zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải)

Chia sẻ: T N | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:7

Báo xấu

1.094
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức newton (bài tập và hướng dẫn giải)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 05 tháng 04 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 BTVN NGÀY 05-04 Chứng minh hệ thức tổ hợp bằng nhị thức Newton. Bài 1: Tìm n nguyên dương thõa mãn: C2 n +1 22 n − 2C2 n +1.3.22 n −1 + 3C2 n +1.32.22 n − 2 − .... − 2nC2 n +1 32 n −1.2 1 2 3 2n 2 n +1 + (2n + 1)C2 n +1 32 n = 2011 Bài 2: Tính tổng: 0 1 1.Cn 2.Cn 3.Cn2 (n + 1).Cn n S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 A1 A2 A3 An +1 Với: Cn 0 + Cn + Cn2 = 211 1 Bài 3: Chứng minh hệ thức: 2.1Cn2 + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n − 2 3 4 Bài 4: Tính tổng: S =(C ) 1 2 n + 2( C ) 2 2 n + 3( C ) 3 2 n + ... + n ( C ) n 2 n Bài 5: Tính tổng: 2 2 2 2  Cn   Cn   Cn  1 2 3  Cn  n S =  +  +   + ... +    2   3   4   n +1 ………………….Hết……………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 HDG CÁC BTVN • BTVN NGÀY 02-04 Bài 1: Tìm hệ số của x3 trong khai triển: n  2 2  . Biết n thõa mãn: C1 + C 3 + ... + C 2 n −1 = 223 x +  2n 2n 2n  x Giải: (1 + x) 2 n = C2 n + C2 n .x + C2 n .x 2 + ... + C2 n −1.x 2 n −1 + C2 n .x 2 n  0 1 2 2n 2n − 2 n −1 2 n −1 (1 − x) = C2 n − C2 n .x + C2 n .x − ... − C2 n .x + C2 n . x 2 n 2n 0 1 2 2 2n Ta có :  (1 + x) 2 n − (1 − x) 2 n = 2 ( xC2 n + ... + x 2 n −1C2 n −1 ) 1 2n 2 n −1 22 n Cho x = 1 ⇒ C + ... + C 1 2n 2n = = 22 n −1 = 223 ⇒ 2n − 1 = 23 ⇒ n = 12 2 12 12 − k  2 2 12 2k  2  12 ⇒  x +  = ∑ C12 .x .   k =∑ C12 .212− k .x 3k −12 k  x k =0  x k =0 ⇒ 3k − 12 = 3 ⇒ k = 5 ⇒ HS x 3 là : C12 .27 = 101376 5 Bài 2: Cho Cn + 2Cn + 2 Cn ... + 2 Cn = 6561 . 0 1 2 2 n n Tìm hệ số của số hạng chứa x7 và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển: n  2 3 x −   x Giải: Page 2 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Ta có : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn .x 2 + ... + Cn −1.x n −1 + Cnn .x n 0 1 2 n khi x = 2 ⇒ 6561 = Cn + 2Cn + 22 Cn ... + 2n Cn = 3n ⇒ n = 8 0 1 2 n 8  2 3 8 8 ⇒  x −  = ∑ C8 x ( −3) .x = (−1) 3 ∑ C8k x 3k −8 k 2k 8− k k −8 k 8− k  x  k =0 k =0 ⇒ 3k − 8 = 7 ⇒ k = 5 ⇒ HS x 7 là : − 33 C85 = −1512 8 ∑ các HS = ∑ C k =0 k 8 (−3)8− k = ((1 − 3)8 = (−2)8 = 256 Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển: 28  3 y x −   x Giải: 28− k y 28 28 k 3k 28− k  y  28 Ta có : ( x − ) = ∑ C28 x .(−1) .   3 = ∑ C28 .( −1) 28− k .x 4 k − 28 . y 28− k k x k =0 x k =0 Do SM ( x) = 2 SM ( y ) ⇒ 4k − 28 = 2(28 − k ) ⇔ k = 14 => Số hạn cần tìm là: 14 C28 Bài 4: Tìm hệ số của x2008 trong khai triển Newton của đa thức: f ( x) = ( x − 2 ) ( x + 1) 2 670 670 Giải: Coi n = 670 ⇒ 2008 = 3n − 3 ta có bài toán : Tìm hệ số a3n-3 của x3n-3 trong khai triển đa thức: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1) n n Page 3 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Ta có: f ( x) = ( x 2 − 2 ) ( x + 1) n n (x − 2 ) = ( −2 + x 2 ) = Cn (−2) n + Cn (−2) n −1 x 2 + Cn ( −2) n − 2 .x 4 + ... + Cn x 2 n 2 n 0 n 1 3 n ( 1+ x) n = Cn + Cn x + Cn x 2 + ... + Cn x n 0 1 2 n ⇒ a3n −3 = Cn ( Cnn −3 ) + (−2)Cn −1.Cn −1 = Cn −3 − 2n 2 = C670 − 2.6702 = 49005140 n n n n 667 Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển: f ( x) = ( 1 + 2 x + 3x 2 ) n Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn đẳng thức: Cn2 .Cnn − 2 + 2Cn2 .Cn + Cn .Cn −3 = 100(*) 3 3 n Giải: (*) ⇔ ( Cn ) + 2Cn .Cn + ( Cn ) = 100 ⇔ ( Cn + Cn ) = 100 2 2 32 3 2 3 2 2 n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) ⇒ Cn2 + Cn = 10 ⇔ 3 + = 10 ⇔ n3 − n − 60 = 0 ⇒ n = 4 2 6 4 ⇒ f ( x) = ( 1 + 2 x + 3 x ) = ∑ C ( 3x ) . ( 1 + 2 x ) 2 4 2 2 k k 4 k =0 4 k = ∑ C .3 .x k 4 4−k 8− 2 k .∑ (2 x) m .Ckm k =0 m=0 Page 4 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408  m − 2k + 8 = 4  2k − m = 4 4 k   = ∑∑ ( C4 .Ckm .34− k .2m ) .x m − 2 k +8 ⇒ 0 ≤ k ≤ 4 k ⇒ 0 ≤ k ≤ 4 k =0 m =0 0 ≤ m ≤ k 0 ≤ m ≤ k    m = 2k − 4  k = 2; m = 0   m = 2k − 4  ⇒ 0 ≤ k ≤ 4 ⇔  ⇒  k = 3; m = 2 0 ≤ m ≤ k  2≤k ≤4    k = 4; m = 4 ⇒ HS = C4 .C2 .32 + 3C4 .C32 .4 + C4 .C4 .30.24 = 54 + 144 + 16 = 214 2 0 3 4 4 • BTVN NGÀY 05-04 Bài 1: Tìm n nguyên dương thõa mãn: C2 n +1 22 n − 2C2 n +1.3.22 n −1 + 3C2 n +1.32.22 n − 2 − .... − 2nC2 n +1 32 n −1.2 1 2 3 2n 2 n +1 + (2n + 1)C2 n +1 32 n = 2011 Giải: Xét khai triển: ( 2 − x) 2 n +1 = C2 n +1.22 n +1 − C2 n +1.22 n.x 2 + ... + C2 n +1.2.x 2 n − C2 n +1 .x 2 n +1 0 1 2n 2 n +1 Đạo hàm 2 vế: ( 2 − x) 2 n +1 = C20n +1.22 n +1 − C2 n +1.22 n.x + ... + C22nn+1.2.x 2 n − C22nn++11.x 2 n +1 1 ⇒ − (2n + 1) ( 2 − x ) 2n = − C2 n +1.22 n + 2C22n +1.22 n −1.x + ... + 2nC22nn+1.2.x 2 n −1 − (2n + 1)C22nn++11.x 2 n 1 Cho x = 3 ⇒ 2n + 1 = C2 n +1.22 n − 2C22n +1.22 n −1.3 − ... − 2nC22nn+1.2.32 n −1 + (2n + 1)C22nn++11.32 n = 2011 1 ⇒ n = 1005 Page 5 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 Bài 2: Tính tổng: 0 1 1.Cn 2.Cn 3.Cn2 (n + 1).Cn n S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 A1 A2 A3 An +1 Với: Cn 0 + Cn + Cn2 = 211 1 Giải: n (k + 1)Cnk (k + 1)Cn (k + 1)Cn k k S =∑ vì : = = Cn k k =0 1 Ak +1 1 Ak +1 (k + 1)! k! ⇒ S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn = (1 + 1) n = 2n 0 1 2 n n(n − 1) Mà : 211 = Cn + Cn + Cn ⇔ 1 + n + 0 1 2 = 211 ⇔ n 2 + n − 420 = 0 2 ⇔ n = 20 ⇒ S = 220 Bài 3: Chứng minh hệ thức: 2.1Cn2 + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cnn = n(n − 1)2n − 2 3 4 Giải: Ta có : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn2 .x 2 + ... + Cnn −1.x n −1 + Cnn .x n 0 1 Đạo hàm 2 vế ta có: n(1 + x ) n −1 = Cn + 2Cn2 .x + ... + (n − 1)Cnn −1.x n − 2 + nCnn .x n −1 1 Đạo hàm lần nữa ta có: n(n − 1)(1 + x)n− 2 = 2.1Cn2 + 3.2Cn3 x + ... + (n − 1)(n − 2)Cnn−1 x n− 3 + n(n − 1)Cnn .x n− 2 Cho x=1 ta có: VT = n(n − 1)2n − 2 = VP ⇒ dpcm Bài 4: Tính tổng: Page 6 of 7
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010 P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408 S = ( Cn ) + 2 ( Cn ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cnn ) 1 2 2 32 2 2 Giải: Ta có :(1 + x) n .(1 + x) n = (1 + x) 2 n Đạo hàm 2 vế ta có: 2 (1 + x) n  '.(1 + x) n = (1 + x) 2 n  '       (1 + x ) n  ' = Cn + 2Cn .x + ... + (n − 1)Cn −1.x n −2 + nCn .x n −1 (1) 1 2 n n    Mà : (1 + x) n = Cn + Cn .x + Cn .x 2 + ... + Cn −1.x n −1 + Cn .x n (2) 0 1 2 n n    (1 + x )  ' = C2 n + 2C2 n .x + ... + (2n − 1)C2 n .x 2 n −1 2 n − 2  2n  1 2 + 2nC2 n .x 2 n −1 2n  ⇒ Qua (1) và (2) ⇒ HS x n −1 là: ( Cn ) + 2 ( Cn2 ) + 3 ( Cn ) + ... + n ( Cn ) 1 2 3 2 n 2 2 Mà qua (3) : HS x n −1 là:nC2 n n ⇒ S =(C n) 1 2 + 2( C ) 2 2 n + 3( C ) 3 2 n + ... + n ( C ) n 2 n = nC2 n n Bài 5: Tính tổng: 2 2 2 2  Cn   Cn   Cn  1 2 3  Cn  n S =  +  +   + ... +    2   3   4   n +1 Cách làm bài này tương tự bài trên nhưng các bạn dung phương pháp đạo hàm 2 vế. ………………….Hết………………… BT Viên môn Toán hocmai.vn Trịnh Hào Quang Page 7 of 7

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.