ta ®H nhanh chãng dù ®o¸n ®−îc Max ( ; )
P x y
®¹t ®−îc khi
x y
=,
tõ ®ã tÝnh ®−îc ,
x y
. Nh−ng trong bµi to¸n nµy, vai trß cña x vµ y lµ kh«ng b×nh ®¼ng.
Tuy nhiªn ta hHy gi¶ sö ( ; )
P x y
®¹t Max khi
x
y
α
β
=
=
nµo ®ã vµ dù ®o¸n ,
α β
ë ®iÒu kiÖn
biªn cña (3), tøc lµ
3 3
1
α β
+ = (4). Ta viÕt:
( )
5
5
3 3 3 3 2
6
5. 6 . 6.
x x x
α α α
+ ≥ =
( )
5
5
3 3 3 3 2
6
5. 6 . 6.
y y y
β β β
+ ≥ =
Suy ra
( ) ( )
5 5
3 3 3 3 2 2
5. 6. 6.
x y x y
α β α β
+ + + ≥ +
§Ó xuÊt hiÖn ( ; )
P x y
ë vÕ ph¶i, ta cÇn chän ,
α β
sao cã tû lÖ:
5
2
6.
x
α
:
5
2
6.
y
β
=1.
x
:2. y
⇔
5
2
5
1 1
24
α α
β β
= ⇔ =
(5)
VËy tõ (4) vµ(5) ta thu ®−îc HPT: 5
3 3
1
4
1
α
β
α β
=
+ =
⇔
35
5
35
1
1 2 2
4
1 2 2
α
β
=
+
=
+
B»ng c¸ch lµm ng−îc l¹i c¸c b−íc trªn ta sÏ thu ®−îc
{ }
( )
5
5
6
( ; ) 1 2 2
Max P x y
= +
NhËn xÐt. Tõ c¸ch ph©n tÝch trªn ta thÊy cã thÓ thay ®æi d÷ kiÖn cña bµi to¸n sao cho
HPT sau khi c©n b»ng hÖ sè cã thÓ gi¶i ®−îc. Ch¼ng h¹n nh− c¸c bµi to¸n d−íi ®©y:
Bµi to¸n 1. Cho c¸c sè nguyªn d−¬ng , ,
m p q
sao cho
{
}
,m Max p q≥. HLy t×m
GTLN cña biÓu thøc ( ; )
p q
P x y ax y
= + trong hai tr−êng hîp sau, biÕt r»ng a lµ
h»ng sè d−¬ng vµ x, y lµ c¸c biÕn sè kh«ng ©m tháa mLn ®iÒu kiÖn 1
m m
x y
+ ≤ :
i) 2
m q
p
+
= ii) 2
3
m q
p
+
=
Bµi to¸n 2. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c, d vµ c¸c sè nguyªn m, n tháa mLn ®iÒu kiÖn
0
m n
> > . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc ( ; ; ) n n n
P x y z ax by cz
= + + trong ®ã
, ,
x y z
lµ c¸c biÕn sè kh«ng ©m tháa mLn ®iÒu kiÖn m m m
x y z d
+ + ≤ .
VÝ dô 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
( )
2 2 2
( ; ; )
P x y z a x y z
= + + . Trong ®ã a lµ sè
thùc d−¬ng vµ x, y, z lµ c¸c biÕn sè tháa mLn ®iÒu kiÖn 1
xy yz zx
++= (6)
Ph−¬ng ph¸p suy luËn: Do vai trß cña x vµ y lµ nh− nhau nªn ta ( ; ; )
P x y z
( 0)
x y z
α α
= = > (7). ¸p dông B§T C«-si cho hai sè d−¬ng ta cã
2 2 2 2
x y xy xy
+ ≥ ≥
( )
2
22 2
x z x z xz
α α α
⇔2 2
12
x z xz
α
α
+ ≥
( )
2
22 2
y z y z yz
α α α
⇔2 2
12
y z yz
α
α
+ ≥
Tõ c¸c B§T trªn suy ra:
www.hsmath.net
www.hsmath.net
chØ phô
t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu
( )
( )
2 2 2
1
1 2 2
x y z xy yz zx
α
α
+ + + ≥ + +
VÕ ph¶i cña B§T trªn lµ h»ng sè, v× vËy ta cÇn t×m
α
®Ó cã tû lÖ: 1
1 :2 :1a
α
α
+ =
2
2 1 0a
α α
⇔ − − = ⇒ 1 1 8
4
a
a
α
+ +
=, 1 1 8 0
4
a
a
α
− +
= < lo¹i.
Cïng víi (6) vµ (7) ta cã HPT: 1
xy yz zx
x y z
α
++=
= =
( )
2 2
2 1z
x y z
α α
α
+ =
⇔= =
Gi¶i HPT nµy víi
α
nh− trªn ta ®−îc:
( )
( )
2
2
16
8 1 8 1 1
4
8 1 8 1 1
a
za aa
x y a a
= ±
+ + +
⇔
= = ±
+ + +
B»ng c¸ch lµm ng−îc l¹i ta tÝnh ®−îc
{ }
4
( ; ; ) 1 1 8
xy yz zx
Min P x y z a
α
+ +
= = + +
NhËn xÐt. B»ng c¸ch lµm t−¬ng tù nh− trªn chóng ta cã thÓ gi¶i trän vÑn ®−îc bµi to¸n
tæng qu¸t h¬n sau:
Bµi to¸n 3. Cho c¸c h»ng thùc d−¬ng a, b, c vµ c¸c biÕn sè x, y, z tháa mLn ®iÒu kiÖn
1
xy yz zx
+ + ≥ . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
2 2 2
( ; ; )
P x y z ax by cz
= + + .
VÝ dô 4. XÐt c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa mLn ®iÒu kiÖn 21 2 8 12ab bc ca+ + ≤
. HLy thøc 1 2 3
( ; ; )P a b c a b c
= + + .
(§Ò thi chän §TVN dù thi IMO 2001)
Ph−¬ng ph¸p suy luËn: §Æt 1 1 1
, ,a b c
x y z
= = =
. §iÒu kiÖn cña bµi to¸n të thµnh 2 8 21 12
x y z xyz
+ + ≤ (9).
Vµ ta cÇn t×m Min cña biÓu thøc ( ; ; ) 2 3
P x y z x y z
= + +
Gi¶ sö ( ; ; )
P x y z
®¹t Min khi
x z
y z
α
β
=
=
¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:
12 2 8 21
xyz x y z
≥ + + ≥
2 8 21
x y
z
α β
α β
≥ + + ≥
( )
1
8
22 8 21
21
2 8 21 x y z
β
αα β
α β α β
+ +
≥ + +
⇒
( )
8 21 2 21 2 8 ,x y z A
β α α β
α β
+ + +
≥
(10)
Trong ®ã biÓu thøc
( )
,A
α β
chØ phô thuéc vµo ,
α β
.
Còng theo B§T C«-si suy réng ta cã:
( )
, ,
P x y z
= x + 2y + 3z = 2 3
x y
z
α β
α β
+ + ≥
( )
1
22 3
3
2 3 x y z
β
αα β
α β α β
+ +
≥ + +
=
( )
( )
1
2 3 2 3
,B x y z
α β α β
α β
+ +
(11)
Trong ®ã biÓu thøc
( )
,B
α β
thuéc vµo ,
α β
.
§èi chiÕu (10) vµ (11) ta thÊy cÇn chän ,
α β
sao cho cã tû lÖ:
( ) ( ) ( )
:2 :3 8 21 : 2 21 : 8 2
α β β α β α
= + + +
8 21
8 2 3
2 21 2
8 2 3
β α
β α
α β
β α
+
=
+
⇔+
=
+
2
2
2 8 24 63
16 4 6 63
α αβ β
β αβ α
+ = +
⇔
+ = +
Tõ PT thø nhÊt ⇒
( )
2
2 63
8 3
α
βα
−
=−. Thay vµo PT thø hai ta cã:
www.hsmath.net
www.hsmath.net
(13)
( ) ( )
2
2 2
2 63 2 63
16 4 6 63
8 3 8 3
α α α α
α α
− −
+ = +
− −
3 2
4 78 306 567 0
α α α
⇔ + − − =
( )
( )
2
2 9 2 48 63 0
α α α
⇔ − + + = 9
2
α
⇔ = ( do 0
α
>) 15
8
β
⇒=.
Khi
( )
, ,
P x y z
®¹t Min th× tÊt c¶ c¸c B§T trªn ®Òu trë thµnh ®¼ng thøc, nghÜa lµ
2 8 21 12 3
9 5
2 4
18 2
5 3
x y z x
x z z y
y z z z
α
β
+ + = =
= = ⇔ =
= = =
Tíi ®©y, ®iÓm mÊu chèt cña bµi to¸n ®H ®−îc gi¶i quyÕt vµ ta ®i ®Õn mét lêi gi¶i
t−¬ng ®èi ng¾n gän cho bµi to¸n nh− sau:
Lêi gi¶i. §Æt
1 1 1
5 2
3 , ,
4 3
x x y y z z
= = = khi ®ã ®iÒu kiÖn (9) trë thµnh
1 1 1 1 1 1
5 2 5 2
2.3 8. 21. 12.3 . .
4 3 4 3
x y z x y z
+ + ≤
1 1 1 1 1 1
3 5 7 15
x y z x y z
⇔ + + ≤ .
( ) ( )
1 1 1
, , , ,P x y z P x y z= =
1 1 1
5 2
3 2. 3
4 3
x y z
= + +
=
( )
1 1 1
16 5 4
2
x y z
+ +
¸p dông B§T C«-si tæng qu¸t cho 15 sè d−¬ng ta cã:
3 5 7
15
1 1 1 1 1 1 1 1 1
15 3 5 7 15
x y z x y z x y z
≥ + + ≥
(12)
( ) ( )
1 1 1
1
, , 6 5 4
2
P x y z x y z
= + + ≥
6 5 4
15 1 1 1
1.15.
2
x y z
≥
Tõ (12) suy ra
6 5 4
1 1 1
1x y z ≥, do ®ã tõ (13) ta ®−îc
( )
15
, , 2
P x y z ≥
§¼ng thøc xÈy ra
1 1 1
1x y z⇔ = = =
1 1 1
5 5 2 2
3 3, ,
4 4 3 3
x x y y z z⇔ = = = = = = 1 4 3
, ,
3 5 2
a b c⇔ = = =
VËy Min
( )
15
, , 2
P a b c =.
NhËn xÐt. Së dÜ ta ®Æt c¸c biÕn míi
1 1 1
, ,
x y z
lµ v× ta ®H x¸c ®Þnh ®−îc bé sè (x,y,z) ®Ó
( )
, ,
P x y z
®¹t Min. MÆt kh¸c viÖc xÐt dÊu b»ng sÏ trë nªn dÔ dµng h¬n bÕu c¸c biÕn
tham gia khi xÈy ra dÊu ®¼ng thøc lµ b»ng nhau vµ ®Òu b»ng 1.
Mét ®iÒu thó vÞ vµ ®¸ng chó ý ë ®©y lµ c¸c B§T (12), (13) t−¬ng ®èi ®¬n gi¶n,
nh−ng qua phÐp ®æi biÕn ®H trë thµnh B§T kh¸c phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu. Chóng ta hHy
thö vËn dông ®iÒu nµy ®Ó t¹o ra nh÷ng bµi to¸n míi rÊt thó vÞ, xuÊt ph¸t tõ bæ ®Ò sau:
Bæ ®Ò: Cho c¸c sè thùc , , , 0
α β γ λ
≥vµ , , , 0
x y z t
>. Khi ®ã ta cã:
i) NÕu
( )
x y z t xyzt
α β γ λ α β γ λ
+ + + ≤ + + +
th×
( ) ( ) ( )
x y z
β γ λ γ λ α λ α β
+ + + + + + + + +
( ) ( )
3t
α β γ α β γ λ
+ + + ≥ + + +
(14)
ii) NÕu
( ) ( ) ( )
x y z
β γ λ γ λ α λ α β
+ + + + + + + +
+
( ) ( )
3t
α β γ α β γ λ
+ + + ≥ + + +
th×
( )
x y z t xyzt
α β γ λ α β γ λ
+ + + ≥ + + +
(15)
Chøng minh. Tr−êng hîp 0
α β γ λ
= = = =
th× bæ ®Ò hiÓn nhiªn ®óng. Ta xÐt khi
2 2 2 2
0
α β γ λ
+ + + > .
i) ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:
( )
xyzt x y z t
α β γ λ α β γ λ
+ + + ≥ + + +
≥
( )
( )
1
x y z t
α β γ λ
α β γ λ
α β γ λ
+ + +
≥ + + +
1x y z t
β γ λ γ λ α λ α β α β γ
+ + + + + + + +
⇒≥
Nh− vËy:
( ) ( )
x y
β γ λ γ λ α
+ + + + + +
+
( ) ( )
z t
λ α β α β γ
+ + + + + ≥
( )
3
α β γ λ
≥ + + + ×
( )
1
x y z t
β γ λ γ λ α λ α β α β γ α β γ λ
+ + + + + + + + + + +
× ≥
( )
3
α β γ λ
≥ + + +
§¼ng thøc xÈy ra 1
x y z t
⇔ = = = = .
www.hsmath.net
www.hsmath.net
Cho c¸c sè thùc d−¬ng a,b,c
Chóc c¸c b¹n thµnh
cÇn thiÕt khi häc to¸n .
chóng theo
tËp sau vµ hHy cè g¾ng më réng
h¬n n÷a. §Ó kÕt thóc
tr−êng hîp nhiÒu biÕn
C¸c b¹n hHy thö tiÕp tôc suy nghÜ
to¸n míi.
vµ
Chøng minh r»ng:
56
ii) ¸p dông B§T C«-si suy réng ta cã:
( ) ( )
3
x
α β γ λ β γ λ
+ + + ≥ + + +
( ) ( ) ( )
y z t
γ λ α λ α β α β γ
+ + + + + + + + + ≥
( )
3
α β γ λ
≥ + + + ×
( )
1
x y z t
β γ λ γ λ α λ α β α β γ
α β γ λ
+ + + + + + + + + + +
×
1x y z t
β γ λ γ λ α λ α β α β γ
+ + + + + + + +
⇒≥
( )
1
x y z t xyzt
α β γ λ α β γ λ
+ + +
⇔ ≥
Nh− vËy:
x y z t
α β γ λ
+ + + ≥
( )
( )
1
x y z t
α β γ λ α β γ λ
α β γ λ
+ + +
≥ + + + ≥
( )
xyzt
α β γ λ
≥ + + +
§¼ng thøc x¶y ra 1
x y z t
⇔ = = = = .
Bæ ®Ò ®−îc chøng minh.
Sö dông bæ ®Ò trªn b»ng c¸ch thay vµo nh÷ng gi¸ trÞ ®Æc biÖt vµ b»ng nh÷ng c¸ch
ph¸t biÓu kh¸c nhau, ta sÏ cã nh÷ng kÕt qu¶ kh¸c nhau:
- Víi 1, 0, 3, 5, 7t
λ α β γ
= = = = = , thay x, y, z, t lÇn l−ît bëi 3x, 5
4y, 2
3
z
vµo (14), sau
®ã ®Æt 1 1 1
, ,
a b c
x y z
= = ta ®−îc Bµi to¸n vÝ dô 4.
- Thay 1, 1, 1, 2, 3t
λ α β γ
= = = = = vµo (14) vµ ®Æt 1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta cã bµi to¸n:
Bµi to¸n 4. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa mLn ®iÒu kiÖn 72ab + 9bc + 24ca + + 18abc ≤
3 10 16 15
a b c
+ + ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
- Thay 1 1 1
1, 1, , ,
2 3 6
t
λ α β γ
= = = = = vµo
(14) vµ ®Æt 1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 5. Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tháa mLn ®iÒu kiÖn
( )
2
8 27 16a b c abc+ + ≤
.
Chøng minh r»ng: 5 10 22 6
4 9 9
a b c
+ + ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
- V× khi xÈy ra ®¼ng thøc ë hai Bµi to¸n 4 vµ 5 ®Òu cã 1 2 4
, ,
2 3 3
a b c= = = nªn khi kÕt hîp
hai bµi to¸n trªn ta cã:
Bµi to¸n 6. tháa mLn ®iÒu kiÖn 72ab + 9bc + 24ca + 18abc
≤
( )
2
8 27 16a b c abc+ + ≤
. Chøng minh r»ng: 17 19 166 21
4 9 9a b c
+ + ≥ .
§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
56
- Thay 1, 1, 1, 2, 3
t
x
λ α β γ
= = = = = vµo (14) vµ ®Æt 1 2 4
, ,
2 3 3
x y z
a b c
= = = ta cã bµi to¸n sau:
Bµi to¸n 7. Cho c¸c sè thùc a, b, c d−¬ng tháa mLn ®iÒu kiÖn 3 10 16 12 21
3 3 a
abc
+ + + ≤ ,
chøng minh r»ng 1 4 4 28
2
2 3 9
a
a b c abc
+ + + ≥ . §¼ng thøc x¶y ra khi nµo?
B»ng c¸ch thay ®æi d÷ kiÖn bµi to¸n theo h−íng trªn chóng ta sÏ cã ®−îc rÊt nhiÒu bµi
theo h−íng trªn vµ theo h−íng tæng qu¸t cho
bµi viÕt nµy, ®Ò nghÞ c¸c b¹n gi¶i mét sè bµi
c¸ch cña m×nh. §ã lµ mét viÖc lµm thùc sù
c«ng!
www.hsmath.net