Chương 1: Sai số

Chia sẻ: Tran Cong Phuc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

309
lượt xem 76
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài 1: Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với những giá trị của các đối số đã cho. Bài 2: Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được d=1,112 và sai số cho phép đo là 1 mm. Lấy π = 3,141 và xem π,d là các đối số của phương trình thể tích hình cầu V.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1: Sai số

Chương 1: Sai số Bài 1: Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với những giá trị của các đối số đã cho. 1.1/ u = tg ( x 2 y + yz ) , x = 0,983; y = 1,032; z = 2,114. ⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10−3 Ta có : u = tg (0,983 .1,032 + 1,032.2,114) = 0,037283 2 [ ] . u ' x = 1 + tg 2 (0,983 2.1,032 + 1,032.2,114) .(2.0,983.1,032) = 2,031732 [ ] . u ' y = 1 + tg 2 (0,983 2.1,032 + 1,032.2,114) .(0,983 2 + 2,114) = 3,084571 [ ] . u ' z = 1 + tg 2 (0,983 2.1,032 + 1,032.2,114) .1,032 = 1,033435 Vậy: ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = 2,031732 .0,5.10 −3 + 3,084571.0,5.10 −3 + 1,033435 .0,5.10 −3 ∆u = 0,003075 ∆u 0,003075 ⇒δu = u = 0,037283 = 0,082477 2.1/ u = z.e sin( xy ) , x = 0,133; y = 4,732; z = 3,015 ⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10 −3 Ta có: u = z.e sin( xy ) = 3,015.e sin( 0,133.4, 732) = 5,431548 . u ' x = z.e sin( xy ) . y. cos( xy ) = 3,015.e sin( 0,133.4,732 ) .4,732. cos(0,133.4,732) = 20,777737 . u ' y = z.e sin( xy ) .x. cos( xy) = 3,015.e sin( 0,133.4,732 ) .0,133. cos(0,133.4,732) = 0,58399 . u ' z = e sin( xy ) = 1,801508 Vậy: ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = ( 20,777737 + 0,58399 + 1,801508 ).0,5.10 −3 = 0,011582 ∆u 0,011582 ⇒δu = u = 5,431548 = 0,002132 3.1/ u = x 2 cos( yz ) , x = 1,132; y = 2,18; z = 0,145 ⇒ ∆x = ∆z =0,5.10-3, ∆y = 0,5.10-2 Ta có : u = 1,132 2 cos(2,18.0,145) = 1,217936 . u ' x = 2 x.cox( yz ) = 2,15183 . u ' y = − x 2 .z. sin( yz ) = −0,05776 . u ' z = − x 2 y sin( yz ) = −0,868395
Vậy : [ ] ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = ( 2,15183 + 0,868395 ).0,5.10 −3 + 0,05776 .05.10 −2 = 0,001799 ∆u 0,001799 ⇒ δu = u = 1,217936 = 0,001477 4.1/ u = z 2 ln( xy ) , x = 0,123; y = 1,734; z = 2,015 ⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10 −3 Ta có : u = −6,273616 z2 . u' x = = 33,009959 x z2 . u' y = = 2,341537 y . u ' z = 2 z. ln( xy ) = −6,226914 Vậy : ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = ( 33,009959 + 2,341537 + 6,226914 ).0,5.10 −3 = 0,020789 ∆u 0,020789 ⇒ δu = u = 6,273616 = 0,003314 5.1/ u = x 2 sin( yz ) , x = 1,113; y = 0,102; z = 2,131 ⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10 −3 Ta có : u = 0,267146 . u ' x = 2 x. sin( yz ) = 0,480047 . u ' y = x 2 z. cos( yz ) = 2,577701 . u ' z = x 2 y. cos( yz ) = 0,123381 Vậy: ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = ( 0,480047 + 2,577701 + 0,123381).0,5.10 −3 = 0,001591 ∆u 0,001591 ⇒ δu = u = 0,267146 = 0,005955 6.1/ u = ze ln( xy ) , x = 0,162; y = 4,531; z = 1,91 ⇒ ∆x = ∆y = 0,5.10-3 ; ∆z = 0,5.10-2 Ta có : u = 1,401982 z . u ' x = .e = 8,65421 ln( xy ) x z ln( xy ) . u' y = e = 0,30942 y . u ' z = e ln( xy ) = 0,734022
Vậy: ( ) ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = [ 8,65421 + 0,30942].0,5.10 −3 + 0,734022.0,5.10 −2 = 0,008152 ∆u 0,008152 ⇒ δu = u = 1,401982 = 0,005815 7.1/ u = 2 x + 2 y , x = 0,085, y = 0,055, z = 2,152 2 ⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10 −3 2 Ta có : u = 2 0, 085+ 2.0,055 = 1,065145 2 . u ' x = 2 0,085+ 2.0,055 . ln 2.1 = 0,738302 2 . u ' y = 2 0,085+ 2.0,055 . ln 2.4.0,055 = 0,162426 Vậy : ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y = 0,738302 .0,5.10 −3 + 0,162426 .0,5.10 −3 = 0,00045 ∆u 0,00045 ⇒δu = u = 1,065145 = 0,000422 8.1/ u = (1 + zx) y , x = 0,192; y = 1,034; z = 5,174 ⇒ ∆x = ∆y = ∆z = 0,5.10-3 Ta có : u = 2,040716 . u ' x = y (1 + zx) y −1 .z = 6,764095 . u ' y = (1 + zx) y . ln(1 + zx) = 1,407779 . u ' z = y (1 + zx) y −1 .x = 0,405139 Vậy: ∆u = u ' x .∆x + u ' y .∆y + u ' z .∆z = ( 6,764095 + 1,407779 + 0,405139 ).0,5.10 = 0,004289 −3 ∆u 0,004289 ⇒ δu = u = 2,040716 = 0,002102 Bài 2: Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được d=1,112 và sai số cho phép đo là 1 mm. Lấy π = 3,141 và xem π,d là các đối số của phương trình thể tích hình cầu V. Giải: Xem π ,d là những đối số của hàm V ta có: πd3 3π d 2 3.3,14.1,1122 V = Vd = ,Vd′ = = = 1,941 6 6 6 d 3 1.1123 V ′(π ) = = = 0, 229173 6 6 Sai số tuyệt đối: ∆V = V ′(d ).∆ d + V ′(π )∆π = 1,941.0,5.10−3 + 0, 229173.0,5.10−3 = 1, 085.10−3
Chương 2: Giải phương trình đại số và phương trình siêu việt Bài 1: Dùng phương pháp chia đôi giải các phương trình sau và tính số lần lặp với ε = 10-3. 1.1/ x sin x = 1 , x0 ∈ [1;2] . f ( x ) = x sin x − 1 f ( a ) = f (1) = −0,158529 < 0 f ( b ) = f ( 2 ) = 0,818595 > 0  b − a   2 −1  ln   ln −3   ε   + 1 = 10 + 1 = 10 Số lần chia đôi: n =  ln 2  ln 2     a+b c1 = = 1,5 ⇒ f ( c1 ) = f (1,5) = 0,496242 > 0 ⇒ thay b = c1 2 a+b c2 = = 1,25 ⇒ f ( c 2 ) = f (1,25) = 0,186231 > 0 ⇒ thay b = c 2 2 a+b c3 = = 1,125 ⇒ f ( c3 ) = f (1,125) = 0,015051 > 0 ⇒ thay b = c3 2 a+b c4 = = 1,0625 ⇒ f ( c 4 ) = f (1,0625) = −0,071827 < 0 ⇒ thay a = c 4 2 a+b c5 = = 1,09375 ⇒ f ( c5 ) = f (1,09375) = −0,028362 < 0 ⇒ thay a = c5 2 a+b c6 = = 1,109375 ⇒ f ( c6 ) = f (1,109375) = −0,006643 < 0 ⇒ thay a = c 6 2 a+b c7 = = 1,117188 ⇒ f ( c 7 ) = f (1,117188) = 0,004209 > 0 ⇒ thay b = c7 2 a+b c8 = = 1,113282 ⇒ f ( c8 ) = f (1,113282 ) = −0,001216 < 0 ⇒ thay a = c8 2 a+b c9 = 1,115235 ⇒ f ( c9 ) = f (1,115235) = 0,001497 > 0 ⇒ thay b = c9 2 a + b 1,113282 + 1,115235 ⇒ c10 = = = 1,114259 là nghiệm của phương trình. 2 2
2.1/ x − cos x = 0 ; x0 ∈ [ 0;1] . f ( x ) = x − cos x f ( a ) = f ( 0 ) = −1 < 0 f ( b ) = f (1) = 0,459698 > 0  b − a   1− 0  ln   ln −3   ε   + 1 = 10 + 1 = 10 Số lần chia đôi: n =  ln 2  ln 2     a+b c1 = = 0,5 ⇒ f ( c1 ) = f ( 0,5) = −0,170476 < 0 ⇒ thay a = c1 2 a+b c2 = = 0,75 ⇒ f ( c 2 ) = f ( 0,75) = 0,134337 > 0 ⇒ thay b = c 2 2 a+b c3 = = 0,625 ⇒ f ( c3 ) = f ( 0,625) = −0,020394 < 0 ⇒ thay a = c3 2 a+b c4 = = 0,6875 ⇒ f ( c 4 ) = f ( 0,6875) = 0,056321 > 0 ⇒ thay b = c 4 2 a+b c5 = = 0,65625 ⇒ f ( c5 ) = f ( 0,65625) = 0,017807 > 0 ⇒ thay b = c5 2 a+b c6 = = 0,640625 ⇒ f ( c6 ) = f ( 0,640625) = −0,001332 < 0 ⇒ thay a = c 6 2 a+b c7 = = 0,648438 ⇒ f ( c7 ) = f ( 0,648438) = 0,008228 > 0 ⇒ thay b = c7 2 a+b c8 = = 0,644532 ⇒ f ( c8 ) = f ( 0,644532 ) = 0,003446 > 0 ⇒ thay b = c8 2 a+b c9 = = 0,642579 ⇒ f ( c9 ) = f ( 0,642579) = 0,001057 > 0 ⇒ thay b = c9 2 a + b 0,640625 + 0,642579 ⇒ c10 = = = 0,641602 là nghiệm của phương trình. 2 2 3.1/ x = tgx ; x0 ∈ [ 4;4,5] . f ( x ) = x − tgx f ( a ) = f ( 4) = 2,842179 > 0 f ( b ) = f ( 4,5) = −0,137332 < 0  b − a   4,5 − 4  ln   ln   ε   +1 = 10 −3 + 1 = 9 Số lần chia đôi: n =  ln 2  ln 2    
a+b c1 = = 4,25 ⇒ f ( c1 ) = f ( 4,25) = 2,243691 > 0 ⇒ thay a = c1 2 a+b c2 = = 4,375 ⇒ f ( c 2 ) = f ( 4,375) = 1,52439 > 0 ⇒ thay a = c 2 2 a+b c3 = = 4,4375 ⇒ f ( c3 ) = f ( 4,4375) = 0,891762 > 0 ⇒ thay a = c3 2 a+b c4 = = 4,46875 ⇒ f ( c 4 ) = f ( 4,46875) = 0,445853 > 0 ⇒ thay a = c 4 2 a+b c5 = = 4,484375 ⇒ f ( c5 ) = f ( 4,484375) = 0,174948 > 0 ⇒ thay a = c5 2 a+b c6 = = 4,492188 ⇒ f ( c 6 ) = f ( 4,492188) = 0,024531 > 0 ⇒ thay a = c 6 2 a+b c7 = = 4,496094 ⇒ f ( c 7 ) = f ( 4,496094) = −0,054898 < 0 ⇒ thay b = c7 2 a+b c8 = = 4,494141 ⇒ f ( c8 ) = f ( 4,494141) = −0,014821 < 0 ⇒ thay b = c8 2 a + b 4,492188 + 4,494141 ⇒ c9 = = = 4,493165 là nghiệm của phương trình. 2 2 −5 Bài 2: Dùng phương pháp lặp giải các phương trình sau với xn +1 − x n < 10 , đánh giá sai số. 1.2/ x 3 − x − 1 = 0 ; x0 ∈ [1;2] . (*) f ( x) = x3 − x − 1  f ( a ). f ( b ) = f (1). f ( 2) = ( − 1).5 = −5 < 0 Ta có:   f ' ( x ) = 3 x 2 − 1 > 0∀x ∈ [1;2] ⇒ f ' ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [1;2] . ( *) ⇒ x = 3 x + 1 đặ t ϕ ( x ) = 3 x + 1 2 x( x + 1) − ⇒ ϕ ' ( x) = 3 3 2 ⇒ M = max ϕ ' ( x ) = 3 = 0,320499 3 9 1+ 2 Đặ t x 0 = = 1,5 2 M x1 = ϕ ( x 0 ) = 3 x 0 + 1 = 1,357209 ⇒ ∆ 1 = x1 − x0 = 0,06735 > 10 −5 1− M M x 2 = ϕ ( x1 ) = 3 x1 + 1 = 1,330861 ⇒ ∆ 2 = x 2 − x1 = 0,012428 > 10 −5 1− M M x3 = ϕ ( x 2 ) = 3 x 2 + 1 = 1,325884 ⇒ ∆ 3 = x3 − x 2 = 0,002348 > 10 −5 1− M
M x 4 = ϕ ( x3 ) = 3 x3 + 1 = 1,324939 ⇒ ∆ 4 = x 4 − x3 = 0,000446 > 10 −5 1− M M x5 = ϕ ( x 4 ) = 3 x 4 + 1 = 1,324759 ⇒ ∆ 5 = x5 − x 4 = 0,000085 > 10 −5 1− M M x6 = ϕ ( x5 ) = 3 x5 + 1 = 1,324726 ⇒ ∆ 6 = x6 − x5 = 0,000016 > 10 −5 1− M M x7 = ϕ ( x 6 ) = 3 x 6 + 1 = 1,324719 ⇒ ∆ 7 = x7 − x6 = 0,0000033 < 10 −5 1− M Vậy nghiệm của phương trình: x7 = 1,324719 2.2/ x 4 − 3 x 2 − 3 = 0 ; x0 ∈ [1;2] . f ( x ) = x 4 − 3 x 2 − 3 = 0 (*)  f (1). f ( 2 ) = ( − 5).1 = −5 < 0  Ta có:  f ' ( x ) = 4 x 3 − 6 x > 0∀x ∈  3 ;2      2  ⇒ f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [1;2] ( *) ⇒ x = 4 3x 2 + 3 đặt ϕ ( x ) = 4 3x 2 + 3 ( ) 3 − 3 x. 3x 2 + 3 ⇒ ϕ ' ( x) = 4 2 3 ⇒ M = max ϕ ' ( x ) = 4 = 0,393598 3375 1+ 2 Đặ t x 0 = = 1,5 2 M x1 = ϕ ( x 0 ) = ϕ (1,5) = 1,767059 ⇒ ∆1 = x1 − x 0 = 0,17334 > 10 −5 1− M M x2 = ϕ ( x1 ) = ϕ (1,767059) = 1,875299 ⇒ ∆ 2 = x 2 − x1 = 0,070255 > 10 −5 1− M M x3 = ϕ ( x 2 ) = ϕ (1,875299) = 1,91861 ⇒ ∆ 3 = x3 − x 2 = 0,028112 > 10 −5 1− M M x4 = ϕ ( x3 ) = ϕ (1,91861) = 1,935827 ⇒ ∆ 4 = x 4 − x3 = 0,011175 > 10 −5 1− M M x5 = ϕ ( x 4 ) = ϕ (1,935827 ) = 1,942651 ⇒ ∆ 5 = x5 − x 4 = 0,004429 > 10 −5 1− M M x6 = ϕ ( x5 ) = ϕ (1,942651) = 1,945353 ⇒ ∆ 6 = x6 − x5 = 0,001754 > 10 −5 1− M M x7 = ϕ ( x6 ) = ϕ (1,945353) = 1,946423 ⇒ ∆ 7 = x7 − x6 = 0,000695 > 10 −5 1− M M x8 = ϕ ( x7 ) = ϕ (1,946423) = 1,946846 ⇒ ∆ 8 = x8 − x7 = 0,000276 > 10 −5 1− M
M x9 = ϕ ( x8 ) = ϕ (1,946846 ) = 1,947013 ⇒ ∆ 9 = x9 − x8 = 0,000108 > 10 −5 1− M M x10 = ϕ ( x9 ) = ϕ (1,947013) = 1,947079 ⇒ ∆10 = x10 − x9 = 0,000043 > 10 −5 1− M M x11 = ϕ ( x10 ) = ϕ (1,947079 ) = 1,947106 ⇒ ∆ 11 = x11 − x10 = 0,000018 > 10 −5 1− M M x12 = ϕ ( x11 ) = ϕ (1,947106 ) = 1,947116 ⇒ ∆ 12 = x12 − x11 = 0,0000065 < 10 −5 1− M Vậy nghiệm của phương trình: x12 = 1,947116 3.2/ x 4 − 2 x 3 − 4 = 0 ; x0 ∈ [ 2;3] . f ( x ) = x 4 − 2 x 3 − 4 (*).  f ( 2 ). f ( 3) = ( − 4 ).23 = −92 < 0 Ta có:   f ' ( x ) = 4 x − 6 x > 0∀x ∈ [ 2;3] 3 2 ⇒ f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [ 2;3] . ( *) ⇒ x = 4 2 x 3 + 4 đặt ϕ ( x ) = 4 2 x 3 + 4 ( ) 3 − 3x. 2 x 3 + 4 4 ⇒ ϕ ' ( x) = 2 ⇒ M = max ϕ ' ( x ) = 0,317211 2+3 Đặ t x 0 = = 2,5 2 M x1 = ϕ ( x 0 ) = ϕ ( 2,5) = 2,436631 ⇒ ∆ 1 = x1 − x 0 = 0,02944 > 10 −5 1− M M x2 = ϕ ( x1 ) = ϕ ( 2,436631) = 2,395571 ⇒ ∆ 2 = x 2 − x1 = 0,019076 > 10 −5 1− M M x3 = ϕ ( x 2 ) = ϕ ( 2,395571) = 2,368979 ⇒ ∆ 3 = x3 − x 2 = 0,012354 > 10 −5 1− M M x4 = ϕ ( x3 ) = ϕ ( 2,368979 ) = 2,351765 ⇒ ∆ 4 = x 4 − x3 = 0,007997 > 10 −5 1− M M x5 = ϕ ( x 4 ) = ϕ ( 2,351765) = 2,340626 ⇒ ∆ 5 = x5 − x 4 = 0,005175 > 10 −5 1− M M x6 = ϕ ( x5 ) = ϕ ( 2,340626 ) = 2,33342 ⇒ ∆ 6 = x 6 − x5 = 0,003348 > 10 −5 1− M M x7 = ϕ ( x 6 ) = ϕ ( 2,33342 ) = 2,328759 ⇒ ∆ 7 = x 7 − x6 = 0,002165 > 10 −5 1− M M x8 = ϕ ( x7 ) = ϕ ( 2,328759 ) = 2,325745 ⇒ ∆ 8 = x8 − x7 = 0,0014 > 10 −5 1− M M x9 = ϕ ( x8 ) = ϕ ( 2,325745) = 2,323797 ⇒ ∆ 9 = x9 − x8 = 0,000905 > 10 −5 1− M
M x10 = ϕ ( x9 ) = ϕ ( 2,323797 ) = 2,322537 ⇒ ∆10 = x10 − x9 = 0,000585 > 10 −5 1− M M x11 = ϕ ( x10 ) = ϕ ( 2,322537 ) = 2,321722 ⇒ ∆ 11 = x11 − x10 = 0,000379 > 10 −5 1− M M x12 = ϕ ( x11 ) = ϕ ( 2,321722 ) = 2,321195 ⇒ ∆ 12 = x12 − x11 = 0,000245 > 10 −5 1− M M x13 = ϕ ( x12 ) = ϕ ( 2,321195) = 2,320855 ⇒ ∆13 = x13 − x12 = 0,000158 > 10 −5 1− M M x14 = ϕ ( x13 ) = ϕ ( 2,320855) = 2,320635 ⇒ ∆14 = x14 − x13 = 0,000102 > 10 −5 1− M M x15 = ϕ ( x14 ) = ϕ ( 2,320635) = 2,320493 ⇒ ∆ 15 = x15 − x14 = 0,000066 > 10 −5 1− M M x16 = ϕ ( x15 ) = ϕ ( 2,320493) = 2,320401 ⇒ ∆16 = x16 − x15 = 0,000043 > 10 −5 1− M M x17 = ϕ ( x16 ) = ϕ ( 2,320401) = 2,320341 ⇒ ∆ 17 = x17 − x16 = 0,000028 > 10 −5 1− M M x18 = ϕ ( x17 ) = ϕ ( 2,320341) = 2,320302 ⇒ ∆18 = x18 − x17 = 0,000018 > 10 −5 1− M M x19 = ϕ ( x18 ) = ϕ ( 2,320302) = 2,320277 ⇒ ∆19 = x19 − x18 = 0,000012 > 10 −5 1− M M x 20 = ϕ ( x19 ) = ϕ ( 2,320277 ) = 2,320261 ⇒ ∆ 20 = x 20 − x19 = 0,0000074 < 10 −5 1− M Vậy nghiệm của phương trình: x 20 = 2,320261 . x 4.2/ π + 0,5 sin = x ; x0 ∈ [ 0;2π ] . 2 x f ( x ) = π + 0,5 sin − x (*) . 2  f ( 0 ). f ( 2π ) = π .( − π ) = −π 2 < 0  Ta có:  x  f ' ( x ) = 0,25. cos − 1 > 0∀x ∈ [ 0;2π ]  2 ⇒ f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [ 0;2π ] . ( *) ⇒ x = π + 0,5. sin x đặt ϕ ( x ) = π + 0,5. sin x 2 2 x ⇒ ϕ ' ( x ) = 0,25. cos 2 ⇒ M = max ϕ ' ( x ) = 0,25 0 + 2π Đặ t x 0 = =π 2 M x1 = ϕ ( x 0 ) = ϕ ( π ) = 3,641593 ⇒ ∆x1 = x1 − x 0 = 0,166667 > 10 −5 1− M
M x 2 = ϕ ( x1 ) = ϕ ( 3,641593) = 3,626049 ⇒ ∆x 2 = x 2 − x1 = 0,005181 > 10 −5 1− M M x3 = ϕ ( x 2 ) = ϕ ( 3,626049 ) = 3,626996 ⇒ ∆x3 = x3 − x 2 = 0,000316 > 10 −5 1− M M x 4 = ϕ ( x3 ) = ϕ ( 3,626996 ) = 3,626939 ⇒ ∆x 4 = x 4 − x3 = 0,000019 > 10 −5 1− M M x5 = ϕ ( x 4 ) = ϕ ( 3,626939 ) = 3,626942 ⇒ ∆x5 = x5 − x 4 = 10 −6 < 10 −5 1− M Vậy nghiệm của phương trình: x5 = 3,626942 . 5.2/ x − 2 − x = 0 ; x0 ∈ [ 0,3;1] . f ( x ) = x − 2 − x (*) .  f ( 0,3). f (1) = −0,512252.0,5 = −0,256126 < 0 Ta có:   f ' ( x ) = 1 + 2 − x . ln 2 > 0∀x ∈ [ 0,3;1] ⇒ f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [ 0,3;1] . (*) ⇒ x = 2 − x đặt ϕ ( x ) = 2 − x . ⇒ ϕ ' ( x ) = −2 − x. ln 2 ⇒ M = max ϕ ' ( x ) = 0,56301 0,3 + 1 Đặ t x 0 = = 0,65 2 M x1 = ϕ ( x 0 ) = ϕ ( 0,65) = 0,63728 ⇒ ∆ 1 = x1 − x 0 = 0,016388 > 10 −5 1− M M x 2 = ϕ ( x1 ) = ϕ ( 0,63728) = 0,642924 ⇒ ∆ 2 = x 2 − x1 = 0,007272 > 10 −5 1− M M x3 = ϕ ( x 2 ) = ϕ ( 0,642924 ) = 0,640414 ⇒ ∆ 3 = x3 − x 2 = 0,003234 > 10 −5 1− M M x 4 = ϕ ( x3 ) = ϕ ( 0,640414 ) = 0,641529 ⇒ ∆ 4 = x 4 − x3 = 0,001437 > 10 −5 1− M M x5 = ϕ ( x 4 ) = ϕ ( 0,641529 ) = 0,641033 ⇒ ∆ 5 = x5 − x 4 = 0,000639 > 10 −5 1− M M x6 = ϕ ( x5 ) = ϕ ( 0,641033) = 0,641254 ⇒ ∆ 6 = x 6 − x5 = 0,000285 > 10 −5 1− M M x7 = ϕ ( x 6 ) = ϕ ( 0,641254 ) = 0,641155 ⇒ ∆ 7 = x7 − x6 = 0,000128 > 10 −5 1− M M x8 = ϕ ( x7 ) = ϕ ( 0,641155) = 0,641199 ⇒ ∆ 8 = x8 − x7 = 0,000057 > 10 −5 1− M M x9 = ϕ ( x8 ) = ϕ ( 0,641199) = 0,64118 ⇒ ∆ 9 = x9 − x8 = 0,000024 > 10 −5 1− M M x10 = ϕ ( x9 ) = ϕ ( 0,64118) = 0,641188 ⇒ ∆10 = x10 − x9 = 0,0000103 > 10 −5 1− M
M x11 = ϕ ( x10 ) = ϕ ( 0,641188) = 0,641185 ⇒ ∆11 = x11 − x10 = 0,0000039 < 10 −5 1− M Vậy nghiệm của phương trình: x11 = 0,641185 . 6.2/ 3 x 2 − e x = 0 ; x0 ∈ [ 0;1] . f ( x ) = 3 x 2 − e x (*) .  f ( 0 ). f (1) = −1.0,281718 = −0,281718 < 0 Ta có:   f ' ( x ) = 6 x − e x > 0∀x ∈ [ 0;1] ⇒ f ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất trên đoạn [ 0;1] . ex ex (*) ⇒ x = đặ t ϕ ( x ) = . 3 3 ex ⇒ ϕ ' ( x) = 2 3 ⇒ M = max ϕ ' ( x ) = 0,475945 0 +1 Đặ t x 0 = = 0,5 2 M x1 = ϕ ( x 0 ) = ϕ ( 0,5) = 0,741332 ⇒ ∆ 1 = x1 − x 0 = 0,219177 > 10 −5 1− M M x 2 = ϕ ( x1 ) = ϕ ( 0,741332 ) = 0,836407 ⇒ ∆ 2 = x 2 − x1 = 0,086347 > 10 −5 1− M M x3 = ϕ ( x 2 ) = ϕ ( 0,836407 ) = 0,877128 ⇒ ∆ 3 = x3 − x 2 = 0,036983 > 10 −5 1− M M x 4 = ϕ ( x3 ) = ϕ ( 0,877128) = 0,895169 ⇒ ∆ 4 = x 4 − x3 = 0,016385 > 10 −5 1− M M x5 = ϕ ( x 4 ) = ϕ ( 0,895169 ) = 0,903281 ⇒ ∆ 5 = x5 − x 4 = 0,007367 > 10 −5 1− M M x6 = ϕ ( x5 ) = ϕ ( 0,903281) = 0,906952 ⇒ ∆ 6 = x6 − x5 = 0,003334 > 10 −5 1− M M x7 = ϕ ( x 6 ) = ϕ ( 0,906952 ) = 0,908618 ⇒ ∆ 7 = x7 − x6 = 0,001513 > 10 −5 1− M M x8 = ϕ ( x7 ) = ϕ ( 0,908618) = 0,909376 ⇒ ∆ 8 = x8 − x 7 = 0,000688 > 10 −5 1− M M x9 = ϕ ( x8 ) = ϕ ( 0,909376 ) = 0,90972 ⇒ ∆ 9 = x9 − x8 = 0,000312 > 10 −5 1− M M x10 = ϕ ( x9 ) = ϕ ( 0,90972 ) = 0,909876 ⇒ ∆10 = x10 − x9 = 0,0001417 > 10 −5 1− M M x11 = ϕ ( x10 ) = ϕ ( 0,909876 ) = 0,909948 ⇒ ∆11 = x11 − x10 = 0,0000654 > 10 −5 1− M
M x12 = ϕ ( x11 ) = ϕ ( 0,909948) = 0,90998 ⇒ ∆12 = x12 − x11 = 0,0000291 > 10 −5 1− M M x13 = ϕ ( x12 ) = ϕ ( 0,90998) = 0,909995 ⇒ ∆13 = x13 − x12 = 0,0000136 > 10 −5 1− M M x14 = ϕ ( x13 ) = ϕ ( 0,909995) = 0,910002 ⇒ ∆14 = x14 − x13 = 0,00000636 < 10 −5 1− M Vậy nghiệm của phương trình: x14 = 0,910002 . Bài 3: Dùng phương pháp Newton ( tiếp tuyến) giải các phương trình sau −5 với xn +1 − x n < 10 ; đánh giá sai số. 1.3/ x 3 − 2 x 2 − 5 = 0 ; x0 ∈ [1;4] . f ( x) = x3 − 2x 2 − 5 = 0 f ' ( x ) = 3x 2 − 4 x f ' ' ( x) = 6x − 4 ; f ' ' ' ( x) = 6  f ( 1) . f ( 4 ) = −6.27 = −162 < 0  Ta có:    f ' ( 1) f ' ( 4 ) < 0 5  Vì vậy ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn  , 4  3   5  f   . f ( 4) < 0  3 Khi đó   f '  5  f ' ( 4 ) = 5 .32 > 0  3    3 5  ⇒ f(x) có nghiệm duy nhất trong khoảng  , 4  3 
 5  f '' ( x ) > 0∀x ∈  , 4   3   5 Với  f ''   = 6  3 f '' ( 4 ) = 20   Ta đặt x0 = 4  f ′′ ( 4 ) > 0  5  Với m = min f ′( x) = 3 , M = max f ′′( x) = 20  f ( 4) > 0  5  5    ,4 3   ,4  3  f (4) M 2 ⇒ x1 = x0 − = 2,845082 , với ∆1 = x1 − x0 = 10,1 > 10−5 f ′(4) 2m x2 = 2, 7024416 , với ∆ 2 = 0,122 > 10−5 x3 = 2, 6907238 , với ∆ 3 = 8, 2.10−4 > 10−5 x4 = 2, 69064745 , với ∆ 4 = 3, 4975.10−8 < 10−5 ⇒ x4 là nghiệm gần đúng, x3 là nghiệm đúng của phương trình 2.3/ x3 + 3x2 -1 = 0 ; x0 ∈ [ −3, −2] f(x) = x3 + 3x2 -1 = 0 f ′( x) = 3 x 2 + 6 x f ′′( x) = 6 x + 6 f ′′′( x) = 6 >0 ∀ x  f ( −3) . f ( −2 ) = −3 =< 0  Ta có :   f ' ( −3) f ' ( −2 ) = 9.0 = 0  Vì vậy ta cần thay đổi khoảng li nghiệm, ta chọn [ −3; −2,5]   f ( −3) . f ( −2,5 ) < 0 Khi đó   f ' ( −3) f ' ( −2,5 ) = 9.3, 75 = 33, 75 > 0  ⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng [ −3, −2,5]
 f ′′( x) = 6 x + 6 = 0 ⇔ x = −1  Với  f ′′(−3) = −12  f ′′(−2,5) = −9  Ta đặt x0 = -3  f ′′ ( −3) > 0   Với m = [ −3,−2,5] f ′( x) = 3, 75; M = [ −3,−2,5] f ′′( x ) = 9 min max   f ( −3 ) > 0 f ( x0 ) f (−3) M ⇒x1 = x0 − ′ = −3 − = −2,888888 với ∆1 = 2 x1 − x0 = 0, 014815 > 10−5 f ( x0 ) f ′(−3) 2m x2 = −2,87945156 , với ∆ 2 = 1, 068.10−4 > 10−5 x3 = −2,8793852 , với ∆ 3 = 5, 28.10−9 < 10−5 Vậy x3 là nghiệm gần đúng, x2 là nghiệm đúng của phương trình  π 3.3/ x- cosx = 0 ; x0 ∈ 0,   2 f ( x) = x − cos x  π f ′( x) = 1 + sin x > 0 ∀x∈ 0,   2  π f ′′( x ) = cosx > 0 ∀x∈ 0,   2 f ′′′( x) = − s inx  π  π  f ( 0 ) . f   = − =< 0  2 2 Ta có :   f ' ( 0 ) f '  π  = 1.1, 02741213 > 0     2  π ⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng 0,   2
  f ′′( x) = cos x  Với  f ′′(0) = 1  π  f ′′( ) = 0,9996242  2 π Ta đặt x0 = 2  π   f ′′  2  > 0    m = min f ′( x) = 1, M = max f ′′( x) = 1  Với  π  π  f π  > 0 0, 2    0, 2     2    f ( x0 ) ⇒ x1 = x0 − = 0, 785398163 , với ∆1 = M x1 − x0 2 = 0,308425 > 10−5 f ′( x0 ) 2m x2 = 0, 739536133 , với ∆ 2 = 1, 052.10−3 > 10−5 x3 = 0, 739085178 , với ∆3 = 1, 02.10−7 < 10−5 Vậy x3 là nghiệm gần đúng, x2 là nghiệm đúng của phương trình. 1 4.3/ ln x − = 0 ; x0 ∈ [ 1, 2] x2 1 f ( x) = ln x − x2 1 2 f ′( x) = + 3 > 0∀x ∈ [ 1, 2] x x 1 6 f ′′( x) = − 2 − 4 < 0∀x ∈ [ 1, 2] x x 2 24 f ′′′( x) = 3 + 5 > 0∀x ∈ [ 1, 2] x x Ta có:  f ( 1) . f ( 2 ) = −1.0,443147 =< 0     f ' ( 1) f ' ( 2 ) = 3.0, 75 > 0 ⇒ f(x) có duy nhất 1 nghiệm trong khoảng [ 1, 2]
 ′′ 1 6  f ( x) = − x 2 − x 4  Với  f ′′(1) = −7  f ′′(2) = −0, 625   Ta đặt x0 = 1  f ′′ ( 1) < 0   Với m = m = min f ′( x) = 0, 75, M = max f ′′( x ) = 0, 625  f ( 1) < 0  [ 1,2] [ 1,2] f ( x0 ) f (1) ⇒ x1 = x0 − = 1− = 1.333333 , với ∆1 = M x1 − x0 2 = 0, 0462962 > 10−5 f ′( x0 ) f ′(1) 2m x2 = 1.5057681 ,với ∆ 2 = 0.012389>10−5 x3 = 1,5311639 , với ∆3 = 2, 687.10−4 >10−5 x4 = 1,5315842 , với ∆ 4 = 7,36.10 −8
 5 5  53   0 102 −   68  51     11 5   849  Với: α =   103 0 , β = 103  1030       11 3 0   699   104 26    520     5 16 23  23  Kiểm tra điều kiện hội tụ: α ∞ = max  , , =  34 103 104  104
 1 1 6  x = 0 x − 10 y − 10 z + 5   1 1 6 ⇔ y = − x + 0y − z +  10 10 5  1 1 6  z = − 10 x − 10 y + 0 z + 5  Hay: X = α X + β  1 1 6  0 − −  5 10 10     1 1 6 Với: α =  −  10 0 − , β =  , 10  5     − 1 1 0  6  10  10   5   1 1 1  1  Kiểm tra điều kiện hội tụ: α ∞ = max  , ,  = < 1 5 5 5  5  x 0  0   0   Cho: X =  y  = 0  0  z 0  0       1 0 1 0 6  x = 0 x − 10 y − 10 z + 5 0   1 1 6 ⇒ X =  y = − x1 + 0 y 0 − z 0 + 1  10 10 5  1 1 1 1 6  z = − 10 x + 10 y + 0 z + 5 0  Tương tự ta tính được: 1.2  0.9948   0.999649  X = 1.08  1   X = 1.00332  2   X = 1.000016  3    0.972    1.000188   1.000033    n +1 Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với x − x n
 5 5 53  x = 0 x + 102 y + 51 z + 68 1,02 x − 0.05 y − 0,1z = 0,795    11 5 849 1) − 0,11x + 1,03 y − 0,05 z = 0,849 ⇔  y = x + 0y + z+ − 0,11x − 0,12 y + 1,04 z = 1,398  103 103 1030   11 3 699  z = 104 x + 26 y + 0 z + 520  Hay: X = α X + β  5 5  53   0 102 − 51   68      11 5   849  Với: α = 0 , β= 103 103  1030       11 3 0   699  104 26     520     5 16 23  23  Kiểm tra điều kiện hội tụ: α ∞ = max  , , =  34 103 104  104
 0.951604  0.981992  X =  0.972764  1 X = 1.005046  5     1.521777      1.564032  0.976290  0.982015 X = 0.999772  2   X = 1.005069  6   1.557123    1.564062    0.981079   0.982019  X = 1.004124  3 X = 1.005072  7     1.562850    1.564067    0.981854  0.982019  X = 1.004914  4   X = 1.005073  8   1.563859    1.564068    ⇒ X 8 − X 7 = max { 0,10−6 ,10−6 } = 10−6 < ε = 10−5 Vậy: X8 là nghiệm gần đúng của phương trình.  25 5 103  x = 0 x + 102 y + 17 z + 204 1.02 x − 0.25 y − 0.3 z = 0.515    41 15 311 3) −0.41x + 1.13 y − 0.15 z = 1.555 ⇔  y = x + 0y + z+  −0.25 x − 0.14 y + 1.21z = 2.780  113 113 226   25 14 278  z = 121 x + 121 y + 0 z + 121  Hay: X = α X + β  25 5   103   0 102 17   204       41 15   311  Với: α =  0 , β = 113 113  226       25 14 0   278   121 121     121     55 56 39  55 Kiểm tra điều kiện hội tụ: α ∞ = max  , , =