Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 32: Cực trị oxyz

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 32: Cực trị OXYZ" giúp học sinh lớp 12 ôn lại lý thuyết và bài tập về cực trị trong không gian OXYZ. Nội dung tài liệu cung cấp các phương pháp giải bài toán cực trị, các dạng bài tập vận dụng, cùng lời giải tham khảo chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để hiểu rõ hơn về cách giải bài toán cực trị trong không gian OXYZ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 32: Cực trị oxyz

TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Xây dựng và phát triển dựa theo câu hỏi ở đề minh họa 2024 VẤN ĐỀ 32. CỰC TRỊ OXYZ (ĐỀ MINH HỌA 2024) Trong không gian Oxyz , cho hình nón (  ) có đỉnh A(2;3; 0) , độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  1  0 . Gọi (C ) là giao tuyến của mặt xung quanh của (  ) với mặt phẳng (Q) : x  4 y  z  4  0 và M là một điểm di động trên (C ) . Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AM thuộc khoảng nào dưới đây? 3   3 A.  ; 2  . B. (0;1) . C.  1;  . D. (2;3) . 2   2 CÂU HỎI PHÁT TRIỂN Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 2; 6  , B  0;1; 0  và mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  2    z  3  25 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c A. T  3 B. T  4 C. T  5 D. T  2 Câu 2. Mặt phẳng   đi qua điểm M 1;1;1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại  P A a;0;0  B  0; b; 0  , , C  0;0;c  sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a  2b  3c bằng A. 12 . B. 21 . C. 15 . D. 18 . Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  2;0;0  , M 1;1;1 . Mặt phẳng  P  thay đổi qua AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng  P  thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 5 6 . B. 4 6 . C. 3 6 . D. 2 6 . 2 2 2 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  9 , điểm A  0; 0; 2  . Mặt phẳng  P  qua A và cắt mặt cầu  S  theo thiết diện là hình tròn  C  có diện tích nhỏ nhất, phương trình  P  là: A.  P  : x  2 y  3 z  6  0 . B.  P  : x  2 y  3 z  6  0 . C.  P  : 3 x  2 y  2 z  4  0 . D.  P  : x  2 y  z  2  0 . 2 2 2 Câu 5. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) :  x  1   y  2    z  3  27 . Gọi   là mặt phẳng đi qua 2 điểm A  0;0; 4  , B  2; 0; 0  và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  sao cho khối nón có đỉnh là tâm của  S  , là hình tròn  C  có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng   có phương trình dạng ax  by  z  c  0 , khi đó a  b  c bằng: A. 8. B. 0. C. 2. D. -4.  5 3 7 3   5 3 7 3  Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A   2 ; ;3  , B    2 ; 2 ;3  và mặt cầu  2    2 2 2 (S ) : ( x 1)  ( y  2)  ( z  3)  6 . Xét mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  0 ,  a, b, c, d   : d  5  là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T  a  b  c  d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. A. T  4 . B. T  6 . C. T  2 . D. T  12 . Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;  1;  1 , B  1;  3;1 . Giả sử C , D là hai điểm di động trên mặt phẳng  P  :2 x  y  2 z  1  0 sao cho CD  4 và A, C , D thẳng hàng. Gọi Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 S1 , S 2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD . Khi đó tổng S1  S 2 có giá trị bằng bao nhiêu? 34 37 11 17 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 8. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x  y  2 z  1  0 và các điểm A  0;1;1 ; B 1; 0; 0  2 2 2 ( A và B nằm trong mặt phẳng  P  ) và mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  2   4 . CD là đường kính thay đổi của  S  sao cho CD song song với mặt phẳng  P  và bốn điểm A, B , C , D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là A. 2 6 . B. 2 5 . C. 2 2 . D. 2 3 . Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B  2; 0;2  , C  1; 1; 0  , D  0;3;4  . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B, C , D AB AC AD thỏa    4 . Viết phương trình mặt phẳng  BCD  biết tứ diện ABC D có thể tích nhỏ AB AC  AD nhất? A. 16 x  40 y  44 z  39  0 B. 16 x  40 y  44 z  39  0 C. 16 x  40 y  44 z  39  0 D. 16 x  40 y  44 z  39  0 Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4  , B  0;0;1 và mặt cầu 2 2  z 2  4 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  4  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến  S  :  x  1   y  1 là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c ? 1 3 A. T  . B. T  . C. T  1 . D. T  2 . 5 4 Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2  0 và hai điểm A 1; 2;3 , B 1; 0;1 . Điểm C  a; b;  2    P  sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a  b A. 0. B. 3 . C. 1. D. 2. Câu 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1; 2;1 cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B , C ( A, B , C không trùng với gốc O ) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng  P  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. N  0; 2; 2  B. M  0; 2;1 C. P  2;0;0  D. Q  2;0; 1 Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  đi qua điểm M  9;1;1 cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . D. 243 . 2 2 6 Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  3 . Một mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S  và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA2  OB 2  OC 2  27 . Diện tích tam giác ABC bằng 3 3 9 3 A. . B. . C. 3 3 . D. 9 3 . 2 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x  y  z  0 và mặt cầu ( S ) : x 2  ( y  1) 2  ( z  2)2  1 . Xét một điểm M thay đổi trên mặt phẳng ( P) . Gọi khối nón ( N ) có đỉnh là điểm M và có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ M đến mặt cầu ( S ) . Khi ( N ) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( N ) có phương trình dạng x  ay  bz  c  0 . Tính a  b  c A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . Câu 16. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(4;1;5), B (6; 1;1) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  1  0 . Xét mặt cầu (S ) đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc ( P) . Bán kính mặt cầu (S ) nhỏ nhất bằng A. 35 . B. 33 . C. 6 . D. 5 . Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(3; 2; 0);B ( 1; 2; 4). Xét trụ (T ) nội tiếp mặt cầu đường kính AB và có trục nằm trên đường thẳng AB. Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì chứa đường tròn đáy đi qua điểm nào dưới đây?  A. C 0; 1; 2 3 .  B. C 0; 1; 2 3 .   C. C 1; 0; 2 3 .   D. C 1;0; 2 3 .   Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1;3 và B  6;5;5  . Xét khối nón  N  có đỉnh A , đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  có phương trình dạng 2 x  by  cz  d  0 . Giá trị của b  c  d bằng A. 21. B. 12 . C. 18 . D. 15 . Câu 19. Trong không gian cho hai điểm I  2;3;3 và J  4; 1;1 . Xét khối trụ T  có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính IJ và có hai tâm nằm trên đường thẳng IJ . Khi có thể tích T  lớn nhất thì hai mặt phẳng chứa hai đường tròn đáy của T  có phương trình dạng x  by  cz  d1  0 và x  by  cz  d 2  0 . Giá trị của d12  d 22 bằng: A. 25 . B. 14 . C. 61 . D. 26 . Câu 20. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  với 3 10 a  4, b  5, c  6 và mặt cầu  S  có bán kính bằng ngoại tiếp tứ diện O. ABC . Khi tổng 2 OA  OB  OC đạt giá trị nhỏ nhất thì mặt phẳng   đi qua tâm I của mặt cầu  S  và song song với mặt q phẳng  OAB  có dạng mx  ny  pz  q  0 ( với m,n,p,q  ; là phân số tối giản). Giá trị p T = m + n + p + q bằng A. 3 . B. 9 . C. 5 . D. 5 . Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm C  1; 2;11 , H (1; 2; 1) , hình nón  N  có đường cao CH  h và bán kính đáy là R  3 2 . Gọi M là điểm trên đoạn CH ,  C  là thiết diện của mặt phẳng  P  vuông góc với trục CH tại M của hình nón  N  . Gọi  N   là khối nón có đỉnh H đáy là  C  . Khi thể tích khối nón  N   lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp nón  N   có tọa độ tâm I  a; b, c  , bán kính là d . Giá trị a  b  c  d bằng A. 1 . B. 3 . C. 6 . D. 6 . 2 2 2 Câu 22. Trong hệ trục Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  :  x  1   y  3   z  2   49 và 2 2 2  S2  :  x  10   y  9   z  2  400 và mặt phẳng  P  : 4 x  3 y  mz  22  0 . Có bao nhiêu số nguyên m để mp (P) cắt hai mặt cầu  S1  ,  S 2  theo giao tuyến là hai đường tròn không có tiếp tuyến chung? A. 5 . B. 11 . C. Vô số. D. 6 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;1;1 và B  2;1;1 . Xét khối nón  N  có đỉnh A đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng  P  chứa đường tròn đáy của  N  cách điểm E 1;1;1 một khoảng là bao nhiêu? 1 1 A. d  . B. d  2 . C. d  . D. d  3 2 3 Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;3; 1 ; B 1;3; 2  và mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  3  0 . Xét khối nón  N  có đỉnh là tâm I của mặt cầu và đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  . Khi  N  có thể tích lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  và đi qua hai điểm A, B có phương trình dạng 2 x  by  cz  d  0 và y  mz  e  0 . Giá trị của b  c  d  e bằng A. 15. . B. 12. . C. 14. . D. 13. Câu 25. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A 1;0;0  , B  3; 4; 4  . Xét khối trụ T  có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB . Khi T  có thể tích lớn nhất, hai đáy của T  nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là x  by  cz  d1  0 và x  by  cz  d2  0 . Khi đó giá trị của biểu thức b  c  d1  d 2 thuộc khoảng nào sau đây? A.  0; 21 . B.  11;0  . C.  29; 18  . D.  20; 11 . Câu 26. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  đường kính AB , với điểm A  2;1;3 và B  6;5;5  . Xét khối trụ T  có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu  S  và có trục nằm trên đường thẳng AB . Khi T  có thể tích lớn nhất thì hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của T  có phương trình dạng 2 x  by  cz  d1  0 và 2 x  by  cz  d 2  0 ,  d1  d 2  . Có bao nhiêu số nguyên thuộc khoảng  d1 ; d 2  ? A. 15 . B. 11 . C. 17 . D. 13 . Câu 27. Trong không gian tọa độ Oxy , Cho hai điểm A  2;1;3 , B  6;5;5  . Xét khối nón  N  ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh khối nón  N  . Khi thể tích của khối nón  N  nhỏ nhất thì mặt phẳng qua đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của  N  có phương trình 2 x  by  cz  d  0 . Tính T  b  c  d . A. T  12 . B. T  24 . C. T  36 . D. T  18 . Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  2 z  16  0 và mặt cầu ( S ) : ( x  2)2  ( y  1) 2  ( z  3) 2  21 . Một khối hộp chữ nhật ( H ) có bốn đỉnh nằm trên mặt phẳng ( P ) và bốn đỉnh còn lại nằm trên mặt cầu ( S ) . Khi ( H ) có thể tích lớn nhất, thì mặt phẳng chứa bốn đỉnh của ( H ) nằm trên mặt cầu ( S ) là (Q ) : 2 x  by  cz  d  0 . Giá trị b  c  d bằng A. 15 . B. 13 . C. 14 . D. 7 . Câu 29. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba mặt phẳng ( P ) : x  y  z  5  0 ; (Q ) : x  y  z  1  0 và ( R ) : x  y  z  2  0 . Ứng với mỗi cặp điểm A, B lần lượt thuộc hai mặt phẳng ( P ), (Q ) thì mặt cầu đường kinh AB luôn cắt mặt phẳng ( R ) theo một đường tròn. Tìm bán kính nhỏ nhất của đường tròn đó. 1 A. . 3 2 B. . 3 C. 1. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 1 D. . 2 Câu 30. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z  0 và điểm M (0;1; 0) . Mặt phẳng ( P ) đi qua M và cắt ( S ) theo đường tròn (C ) có chu vi nhỏ nhất. Gọi N  x0 ; y0 ; z0  là điểm thuộc đường tròn (C ) sao cho ON  6 . Tính y0 . A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 31. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A  1; 2; 4  , B  1;  2; 2  và mặt phẳng  P  : z  1  0 . Điểm M  a; b; c  thuộc mặt phẳng  P  sao cho tam giác MAB vuông tại M và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính a 3  b3  c 3 . A. 1 . B. 10 . C. 1. D. 0 . 2 2 2 Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  2022 . Hỏi có bao nhiêu điểm M  a; b; c  , a  b  c  0 thuộc mặt cầu  S  sao cho tiếp diện của  S  tại M cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C có thể tích tứ diện OABC là nhỏ nhất. A. 4 . B. 8 . C. 1 . D. 2 . Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(2;1;3), B (6;5;5) . Xét khối nón ( N ) ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB có B là tâm đường tròn đáy khối nón. Gọi S là đỉnh khối nón ( N ) . Khi thể tích của khối nón ( N ) nhỏ nhất thì mặt phẳng qud đỉnh S và song song với mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( N ) có phương trình 2 x  by  cz  d  0 . Tính T  b  c  d ? A. T  24 . B. T  12 . C. T  36 . D. T  18 . Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4  , B  0;0;1 và mặt cầu 2 2  S  : x  1   y  1  z 2  4 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  3  0 đi qua A, B và cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính a  b  c . 27 33 3 31 A. T  . B. T  . C. T   . D. T  . 4 5 4 5 2 2 2 Câu 35. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  1 . Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  6  0 . Từ điểm M kẻ được ba tiếp tuyến MA, MB , MC đến mặt cầu  S  , trong đó A, B , C là các tiếp điểm. Khi M di động trên mặt phẳng  P  . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 3 3 1 3 A. . . B. C. . D. . 4 4 2 2 Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) : x  2 y  z  7  0 và đi qua hai điểm A(1; 2;1), B (2;5;3) . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ( S ) bằng: 470 A. . 3 546 B. . 3 763 C. . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 345 D. . 3 Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) : x  2 y  z  7  0 và đi qua hai điểm A(1; 2;1), B (2;5;3) . Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu ( S ) bằng 470 A. . 3 546 B. . 3 763 C. . 3 345 D. . 3 Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho hai điểm A (  1; 2; 4 ), B (  1;  2 ; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : z  1  0 . Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính a 3  b 3  c 3 . A. 1 . B. 10 . C. 1. D. 0. Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A( 2; 1; 2), B (2; 1; 4) . Và mặt phẳng ( P ) : z  1  0 . Điểm M ( a; b; c ) thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích lớn nhất. Tính T  2 a  3b  c : A. 0. B. 3. C. 6. D. 2. Câu 40. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(0;0; 3) và điểm B thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao 3 cho diện tích tam giác OAB bằng . Gọi C là điểm trên tia Oz thỏa mãn d[C, AB]  d[C, OB]  k . Thể 2 tích của khối tròn xoay tạo bởi tập hợp tất cả các điểm M mà CM  k thuộc khoảng nào dưới đây? A. (0, 2;0,7) . B. (1, 2;1,7) . C. (1,7;2, 2) . D. (0,7;1, 2) . Câu 41. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;1; 0), B (3; 1; 4) và mặt phẳng ( P ) : x  y  z  1  0 . Gọi M là điểm nằm trên ( P ) sao cho | MA  MB | đạt giá trị lớn nhất. Hoành độ điểm M là 3 A. . 2 1 B.  . 2 3 C. . 4 5 D. . 4 Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  6 x  4 y  2 z  11  0 và điểm M (0; 2;1) . Gọi d1 , d2 , d3 là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm M và lần lượt cắt mặt cầu ( S ) tại điểm thứ hai là A, B, C . Thể tích của tứ diện MABC đạt giá trị lớn nhất bằng? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 50 3 A. . 9 1000 3 B. . 27 100 3 C. . 9 500 3 D. . 27 Câu 43. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  1) 2  ( y  2) 2  ( z  3) 2  27 , Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(0; 0; 4), B (2; 0; 0) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) sao cho khối nón đỉnh là tâm của ( S ) và đáy là (C ) có thể tích lớn nhất. Biết phương trình của ( ) có dạng ax  by  z  c  0, (a, b, c   ) . Giá trị của a  b  c bằng A. 4 . B. 0 . C. 8 . D. 2 . Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(4; 4; 0) và B (3;6;0) . Xét điểm S thay đổi thuộc trục Oz . Gọi G là trọng tâm tam giác SOB , H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng AG . Biết rằng khi S thay đổi thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó thuộc khoảng nào dưới đây?  3 A. 1;   2 3  B.  ; 2  . 2  5  C.  ;3  2   5 D.  2;  .  2 Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(6; 6; 0), B (6; 0; 6), C (0; 6; 6) . Mặt phẳng ( P ) đi qua gốc tọa độ O , vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) sao cho ( P ) cắt các đoạn AB , AC tại các điểm M , N thỏa mãn thể tích tứ diện OAMN nhỏ nhất. Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm nào sau đây? A. F (1; 1;3) B. D (1;3; 2) C. H (1; 3; 4) D. E (1;5; 3) Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x  3) 2  ( y  2) 2  ( z  2) 2  27 . Gọi mặt phẳng ( P ) : ax  by  2 z  c  0 đi qua hai điểm A(0; 0; 2), B ( 4; 0; 0) và cắt ( S ) theo giao tuyến là đường tròn (C ) sao cho khối nón đỉnh là tâm của ( S ) và đáy là (C ) có thể tích lớn nhất. Khi đó a 2  b 2  c 2 bằng A. 49 . B. 33 . C. 21. D. 18 . 1  Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;0;0), M  ;1;1 . Mặt phẳng ( P) thay đổi qua AM 2  cắt các tia Oy; Oz lần lượt tại B, C . Khi mặt phẳng ( P) thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bao nhiêu? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 16 8 34 8 17 A. . B. . C. . D. 4 6 . 3 9 3 Câu 48. Trong không gian Oxyz , xét khối chóp K  ABCD có ABCD là hình vuông diện tích lớn hơn 1. KA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) và góc tạo bởi KB với mặt phẳng ( ABCD) bằng 45 . Biết rằng A(0;1;1) còn ba điểm K , B, D cùng thuộc mặt cầu ( S ) : x 2  ( y  1) 2  ( z  1) 2  3 . Thể tích khối chóp K  ABCD là 3 2 A. . B. 3 . C. 2 . D. . 2 2 Câu 49. Trong không gian Oxyz , cho A(0; 0;1), B (0;0;9) và điểm Q(3; 4;6) . Xét các điểm M sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MQ thuộc khoảng nào dưới đây? A. (2;3) . B. (4;5) . C. (1; 2) . D. (3; 4) . Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; 4), B(1; 2; 2) và mặt phẳng ( P ) : z  1  0 . Điểm M (a; b; c)  ( P ) sao cho tam giác MAB vuông tại M và diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. Tính a 3  b3  c3 . A. 0. B. 1 . C. 10. D. 1.     Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD  A B C D có A(0;0;0) , B(3;0;0), D(0;3;0), A (0;0;3) . Mặt cầu ( S ) có phương trình dạng x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 , tiếp xúc với hai đường thẳng B D và BC  . Khi thể tích khối cầu ( S ) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của d bằng? 31 A. . B. 31. C. 14. D. 7. 2 Câu 52. Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(4;1; 2), B (1; 4; 2), C (1;1;5) và đường tròn (C ) là giao tuyến của mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  4 z  3  0 và mặt phẳng ( P) : x  y  z  7  0 . Biết rằng có 3 điểm M thuộc (C ) sao cho MA  MB  MC lớn nhất. Tổng các hoành độ của 3 điểm M này bằng A. 3 2 . B. 6. C. 0. D. 3. Câu 53. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) đi qua điểm A(0;1; 2) và song song với mặt phẳng (Oxy ) . Gọi B, C lần lượt là hình chiếu của A lên trục Oy, Oz; E là trung điểm của đoạn AB và I là điểm di động trên cạnh OC . Tam giác đều ACD nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời điểm D có hoành độ dương. Khi diện tích tam giác DEI đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính độ dài đoạn thẳng EI . 15 13 5 A. . B. 2 . C. . D. . 4 2 2 Câu 54. Trong không gian Oxyz , cho A  0; 0;10  , B  3; 4; 6  . Xét các điểm M thay đổi sao cho tam giác OAM không có góc tù và có diện tích bằng 15. Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MB thuộc khoảng nào dưới đây? A.  4;5  . B.  3; 4  . C.  2;3 . D.  6; 7  . THẦY, CÔ GIÁO CẦN MUA FILE WORD THÌ LIÊN HỆ Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong SĐT: 0946.798.489 hoặc zalo 0946.798.489 Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
VẤN ĐỀ 32. CỰC TRỊ SỐ PHỨC (ĐỀ MINH HỌA 2024) Trong không gian Oxyz , cho hình nón (  ) có đỉnh A(2;3;0) , độ dài đường sinh bằng 5 và đường tròn đáy nằm trên mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  1  0 . Gọi (C ) là giao tuyến của mặt xung quanh của (  ) với mặt phẳng (Q) : x  4 y  z  4  0 và M là một điểm di động trên (C ) . Hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AM thuộc khoảng nào dưới đây? 3   3 A.  ; 2  . B. (0;1) . C.  1;  . D. (2;3) . 2   2 Lời giải Chọn A Gọi l , h, r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính của hình nón. Theo đề bài ta có l  5 và h  d ( A,( P))  2 . Suy ra r  l 2  h 2  21 .    nP  (2;1; 2)      Mặt khác     nP  nQ  0  ( P )  (Q ) .  nQ  (1; 4;1)  Khi đó giao tuyến (C ) là một parabol có đỉnh H (như hình vẽ). Gọi E là hình chiếu vuông góc của A lên (Q) . Và d ( A, (Q ))  AE  2(  IK ) do IA / /(Q) . Ta có: AM  AE 2  EM 2  2  EM 2 Đồng thời EM  EH . Do đó AM min  AM  AH hay M  H . AH IK 2 5 42 3  Vì IA / / HK   ( Thales )  AH  5   1,54   ; 2  . AB IB 21 21 2  3  Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AM thuộc khoảng  ; 2  . 2  Trang 1
CÂU HỎI PHÁT TRIỂN Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 2; 6  , B  0;1; 0  và mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  2   z  3  25 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c A. T  3 B. T  4 C. T  5 D. T  2 Lời giải Chọn A Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2; 3  và bán kính R  5  A   P   3 a  2 b  6c  2  0   a  2  2c Ta có    B   P   b  2  0 b  2 2 2 Bán kính của đường tròn giao tuyến là r  R2   d I ;  P    25   d I ;  P           Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi d I ;  P  lớn nhất   2 a  2 b  3c  2 2  2c  4  3c  2 c  4  Ta có d I ,  P     2  5c 2  8c  8 a2  b2  c 2  2  2c   2 2  c 2 2 Xét f  c   c  4  f c  48c 2  144c  192 5c 2  8c  8 2 2  c  4  5c 2  8c  8  5c 2  8c  8 c  1 f c  0    c  4 Bảng biến thiên x  4 1  y'  0  0  1 5 y 5 0 1 5   Vậy d I ;  P  lớn nhất bằng 5 khi và chỉ khi c  1  a  0, b  2  a  b  c  3 . Câu 2. Mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1;1;1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A  a;0;0  , B  0; b; 0  , C  0;0;c  sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a  2b  3c bằng A. 12 . B. 21 . C. 15 . D. 18 . Trang 2
Lời giải 1 Từ giả thiết ta có a  0, b  0, c  0 và thể tích khối tứ diện OABC là VOABC  abc . 6 x y z Ta có phương trình đoạn chắn mặt phẳng  P  có dạng    1. a b c 1 1 1 Mà M   P      1. a b c 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số ta có: 1     33  abc  27 . a b c abc 1 9 Do đó VOABC  abc  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  3 . 6 2 9 Vậy m inVOABC   a  b  c  3 . Khi đó a  2b  3c  18 . 2 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A  2;0;0  , M 1;1;1 . Mặt phẳng  P  thay đổi qua AM và cắt các tia Oy , Oz lần lượt tại B , C . Khi mặt phẳng  P  thay đổi thì diện tích tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 5 6 . B. 4 6 . C. 3 6 . D. 2 6 . Lời giải Chọn B Đặt B  0; b ;0  , C  0;0; c  với b, c  0 . x y z Phương trình của mặt phẳng  P  là    1. 2 b c 1 1 1 1 1 1 M  P     1    . 2 b c b c 2 Suy ra 1 1 1 2     bc  16 . 2 b c bc 1   1 2 2  2 2 S ABC   AB; AC     2 b c  4b  4c 2 1 2 2  b c  8bc 2 1  162  8.16  4 6 . 2 Vậy min S ABC  4 6 , đạt được khi b  c  4 . 2 2 2 Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  9 , điểm A  0;0; 2  . Mặt phẳng  P  qua A và cắt mặt cầu  S  theo thiết diện là hình tròn  C  có diện tích nhỏ nhất, phương trình  P  là: Trang 3
A.  P  : x  2 y  3 z  6  0 . B.  P  : x  2 y  3 z  6  0 . C.  P  : 3 x  2 y  2 z  4  0 . D.  P  : x  2 y  z  2  0 . Lời giải Chọn D Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;3  , bán kính R  3 . Ta có IA  6  R  A nằm trong mặt cầu  S  . Do đó mặt phẳng  P  qua A luôn cắt mặt cầu  S  theo thiết diện là hình tròn  C  có bán kính r  R 2  IH 2 (với H là hình chiếu của I 1; 2 ;3  trên  P  ). Ta luôn có IA  IH  R 2  IH 2  R 2  IA2  r  R 2  IA2 . Diện tích của hình tròn  C  nhỏ nhất khi bán kính r nhỏ nhất, tức là r  R 2  IA2  H  A .   Khi đó IA   P   mặt phẳng  P  nhận IA   1;  2;  1 làm một VTPT. Vậy phương trình mặt phẳng  P  :  x  2 y   z  2   0  x  2 y  z  2  0. . 2 2 2 Câu 5. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) :  x  1   y  2    z  3  27 . Gọi   là mặt phẳng đi qua 2 điểm A  0; 0; 4  , B  2; 0; 0  và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  sao cho khối nón có đỉnh là tâm của  S  , là hình tròn  C  có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng   có phương trình dạng ax  by  z  c  0 , khi đó a  b  c bằng: A. 8. B. 0. C. 2. D. -4. Lời giải Chọn D + Vì   qua A ta có: (4)  c  0  c  4 . + Vì   qua B ta có: 2a  c  0  a  2 .    : 2 x  by  z  4  0 . + Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3 , R  3 3 . Trang 4
2  2b  3  4 2b  5 + Chiều cao khối nón: h  d I ,    . 4  b2  1 b2  5 2 2 2  2b  5  +Bán kính đường tròn: r  R  h  27   2  2b  5  .   27  2 2  b 5  b 5 2 1 2 1   2b  5  2b  5 + Thể tích khối nón: V   r h    27  2  3 3  b  5  b2  5  + Tới đây ta có thể Thử các trường hợp đáp án. Hoặc ta làm tự luận như sau: 2b  5 Đặt t  2   và xét hàm số f  t   27  t 2 t trên đoạn 0;3 3  .   b 5 t  3 Ta có: f   t   27  3t 2 ; f   t   0   . Ta có bảng biến thiên: t  3  l  Do đó thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi 2  2b  5  2 2 2 t 3   3  4b  20b  25  9b  45 2  b 5   5b2  20b  20  0  b  2 . Vì vậy a  b  c  4 .  5 3 7 3   5 3 7 3  Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A   2 ; 2 ;3  , B  2 ; 2 ;3  và mặt cầu        (S ) : ( x 1)2  ( y  2)2  ( z  3)2  6 . Xét mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  0 ,  a, b, c, d   : d  5  là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T  a  b  c  d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. A. T  4 . B. T  6 . C. T  2 . D. T  12 . Lời giải Chọn B Trang 5
Mặt cầu ( S ) có tâm I 1; 2;3  , bán kính R  6 . Có IA  IB  6 nên A, B thuộc mặt cầu ( S ) .    5 7    AB   3; 3;0   3 1; 1;0    3 a , M  ; ;3  là trung điểm của AB . 2 2    2 2 2 Gọi a  (1; 1;0) và n  ( a; b; c) với a  b  c  0 là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )  I  ( P) 5 7   a  b  3c  d  0  d  6a  3c Vì A, B  ( P ) nên có     2 2  .  a.n  0  a  b  0 a  b  Gọi h  d  I ,( P)  , (C )  ( P )  ( S ) , r là bán kính đường tròn (C ) . r  R2  h2  6  h2 . Diện tích thiết diện qua trục của hình nón ( N ) . 1 h 2  6  h2 S  .h.2r  h. 6  h2   3. 2 2 max S  3 khi h2  6  h2  h  3 . a  2b  3c  d a  c h  d  I ,( P)   3   a2  c2   . a 2  b2  c2  a  c Nếu a  c thì b  a; d  9 a và ( P ) : ax  ay  az - 9 a  0  x  y  z  9  0 (nhận). Nếu a  c thì b  a; d  3a và ( P ) : ax  ay  az - 3a  0  x  y  z  3  0 (loại). Vây T  a  b  c  d  6 . Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;  1;  1 , B  1;  3;1 . Giả sử C , D là hai điểm di động trên mặt phẳng  P  :2 x  y  2 z  1  0 sao cho CD  4 và A, C , D thẳng hàng. Gọi S1 , S 2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD . Khi đó tổng S1  S2 có giá trị bằng bao nhiêu? 34 37 11 17 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Trang 6
Chọn A   Ta có AB   1;  2; 2  Gọi H là hình chiếu của B trên CD ta có BH  BA nên SBCD lớn nhất khi H  A . 1 1 Vậy S1  BA.CD  .3.4  6 . 2 2 1 1 Gọi H1 là hình chiếu của B trên mặt phẳng  P  khi đó SBCD  BH1.CD  d  B;  P   .CD 2 2 điều này xảy ra khi A, C , D, H1 thẳng hàng. 1 1 2  3  2  1 16 Vậy S2  d  B,  P   .CD  .4  . 2 2 9 3 16 34 Khi đó S1  S2  6   . 3 3 Câu 8. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x  y  2 z  1  0 và các điểm A  0;1;1 ; B 1; 0; 0  ( 2 2 2 A và B nằm trong mặt phẳng  P  ) và mặt cầu  S  :  x  2    y  1   z  2   4 . CD là đường kính thay đổi của  S  sao cho CD song song với mặt phẳng  P  và bốn điểm A, B , C , D tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là A. 2 6 . B. 2 5 . C. 2 2 . D. 2 3 . Lời giải Chọn C  Mặt cầu  S  có tâm I  2; 1; 2  , mặt phẳng  P  có VTPT n  (1; 1; 2) . Gọi điểm C  x; y; z  , ta có C  ( S ) 2 2 2 nên  x  2   y  1   z  2  4 (1). Do CD là đường kính của mặt cầu (S) nên I là trung điểm của CD , suy ra D  4  x;  y  2; 4  z  . Mà theo đề có CD song song với mặt phẳng  P  nên     IC  n  IC. n  0  x  2  ( y  1)  2( z  2)  0 (2).     Ta có: AB  1; 1; 1 ; AC   x; y  1; z  1 ; AD   4  x;  y  3;3  z  .    AC ; AD    2 y  4 z  6; 2 x  4 z  4; 4 x  4 y  4  .       AB  AC ; AD   2 y  4 z  6  (1).  2 x  4 z  4   (1).(4 x  4 y  4)    6 x  6 y  6. 1     Thể tích khối tứ diện ABCD là: V  AB  AC ; AD   x  y  1 .   6 Trang 7
x  2  a a  b  2c  a 2  b 2  c 2  4  Đặt  y  1  b . Từ (1) và (2) ta có hệ:   4  5c 2 z  2  c  a  b  2c  0  ab    2 V  x  y  1  x  2  y  1  a  b  (a  b) 2  4ab  4c 2  2(4  5c 2 )  8  6c 2  2 2. Vậy GTLN của V là 2 2 khi z  2  0    x  2  2; y  1  2; z  2 x  2  y 1  .  2 2 2  x  2  2; y  1  2; z  2   x  2    y  1   z  2   4  Câu 9. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B  2; 0;2  , C  1; 1;0  , D  0;3; 4  . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B, C , D thỏa AB AC AD    4 . Viết phương trình mặt phẳng  BCD  biết tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất? AB AC  AD A. 16 x  40 y  44 z  39  0 B. 16 x  40 y  44 z  39  0 C. 16 x  40 y  44 z  39  0 D. 16 x  40 y  44 z  39  0 Lời giải Chọn C AB AC  AD AB AC AD Đặt x  ,y  ,z  . Ta có    4 . Suy ra AB AC AD AB AC  AD 1 1 1 1 27 4    33  xyz  . Dấu "  " xảy ra khi x  y  z . x y z xyz 64    AB  1; 1;1 ;            AB; AC    3; 1; 4  ; AD   1;2;3 .    AC   2; 2; 1  1    17   Thể tích của tứ diện ABCD là VABCD   AB; AC  . AD  6  6 Lại có VABCD  xyzVABCD  tứ diện ABC D có thể tích nhỏ nhất khi xyz nhỏ nhất 3 Khi và chỉ khi x  y  z   Mặt phẳng mặt phẳng  BCD  song song với mặt phẳng  BCD  4  3   3 3 3   7 1 7 và đi qua điểm B . Vì AB  AB   ;  ;  nên B  ; ;  4 4 4 4 4 4 4    BC   3; 1; 2  ;            BC; BD    4;10; 11   BC D  nhận VTPT là n   4;10; 11    BD   2;3;2   Suy ra phương trình mặt phẳng  BCD  : 16 x  40 y  44 z  39  0 Trang 8
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 4  , B  0;0;1 và mặt cầu 2 2  S  :  x  1   y  1  z 2  4 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  4  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c ? 1 3 A. T  . B. T  . C. T  1 . D. T  2 . 5 4 Lời giải Chọn C Ta có:  S  có tâm I  1;1;0  và bàn kính R  2. a  2b  4c  4  0 a  2b  12 Do A, B   P       P  : 2  b  6  x  by  4 z  4  0. c  4  0 c  4 Gọi r là bán kính của đường tròn là giao tuyến của  P  và  S   r  R 2  d 2  I ,  P   , để r đạt giá trị 3b  8 nhỏ nhất  d  I ,  P   đạt giá trị lớn nhất. Mà d  I ,  P    . 5b2  48b  160 3x  8 32 x  288 Xét hàm số f  x   ; f  x  3 ; f   x   0  x  9. 2 5 x  48 x  160  2 5 x  48 x  160  Bảng xét biến thiên: suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  x  là Dựa vào bảng biến thiên, ta có: x  9  b  9  a  6  T  1. Kết luận: T  1. Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2  0 và hai điểm A 1; 2;3 , B 1; 0;1 . Điểm C  a; b;  2    P  sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính a  b A. 0. B. 3 . C. 1. D. 2. Lời giải C  a; b;  2    P   a  b  2  0  b  a  2  C  a; a  2;  2  .       AB   0;  2;  2  , AC   a  1; a ;  5    AB, AC   10  2a ;  2a  2; 2a  2  .   Trang 9
2 2 1     2a  10   2  2a  2  12a 2  24a  108 S ABC  2  AB, AC     2  2   3 a 2  2a  9  2  3  a  1  24  2 6 với a . Do đó min SABC  2 6 khi a  1 . Khi đó ta có C  1;1; 2   a  b  0 . Câu 12. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1; 2;1 cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc O ) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng  P  đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây? A. N  0; 2; 2  B. M  0; 2;1 C. P  2;0;0  D. Q  2;0; 1 Lời giải Chọn A Gọi  P  cắt các tia Ox, Oy , Oz lần lượt tại các điểm A a ;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0;c   a , b, c  0  x y z Ta có  P  :   1 a b c 1 2 1 Vì M   P  nên ta có   1 a b c 1 2 1 33 2 Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 1      abc  54 a b c 3 abc 1 Thể tích khối chóp VOABC  abc  9 6 Dấu bằng xảy ra khi các số tham gia cô si bằng nhau nghĩa là 1 2 1 a  b  c  1    a  3; b  6; c  3 1  2  1 a b c  x y z Vây pt mặt phẳng  P  :    1  N  0;2;2    P  3 6 3 Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng  P  đi qua điểm M  9;1;1 cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C ( A, B, C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C.. D. 243 . 2 2 6 Lời giải Giả sử A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a , b, c  0 . Trang 10
x y z Mặt phẳng  P  có phương trình ( theo đoạn chắn):   1. a b c 9 1 1 Vì mặt phẳng  P  đi qua điểm M  9;1;1 nên    1. a b c 9 1 1 9 Ta có 1     33  a.b.c  243 . a b c a.b.c 1 243 81 81 VOABC  a.b.c   . Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là . 6 6 2 2 Câu 14. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  3 . Một mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S  và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn OA2  OB 2  OC 2  27 . Diện tích tam giác ABC bằng 3 3 9 3 A. . B. . C. 3 3 . D. 9 3 . 2 2 Lời giải Gọi H  a ; b ; c  là tiếp điểm của mặt phẳng   và mặt cầu  S  . Từ giả thiết ta có a , b , c là 2 các số dương. Mặt khác, H   S  nên a 2  b 2  c 2  3 hay OH  3  OH  3 . (1)  Mặt phẳng   đi qua điểm H và vuông góc với đường thẳng OH nên nhận OH   a ; b ; c  làm véctơ pháp tuyến. Do đó, mặt phẳng   có phương trình là a  x  a   b  y  b   c  z  c   0  ax  by  cz   a 2  b 2  c 2   0  ax  by  cz  3  0 3   3   3 Suy ra: A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  0;0;  . a   b   c 9 9 9 1 1 1 Theo đề: OA2  OB 2  OC 2  27  2  2  2  27  2  2  2  3 (2) a b c a b c 2 2  2 Từ (1) và (2) ta có: a  b  c    a1  b1  c1   9 .  2 2   2 2  2 2 Mặt khác, ta có: a  b  c    a1  b1  c1   9 và dấu "  " xảy ra khi a  b  c  1. Suy ra,  2 2   2 OA.OB.OC 9 OA  OB  OC  3 và VO . ABC   . 6 2 3VO. ABC 9 3 Lúc đó: SABC   . OH 2 Câu 15. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x  y  z  0 và mặt cầu ( S ) : x 2  ( y  1)2  ( z  2) 2  1 . Xét một điểm M thay đổi trên mặt phẳng ( P) . Gọi khối nón ( N ) có đỉnh là Trang 11
điểm M và có đường tròn đáy là tập hợp các tiếp điểm vẽ từ M đến mặt cầu ( S ) . Khi ( N ) có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của ( N ) có phương trình dạng x  ay  bz  c  0 . Tính a  b  c A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B  Cắt bởi mặt phẳng đi qua tâm I (0;1; 2) và điểm M ta được thiết diện như sau: M B H A I AB R  HA  Khi đó ( N ) có bán kính đáy là 2 và đường cao h  MH Dễ thấy khi M càng gần I thì ( N ) có R; h càng nhỏ hay thể tích nhỏ nhất khi IM ngắn nhất, tức là M là hình chiếu vuông góc của I lên ( P) AxI  ByI  Cz I  D 1.0  1.1  1.2  0  Có t   2 2 2   1 và điểm M có tọa độ A  B C 12  12  12  xM  xI  At  0  1  1   yM  yI  Bt  1  1  0  z  z  Ct  2  1  1  M I M (1;0;1) hay 1 3 1 0 1 2 IH .IM  IA2  12  IH    IM Mặt khác, có IM  d ( I , ( P )   3 và 3 3 3 111  1    1 2 5 IH  IM H ( ; ; ) Suy ra 3 và 3 3 3   Mặt phẳng đáy đi qua H và có VTPT IM  ( 1; 1; 1)  (1;1;1) nên có phương trình 1 2 5 1( x  )  1( y  )  1( z  )  0 x y z 2  0 3 3 3 hay . Suy ra a  b  c  1  1  2  0 Câu 16. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(4;1;5), B(6; 1;1) và mặt phẳng ( P) : x  y  z  1  0 . Xét mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A, B và có tâm thuộc ( P) . Bán kính mặt cầu ( S ) nhỏ nhất bằng A. 35 . B. 33 . C. 6 . D. 5 . Lời giải Chọn A Trang 12