Chương 1: Không gian tuyến tính R

Chia sẻ: Lê Văn Phi | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

328
lượt xem 94
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 1: không gian tuyến tính r', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Không gian tuyến tính R

Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH Rn §1 Không gian tuyến tính 1.1 Khái niệm về không gian tuyến tính Đn 1.1 Cho K là tập con của tập hợp các số phức C. Tập K được gọi là một trường, nếu thỏa mãn các tiên dề sau đây: (a) Nêu α , β là các phần tử thuộc K thì α +β và αβ cũng là những phần tử thuộc K. (b) Phần tử 0 và 1 đều là phần tử thuộc K (c) Nếu α∈ K thì -α cũng là phần tử thuộc K. Ngoài ra, nếu α ≠ 0 thì α-1 cũng là phần tử thuộc K (với a. α- =1). Ví dụ: Tập hợp các số thực R, tập hợp các số phức C và tập hợp các số hữu tỉ Q là những trường. Trong khi đó tập hợp các số nguyên Z không phải là một trường, vì với n ≠ 0, n-1 = 1/n không phải là số nguyên. Đn 1.2: Tập X ≠ ∅ gồm các đối tượng nào đó được gọi là một không gian tuyến tính trên trường K, nếu trên đó: (I) Có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một phần tử z cũng thuộc X được gọi là “tổng” của x và y, ký hiệu z = x + y; (II) Có qui tắc cho ứng với một phần tử α ∈ K và một phần tử x ∈ X một phần tử p cũng thuộc X gọi là tích giữa α với x, ký hiệu là p = α x. (III) Các qui tắc cho ở (I) và (II) phải thỏa mãn 8 tiên đề sau đây: (1) ∀x, y ∈ X: x + y = y + x (tính giao hoán) (2) ∀x, y, z ∈ X : (x+y) + z = x + (y+z) (tính kết hợp) (3) ∃θ (phần tử 0) sao cho ∀x ∈ X : θ + x = x + θ = x (4) ∀x∈X: ∃ x’ (phần tử đối) sao cho: x + x’ = x’ + x = θ (5) ∀x∈X: 1x = x; (1∈K) (6) ∀α∈K, ∀x, y ∈X: α (x+y) = α x + αy (7) ∀α , β ∈K, ∀x∈X: (αβ )x = α(β x) (8) ∀α , β ∈K, ∀x∈X: (α +β )x = α x + β x Chú ý: Trong không gian tuyến tính X: 1) Phần tử θ là duy nhất. Để cho tiện ta ký hiệu phần tử không θ là 0. 2) Người ta ký hiệu các qui tắc được định nghĩa trong (I) và (II) là các phép cộng và nhân với một “vô hướng” trên trường K; Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 1
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ 3) Ứng với một phần tử x bất kỳ cũng có duy nhất một phần tử đối x’. Vì vậy phần tử này được ký hiệu là (-x); 4) Từ đó phần tử tổng của x và phần tử đối (-y) của phần tử y được gọi là “hiệu” giữa hai phần tử x và y. Tức là: x – y = x + (-y) 5) Nếu K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực1; nếu K = C, thì X là không gian tuyến tính phức. Ở bài tập 1.1 bạn đọc sẽ chúng minh được rằng trong không gian tuyến tính có các tính chất như sau: a) ∀α∈K: α0 = 0 b) ∀x∈X: 0x = 0 c) ∀x∈X, ∀α∈K, α ≠ 0: αx = 0 ⇒ x = 0 d) ∀x∈X, ∀α∈K: α(-x) = -(αx) e) ∀x∈X, ∀α∈K: (-α)x = -(αx) Đặc biệt: (-1)x = -x f) ∀x, y∈X, ∀α∈K: α (x -y) = αx - αy g) ∀x∈X, ∀α, β∈K: (α - β)x = αx - βy Ví dụ về không gian tuyến tính:2 1) Không gian các vectơ tự do trên đường thẳng (trong mặt phẳng, trong không gian) lần lượt là những không gian tuyến tính với phép cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một vô hướng và vecto 0 là phần tử 0. Vì vậy các phần tử trong một không gian tuyến tính thường được gọi là các vectơ và không gian tuyến tính còn được gọi là không gian vectơ. 2) Tập hợp các số thực cũng là không gian tuyến tính. 3) Ta xét tập hợp X gồm các bộ n số thực (x 1, x2, …., xn), với xi∈R, i = 1,2,…, n. Ta định nghĩa phép cộng giữa x = (x1, x2, …., xn) và y = (y1, y2, …., yn) như sau: x + y = (x1+y1, x2+y2,…., xn+yn), và phép nhân một vô hướng α∈R với một phần tử x = (x1, x2, …., xn): αx = (αx1, αx2, …., αxn) Với phép cộng và nhân như vậy và để ý rằng θ = 0 = (0. 0,….,0) và –x = (-x1, -x2, …., -xn), dễ thấy rằng tập X là một không gian tuyến tính. Người ta ký hiệu không gian này là Rn. 1.2 Cơ sở, chiều của một không gian tuyến tính 1 Từ nay về sau, khi nói X là “không gian tuyến tính” thì đó là không gian tuyến tính thực. 2 Các ví dụ tiếp theo về không gian tuyến tính xin xem ở [ ] Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 2
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đn 1.3: Cho X là một không gian tuyến tính (thực hoặc phức), {x1, x2, …., xk} là k vectơ thuộc X, k ∈ N. Các vectơ xi, i=1,2,…,k, được gọi là độc lập tuyến tính nếu đẵng thức (1.1) α1x1+ α 2x2 +….+ αkxk = 0 chỉ xãy ra khi α1 = α2 =… = α k = 0. Từ định nghĩa này suy ra, nếu tồn tại ít nhất một αl ≠ 0, 1 ≤ l ≤ k để cho đẵng thức (1.1) thỏa mãn, thì hệ các vectơ {x1, x2, …., xk} được gọi là phụ thuộc tuyến tính. Đn 1.4: Cho {x1, x2, …., xk} là hệ k vectơ thuộc không gian tuyến tính X, k ∈ N, và x∈ X. Nếu tồn tại các vô hướng αi (thực hoặc phức), i = 1,2, …, k, sao cho k (1.2) x = α1x1+ α 2x2 +….+ αkxk = ∑ αi x i i =1 thì x được coi là được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của k vectơ {x1, x2, …., xk }. Rõ ráng, hệ vectơ {x1, x2, …., xk} là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một trong số các vectơ ấy có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại. Đn 1.5: Một hệ vectơ {x1, x2, …., xk} trong không gian tuyến tính X được gọi là một cơ sở nếu : i) chúng là hệ vectơ độc lập tuyến tính; ii) bất kỳ một vectơ nào khác của X cũng có thể được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ đó; tức là: k (1.3) ∀x∈X:∃ αi∈ K, i =1,2,…,k, k∈ N: x = ∑ αi x i i =1 Ứng với một cơ sở {x1, x2, …., xk} cho trước thì sự biểu diễn x ở (1.3) là duy nhất. Khi ấy các vô hướng αi, i = 1,2,….k,được gọi là các toạ độ của x theo cơ sở {x1, x2, …., xk}. Do đó có thể viết x = (α 1, α2,…, αn) Ví dụ: Trong không gian Rn, cho n bộ số thực đặc biệt e1 = (1, 0,….,0), e2 = (0, 1, 0,…,0), …., en = (0,0,…, 1). Dễ thấy rằng hệ {e1, e2,…, en} là hệ độc lập tuyến tính. Lấy x = (α 1, α 2,…, αn), là bộ gồm n số thực αi , i = 1,2, …,n. Rõ ràng đẵng thức sau đây thỏa mãn: Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 3
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ k (1.4) x = α1e1+ α2e2 +….+ αkek = ∑ α i ei i =1 Vì vậy hệ {e1, e2,…, en} là một cơ sở của R và có thể coi các α i là toạ độ n của x theo cơ sở ấy. Đn 1.6: Trong không gian tuyến tính X một vectơ độc lập tuyến tính {x1, x2, …., xk} gọi là hệ (vectơ) độc lập tuyến tính cực đại, nếu thêm vào hệ đó bất kỳ một vectơ nào khác sẽ được hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính. Rõ ràng theo Đn 1.5 thì mỗi cơ sở của X là một hệ độc lập tuyến tính cực đại trong X. Đn 1.7: Số vectơ độc lập tuyến tính cực đại có trong X được gọi là số chiều của X, ký hiệu là dim X. Nếu dim X < ∞, thì X gọi là không gian tuyến tính hữu hạn chiều. Người ta chứng minh được những mệnh đề sau đây3: • Nếu X có một cơ sở gồm m vectơ thì theo Đn 1.5 số vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong X đúng bằng m, tức là dim X = m. • Ngược lại, nếu dim X = m thì bất kỳ một hệ gồm m vectơ độc lập tuyến tính nào đó trong X đều là một cơ sở của X. • Định lý bổ sung cơ sở: nếu dim X = m và {x1, x2, …., xk} là hệ gồm k vectơ độc lập tuyến tính trong X với k < m thì bao giờ cũng tìm thấy (m-k) vectơ xi∈ X, i = k+1, k+2,….m, sao cho hệ {x1, x2, …., xk, xk+1, xk+2,…., xm} là hệ độc lập tuyến tính và do đó tạo nên một cơ sở của X. Đlý 1.1: Cho X là không gian tuyến tính (thực hoặc phức), dim X = n, {f1, f2, …., fn} là một cơ sở của X. Cho x∈X bất kỳ và (α 1, α2,…, αn) là tọa độ của x theo cơ sở {f1, f2, …., fn}; tức là n (1.5) x= ∑ αifi i =1 Giả sử αk ≠ 0, 1 ≤ k ≤ n. Khi đó hệ {f1, f2, …., fk-1, x, fk+1,…, fn} cũng tạo nên một cơ sở của X. Chứng minh: a) Giả sử ta có đẵng thức n (1.6) 0= ∑ βi f i + β k x i =1,i ≠ k Thay x bởi (1.5) 3 SERGE LANG, Linear Algebra, Colombia University, New York Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 4
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ n n 0= ∑ βi f i + β k ∑ α i f i i =1,i ≠ k i =1 n (1.7) = ∑ (βi + βk αi )fi + βk α k f k i =1,i ≠ k Do theo giả thiết các fi, i =1,2,…,n là một cơ sở, nên chúng độc lập tuyến tính. Vì vậy từ (1.7) suy ra βi + βk α i = 0, i = 1, 2,...k − 1, k + 1,..., n   βk α k = 0 Theo giả thiết α k ≠ 0, nên từ đẵng thức thứ hai suy ra β k = 0. Do đó đẵng thức thứ nhất kéo theo (1.8) β i = 0 ∀i =1,2,…, n. Như vậy, đẵng thức (1.6) đúng khi và chỉ khi có (1.8). Từ đây suy ra hệ {f1, f2, …., fk-1, x, fk+1,…, fn} là hệ độc lập tuyến tính. b) Lấy y là một vectơ thuộc X bất kỳ. Giả sử γ i, i =1,2,..,n là toạ độ của y theo cơ sở {f1, f2, …., fn}; tức là n n (1.9) y= ∑ γ ifi = ∑ γ ifi + γ kf k i =1 i =1,i ≠ k Từ (1.5) và do α k ≠ 0 có thể biểu diễn fk theo các vectơ x và fi, i ≠ k như sau: n αi 1 fk = ∑ (− )f i + x i =1,i ≠ k αk αk Thay biểu thức nay vao (1.9) rồi nhom cac số hạng lại, ta có biểu thức ̀ ̀ ́ ́ biểu diễn y theo hệ cac vectơ {f1, f2,…, fk-1, x, fk+1,…, fn}: ́ n αi γ y= ∑ (γi − γ k )f i + k x i =1,i ≠ k αk αk Vì y bất kỳ nên điều nay chứng tỏ hệ {f1, f2,…, fk-1, x, fk+1,…, fn} là một cơ ̀ sở mới của X. Hệ nay chỉ phân biệt với hệ cũ bởi một vectơ; đó là x thay ̀ cho fk. Toạ độ của y theo cơ sở mới:  * αi  γ i = ( γ i − γ k α ), i = 1, 2,..., k − 1, k + 1,..., n  k (1.10)  .ª  γ* = γk  k αk  Ghi chú: Phép biến đổi toạ độ (1.10) gọi là phép biến đổi cơ sở hay phép biến đổi trục xoay (pivot-transformation). 1.3 Không gian tuyến tính con Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 5
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đn 1.8: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K, L là tập con của X; L ≠ ∅. Tập L được gọi là không gian (tuyến tính) con của X nếu bản thân L là không gian tuyến tính với phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa như trên X. Hiển nhiên, giao của một họ bất kỳ các không gian con của X cũng là một không gian con (của X). Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ cũng có một không gian con của X chứa A. Đó là không gian X Giao của tất cả các không gian con của X chứa A là không gian con nhỏ nhất của X chứa A, ký hiệu liA, và được gọi là bao tuyến tính của A. Tức là (1.11) liA = IL(A) , L(A) là không gian con chứa A Đlý 1.2: Tập L ⊆ X là không gian con của X khi và chỉ khi: (1.12) ∀x,y∈ L, ∀α , β∈ K: α x + β y∈ L Chứng minh: Rõ ràng, nếu L là không gian tuyến tính trên trường K thì (1.11) là hiễn nhiên. Ngược lại, nếu (1.11) thỏa mãn thì dễ dàng kiểm chứng 8 tiên đề ở phần 1.1. Đặc biệt, nếu α = β = 0 thi 0∈ L và khi β = 0, α = -1, thì, cùng với x, (-x) ∈ L. Điều nay chứng tỏ L là không gian tuyến tính trên trường K. Vậy L là không gian con của X. ª Ví dụ về không gian con: 1) Tập L = {0} và L = X là những không gian con đặc biệt 2) Cho X = Rn. Khi đó các không gian R, R2,…., Rn-1 là các không gian con của Rn. 3) Cho A là ma trận cấp (mxn). Ký hiệu r[A] là hạng của ma trận A. Giả sử r[A] = m≤ n . Khi đó tập hợp các lời giải của hệ phương trình tuyến tính Ax = 0 là không gian con (n-m) chiều của Rn. 4) Không gian các ma trận thực có m hàng, n cột với phép cộng và nhân ma trận thông thường; phần tử 0 là ma trận 0. 5) Không gian các đa thức có hệ số thực có bậc không quá n. 6) Không gian các hàm số thực, xác định và liên tục trên [a,b] (không gian C[a,b])với phép cộng và nhân với một vô hướng định nghĩa như sau: ∀f, g∈ C[a,b];∀x∈[a,b]: [f + g](x) = f(x) + g(x) ∀f∈ C[a,b]; ∀α∈R: [αf](x) = α.f(x) 1.4 Đa tạp tuyến tính: Cho X là không gian tuyến tính trên trường K; a,b là hai phần tử khác nhau của X. Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 6
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đn 1.9: Tập hợp (1.13) D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1} được gọi là đường thẳng đi qua a và b. • Nếu trong (1.13) thêm điều kiện α ≥ 0, thì D là nửa đường thẳng (tia) xuât phát từ b và đi qua a. • Khi thêm vào (1.13) điều kiện β ≥ 0 thì D là nửa đường thẳng (tia) xuât phát từ a và đi qua b. • Nếu đồng thời thêm cả hai điều kiện α ≥ 0 và β ≥ 0 thì D là đoạn thẳng nối a với b. Đn 1.10: Cho V là tập con của X, V ≠ ∅ và có ít nhất hai phần tử phân biệt. Nếu cùng với hai phần tử bất a, b bất kỳ thuộc V mà V chứa toàn bộ đường thẳng đi qua hai phần tử ấy thì V được gọi là một đa tạp tuyến tính (hoặc đa tạp aphin). Tức là: (1.14) ∀a,b∈ V: D = {x∈X/ x = αa + βb, α + β = 1} ⊆ V ⇔ V là aphin Hay biểu diễn dưới dạng khác: V là đa tạp tuyến tính, nếu và chỉ nếu (1.15) ∀α, β∈ K: αV + βV ⊆ V Hiển nhiên bất kỳ không gian con nào cũng là một đa tạp tuyến tính và giao của một họ bất kỳ các đa tạp tuyến tính, nếu khác trống, cũng là một đa tạp tuyến tính. Cho A là tập con không rỗng của X. Bao giờ cũng có một đa tạp tuyến tính chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Giao của tất cả các đa tạp tuyến tính của X chứa A là đa tạp tuyến tính nhỏ nhất chứa A, ký hiệu là affA và gọi là bao aphin của A. Tức là: (1.16) affA = ∩ V(A), V(A) là đa tạp tuyến tính chứa A Trong bài tập 1.2 bạn đọc sẽ chứng minh rằng, nếu V là đa tạp tuyến tính trong X, thì k k (1.17) ∀k∈N, ∀{x1, x2, …., xk} ⊆ V: ∑ αi x i ∈ V, ∑ α i = 1 i =1 i =1 Nếu ký hiệu k k x= ∑ αi x i , ∑ αi = 1 i =1 i =1 là tổ hợp aphin gồm k phần của x thì tính chất này có thể được phát biểu như sau: Nếu V là đa tạp tuyến tính thì bất kỳ tổ hợp aphin nào đó của các phần tử của V đều chứa trong V. Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 7
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đlý 1.3: Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng K, V ⊆ X, V≠ ∅ và a∈ V. Tập V là đa tạp tuyến tính khi và chỉ khi V có dạng: (1.18) V = L + a = {x∈X/ ∃ y∈L: x = y + a} Trong đó L là không gian con của X. Chứng minh: a) Giả sử V là đa tạp tuyến tinh. Từ (1.18), L = V – a = {x∈X/ ∃ y∈V: x = y- a). Rõ ràng 0∈L, vì a∈V. Lấy x, y∈L, α,β∈K. Khi ấy theo (1.18) sẽ tìm thấy x’, y’∈V để cho x = x’-a, y = y’-a. Ta có αx + βy = α(x’-a) + β(y’-a) = αx’+ βy’ - (α + β)a = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a - a Đặt z = αx’+ βy’+ [1 -(α + β)]a. Vì x’, y’, a∈V và α+β+ [1 -(α + β)]=1 nên theo (1.17) (với k = 3) z ∈ V. Do đó αx + βy = z -a cũng thuộc L. Theo định lý 1.2 thì L là không gian con. b) Giả sử L là không gian con và V có dạng như (1.18). Lấy x, y∈ V, α,β∈K, với α+β =1. Khi đó sẽ tồn tại x’, y’∈L để cho x = x’+ a, y = y’+ a. Ta có: αx + βy = α(x’+a) + β(y’+ a) = (αx’+ βy’) + (α+β)a = αx’+ βy’ + a Đặt z = αx’+ βy’. Khi ấy z∈L, và do đó (αx + βy) ∈ V. Suy ra V là đa tạp tuyến tinh. ª Như vậy, theo (1.18), nếu V⊆X là một đa tạp tuyến tính và a∈V thì L(a) với L(a) = V – a là một không gian con của X. Cho b là phần tử khác của V. Khi ấy cũng theo định lý trên L(b) = V-b cũng là không gian con của X. Tuy nhiên, trong bài tập 7 bạn đọc sẽ chứng minh rằng L(a) = L(b). Tức là, mỗi đa tạp tuyến tính V sẽ tương ứng với duy nhất một không gian con L, xác định bởi (1.8), trong đó a là một phần tử bất kỳ của V. Vì phép biến đổi (1.8) là phép tịnh tiến song song, nên người ta gọi L là không gian con song song với đa tạp tuyến tính V. Từ đây có thể định nghĩa thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính như sau: dimV = dimL Tức là, thứ nguyên của một đa tạp tuyến tính được định nghĩa là chiều của không gian con song song với nó. §2 Không gian Euclid, không gian định chuẩn, không gian mêtric 2.1 Không gian Euclid Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 8
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đn 2.1: Không gian tuyến tính X được gọi là không gian Euclid (Ơcơlit) nếu 1) có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y bất kỳ thuộc X một số thực α , ký hiệu α = 〈x,y〉 , gọi là tích vô hướng giữa x và y; 2) Tích vô hướng xác định ở 1) phải thỏa mãn 4 tính chất sau đây: i) ∀x, y∈X: 〈x,y〉 = 〈y,x〉 ii) ∀x, y, z∈X: 〈x+y,z〉 = 〈x,z〉 +〈y,z〉 iii) ∀x, y∈X, ∀α∈R: 〈αx,y〉 = α〈x,y〉 iv) ∀x∈X, x ≠ 0: 〈x,x〉 > 0 và 〈x,x〉 = 0 ⇔ x = 0 Từ các tính chất trên, bạn đọc có thể chứng minh trong bài tập 8 các tính chất tiếp theo như sau: v) ∀x, y∈X, ∀α∈R : 〈x, αy〉 = α〈x,y〉 vi) ∀x, y, z∈X: 〈x,y+z〉 = 〈x,y〉 +〈x,z〉 vii) ∀x, y∈X: x, y ≤ x, x y, y Ví dụ về không gian Euclid: 1) Không gian các vectơ tự do là không gian Euclid với tích vô r r hướng giữa hai vectơ a va b là tích vô hướng thông thường: r r r r r r r r 〈 a , b 〉 = a . b =  a . b .cos( a , b ) 2) Không gian các hàm số một biến số thực liên tục trên đoạn [a,b], C[a,b], là không gian Euclide với tích vô hướng được định nghĩa như sau: b 〈f(t), g(t)〉 = ∫ f (t).g(t)dt a 3) Không gian tuyến tính Rn cũng là một không gian Euclid với tích vô hướng giữa x = (x1, x2,…. xn) và y = (y1, y2,…, yn) được định nghĩa theo một trong 2 cách sau đây: n a) 〈x,y〉 = ∑ x i yi 4 i =1 n n b) 〈x,y〉 = ∑ ∑ a ij x i y j i =1 j=1 4 Khi ấy tính chất vii) ở định nghĩa 2.1 trở thành Bất đẵng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: n n n ∑ x i yi ≤ (∑ x i2 )(∑ yi2 ) i =1 i =1 i =1 Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 9
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Trong đó A = ((aij)) là ma trận vuông, đối xứng xác định dương n n (positive definit); tức là m = n và ∀x ≠ 0, ∑ ∑ a ij x i x j > 0 . i =1 j=1 2.2 Không gian định chuẩn Đn 2.2 : Không gian (tuyến tính) X trên trường vô hướng K được gọi là không gian (tuyến tính) định chuẩn, nếu trên đó có qui tắc cho ứng với mỗi phần tử x∈X bất kỳ một số thực không âm gọi là chuẩn (hoặc độ dài) của x, ký hiệu là x , thỏa mãn các tính chất sau đây: i) ∀x∈X: x ≥ 0 và x = 0 ⇔ x = 0 (Tính không âm) ii) ∀x∈X, ∀λ∈R: λx = λ x . (Tính đồng nhất) iii) ∀x, y ∈X: x + y ≤ x + y (Bất đẵng thức tam giác) Dễ thấy rằng không gian Euclid là một không gian định chuẩn với chuẩn được định nghĩa như sau: (2.1) x = x, x Chuẩn (2.1) được định nghĩa dựa vào tích vô hướng trong không gian Euclide nên có tên là chuẩn Euclid. Không gian tuyến tính Rn cũng là không gian euclide nên cũng là không gian định chuẩn.5 2.3 Không gian mêtric Đn 2.2: Một tập hợp X được gọi là khả mêtric hay gọi đơn giản là không gian mêtric, nếu có qui tắc cho ứng với hai phần tử x, y∈X bất kỳ một số thực không âm gọi là khoảng cách (mêtric) giữa x và y, ký hiệu là ρ (x,y), thỏa mãn các tính chất sau đây: n 5 Ngoài chuẩn euclide x = x, x = ∑ x i2 trong không gian Rn người ta còn có thể định i =1 nghĩa các chuẩn khác như sau: a) Chuẩn max x ∞ = max{ x1 , x 2 ,...., x n } n b) Chuẩn trị tuyệt đối: x 1 = ∑ xi i =1 (∑ x ) 1 n p p c) Chuẩn tổng quát: xp= i ,p≥ 1 i =1 Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 10
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ i) ∀x, y ∈X:ρ (x,y) ≥ 0 và ρ (x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y (Tính không âm) ii) ∀x, y ∈X: ρ (x,y) = ρ (y,x) (Tính đối xứng) iii) ∀x, y, z ∈X: ρ(x,z) ≤ ρ(x,y) + ρ(y,z) (Bất đẵng thức tam giác) Dễ thấy rằng không gian định chuẩn X là không gian mêtric với khoảng cách ρ(x,y) được định nghĩa như sau: (2.2) ρ(x,y) = x − y Đặc biệt, vì Rn, là không gian định chuẩn nên cũng là không gian mêtric với khoảng cách n (2.3) ρ(x,y) = x − y = ∑ (x i − yi )2 i =1 Trong đó x = (x1, x2,….,xn) và y = (y1, y2,….,yn). Mêtric (2.3) được tạo nên từ chuẩn euclide nên được gọi là mêtric Euclid và ký hiệu là ρ E(.,.). • Cho X là không gian mêtric, A là tập con của X, a∈X. Đại lượng (2.4) ρ(a,A) = inf ρ(a, x) x∈A gọi là khoảng cách từ a tới A. Rõ ràng, nếu a ∈A, thì ρ = 0. Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. • Nếu B là một tập con khác của X thì khoảng cách từ A đến B là đại lượng inf ρ(x, y) (2.5) ρ(A,B) = x∈A y∈B • Đường kính của tập A là đại lượng (2.6) diamA = sup ρ(x, y) x ,y∈A • Tập A được gọi là bị chặn (giới nội) nếu tồn tại một số dương µ sao cho diamA ≤ µ hoặc cũng vậy ∀x, y ∈ X, ρ(x,y) ≤ µ • Mọi tập hợp X gồm các phần tử nào đó, trong đó có xác định quan hệ bằng nhau, đều có thể là không gian mêtric, nếu định nghĩa Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 11
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ 0, x=y ρ(x, y) =  1, x≠y §3 Tập mở, tập đóng, tập compac 3.1 Tập mở, tập đóng Cho X là không gian mêtric với mêtric ρ(.,.). Đn 3.1, Cho x∈X bất kỳ, ε > 0. Tập hợp (3.1) S(x, ε ) = {y∈X/ ρ (x,y) < ε } được gọi là hình cầu tâm x bán kính ε Hiển nhiên x∈ S(x, ε). Đn 3.2. Một tập con V của X được gọi là một lân cận của x ∈X, ký hiệu là V(x) nếu nó chứa một hình cầu S(x, ε ) với số ε > 0 nào đó. Cho A là tập con của X, x ∈X. Giữa x và A có 3 vị trí tương đối như sau: (3.1) Có một lân cận của x, V(x), nằm hoàn toàn trong A. Khi đó x được gọi là điểm trong của A. Tập hợp tất cả các điểm trong o của A được ký hiệu là A . Hiển nhiên mọi điểm trong của A đều o thuộc A. Tức là A ⊆A. (3.2) Có một lân cận của x, V(x), nằm hoàn toàn trong phần bù của A theo X, tức là nằm trong tập hợp C X A = {y ∈ X, y ∉ A} . Khi đó x được gọi là điểm ngoài của A. Hiển nhiên mọi điểm ngoài của A đều không thuộc A. (3.3) Bất kỳ một lân cận nào của x cũng đều chứa điểm trong và điểm ngoài của A khác x. Khi ấy x được gọi là điểm biên của A. Tập hợp các điểm biên của A được ký hiệu là ∂A. V(x) V(x) V(x) x x x A A A (3.1) (3.2) (3.3) Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 12
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Hinh 1.1 Đn 3.3: Tập A ⊆ X được gọi là mở nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm o trong của nó. Tức là A = A . Tập A ⊆ X được gọi là đóng nếu mọi điểm không thuộc A đều là o điểm ngoài của nó. Tức là A = A ∪ ∂A. Tập trống ∅ và toàn bộ không gian X được coi là vừa mở vừa đóng. Từ định nghĩa trên đây dễ dàng thấy rằng tập A là mở khi và chỉ khi phần bù của CXA là tập đóng. Trong Bài tập 13 bạn đọc sẽ chứng minh các tính chất sau đây: T1) Hình cầu S(x,ε ) là mở, còn hình cầu _________ S(x, ε) ={y ∈ X / ρ(y, x) ≤ ε} là đóng. T2) Giao của hữu hạn hoặc hợp của một họ bất kỳ các tập mở là mở. T3) Hợp của hữu hạn hoặc giao của một họ bất kỳ các tập đóng là đóng. Cho A là tập con không rỗng bất kỳ của X. Bao giờ cũng có một tập o mở bao hàm trong A, đó là tập các điểm trong A của A. Ta xét hợp của tất cả các tập mở G(A) bao hàm trong A, ký hiệu intA = ∪G(A) và gọi là phần trong của A. Theo tính chất T2 thì intA cũng là một tập mở và là tập mở lớn nhất bao hàm trong A. Hiển nhiên A mở khi và chỉ khi A = intA và o intA = A . Mặt khác, bao giờ cũng có một tập đóng bao hàm A. Đó là toàn bộ không gian X. Ta xét giao của tất cả các tập đóng F(A) bao hàm A, ký hiệu A = ∩ F(A). Theo tính chất T3 thì A là tập đóng. Rõ ràng đây là tập đóng nhỏ nhất bao hàm A. Vì vậy người ta ký hiệu A là bao đóng của A. Hiển nhiên A đóng khi và chỉ khi A = A . 3.2 Sự hội tụ trong không gian mêtric Đn 3.4: Tập hợp A gòm các phần tử trong không gian mêtric X được gọi là một dãy vô hạn, ký hiệu là { x k } nếu tồn tại một song ánh từ các phần tử của A lên tập hợp các số tự nhiên N. Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 13
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Trong không gian mêtric X với mêtric ρ(.,.) dãy vô hạn { x k } được gọi là hội tu về x0, ký hiệu x k  x 0 k →∞ → hay lim x k = x 0 k →∞ nếu ρ(x k , x 0 )  0 k →∞ → Điểm x0 như vậy được gọi là giới hạn (hoặc điểm giới hạn) của { x k } . n Cho X= Rn và lấy ρ = ρ E(x,y) = x − y = ∑ (x i − yi ) 2 với xi, yi, i =1 ___ i = 1, n , là các toạ độ của x, y theo một cơ sở nào đó. Khi ấy x k  x 0 tương ứng với ρ(x k , x 0 )  0 , hay k →∞ → k →∞ → n xk − x0 = ∑ (x ik − x i0 )2  0 k →∞ → i =1 k 0 với x , x , i=1,2,…,n, là toạ độ của xk, x0, tương ứng. Điều này chỉ có thể i i xãy ra khi (3.5) x ik  x i0 , i = 1,2,….,n k →∞ → Như vậy, sự hội tụ trong không gian Rn với mêtric Euclide là sự hội tụ theo toạ độ dạng (3.5) • Một dãy vô hạn { x k } trong không gian mêtric X được gọi là dãy Cauchy, nếu ∀ε >0 bất kỳ có thể tìm thấy ∃ k0 ∈N, sao cho ∀k,l > k0 đều có ρ(xk,xl) < ε . Rõ ràng mọi dãy hội tụ đều là một dãy Cauchy. Điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. • Không gian mêtric, trong đó mọi dãy Cauchy đều hội tụ, được gọi là không gian mêtric đủ. Vì trong Rn mọi dãy Cauchy đều hội tụ nên nó là một không gian mêtric đủ. Đn 3.5: Một dãy vô hạn khác x kl { } được gọi là dãy con của { x k } nếu a) {x } kl ⊆ { xk} b) ∀k 0 ∈ N, ∃ l0 ∈ N : ∀ l > l0 ⇒ k l > k 0 Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 14
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Điểm a) trong Đn 3.5 nói rằng các phần tử của dãy con x kl { } là các phần tử nằm trong dãy mẹ { x k } ; điểm b) yêu cầu thứ tự của các phần tử trong dãy con x kl{ } so với thứ tự của chúng trong dãy lớn { x } nếu bị k thay đổi thì chỉ có thể thay đổi với hữu hạn các phần tử mà thôi. • Dễ thấy rằng, nếu x k  x 0 và x kl k →∞ → { } là dãy con của dãy { x k } thì x k  x 0 l k →∞ → Tức là nếu dãy { x k } hội tụ về x0 thì mọi dãy con của nó cũng đều hội tụ về duy nhất một điểm x0. Một dãy vô hạn có thể chứa nhiều dãy con hội tụ về nhiều điểm khác nhau. • Nếu { x k } ⊂ A và x0 là giới hạn của { x k } thì nó được gọi là điểm tụ của A 3.3 Tập hợp compac Đn 3.6: Một tập A trong không gian mêtric X là hoàn toàn giới nội (hoặc tiền compac, hoặc compac có điều kiện) nếu ∀ε > 0 có thể tìm thấy hữu hạn các điểm a1, a2,..., ak. k ∈ N, để cho k (3.6) A ⊆ U S(a i .ε) i =1 Tức là tập A được phủ bởi hữu hạn các hình cầu tâm ai bán kính ε. Khi đó tập hợp Aε = { a1, a2,..., ak } được gọi là lưới ε hữu hạn của A. Ở bài tập 15 bạn đọc sẽ chứng minh rằng trong một không gian mêtric bất kỳ một tập hợp hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội. Đn 3.7: Tập V trong không gian mêtric X được gọi là compac nếu mỗi dãy vô hạn trong V đều chứa một dãy con hội tụ về một điểm thuộc V. Từ định nghĩa này ta thấy rằng một tập V là đóng khi và chỉ khi V chứa toàn bộ các điểm tụ (giới hạn) của nó. Bài tập 16 cho thấy rằng một tập hợp compac thì bao giờ cũng đóng và hoàn toàn giới nội. Mặt khác, một tập hoàn toàn giới nội bao giờ cũng giới nội. Do vậy một tập compac trong không gian mêtric bất kỳ là đóng và giới nội. Ngược lại, do một tập giới nội trong không gian mêtric đủ thì hoàn toàn giới nội, nên một tập Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 15
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ đóng và giới nội trong không gian mêtric đủ là compac. Như vậy trong không gian mêtric đủ Rn tính compac có nghĩa là đóng và giới nội. Mặt khác, trong một không gian định chuẩn bất kỳ, mọi tập đóng và giới nội đều compac.6 Người ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng, nếu A là compac thì cũng là tiền compac. Tuy nhiên, điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, trong R tập A = (0;1) với mêtric ρ(x,y) =  x-y là tập tiền compac nhưng không compac. §4 Tập hợp lồi 4.1 Khái niệm về tập lồi và các tính chất của tập lồi Đn 4.1: Cho X là không gian mêtric bất kỳ; V là tập con không rỗng của X. Tập V được gọi là lồi nếu với hai điểm x, y bất kỳ V chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm đó. Tức là: (4.1) ∀x, y ∈ V, ∀λ ∈ [0;1]: z = λx + (1 − λ )y ∈ V Hay λV + (1-λ)V ⊆ V, 0 ≤ λ ≤ 1 Ví dụ về tập lồi: x y x y x y x y a) b) c) d) ̀ Hinh 1.2 Các tập a), b), c) là những tập lồi. Tập d) là không lồi Các tính chất của tập lồi: T1) Nếu V là lồi, xi, i =1, 2, 3,..., k là k điểm thuộc V, αi, i =1,2,..., k, là k k số thực không âm sao cho ∑ α i = 1 , thì điểm i =1 6 Cho tập A đóng và giới nội. Lấy {xk} là dãy vô hạn bất kỳ. Do {xk} bị chặn, nên tồn tại một dãy con {xkl} hội tụ về x0. Do A đóng nên x0∈A. Vậy A compac. Xem V.V. Voerodin: Đại số tuyến tính, NXB Mir 1983, Tr. 234. Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 16
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ k (4.2) y = ∑ α i x i ∈ V, i =1 trong đó k là số tự nhiên bất kỳ. Ở (4,2) y được gọi là tổ hợp lồi của các điểm xi, i = 1,2,...,k, của V. Khi ấy tính chất T1) có thể phát biểu thành định lý như sau: Nếu V là lồi thì V cũng chứa toàn bộ các tổ hợp lồi của các điểm của nó. T2) Giao của hữu hạn các tập lồi, nếu không rỗng, cũng là một tập lồi. T3) Cho A,B là tập con lồi của X, a∈X và α∈ R. Khi đó các tập hợp sau đây là lồi: A + B = {z∈ X, z = x + y, x∈A, y∈B} a + B = {z∈ X, z = a + y, y∈B} A + a = {z∈ X, z = x + a, x∈A} αA = {z∈ X, z = αx, x∈A} T4) Nếu A là lồi thì phần trong và bao đóng của A cũng là lồi Cho A là tập con không rỗng của không gian mêtric X. Bao giờ cũng có một tập lồi chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Ta xét giao của tất cả các tập con lồi của X mà chứa A. Theo tính chất T2) thì đây cũng là tập lồi và là tập lồi nhỏ nhất chứa A. Người ta gọi nó là bao lồi của A và ký hiệu là convA (hoặc coA). Tức là: (4.3) convA = ∩G(A) Trong đó G(A) là lồi và chưa A. Hiễn nhiên khi A lồi thì convA = A. Người ta định nghĩa thứ nguyên của một tập lồi A là thứ nguyên của bao aphin affA. Tức là dimA = dim(affA) Như vậy, tập một điểm sẽ có dim = 0, đoạn thẳng, nửa đường thẳng, đường thẳng là những tập có thứ nguyên 1, v.v... Đlí 4.1 (Carathéodory) Nếu A là tập hợp chứa trong đa tạp aphin V với dimV = r thì mỗi điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá (r+1) điểm thuộc A. Chúng minh: Ta có A ⊆ V và dimV = r. Lấy y∈convA bất kỳ. Khi đó y có k k dạng y = ∑ α i x i , xi∈A, 0 ≤ α i, i =1, 2,...,k, ∑ αi = 1 . Không giảm tổng i =1 i =1 quát, giả sử α i > 0, i =1, 2,...,k. a) Khi k ≤ (r+1) thì định lý đúng đối với y. Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 17
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ b) Giả sử k > (r+1). Khi đó, đặt L = V – xk. L là không gian con song song với V nên theo giả thiết dimL = r. Do x i ⊆ A, i =1,2,...,k, nên chúng cũng là phần tử của V. Như vậy các vectơ xi – xk , i = 1,2, ..., (k-1), là (k-1) phần tử thuộc không gian con L. Vì theo giả thiết (k-1) > r, nên (k-1) vectơ này phải là hệ phụ thuộc tuyến tính. Suy ra, sẽ tồn tại (k-1) số thực β i, i =1,2,...,(k-1) không đồng thởi bằng 0 để cho k −1 0 = ∑ βi (x i − x k ) i =1 k −1 k k Đặt β k = - ∑ βi ⇒ ∑ βi = 0 và ∑ βi x i = 0. Do phải có ít nhất một β i khác i =1 i =1 i =1 0 và tổng của chúng bằng 0, nên phải có ít nhất một β m dương, 1 ≤ m ≤ k. Vậy dặt βi µ = max >0 βi > 0 αi Không giảm tổng quát, giả sử µ = β k/αk. (Nếu không như vậy, chỉ cần thay đổi cách đánh số thứ tư). Từ đẵng thức: k 1 k y=y+0= ∑ α i x i - µ ∑ βi x i i =1 i =1 ta có k −1 1 (4.4) y= ∑ (αi − βi )x i i =1 µ 1 k −1 Đặt α i = α i − βi , i = 1,2,..., (k-1). Khi đó ∑ αi' = 1 và αi ≥ 0 , i = 1,2,..., ' ' µ i =1 (k-1). Như vậy theo (4.4) y đã được biểu diễn thành tổ hợp lồi của k-1 phần tử thuộc A. c) Nếu ở đây (k-1) ≤ (r+1) thì chứng minh dừng lại. Trong trường hợp ngược lại, chứng minh sẽ được thực hiện như trong phần b). Qua mỗi bước người ta sẽ bớt đi dược ít nhất một số hạng trong tổ hợp lồi xác định y. Do đó sau một số hữu hạn lần thực hiện qui trình như phần b) sẽ có một số p, sao cho y là tổ hợp lồi của (k-p) phần tử thuộc A với (k-p) ≤ (r+1). Định lý được chứng minh xong. ª Theo định lý này thì nếu A là tập hợp chứa trong một đường thẳng thì mọi điểm của bao lồi của A có thể được biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá 2 điểm thuộc A, vì dimA = 1. Tương tự, nếu A là tập hợp chứa trong mặt phẳng thì mọi điểm của convA có thể biểu diễn thành tổ hợp lồi của không quá 3 điểm thuộc A v.v.... 4.2 Nón lồi Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 18
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đn 4.2: Tập K’ trong không gian tuyến tính X được gọi là nón có mũi (đỉnh) tại x0, nếu (4.5) ∀x ∈ K ' , ∀λ ≥ 0 : [x 0 + λ (x − x 0 )] ∈ K ' Rõ ràng các không gian con và các đa tạp tuyến tính đều là những nón có đỉnh tại bất cứ điểm nào đó. Đó là những nón có vô số đỉnh. Khi x0 = 0 ta nói rằng K’là nón có đỉnh tại gốc (tọa độ). Mặt khác, nếu K’ là nón có đỉnh tại x0 thì K với K = K’- x0, là nón có đỉnh tại gốc. Rõ ràng K đạt được từ K’ khi tịnh tiến x0 về gốc tọa độ. Phép tịnh tiến bảo toàn hình dạng vật lý của vật thể. Do đó có thể nghiên cứu K thay cho nghiên cứu K’. Vì vậy ta có định nghĩa như sau: Đn 4.3: Tập K trong không gian mêtric X gọi là nón có đỉhh tại gốc nếu (4.6) ∀x ∈ K; ∀λ ≥ 0 : λx ∈ K Hay λK ⊆ K ∀λ ≥ 0 Ví dụ về nón trong R2: x x x0 x0 0 Nón có đỉnh tại x0 Nón có đỉnh tại x0 0 Nón có đỉnh tại gốc ̀ Hinh 1.3 Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 19
Lý thuyêt Qui hoach tuyên tinh ́ ̣ ́ ́ Đn 4.4: Nón K là nón lồi nếu nó là tập lồi. Từ đây ta có thể chứng minh định lý sau đây: Đlí 4.2: Tập K trong không gian mêtric X là nón lồi khi và chỉ khi i) ∀x ∈ K; ∀λ ≥ 0 : λx ∈ K ii) ∀x, y ∈ K : x + y∈K (4.7) Hay, cũng vậy: i) λK ⊆ K ∀λ ≥ 0 ii) K+K⊆ K Chúng minh: a) Điều kiện đủ: Giả sử có (4.7). Điều kiện i) cho thấy K là một nón. Lấy α ∈[ 0;1] và x, y ∈ K bất kỳ; xét z = αx + (1-α)y. Do α ≥ 0 và (1-α) ≥ 0, nên theo i) x’ = αx∈ K và y’ = (1-α)y∈ K. Từ đó theo ii) với z = αx + (1-α)y = x’ + y’ ∈ K. Suy ra K là nón lồi. b)Điều kiện cần: i) là hiển nhiên vì K là một nón. Lấy x, y ∈ K bất kỳ. Ta có: x + y = 2[(1/2)x + (1/2)y] = 2z, với z = [(1/2)x + (1/2)y]. Vì K là tập lồi nên z ∈ K. Do K là nón nên x + y = 2z ∈ K. ª Cho A là tập con bất kỳ của X. Bao giờ cũng có một nón lồi chứa A. Đó là toàn bộ không gian X. Khi đó hiễn nhiên KA = ∩K(A), với K(A) là nón lồi chứa A, cũng là nón lồi và chứa A. Đó là nón lồi nhỏ nhất chứa A. Người ta gọi đó là nón lồi sinh bởi A. 4.3 Định lý về nón đóng: Đlí 4.3: Cho A là ma trận cấp (mxn). Nếu các cột của A là độc lập tuyến tính thì phép biến đổi tuyến tính y = Ax sẽ biến một tập đóng X ⊆ Rn thành một tập đóng Y⊆ Rm. Chúng minh: Lấy dãy vô hạn {yk} ⊆ Y, tức yk = Axk, k = 1, 2,...., Giả sử yk → y0. Do các cột của A độc lập tuyến tính nên ma trận A TA là không suy biến 7. Tức là tồn tại (ATA)-1. Từ {yk} ta có dãy vô hạn {xk} trong X với xk = (ATA)-1 (AT yk), k = 1, 2,..... Đặt x0 = (ATA)-1 (AT y0). Do lim x k = (A T A) −1 (A T (lim y k )) = (A T A) −1 (A T y 0 ) = x 0 k →∞ k →∞ nên x0 là điểm giới hạn của X. Do X đóng nên x 0 ∈ X. Mặt khác từ định nghĩa x0 ta có AT y0 = (ATA) x0 = AT(Ax0). Hay AT(y0 - Ax0) = 0. Do các cột của A độc lập tuyến tính nên suy ra y0 = Ax0. Điều này chứng tỏ y0 ∈ Y. Vì 7 Xem SERLANG Lê Văn Phi, Khoa Toan Thông kê, Trường Đai hoc Kinh tế Tp. Hồ Chí Minh ́ ́ ̣ ̣ 20