Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 21: Cực trị số phức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 21: Cực trị số phức" dành cho học sinh lớp 12 ôn luyện các bài toán về cực trị trong tập số phức. Nội dung tài liệu cung cấp lý thuyết về cực trị của hàm số trong miền số phức, các bài tập minh họa và lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo các bài tập để rèn luyện kỹ năng tìm cực trị trong các bài toán số phức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng ôn tập, ôn thi THPTQG môn Toán 2024 – Vấn đề 21: Cực trị số phức

TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Điện thoại: 0946798489 Xây dựng và phát triển dựa theo câu hỏi ở đề minh họa 2024 VẤN ĐỀ 21. CỰC TRỊ SỐ PHỨC (ĐỀ MINH HỌA 2024) Xét các số phức z , w thỏa mãn | z  w | 2 | z | 2 và số phức z  w có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của P | z  w  1  2i | thuộc khoảng nào dưới đây? A. (4;5) . B. (3; 4) . C. (5;6) . D. (6;7) . CÂU HỎI PHÁT TRIỂN Câu 1. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi  a, b    thỏa mãn z  z  z  z  6 và ab  0. Xét z1 z1  z2 và z 2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  3i  z2 bằng 1  i A. 3 2. B. 3. C. 3 5. D. 3  3 2. Câu 2. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi  a , b    thỏa mãn z  z  z  z  4 và a.b  0 . Xét z1 , z 2 z1  z2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z 2  2i bằng 1 i A. 2 2 . B. 2 . C. 2 5 . D. 2  2 2 Câu 3. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi a, b  R thỏa mãn z  z  z  z  2 và ab  0 . Xét z1  z2 z1 và z 2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2  i bằng 1  i A. 5. B. 1  2 . C. 1 . D. 2. Câu 4. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi (a , b  R ) thỏa mãn z  z  z  z  8 và ab  0 . Xét z1 và z1  z2 z 2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  4i  z2 bằng: 1 i A. 4 . B. 4 2 . C. 4 5 . D. 4  4 2 Câu 5. Xét các số phức z thỏa mãn z 2  3  4i  2 z . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị của M 2  m 2 bằng A. 28 . B. 18  4 6 . C. 14 . D. 11  4 6 . Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z 2  2iz  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P | iz  1| bằng A. 2. B. 3 . C. 3. D. 2 . Câu 7. Cho số phức z có phần ảo dương thoả mãn | z | 1 và biểu thức P |1  z | 2 |1  z | đạt giá trị 3 6 lớn nhất. Giá trị của biểu thức Q  z   i bằng 5 5 A. 0. B. 2. 3 5 C. . 5 6 D. . 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 8. Xét số phức z thỏa mãn | z  2  2i | 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i  z  5  2i bằng A. 17 . B. 1  10 . C. 5. D. 4. Câu 9. Cho các số phức u; v; w thỏa mãn các điều kiện | u  4  2i | 2;| 3v  1  i || 2v  1  i | và | w || w  2  2i | . Tìm | w | khi S | u  w |  | v  w | đạt giá trị nhỏ nhất. 13 A. | w | . 2 10 B. | w | . 2 17 C. | w | . 2 5 D. | w | . 2 Câu 10. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  2i  1 và z2  2  i  1. Xét các số phức z  a  bi(a, b ) thỏa mãn 2 a  b  0 . Khi biểu thức T  z  z1  z  2 z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức P  3a 2  b3 bằng A. 9 B. 11. C.  5 . D. 5. Câu 11. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  3i  2 và z2  4  2i  z2  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2  z2  3  2i  z2  3  i bằng A. 3 5  2 2  2 . B. 3 5  2 2  2 . C. 3 5  2  2 . D. 3 5  2  2 . Câu 12. Xét các số phức z, w thỏa mãn | z | 3 , | iw  1  5i | 4 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  9 bằng A. 3(5  15) . B. 2( 5  2) . C. 3 . D. 4. Câu 13. Cho s là tập hợp tất cả các số phức w  2 z  5  i sao cho các số phức z thỏa mãn ( z  3  i)( z  3  i)  36 . Xét các số phức w1 , w2  S thỏa mãn w1  w2  2 . Giá trị lớn nhất của 2 2 P  w1  5i  w2  5i bằng? A. 4 37 . B. 5 17 . C. 7 13 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 D. 20. z  4  3i Câu 14. Cho z  x  yi ( x, y   ) là số phức thỏa mãn điều kiện | z  3  2i | 5 và  1 . Gọi z  3  2i M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  x 2  y 2  8 x  4 y . Giá trị của tổng M  m bằng A. 2 . B. 4 . C. 18 . D. 20 . Câu 15. Cho hai số phức z và w thỏa mãn z  2 w  8  6i và | z  w | 4 . Giá trị lớn nhất của biểu thức | z |  | w | thuộc khoảng nào sau đây: A. (3;5) B. (1; 4) C. (8;10) D. (9;12) 3 Câu 16. Cho hai số phức z, w thỏa mãn | w  i | và 10 w  (3  i )( z  3) . Giá trị nhỏ nhất của biểu 10 thức P | z  2  i |  | z  6  i | bằng A. 3  10 . B. 2 58 . C. 3 10 . D. 2 53 Câu 17. Xét các số phức z thỏa mãn | z  2  3i | 1 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P | z  1  i | lần lượt là A. 13  2 và 13  2 . B. 13  3 và 13  3 . C. 13  1 và 13  1 . B. 6 và 4. Lời giải Chọn C Gọi z  x  yi với x, y   . Ta có | z  2  3i | 1 | x  yi  2  3i | 1  ( x  2) 2  ( y  3) 2  1  ( x  2) 2  (3  y ) 2  1 | x  yi  2  3i | 1 | z  2  3i | 1 Ta có P | z  1  i || ( z  2  3i )  3  2i | Với các số phức z1 , z2 tùy ý, ta có: z  0 - z1  z2  z1  z2  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 (1)  z1  0, k  , k  0, z2  kz1 z  0 • z1  z 2  z1  z2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  1 (2)  z1  0, k  , k  0, z2  kz1 Do đó | 3  2i |  | ( z  2  3i ) | P | 3  2i |  | ( z  2  3i ) | 13  1  P  13  1 26  3 13 39  2 13 Khi z   i thì P  13  1 . 13 13 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 26  3 13 39  2 13 Khi z   i thì P  13  1. 13 13 Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P | z  1  i | lần lượt là 13  1 và 13  1 Câu 18. Gọi s là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện z  z  | z  z | . Xét các số phức z1, z2 S sao cho z1  z2  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  3i  z 2  3i bằng? A. 2. B. 20  8 3 . C. 2 3. D. 1  3 . Câu 19. Xét các số phức z thỏa mãn | z  3  i | 2 | z  2 i | . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z | . Giá trị của M  m bằng A. 2 10 . B. 10 . C. 4 2. D. 2 2. Câu 20. Xét các số phức z thỏa mãn | z  i | 2 . Biết rằng biểu thức P  | z  3i |  2 | z  5  i | đạt giá trị nhỏ nhất khi z  x  yi ( x , y   ) . Khi đó, giá trị của hiệu x  y bằng 2  2 79 A. . 13 2  2 79 B. . 13 2  2 79 C. . 13 2  2 79 D. . 13 z  4  3i Câu 21. Cho số phức z  x  yi ( x, y   ) thỏa mãn | z  3  2i | 5 và  1 . Gọi M , m lần lượt là z  3  2i giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2  y 2  8 x  4 y  7 . Khi đó M  m bằng A. 32. B. 36. C. 10 D. 4. Câu 22. Có bao nhiêu số thực a để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn m a x { | z  1 |; | z  i |}  a A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 23. Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức w  z  3i  1 là số thuần ảo. Xét các số z 3i 2 2 phức z1, z2 S thỏa mãn z1  z 2  2 , giá trị lớn nhất của P  z1  3i  z 2  3i bằng A. 10. B. 20. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 C. 2 26 . D. 4 26 . w Câu 24. Cho các số phức z, w thỏa mãn | w  3  i | 3 2 và  1  i . Giá trị lớn nhất của biểu thức z2 P | z  1  2i |  | z  5  2i | bằng A. 52  55 . B. 3  134 . C. 2 9 . 2 D. 2 53 . Câu 25. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2 bằng A. 3 2  2 . B. 2 2  2 . C. 3 2 1. D. 2 2 1 Câu 26. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A(1;1), B (1; 2), C (3; 1) lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 . Giả sử số phức z  a  bi ( với a, b   ) thỏa mãn | z  46  40i | 929 và 2 2 2 P  3 z  z1  5 z  z2  7 z  z3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T  a  b A. T  43 . B. T  3 . C. T  3. D. T   43 . Câu 27. Xét các số phức z, w thỏa mãn | z  1|| z  i | và | w  4i | 1 . Giá trị nhỏ nhất của | z  w | bằng A. 2 2 1. B. 2. C. 3. D. 2 2 1. Câu 28. Xét các số phức z, w, u thỏa mãn | z | 1,| w | 2 , | u | 3 và | z  w  u || u  z  w | . Giá trị lớn nhất của | z  u | bằng A. 10 . B. 2 3 . C. 14 . D. 4. Câu 29. Xét các số phức z và w thỏa mãn z  w  1, z  w  2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4  w P  w   2 1   i thuộc khoảng nào? z  z A.  3; 4  . B.  2;3  . C.  4;5 . D.  7;8  . Câu 30. Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn | z  2  i | 5;| z  2  mi || z  m  i |, ( m   ) . Giá trị nhỏ nhất của P  z1  z2 thuộc đoạn nào sau đây? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 A. [4;5] . B. [8;9] . C. [5; 6] D. [6; 7] . Câu 31. Xét hai số phức z , w thỏa mãn | z  w | 2 và | z  4  4i |  | w | 3 2 . Biết biểu thức P | w  1  2i | đạt giá trị lớn nhất khi w  w0 , giá trị w0  2  i bằng A. 41 . B. 10 . C. 5. D. 17 . Câu 32. Xét các số phức thỏa mãn z 2  6 z  i (3  5i )  4 | z  3 | . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z  3 | . Giá trị của biểu thức 3M 2  4 m 2 bằng A. 71. B. 79. C. 11. D. 19. Câu 33. Cho số phức z thỏa mãn | z  2  2i |  | z  4  2i | 6 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T | z  1  4i |  | z  2  i | bằng? A. 34 . B. 3 5 . C. 29  2 5 . D. 16 2  5 . Câu 34. Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  z2  i  1 và 3z1  z2  10 . Khi đó P  4 z2  5  3i đạt giá trị nhỏ nhất thì z1  2 z2 bằng 57 A. . 4 55 B. . 4 58 C. . 4 14 D. . 2 Câu 35. Xét các số phức z và w thỏa mãn | z || w | 5 và | z  w | 10 . Giá tri nhỏ nhất của biểu thức T  z  1  i  w  4  6 i bằng A. 74 . B. 34 . C. 5  52 . D. 5  52 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 1  z2 Câu 36. Cho các số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1  2  i  z1  1  2i và là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ 1 i nhất của biếu thức P  z1  z2  z1  5  5i  z2  5  5i . A. Pmin  58 . B. Pmin  8 . C. Pmin  2 14 . D. Pmin  57 . Câu 37. Xét ba số phức z1 , z2 , w thỏa mãn w7 i  z1  1  i  i1  iz1  2  2i  là số thực, z2  z2  2  2i , là một số thực dương và z2  7  i 12 | w  7  i | . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  w thuộc khoảng nào sau đây? z2  7  i A. (2;3) . B. (3; 4) . C. (4;5) . D. (5; 6) . z2  i Câu 38. Cho các số phức z thỏa mãn z1  2  i  z1  1  2i và là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất 1 i của biểu thức P  z1  z2  z1  1  7i  z2  1  7i A. Pmin  158 . B. Pmin  8 3 . C. Pmin  194 . D. Pmin  190 . Câu 39. Cho số thực a  0 và các số phức z thoả mãn | z  6  8i | a . Gọi M , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của | z | . Có bao nhiêu số nguyên a để M  3m ? A. 4. B. Vô số. C. 3. D. 12. Câu 40. Trong mặt phẳng Oxy , gọi M là điểm biểu diễn của số phức z có mô đun nhỏ nhất và thỏa mãn | z  3  i |  | z  6i | 58 . Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng OM và đồ thị hàm số x y 3 bằng 7 7 A. . 2 9 B. . 2 4 C. . 3 5 D. . 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 41. Xét các số phức z , w thỏa mãn | z | 2,| (i  1) w  3  7i | 2 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  4 bằng A. 8 . B. 2( 29  3) . C. 2( 29  1) . D. 4 . Câu 42. Cho số phức z thỏa mãn | z  1  i | 2 . Biết biểu thức P | z  1  2i |2  | z  2  i |2 đạt giá tri lớn nhất, nhỏ nhất lần lượt tại z  z1 và z  z2 . Giá trị của 2z1  z 2 bằng A. 3 2 B. 2 2 C. 2 D. 4 2 Câu 43. Xét các số phức thỏa mãn | z  2  4i |  | z  3  i | 5 2 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P | z  i |  | z  3  3i | có dạng a  b ; a, b  . Giá trị của biểu thức a  b bằng A. 7 . B. 9 . C. 5 . D. 3 . Câu 44. Gọi S là tập hợp tất cà các số phức thỏa mãn | z  1  i | 4 . Xét các số phức z1, z2  S thỏa mãn z1  z 2  6 , giá trị lớn nhất của z1  2 z 2 thuộc khoảng nào dưới đây? A. (10;11) . B. (12;13) . C. (11;12) . D. (13;14) . Câu 45. Cho số phức z thỏa mãn | 4 z  3i || 4 z  4  5i | . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P | z  i |  | z  3i | . A. min P  5 2 . B. min P  5 . C. min P  2 2 . D. min P  2 5 . Câu 46. Xét các số phức z thỏa mãn 2 z 2  6  8i  3 | z | . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giả trị nhỏ nhất của | z | . Giá trị của P  M 2  m2 bằng 7 A. . 2 49 B. . 2 49 C. . 4 D. 7 . Câu 47. Cho số phức z thỏa mãn | z  6 13i |  | z  3  7i | 3 13 và (12  5i )( z  2  i ) 2 là số thực âm. Giá trị của | z | bằng A. 145 . B. 145 . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 C. 3 D. 9 . Câu 48. Cho z1 và z 2 là các số phức thỏa mãn z1  5  i  3 và z2  2  3i  z2  1  i . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z1  z2 . Giá trị của 7 M  3m bằng A. 11. B. 33. C. 45. D. 21. Câu 49. Xét hai số phức z1 , z 2 thay đổi đồng thời thỏa mãn các điều kiện z1  6  2i  z2  6  2i  5 và 2 2 2 z1  3  z2  3  z1  z2 . Đặt P  z1  z2  3 , giá trị nhỏ nhất của P thuộc khoảng nào sau đây? A. (4; 7) . B. (2;3) . C. (0; 2) . D. (3; 4) . Câu 50. Cho hai số phức z  a  3i và w  b  i với a , b   thỏa mãn | z  w | 2 | z 1| 2 | w  1| . Môđun của số phức z  w gần nhất với số nào dưới đây? A. 5. B. 7. C. 4. D. 6. z  2  3i Câu 51. Gọi S là tập các số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. z1 , z2 là hai số phức thuộc S thỏa z  4  5i mãn z1  z2  2 . Giá trị nhỏ nhất của 3z1  z2  5  6i bằng A. 4 7  5 . B. 4 7  3 . C. 3 5  2 . D. 3 5  4 . Câu 52. Xét số phức z thỏa mãn 3 | z  3i | z 2  3iz  z 2  9 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z  1  5i | . Khi đó, tổng M 2  m 2 bằng A. 71 . B. 91 . C. 70 . D. 90 . Câu 53. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2  i  z1  4  7i  6 2 và iz2  1  2i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z1  z2 . A. 3 2 2. B. 2 2 2. C. 3 2 1 . D. 2 2 1. Câu 54. Xét các số phức z1 và z2 thỏa mãn z1  z2  1, z1  z2  2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  3i  z1  z2   9  z1 z2 . Tổng M  m thuộc khoảng nào dưới đây? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 A. (17;19) . B. (20; 22) . C. (16;18) . D. (19; 21) . 8  6i Câu 55. Cho z  là một nghiệm phức của phương trình az 2  bz  c  0 , trong đó a , b, c lả các số 5  5i nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F  a  b  c bằng A. 14 . B. 16 . C. 15.. D. 17 . Câu 56. Cho số phức z thỏa mãn | z  z | 2 | z  z | 8 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P | z  2 |2  | z  i |2 . Môđun của số phức w  M  mi là A. 521 . B. 530 . C. 542 . D. 523 . Câu 57. Xét các số phức z  x  yi, ( x, y   ) thoả mãn 4( z  z )  15i  i ( z  z  1) 2 . Tính tổng 1 S  8( x  y ) khi z   3i đạt giá trị nhỏ nhất. 2 A. 8 . B. 19 . C. 14 . D. 16 . Câu 58. Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn các điều kiện z1  2, z2  3, z1  z2  5 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  3z1  z2  10  5i bằng A. 2 3 . B. 3. C. 5. D. 2 5 . Câu 59. Cho số phức z thỏa mãn | z  1| 1 . Gọi giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức (1  i) z  i  2 P lần lượt là M và m . Tổng giá trị cùa M 2  m2 bằng: z 1 A. 4. B. 6. C. 8  4 3 . D. 2. Câu 60. Xét hai số phức z và w có | z || w | 2 đồng thời ( z  1  i )( w  1  i ) là số thực. Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của | z  w | . Giá trị của biểu thức m 2  M 2 bằng? A. 28. B. 24. C. 18. D. 20. Câu 61. Cho số phức z thõa mãn | z | 2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P | z  2 |  z 2  z  4 . Giá trị của M  m bẳng? 41  40 41  40 41  4 10 41  10 A. . B. . C. . D. . 10 10 4 4 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TỔNG ÔN TẬP - ÔN THI THPTQG 2024 Câu 62. Cho các số phức z, z1 và z2 thỏa mãn | z  2  2i || z |, z1  1  i  1 và z2  2  i  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3 z1  z  2 z2 bằng A. 3 10  5 . B. 26  2 . C. 3 5  2 . D. 26  5 . Câu 63. Trong tập hợp số phức, cho các số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  2, iz2  2  5i  1 . Giá trị nhỏ nhất của z12  z1 z2  4 bằng A. 2( 29  3) . B. 4. C. 8. D. 2( 29  5) . Câu 64. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  2 và z1  z2  3 . Giá trị lớn nhất của 3 z1  z2  5i bằng A. 5  19 . B. 5  19 . C. 5  19 . D. 5  19 . Câu 65. Biết số phức z thỏa mãn | z  3  4i | 5 và biểu thức T | z  2 |2  | z  i |2 đạt giá trị lớn nhất. Tính | z | . A. | z | 33 . B. | z | 50 . C. | z | 5 2 . D. | z | 10 . Câu 66. Tìm tất cả giá trị của số thực m sao cho có ít nhất một số phức z thỏa mãn | z | m và | z  z |  | z  z | z 2 . A. 2  m  2 2 . B. 2  m  1  2 . C. 2  m  5 . D. 5  1  m  2  2 . Câu 67. Cho số phức z  x  yi ( x, y  ) , và biểu thức P | z  1  i |  | z  1  i |  | z  2  2i | có giá trị nhỏ nhất là P . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 A. 2  P0  4 . B. 0  P0  2 . C. P  6 . 0 D. 4  P0  6 . Câu 68. Xét các số phức z thoả z 2  6 z  5  3i  4 | z  3 | . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z  3 | . Giá trị của 3M  2m bằng. A. 73. B. 17. C. 30. D. 13. 3 5 Câu 69. Cho hai số phức z , w thỏa mãn | w  i | và 5w  (2  i)( z  4) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 5 thức P | z  1  2i |  | z  5  2i | . A. 2 53 . B. 6 7 . C. 4 13 . D. 4  2 13 . Câu 70. Xét các số phức z , w thỏa mãn | z  1|| w  1| 2 và | z  w || z  w | . Giá trị nhỏ nhất của T | z  w  2  3i | bằng? A. 1. B. 5  7 . C. 3 2  7 . D. 7 2. THẦY, CÔ GIÁO CẦN MUA FILE WORD THÌ LIÊN HỆ Fanpage: Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Hoặc Facebook: Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong SĐT: 0946.798.489 hoặc zalo 0946.798.489 Tải nhiều tài liệu hơn tại: https://www.nbv.edu.vn/ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
VẤN ĐỀ 21. CỰC TRỊ SỐ PHỨC (ĐỀ MINH HỌA 2024) Xét các số phức z, w thỏa mãn | z  w | 2 | z | 2 và số phức z  w có phần thực bằng 1. Giá trị lớn nhất của P | z  w  1  2i | thuộc khoảng nào dưới đây? A. (4;5) . B. (3; 4) . C. (5;6) . D. (6;7) . Lời giải Chọn C Đặt z  w  1  bi , suy ra z  w  z  w  1  bi  1  bi nên z  w  z  w  2 . Ta có: | z  w | 2  4 | z  w |2  ( z  w)( z  w)  ( z  w)( z  w)  z  z  w  w  ( z  w  z  w) | z |2  | w |2 ( z  w  z  w)  1 | w |2 2 | w |2 1 | w | 5 | z  w |2  ( z  w)  ( z  w)  ( z  w)  ( z  w) | z |2  | w |2 ( z  w  z  w)  1  5  2  8 | z  w | 2 2 Khi đó: P | z  w  1  2i || ( z  w)  ( 1  2i ) || z  w |  | 1  2i | 2 2  5 . CÂU HỎI PHÁT TRIỂN Câu 1. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z  z  z  z  6 và ab  0. Xét z1  z2 z1 và z 2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  3i  z2 bằng 1  i A. 3 2. B. 3. C. 3 5. D. 3  3 2. Lời giải Với z  a  bi  z  a  bi . Ta có z  z  z  z  6  2a  2bi  6  a  b  3. Mà ab  0 nên M  a; b  biểu diễn số phức z  a  bi thuộc cạnh AD, BC của hình vuông ABCD tâm O cạnh 3 2, với A  0;3 , B  3;0  , C  0; 3 , D  3;0  . Giả sử M , N lần lượt biểu diễn số phức z1 và z 2 . 1
z1  z2    Ta có  k  k  0   z1  z2  k  1  i   NM  kOI ; với I  1;1 . 1  i       Có: OI  hBA  h  0  NM  k .h.BA; kh  0.     Suy ra N thuộc cạnh BC , M thuộc cạnh AD và NM  BA. Ta có z1  3i  z2  MC  ON  MC  ME  EC. (Với E là đỉnh của hình bình hành MNOE )       Trong đó OE  NM  BA   3;3  E  3;3 . Suy ra EC  3 5. Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  3i  z2 bằng 3 5. Câu 2. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi  a , b    thỏa mãn z  z  z  z  4 và a.b  0 . Xét z1  z2 z1 , z2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2  2i bằng 1 i A. 2 2 . B. 2 . C. 2 5 . D. 2  2 2 Lời giải Ta có: z  z  z  z  4  a  bi  a  bi  a  bi  ( a  bi )  4  2 a  2bi  4  a  b  2 khi a  0, b  0  1    a  b 2  a  b  2 khi a  0, b  0   2   Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1 , N là điểm biểu diễn của số phức z 2 . z1  z2 Ta có: là số thực dương 1 i z1  z2   k  k  0 1 i  z1  z2  k 1 i      NM cùng phương với vectơ v  1;1 MN  1 Mặt khác z1 , z 2 thuộc S nên    MN  d  1; 2   2 2 . Mà MN  k 2  k  2 . MN  2 2
  Từ đó suy ra: NM   2; 2  Ta có: P  z1  z2  2i  OM  NA với A 0;2 Vì M 1  M  x;2  x với 0  x  2   Do NM   2;2  N  x  2; x Khi đó: P  OM  NA 2 2 2 2 2 2 2  x 2   2  x    x  2   2  x      2  2x  2     2x  2 2            Đặt u 2  2 x; 2 , v 2 x; 2 2 . Khi đó P  u  v  u  v  2 5 2  2x 2 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x 2x 2 2 3 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2 5 khi x  . 3 Câu 3. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi a, b  R thỏa mãn z  z  z  z  2 và ab  0 . z1  z2 Xét z1 và z 2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2  i bằng 1  i A. 5. B. 1  2 . C. 1. D. 2 . Lời giải z  a  bi a, b  R, ab  0 . a  b  1, a  0, b  0 l     a  b  1, a  0, b  0 n (d )  z  z  z  z  2  2a  2bi  2  a  b  1    1 a  b  1, a  0, b  0 n (d )    2 a  b  1, a  0, b  0 (l )   (Vì ab  0 nên a , b trái đấu). Gọi M là điểm biểu diễn của z1 , N là điểm biểu diễn của z 2 . z1  z2 Ta có: là số thực dương  z1  z2  k 1 i , k  0 . 1  i    NM cùng hướng với v   1;1 N  d : a  b  1    1  M  d 2 : a  b  1    MN  d d1 ; d 2   2     MN  1; 1 z1  z2  i  OM  NA (với A là điểm biểu diễn của i  A0;1 ). M  d 2  M m ; m 1 1  m  0 . 3
 Mà:  MN  1; 1  N 1  m ; m  . Ta có: P  OM  NA  m2  1  m  1  m  1 m  2m2  2m 1  2m 2  2 . 2 2 2 4m  2 4m P   . 2 2m  2m 1 2 2 2m2  2 P  0  24m  2 2m2  2  8m 2m2  2m 1  0 .  8m  4 2m2  2 8m 2m2  2m 1  8m  4 2m2  2  64m2 2m2  2m 1 2  1 m    3.   m  1 Bảng biến thiên Suy ra, chọn đáp án A Câu 4. Gọi S là tập hợp các số phức z  a  bi ( a, b  R ) thỏa mãn z  z  z  z  8 và ab  0 . Xét z1  z2 z1 và z 2 thuộc S sao cho là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  4i  z2 bằng: 1 i A. 4 . B. 4 2 . C. 4 5 . D. 4  4 2 Lời giải Số phức z thỏa mãn z  z  z  z  8  2a  2bi  8  a  b 4 Do ab  0 nên tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là 2 đoạn thẳng: +) Đoạn 1 giới hạn bởi đường thẳng: x  y  4 nằm ở góc phần tư thứ nhất +) Đoạn 2 giới hạn bởi đường thẳng x  y  4 nằm ở góc phần tư thứ ba z1  z2 Gọi z1 ( A); z 2 ( B ) do là số thực dương, vậy B nằm trên đoạn thẳng FG , A di động trên 1 i đoạn CE    Sao cho BA cùng hướng với n(1;1) , 4
     Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của OA  OG  OB với C (0; 4)      Ta dễ dàng thấy được giá trị nhỏ nhất của OA  OG  OB  AG  OB đạt được khi B trùng với F và A trùng với C . Khi đó giá trị nhỏ nhất là 4 5 . Câu 5. Xét các số phức z thỏa mãn z 2  3  4i  2 z . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Giá trị của M 2  m 2 bằng A. 28 . B. 18  4 6 . C. 14 . D. 11  4 6 . Lời giải Chọn C Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: 2 2 2 z  z 2  3  4i  z 2  3  4i  z  5 (vì z 2  z ). Dấu “=” xảy ra khi z 2  k  3  4i  . 2 2 4 2 2 Suy ra 4 z   z  5  z  14 z  25  0  7  2 6  z  7  2 6 .  6 1  z  6  1 Do đó, ta có M  1  6 và m  6  1 . Vậy M 2  m 2  14 . Câu 6. Cho số phức z thỏa mãn z 2  2iz  2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức P | iz  1| bằng A. 2. B. 3. C. 3. D. 2. 5
Lời giải Chọn B Theo đề bài, ta có: z 2  2iz  2  ( z  i ) 2  1  2. Mà ( z  i ) 2  1  ( z  i ) 2  1  ( z  i ) 2  3 | ( z  i ) |2  3. Ta lại có P | iz  1|| i (iz  1) || z  i | . Vậy P 2  3  Pmax  3 . Câu 7. Cho số phức z có phần ảo dương thoả mãn | z | 1 và biểu thức P |1  z | 2 |1  z | đạt giá trị 3 6 lớn nhất. Giá trị của biểu thức Q  z   i bằng 5 5 A. 0. B. 2. 3 5 C. . 5 6 D. . 5 Lời giải Chọn B Giả sử z  a  bi,(a, b  , b  0) . Ta có | z | 1  a 2  b 2  1  a 2  b 2  1 . Do đó P |1  z | 2 |1  z | ( a  1) 2  b 2  2 (1  a ) 2  ( b ) 2  2a  2  2 2  2a . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxkopki ta có P  2a  2  2 2  2a  1 2  2  (2a  2  2  2a)  2 5. 2 1 3 Dấu “=" xảy ra khi và chỉ khi 2a  2  2  2a  4(2a  2)  2  2a  a   . 2 5 16 4 Mà a 2  b2  1  b2   b  (do b  0  . 25 5 3 4 3 6 3 4 3 6 Suy ra z    i . Vậy Q  z   i    i   i | 2i | 2 . 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 8. Xét số phức z thỏa mãn | z  2  2i | 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  i  z  5  2i bằng A. 17 . B. 1  10 . C. 5. 6
D. 4. Lời giải Chọn A Gọi M  x; y  là điểm biểu diễn của số phức z Do | z  2  2i | 2 . Suy ra M nằm trên đường tròn  C  có tâm I  2; 2  và bán kính R  2 . Xét 2 điểm A(1;1) và B(5;2) Ta có P | z  1  i |  | z  5  2i | MA  MB Ta có A nằm trong (C ) và B nằm ngoài (C ) Nên MA  MB nhỏ nhất khi A, M , B thẳng hàng. Vậy Pmin  AB  17 Câu 9. Cho các số phức u; v; w thỏa mãn các điều kiện | u  4  2i | 2;| 3v  1  i || 2v  1  i | và | w || w  2  2i | . Tìm | w | khi S | u  w |  | v  w | đạt giá trị nhỏ nhất. 13 A. | w | . 2 10 B. | w | . 2 17 C. | w | . 2 5 D. | w | . 2 Lời giải 2 2 M  u   M   C1  :  x  4    y  2   4 2 2  N  v   N   C2  :  x  1   y  1  2 P  w   P  d : x  y  2  0 Khi đó S | u  w |  | v  w | MP  NP 7
Yêu cầu bài toán Smin  P là giao điểm của I1 I 2 với đường thẳng d trong đó I1 , I 2 lần lượt là tâm của đường tròn  C1  ,  C2  Có đường thẳng I1 I 2 : 3x  5 y  2  0 Suy ra P là nghiệm của hệ phương trình  3  x y20 x   2  3 1 10   w  i w  3 y  5 y  2  0  y  1 2 2 2   2 Câu 10. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  2i  1 và z2  2  i  1 . Xét các số phức z  a  bi(a, b ) thỏa mãn 2 a  b  0 . Khi biểu thức T  z  z1  z  2 z2 đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị biểu thức P  3a 2  b3 bằng A. 9 B. 11. C.  5 . D. 5. Lời giải Chọn B Ta có z  z1  z  2 z2  ( z  3  2i )   z1  3  2i   ( z  4  2i )  2  z2  2  i  | z  3  2i |  z1  3  2i  | z  4  2i | 2 z2  2  i | z  3  2i |  | z  4  2i | 3  ( a  3) 2  (b  2) 2  ( a  4) 2  (b  2) 2  3  ( a  3) 2  (2 a  2) 2  ( a  4) 2  (2 a  2) 2  3 . Xét hàm y  ( a  3) 2  (2 a  2) 2  ( a  4) 2  (2 a  2) 2  3 trên  , ta được min  f (a)  4 . Dấu " = "xảy ra khi a   1  b   2 . Suy ra P  3a 2  b3  3(1) 2  (2)3  11 . Câu 11. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  3  3i  2 và z2  4  2i  z2  2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z1  z2  z2  3  2i  z2  3  i bằng 8
A. 3 5  2 2  2 . B. 3 5  2 2  2 . C. 3 5  2  2 . D. 3 5  2  2 . Lời giải  z1  3  3i  2  M  z1   đường tròn tâm I  3;3 , R  2  z2  4  2i  z2  2i  ( x  4)2  ( y  2)2  x2  ( y  2)2  x2  y  2  0  N  z2  đường thẳng  : x  y  2  0 Ta có P  z1  z2  z2  3  2i  z2  3  i  z1  z2   z2  3  2i  z2  3  i  z1  z2   z2  3  2i  z2  3  i  MN  | 6  3i | Pmin  MNmin  3 5 MN min  d  I ,     R   2 2  2 Suy ra Pmin  2 2  2  3 5 Câu 12. Xét các số phức z, w thỏa mãn | z | 3 , | iw  1  5i | 4 . Giá trị nhỏ nhất của z 2  wz  9 bằng A. 3(5  15) . B. 2( 5  2) . C. 3 . D. 4. 9