intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu)

Chia sẻ: Nguyen Dinh Tung | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:22

137
lượt xem
10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác động nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng - Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo - R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo - Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu)

  1. CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu): 2 ∞ min ISE = min ∫ ( y (t ) − yr ) dt Integral of square error 0 Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)|
  2. TỐI ƯU THAM SỐ E ( s) s Hàm truyền sai = s +K R( s) số Với tín hiệu vào hàm nấc: e(t) = e - Kt ∞2 1 min ISE = min ∫ e (t ) dt = min 2K 0 Kết quả là K phải vô cùng Dùng chỉ tiêu J = min ∫ (e (t ) + u (t ) )dt = ∞ 1 K 2 2 + 2K 2 0 d 1 K + ) =0 ( J cực tiểu khi suy ra K = 1, J = 1 dK 2 K 2 ∂2 1 J= 3>0 ∂2 K K
  3. ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI (LQR) LINEAR QUADRATIC REGULATOR Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác đ ộng nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng x = Ax +Bu , x (0) = x 0  y =Cx [ ] 1∞ T min J = ∫ x Qx +u T Ru dt , 20 Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J 1 ∞ = T x (Q + K RKT) xdt J = ∫ x 1 ∫(Q + K RK ) xdt ∞ T T J 20 2 0 Tính K dùng phương trình Lyapunov, chọn hàm Lyapunov là J: 1∞ T 1 V ( x (t )) = ∫ x (Q + K T RK ) xdt = x T Px 2t 2 V(x(0)) = J = xT(0)Px(0) Đạo hàm theo thời gian
  4. ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI 1 ∞ V ( x ) = x T (Q +K T RK ) x |t  2 [ ] [ ] 1 1 = x T (∞ Q +K T RK x (∞ − x T (t ) Q +K T RK x (t ) ) ) 2 2 Gỉa sử chọn K để hệ ổn định, x(∞ ) →0 [ ] 1 V ( x ) =− x T (t ) Q +K T RK x (t )  2 Mặt khác [ ] V ( x) = ( xT Px + x T Px ) = xT ( A − BK )T P + P ( A − BK ) x 1 1    2 2 [ ] 1T 1 Suy ra x ( A − BK )T P + P ( A − BK ) x = − x T (Q + K T RK ) x 2 2 Ma trận P thỏa phương trình Lyapunov ( A − BK )T P + P ( A − BK ) = −(Q + K T RK )
  5. ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI Các bước giải bài toán tối ưu •Giải phương trình Lyapunov ta được các phần tử của ma trận P theo các phần tử của ma trận K chưa biết 1 •Sau đó ta tính J = V(x(0)) = xT (0) Px (0) là hàm theo các ph ần t ử c ủa 2 ma trận K ∂J ∂P =0 =0 •Để J cực tiểu ta giải phương trình hay ∂kij ∂kij •Suy ra ma trận K, luật điều khiển u = - Kx •Xét ổn định của ma trận A-BK •Nêú muốn điêù chỉnh ngõ ra y=cx ta chọn 1∞ T T J = ∫ x (C QC + K T RK ) xdt 20
  6. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ RICCATI Đặt R = ΓT Γ, Γ là ma trận vuông không suy biến Phương trình Lyapunov viết lại là: ( AT − K T B T ) P + P ( A − BK ) + Q + K T ΓT ΓK = 0 AT P + PA +[ΓK − (ΓT ) −1 B T P ]T [ΓK − (ΓT ) −1 B T P ] − PBR −1 B T P + Q = 0 Lấy đạo hàm phương trình theo kij và dùng tính chất ∂P = 0 ∂kij ∂ Ta suy ra [(ΓK − (ΓT ) −1 B T P )T (ΓK − (ΓT ) −1 B T P )] = 0 ∂kij Cực tiểu xảy ra khi số hạng trong ngoặc là 0 Γ = (Γ ) − B T P T 1 K K = Γ− (Γ ) −1 B T P = R − B T P 1 T 1 Phương trình Lyapunov trở thành phương trình đại số Riccati AT P + PA − PBR −1 B T P + Q = 0
  7. VÍ DỤ1 y = −y +u  ∞ J = ∫ ( y 2 +u 2 ) dt 0 u = −ky Các thông số của bài toán: A = -1, B = 1, Q = 2, R = 2 Phương trình Riccati ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0 -P – P - 0.5 P2 + 2 = 0 Giải phương trình bậc hai theo P và chọn nghiệm dương P = 2( 2 −1) − Luật điều khiển tối ưu : u (t ) = −R B Py (t ) = −( 2 −1) y (t ) 1T y (t ) = − 2 y (t ) Phương trình hệ  kín:
  8. VÍ DỤ2 0 1  0 x = x +  u   0 0 1  y =[1 0] x Tìm luật điều khiển u duy trì x1= r, x2 = 0 u = - k1(x1-r) - k2x2 ∞ cực tiểu chỉ tiêu J = ∫ (( x1 −r ) 2 +u 2 ) dt 0 ~ = x −r x1 1 Đặt biến mới ~ =x x2 2 2 0 Q = ; R =2 0 0  Phương trình Riccati: ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0
  9. VÍ DỤ2 0 p11 p12   p11 p12 0 0 1  +p 0 p12 p22 0 1 0 p22   12      p11 p12 01   p11 p12  2 0 0 0 1 2 [ 0 1]  −  + 0  = 0 0 p22     p12  p12 p22   0   2 p12 − +2 = 0 2 pp p11 − 12 22 = 0 2 2 p22 − +2 p12 = 0 2 Cuối cùng : 2 2 2 P =  2 2 2 u = −R −1 B T P~ (t ) = −~1 (t ) − 2~2 (t ) = − x1 −r ) − 2 x2 x x x (
  10. VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Trở lại ví dụ 1 ta muốn thêm vào khâu tích phân để tính chống nhiễu tốt hơn y = −y +u  ∞ J = ∫ ( y 2 +u 2 ) dt 0 u = −ky Đặt biến mới z(t) y = −y +u  z (t ) = y (t )  ∞ J = ∫ ( y 2 + z 2 +u 2 ) dt 0 u = −k1 y −k 2 z −1 0 1  A = , B =  0 1 0  2 0  Q = , R = 2 0 2
  11. VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Phương trình Riccati −1 1  p11 p12   p11 p12 −1 0 +  0 0 p p22   p12 p22  1 0   12    p p12 1 1  p p12  2 0  0 0 02 [1 0]  11 −  11  + 0  = 0 0 p22     p12  p12 p22   2   2 p11 −2 p11 +2 p12 − +2 = 0 2 pp − p12 + p22 − 11 12 = 0 2 2 p12 − +2 = 0 2  2 2 P = 4 Kết quả 2   K =R − B T P =[1 1] 1 t u =−y (t ) −z (t ) =−y (t ) −∫ y (t ) dt 0
  12. VÍ DỤ 4 ∞ Tìm hệ số đệm ζ sao cho cực tiểu J = ∫ (e 2 + e 2 ) dt  0 e 1 y r s ( s +2ζ) Phương trình liên hệ y và r  + 2ζy + y = r y  Phương trình vi phân của e e + 2ζe + e = 0   e = r − y; e(0) = 1; e(0) = 0  Phương trình trạng thái của e e   0 1  e  e  = −1 − 2ζ  e; x1 = e; x2 = e       2 0 ∞ 1∞ T J= + x2 ) dt = ∫ x Qxdt ; Q =  2 2 ∫ ( x1 2 20 0  0
  13. VÍ DỤ 4 Phương trình Riccati: ATP + PA + Q = 0 1  Giải pt ζ + 2ζ 1 P= 1 1  ζ    1T 1 x (0) Px(0) = ζ + J= 2ζ 2 1 Đạo hàm theo ζ suy ra trị tối ưu ứng với ζ = 2
  14. VÍ DỤ 5 e u k1 100/s2 y r sk2 [ ] ∞ J = ∫ e 2 (t ) + 0.25u 2 (t ) dt Tìm k1 và k2 cực tiểu 0 Phương trình trạng thái: ~ = 0 1~ +  0 u; ~ (0) = −1  x  x 100 x 0  0 0    ~ = y − r ; ~ = y; u = −k ~ − k k ~ = −K~ x1 x2  1 x1 1 2 x2 x K = [ k1 k1k 2 ]
  15. VÍ DỤ 5 2 0 Q = ; R = 0.5 0 0 GiảI phương trình Riccati  0.2 0.01  P = 0.001 0.01  K = [ 2 0.2] k1 = 2; k 2 = 0.1
  16. MATLAB Hàm [K, P, e] = lqr (A, B, Q, R) giải bài toán cực tiểu [ ] ∞ min J = ∫ x T Qx +u T Ru dt 0 Phương trình Riccati ATP + PA - PBR-1BTP + Q = 0 u = -Kx e là nghiệm riêng của ma trận A-BK k= Ví dụ 4: Lấy lại ví dụ 2 1.0000 1.4142 >> A = [0 1; 0 0]; p= >> B = [0; 1]; 2.8284 2.0000 >> C = [1 0]; 2.0000 2.8284 >> Q = [2 0; 0 0]; e= >> R = [2]; -0.7071 + 0.7071i >> [k ,p, e] = lqr (A, B, Q, R) -0.7071 - 0.7071i
  17. MATLAB Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 2 >> ptttk = ss (A - B*k, B*k(1,1), C, 0) 5 4 >> t = 0:0.1:10; 3 >> r = 2*ones (size(t)); 2 >> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]); 1 >> plot (t, y) 0 -1 >> hold on -2 >> u = -k*x' + k (1,1) *r; -3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> plot(t,u) Điều kiện đầu là [5 0], điều khiển sao cho y → 05 >> ptttk = ss (A - B*k,[0; 0], C, 0) 4 3 >> [y, t, x] = lsim (ptttk, r, t, [5 0]); 2 1 >> plot (t, y) 0 >> hold on -1 -2 >> u = -k*x‘; -3 -4 >> plot (t,u) -5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  18. ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ RỜI RẠC x ( k +1) = Fx (k ) + Gu (k ); x (0) = x 0 y ( k ) = Cx (k ) [ ] 1∞ T J = ∑ x (k )Qx (k ) + u T (k ) Ru (k ) 2 k =0 u ( k ) = −Kx (k ) Phương trình Riccati rời rạc P = Q + F T PF − F T PG ( R + G T PG ) −1 G T PF K = ( R + G T PG ) −1 G T PF Dùng Matlab [K, P, e] = dlqr (F, G, Q, R)
  19. VÍ DỤ 6 K ZOH 1/s r=1(t) T=1s [ ] ∞ Tìm K cực tiểu J = ∑ e 2 ( k ) +0.75u 2 ( k ) k=0 Pttt: y(k+1) = y(k) + u(k) ; u(k) = - K[y(k) - r] ~ ( k +1) = ~ ( k ) +u ( k ); u ( k ) = −K~ ( k ) x x x ~ ( k ) = y ( k ) −r x [ ] ∞ J = ∑ ~ 2 ( k ) +0.75u 2 ( k ) x k =0 Q = 2; R =1.5 P2 P =2 +P − Giải pt Riccati rời rạc, suy ra 1.5 +P P =3 K =2 / 3
  20. VÍ DỤ 7 • Điêù khiển đối tượng 1/(s+1) với tín hiệu đặt yr = hằng số, cực tiểu 1 ∞ ~2 ~ J = ∑ y ( k ) +u 2 ( k )] [ 2 k =0 G(z)=0.632/(z-0.368) y(k+1)=0.368y(k)+0.632u(k) F=0.368, G=0.632, Q=1, R=1 Phương trình Riccati: P=Q+FTPF-FTPG (R+GTPG) -1 GTPF =1+0.135P-0.054P2/(1+0.4P) P=1.11 K= (R+GTPG) -1 GTPF=0.18 1/N=-C(F-GK-1) -1 G N=1.18
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
12=>0