Chỉ số chính quy của 0-lược đồ của tập sáu điểm hầu đồng bội trong không gian xạ ảnh P³

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Chỉ số chính quy của 0-lược đồ của tập sáu điểm hầu đồng bội trong không gian xạ ảnh P³" đưa ra công thức tính chỉ số chính quy của tập điểm hầu đồng bội G=3P1+3P2+3P3+4P4+4P5+4P6.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chỉ số chính quy của 0-lược đồ của tập sáu điểm hầu đồng bội trong không gian xạ ảnh P³

50 Trần Nam Sinh CHỈ SỐ CHÍNH QUY CỦA 0-LƯỢC ĐỒ CỦA TẬP SÁU ĐIỂM HẦU ĐỒNG BỘI TRONG KHÔNG GIAN XẠ ẢNH P3 THE REGULARITY INDEX OF 0-SCHEME OF SIX ALMOST EQUIMULTIPLE POINTS IN PROJECTIVE SPACE P3 Trần Nam Sinh* Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, Việt Nam1 *Tác giả liên hệ / Corresponding author: tnsinh@ued.udn.vn (Nhận bài / Received: 15/12/2024; Sửa bài / Revised: 11/3/2025; Chấp nhận đăng / Accepted: 14/3/2025) DOI: 10.31130/ud-jst.2025.538 Tóm tắt - Ký hiệu Pn là không gian xạ ảnh có chiều bằng n, Abstract - The denote by Pn the projective space with its S = k[ x0 , x1 ,..., x n ] là vành đa thức theo các biển x0 , x1 ,..., xn với dimension is n, S = k[ x0 , x1 ,..., x n ] is polynomial ring in variables hệ số được lấy trên trường đóng đại số k. Ai là các điểm trong Pn, x0 , x1 ,..., xn over the algebraic closed field. If Ai in Pn and ai in ai là các số nguyên dương. Gọi J là giao luỹ thừa các iđêan nguyên positive integer number. Let J be the power intersection of prime tố i sinh bởi n dạng tuyến tính độc lập tuyến tính. Vành R/J là ideals generated by n linearly independent linear forms. The R/J một vành phân bậc dương, các phần phân bậc là các k-không gian ring is a positive-degree ring, the degree parts of which are k- véc tơ. Ký hiệu G=a1A1+ +atAt là 0-lược đồ xác định bởi J. vector spaces. The denote by G=a1A1+ +atAt is 0-scheme Chỉ số chính quy của R/J (hay G) ký hiệu là reg(R/J) hay reg(G) defined by J. The regularity index of R/J (or G), denote by được định nghĩa qua chiều của các k-không gian véc tơ này. Tuy reg(R/J) (or reg(G)) is defined by the dimension of these k-vector nhiên, việc tính reg(G) cho một tập điểm tuỳ ý là không dễ và có spaces. However, computing reg(G) for an arbitrary set of points rất ít kết quả tính được nó. Kết quả của tác giả là tính reg(G) cho is not easy and there are very few results that can compute it. The một tập sáu điểm hầu đồng bội ở vị trí bất kỳ trong P3. author's result is to compute reg(G) for a set of six nearly equimultiple points given at any position in P3. Từ khóa - Tập điểm béo; hầu đồng bội; chỉ số chính quy; vành Key words - fat points; almost equimultiple; the regularity index; toạ độ; 0-lược đồ coordinate ring; 0-scheme 1. Giới thiệu Việc đưa ra chặn trên khá nhỏ là không khó, nhưng đưa Trong bài báo này, tác giả ký hiệu Pn := Pkn là một không ra chặn trên chặt là khó, chính vì vậy để tính được reg(G) là bài toán khó. Ta có thể tìm thấy những kết quả về chặn gian xạ ảnh với số chiều bằng n, S = k[ x0 , x1 ,..., x n ] là vành trên của reg(G) trong [1-6]. đa thức theo biến x0 , x1 ,..., xn bậc chuẩn hệ số được lấy Năm 1996 sau khi quan sát một số kết quả trước đó trên trường đóng đại số k. Giả sử A1 ,..., At là các điểm phân N.V. Trung (xem [6]) đã đưa ra giả thuyết sau: biệt trong Pn. Với j =1,…,t, ký hiệu i là iđêan nguyên tố Cho tập điểm béo G=a1A1+ +atAt trong Pn, đặt thuần nhất xác định bởi Ai. Với các số nguyên dương  q ail + k − 2 a1 ,..., at iđêan J =1  ta là giao luỹ thừa các iđêan a 1 t Dk = max{[ il =1 ] | , Ai1 ,..., Aiq có giá nằm nguyên tố i sinh bởi n dạng tuyến tính độc lập tuyến tính, k trên một k- phẳng}, ký hiệu G là 0-lược đồ xác định bởi J và gọi D=max{Dk | k=1,…,n}. G=a1A1+ +atAt Khi đó reg(G)  D. là tập điểm béo trong Pn. Trong không gian xạ ảnh Pn, tập điểm A={A1,…,At} Vành toạ độ thuần nhất R/J của G là phân bậc dương được gọi là không suy biến nếu A không nằm trên một R / J = s  0 ( R / J ) s có số bội e( R / J ) :=   ai + n − 1 . Mỗi phân t   (n-1)-phẳng. Tập điểm béo G=a1P1+ +atAt được gọi là i =1 n  không suy biến nếu A không suy biến. bậc (R/J)s là một k-không gian véc tơ hữu hạn chiều. Hàm số Năm 2016, E. Ballico, O. Dumitrescu và Postinghel (xem [1]) đã chứng minh được giả thuyết của Trung cho hG(s) = dimk(R/J)s cho tập G = a1A1+ + an+3An+3 không suy biến trong Pn. được gọi là hàm Hilbert của G. Giả thuyết nói trên đã được Nagel và Trok (xem [5]) đã Chỉ số chính quy của tập điểm béo G được xác định là chứng minh hoàn toàn trong năm 2018, tuy nhiên việc đưa số nguyên dương s bé nhất sao cho hZ(s) = e(R/J,), ký hiệu ra công thức tính reg(G) vẫn là bài toán mở. Cho đến nay reg(G). có rất ít kết quả được đăng trên các tạp chí có uy tín. 1 The University of Danang - University of Science and Education, Viet Nam (Tran Nam Sinh)
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 23, NO. 3, 2025 51 Với A1,…,At có giá nằm trên một đường thẳng. Năm Để đánh giá chặn trên cho chỉ số chính quy cho trường 1984, Davis và Geramita (xem [3, Corollary 2.3]) đã tính hợp n+3 điểm béo trong Pn ta cần bổ đề sau. được chỉ số chính quy của G = a1 A1 + + at At : Bổ đề 2.3. ([1, Định lý 2.1]). Giả sử G = a1A1+ + an+3An+3 là một tập n+3 điểm béo không suy biến trong Pn. reg ( G ) = a1 + + at − 1 . Khi đó, reg(G)  max{Dj |j=1,…,n}, với Một đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn là đường cong  q ail + k − 2 có phương trình tham số Dj = max{[ l =1 ] | Ai1 ,..., Aiq có giá nằm k x0 = sn , x1 = sn−1v,..., xn−1 = svn−1 , xn = vn . trên một k-phẳng}, k=1,…,n. Cho một tập điểm béo G=a1A1+ +atAt trong Pn, với Cho tập các chỉ số {1,…,t} và {i1,…,is}  {1,…,t} là tập at  at −1   a1 . Năm 1993, Catalisano, Trung và Valla chỉ số con của {1,…,t}. Ta gọi H = ai1 Ai1 + + air Air là tập đã tính được reg(G) (xem [2]) cho tập điểm A1,…, At nằm trên đường cong hữu tỷ chuẩn trong Pn (xem [2, Proposition điểm béo con của tập G=a1A1+ +atAt. 7]), thì Bổ đề sau cho ta thấy được chỉ số chính quy của 0-lược đồ con luôn bị chặn trên.   t  reg ( G ) = max a1 + a2 − 1, ( ai + n − 2) / n   . Bổ đề 2.4. ([7, Bổ đề 3.3]). Giả sử A={A1,…, At } là tập   i =1  các điểm phân biệt trong Pn và a1,…,at là các số nguyên Với tập t+2 điểm béo không nằm trên (t-1)-phẳng trong dương. Đặt J =1  ta . Nếu B =  Ai ,..., Ai  là một a 1 s P ( t  n ), năm 2012, Thiện (xem [7, Theorem 3.4]) đã đưa 1 r n tập con của A và p =   mi1 mir ra công thức tính reg(G): i1 ir khi đó reg(G)=D. reg(R/p)  reg(R/J). Mở rộng kết quả này cho tập t+3 điểm béo đồng bội Từ đây suy ra, nếu G =a1A1+ +atAs và không nằm trên (t-1)-phẳng trong Pn, năm 2017, P.V. H = ai1 Ai1 + + air Air là các tập điểm béo xác định bởi Thiện và T.N. Sinh (xem [8, Theorem 4.6]) đã đưa ra công thức reg(G): iđêan J, thì ta có reg(G)=D reg(H)  reg(G). Trong trường hợp aj = a hoặc aj = a-1 thì G=a1A1+ Bổ đề sau giúp ta tính được chỉ số chính quy của tập +atAt được gọi là hầu đồng bội, với mọi i = 1,…t. điểm nằm trên đường thẳng. Nôi dung của bài báo này, tác giả đưa ra công thức tính Bổ đề 2.5. ([3, Hệ quả 2.3]). Giả sử G=a1A1+ +atAt chỉ số chính quy của tập điểm hầu đồng bội là một tập điểm béo tùy ý trong Pn. Khi đó G=3P1+3P2+3P3+4P4+4P5+4P6. Kết quả này được nêu reg(G) = a1+ +at -1 trong Định lý 3.5 ở Mục 3 trong bài báo này. nếu và chỉ nếu các điểm A1,…,At nằm trên một đường thẳng. 2. Các bổ đề cần dùng Để chuẩn bị cho phần chứng minh nội dung chính ở 3. Chỉ số chính quy của lược đồ G=3A1 + 3A2 + 3A3 + phần 3, tác giả cần sử dụng các bổ đề sau. 4A4 + 4A5 + 4A6 trong P3 Hai bổ đề đầu tiên chỉ ra công thức tính chỉ số chính Phần này tác giả trình bày các kết quả chính của nghiên quy của tập n+2 và n+3 điểm trong P3. cứu. Tác giả bắt đầu từ bổ đề sau: Bổ đề 2.1. ([7, Định lý 3.4]). Giả sử A1,…,As+2 là các Bổ đề 3.1. Cho tập sáu điểm phân biệt không suy biến điểm phân biệt không nằm trên (t-1)-phẳng trong Pn, t  n, A={A1,…,A6 } trong P3 sao cho không có năm điểm nào cho các số nguyên dương a1,…,at. Đặt J =11  ta++22 . a t của chúng nằm trên 2-phẳng. Với các số nguyên dương a1,…,a6, xét tập điểm béo Khi đó, reg(R/J)=max{Dk|k=1,…,n}, với G=a1A1+ +a6A6..  q ail + k − 2  q Dj = max{[ l =1 ] | Ai1 ,..., Aiq có giá nằm a +k −2 k Đặt Dk = max{[ l =1 il ] | Ai1 ,..., Aiq có giá nằm k trên một k-phẳng}, k=1,…,n. trên một j-phẳng}, và Bổ đề 2.2. ([8, Định lý 3.1]). Giả sử A1,…, At+3 là các điểm phân biệt ở vị trí tổng quát trên t-phẳng, không nằm D=max{Dk| k=1,2,3}. trên (t-1)-phẳng trong Pn, t  n , và ai là các số nguyên Khi đó, nếu D=D1 hoặc D=D2 thì reg(G) = D. dương. Cho tập điểm béo Chứng minh. G = a1P1+ + at+3At+3. • Nếu D=D1: Khi đó có một đường thẳng gọi là d đi qua Khi đó, reg(G) =max{Dj | j= 1,2,…,n}, với các điểm Ai1 ,..., Air sao cho D1 = ai1 + + air − 1 . Xét tập điểm béo H = ai1 Ai1 + + air Air , theo Bổ đề 2.4 và Bổ đề  q ail + k − 2 Dj = max{[ l =1 ]| Ai1 ,..., Aiq có giá nằm k 2.5, ta có trên một k-phẳng}, k=1,…,n. D = reg(H)  reg(G).
52 Trần Nam Sinh Hơn nữa, theo Bổ đề 2.3, ta có reg (G)  D. Do đó, thì reg(G) = D. D1 = 7; 6  D2  7; D3 = 7. • Nếu D =D2: Gọi  là 2-phẳng đi qua các điểm Suy ra, D= max{D1, D2, D3} =D1. Ai1 ,..., Ais sao cho  ai + + ais  , theo giả thiết, không có D2 =  1  Do đó, ta có D=D1.  2  Theo Bổ đề 3.2 ta có reg(G) = D. 5 điểm của A nằm trên 2-phẳng, nên s  4 . Xét tập điểm béo U = ai Ai + + ai Ai , theo Bổ đề 2.1 ta có: Ta đã chứng minh xong Bổ đề 3.3 Mệnh đề 3.4. Trong không gian xạ ảnh P3, cho tập sáu 1 1 s s reg(U) =D2=D. điểm phân biệt, không suy biến, không ở vị trí tổng quát Mặt khác, theo Bổ đề 2.3 và Bổ đề 2.4, ta có A={A1,…,A6}. Xét lược đồ sau reg(U)  reg(G)  D. G=3A1+3A2+3A3+4A4+4A5+46. Từ đó ta nhận được reg(G) =D. Đặt Bổ đề 3.1 đã được chứng minh.  q a +k −2 Bổ đề 3.2. Trong không gian xạ ảnh Pn, cho tập n +3 Dk = max{[ l =1 il ] | Ai1 ,..., Aiq có giá nằm điểm không suy biến A={A1,…, An+3}. Với a1,…,an+3 là số k nguyên dương, xét tập điểm béo trên một k-phẳng}, với ai = 3 hoặc ail = 4 . l G = a1A1+ + an+3An+3 D= max {Dk |k = 1,2,3}. Đặt Khi đó reg(G)=D.  Chứng minh: q a +k −2 Dk = max{[ l =1 il ] | Ai1 ,..., Aiq có giá nằm Trong trường hợp A không có 5 điểm nằm trên 2-phẳng k trên một k-phẳng}, và D=max{Dk |k=1,2,..,n }. α thì theo Bổ đề 3.3, ta có Khi đó, nếu D=D1 thì reg(G) = D. reg(G) = D. Chứng minh. Giả sử Ai1 ,..., Air là r điểm nằm trên Ngược lại ta xét các khả năng sau: Nếu A có 4 điểm nằm trên một đường thẳng d. Khi đó, đường thẳng sao cho 12  D1  14; 8  D2  9 và D3 = 7. D = D1 = ai1 + + air − 1 . Do đó Khi đó, xét lược đồ U = ai Ai + 1 1 + air Air . D=max{D1, D2, D3} = D1. Theo Bổ đề 2.5 ta có reg(U) = D1 = D. Theo Bổ đề 3.2 ta có reg(G) = D. Mặt khác, B = {Ai ,..., Ai } là một tập con của A nên U là Nếu A có ba điểm nằm trên một đường thẳng l. Khi đó mọi 2-phẳng đi qua 5 điểm của A luôn chưa d. Ta xét các 1 r một lược đồ con của G. Theo Bồ đề 2.4 và Bổ đề 2.3 ta có khả năng sau. D = reg(U)  reg(G)  D. • Nếu l đi qua A1, A2, A3. Khi đó Vậy reg(G) = D.  3.3 + 2.4 + 2 − 2  Bổ đề 3.2 đã chứng minh xong. D1 = 8; D2 =   = 8; D3 = 7.  2  Bổ đề 3.3. Trong không gian P3, cho tập 6 điểm phân biệt không suy biến A={A1,…,A6} sao cho không có năm Suy ra D =max{D1, D2, D3} = D1. điểm nào của A nằm trên 2-phẳng. Xét lược đồ sau • Nếu l đi qua hai điểm trong ba điểm {A1, A2, A3}. Khi G=3A1+3A2+3A3+4A4+4A5+4A6. đó Đặt TD1 = 9; 8  D2  9; D3 = 7. Suy ra D = max{D1, D2, D3} = D1.  q a +k −2 Dk = max{[ l =1 il ] | Ai1 ,..., Aiq có giá nằm • Nếu d đi qua hai điểm trong ba điểm {A1, A2, A3}. thì k D1 = 10; 8  D2  9; D3 = 7. trên một k-phẳng}, với ai = 3 hoặc ail = 4 . l Suy ra D = max{D1, D2, D3} = D1. D=max{Dk | k=1,2,3}. • Nếu d không đi qua hai điểm trong ba điểm {A1, A2, Khi đó reg(G) =D. A3} thì Chứng minh: D1 = 11; D2 = 9; D3 = 7. Từ giả thiết không có 5 điểm nằm trên 2-phẳng nên Suy ra D = max{D1, D2, D3} = D1. không có 4 điểm nào A nằm trên một đường thẳng. Do đó D=D1. • Nếu A có ba điểm nằm trên một đường thẳng thì Theo Bổ đề 3.2 ta có 8  D1  11; 6  D2  7; D3 = 8. reg(G) = D. Suy ra, D= max{D1, D2, D3} =D1. Nếu A không có ba điểm nào nằm trên một đường • Nếu A không có ba điểm nằm trên một đường thẳng thẳng. Khi đó
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 23, NO. 3, 2025 53 D1 = 7; 7  D2  9; D3 = 7. reg(G) = D. Suy ra D = max{D1, D2, D3} = D2. Ta đã chứng minh xong Định lý 3.5. Gọi V = {Ai1 , Ai2 , Ai3 , Ai4 , Ai5 } là năm điểm nằm trên 4. Kết luận 2-phẳng α. Xét lược đồ con Việc tính chỉ số chính quy của một 0-lược đồ là rất khó, H = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + ai3 Ai3 + ai4 Ai4 + ai5 Ai5 . có rất ít kết quả tính về nó. Với 0-lược đồ G=3A1 + 3A2 + 3A3 + 4A4 + 4A5 + 4A6 trong không gian xạ ảnh P3. Tác giả Theo Bổ đề 2.2, ta có reg(G)  reg(H) = D2=D. đã chỉ ra công thức tính reg(G). Việc tính chỉ số chính quy Hơn nữa, theo Bổ đề 2.3 ta có reg(G)  D. của một 0-lược đồ vẫn là bài toán mở. Do đó reg(G) =D. REFERENCES Mệnh đề 3.4 được chứng minh. [1] E. Ballico, O. Dumitrescu, and E. Postighel, “On Segre’s bound for fat points in P n ”, J. Pure and Appl. Algebra, Vol. 220, no. 6, pp. Định lý 3.5. Cho A={A1,…,A6} là tập 6 điểm phân 2307-2323, 2016. https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2015.11.008 biệt không suy biến, không trong P3. Cho lược đồ sau [2] M. V. Catalisano, N. V. Trung, and G. Valla, “A sharp bound for the regularity index of fat points in general position”, Proc. Amer. Math. G=3A1+3A2+3A3+4A4+4A5+4A6. Soc, Vol. 118, no. 3, pp. 717-724, 1993. Đặt https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1993-1146859-0. [3] E. D. Davis and A.V. Geramita, “The Hilbert function of a special  q a +k −2 class of 1-dimensional Cohen – Macaulay graded algebras, The Dk = max{[ l =1 il ] | Ai1 ,..., Aiq nằm trên một Curves Seminar at Queen’s”, Queen’s Paper in pure and Appl. k Math, Vol. 67, pp. 1-29, 1984. k-phẳng}, với ai = 3 hoặc ail = 4 . l [4] G. Fatabbi and A. Lorenzini, “On the sharp bound for the regularity index for any set of fat points”, J. Pure Apple. Algebra, Vol. 161, D=max{Dk |k=1,2,3}. no. 1-2, pp. 91-111, 2001. https://doi.org/10.1016/S0022- 4049(00)00083-9. Khi đó reg(G)=D. [5] U. Nagel and B. Trok, “Segre’s regularity bound for fat points Chứng minh. scheme”, Annali della Scuole Normale Superiore, Vol. XX, no. 5, pp. 217-237, 2020. Trường hợp A ở vị trí tổng quát trong P3 thì theo Bổ đề [6] P. V. Thien, “Segre bound for the regularity index of fat points in 2.2 ta có P3”, J. Pure and Appl. Algebra, Vol. 151, no. 2, pp. 197–214, 2000. reg(G) = D. https://doi.org/10.1016/S0022-4049(99)00055-9. Do đó ta xét các khả năng sau của A. [7] P. V. Thien, “Regularity index of s+2 fat points not on a linear (s- 1)-space”, Comm. Algebra, Vol. 40, pp. 10, pp. 3704–3715, 2012. • A không có 5 điểm nằm trên 2-phẳng. Theo Bổ đề https://doi.org/10.1080/00927872.2011.593385. 3.2 ta có [8] P. V. Thien and T. N. Sinh, “On the regularity index of fat points not on a linear (r-1)-space”, s  r + 3, Comm. Algebra, Vol. 45, no. 10, reg(G) = D. • A có 5 điểm nằm trên 2-phẳng. Theo Mệnh đề 3.4 ta có pp. 4123-4138, 2017. https://doi.org/10.48550/arXiv.1604.06347.