Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân

Chia sẻ: Tran Cong Dat | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

408
lượt xem 154
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM. Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân

252 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân T đ nh nghĩa ta có ∞ Γ(1) = e−x dx = −e−x |∞ = 0 + 1 = 1 0 (1.12). 0 Tích phân t ng ph n ta đư c t t n−1 −x n−1 −t x e dx = −t e + (n − 1) xn−2 e−x dx. 0 0 Dùng Đ nh lý L’Hospital ta có −tn−1 e−t ti n đ n 0 khi t ra ∞. Vì v y, ∞ ∞ Γ(n) = xn−1 e−x dx = (n − 1) x(n−1)−1 e−x dx (1.13) 0 0 hay Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) (1.14) và thay n b i n + 1 ta đư c Γ(n + 1) Γ(n + 1) = nΓ(n), Γ(n) = . (1.15) n T (1.14) suy ra Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 · Γ(1) = (n − 1)! T (1.12) ta đư c Γ(1) = 1, do đó Γ(n) = (n − 1)!. Ngư i ta đã tính đư c các giá tr c a Γ(n) v i 1 < n < 2 và nh các công th c (1.14) và (1.15) ta có th tính Γ(n) v i m i giá tr dương c a n.
6.2. Tính t ng b ng phương pháp sai phân 253 Ví d 6.24. a. Γ(3.2) = (2.2)(1.2)Γ(1.2) = (2.2)(1.2)(0.9182) = 2.424. Γ(1.6) 0.8935 b. Γ(0.6) = 0.6 = 0.6 = 1.489. √ c. Γ(0.5) = π. V i n là s th c âm ta s dùng công th c (1.15) đ tính Γ(n). Γ(0.6) Γ(1.6) Ví d 6.25. Γ(−0.4) = −0.4 = (−0.4)(0.6) = −3.723 Chú ý 6.3. Ngư i ta ch ng minh đư c r ng v i n = 0 và n nguyên âm thì Γ(n) không xác đ nh. Hàm Beta Hàm Beta đư c đ nh nghĩa b i 1 β(m, n) = xm−1 (1 − x)n−1 dx (1.16). 0 Hàm Beta xác đ nh v i m i m, n > 0. Đ t y = 1 − x ta có 1 1 m−1 n−1 β(m, n) = x (1 − x) dx = y n−1 (1 − y)m−1 dy = β(n, m). (1.17) 0 0 Ti p theo ta s tìm m i liên h gi a hàm Gamma và hàm Beta. Trong (1.11) đ t x = z 2 , dx = 2zdz; ta đư c ∞ 2 Γ(n) = 2 z 2n−1 e−z dz. 0 T đó ta có ∞ 2 Γ(m) = 2 e−x x2m−1 dx 0 ∞ 2 Γ(n) = 2 e−y y 2n−1 dy 0
254 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân ∞ ∞ 2 −y 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−x x2m−1 y 2n−1dydx. 0 0 Chuy n sang t a đ c c ta có π ∞ 2 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−r r2m−1 (cos θ)2m−1 r2n−1 (sin θ)2n−1 rdrdθ 0 0 π ∞ 2 2 = 2 e−r r2(m+n)−1 dr · 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ 0 0 π 2 = Γ(m + n) · 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ. 0 Ta s ch ng minh r ng π 2 β(m, n) = 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ. 0 Đ t x = cos2 θ, (1 − x) = sin2 θ, dx = −2 cos θ sin θdθ. Ta đư c π 2 0 ( cos2 θ)m−1 (sin2 θ)n−1 (−2 cos θ sin θdθ) 2m−1 2n−1 (cos θ) (sin θ) dθ = 2 0 π π 2 = 2 (cos θ)2m−1 (sin θ)2n−1 dθ. 0 V y ta có Γ(m)Γ(n) = Γ(m + n)β(m, n) hay Γ(m)Γ(n) β(m, n) = . Γ(m + n)
6.2. Tính t ng b ng phương pháp sai phân 255 π 2 Ví d 6.26. Tính tích phân sinn xdx, n > −1. Đ t y = sin x, dy = cos xdx. 0 dy −1 Suy ra dx = cos x = (1 − y 2 ) 2 dy. Khi đó π 2 1 −1 n sin xdx = y n (1 − y 2 ) 2 dy. 0 0 dz Đ t z = y 2, dz = 2ydy, dy = √ . 2 z Ta có 1 1 −1 n 1 −1 y n (1 − y 2) 2 dy = z 2 − 2 (1 − z) 2 dz 0 0 1 1 n+1 −1 1 = z 2 (1 − z) 2 −1 dz 2 0 1 n+1 1 = β , 2 2 2 n+1 1 Γ 2 Γ 2 = n+1 1 2Γ 2 + 2 √ n+1 π Γ 2 = · . 2 Γ n+2 2 Bài t p 1. Tính các t ng sau: n 1. S = 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = k · k!. k=1 n 2. S = 13 + 23 + · · · + n3 = k 3. k=1 3. S = sin x + sin 2x + · · · + sin nx 4. S = cos x + cos 2x + · · · + cos nx 5.S = a + aq + · · · + aq n−1 6. S = sin(a + x) + sin(a + 2x) + · · · + sin(a + nx)
256 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 7. S = cos(a + x) + cos(a + 2x) + · · · + cos(a + nx) 8. S = 1 · q + 2 · q 2 + · · · + n · q n 12 12 +22 12 +22 +32 12 +22 +32 +···+n2 9. S = 1 + 2 + 3 + ··· + n . 10. 1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + · · · + n(n + 2). 11. 1 · 22 + 2 · 32 + 3 · 42 + · · · + n(n + 1)2 . 1 1 1 12. S = 1·2 + 2·3 + ··· + n·(n+1) . 1 1 1 1 13. S = 1·2·3 + 2·3·4 + ··· + (n−2)·(n−1)·n + (n−1)·n·(n+1) . 14. S = sin πx + sin π x + · · · + sin n−1 x. 2 π 2 2 2 15. S = 21 sin2 θ 21 + 22 sin2 θ 22 + · · · + 2n sin2 θ 2n . 16. 6 · 9 + 12 · 21 + 20 · 37 + 30 · 57 + 42 · 81 · · · + (n s h ng). 1 1 1 17. S = 1·4 + 4·7 + 7·10 + · · · (n s h ng). 2. Tính các t ng sau: 1. 12 · 2 + 22 · 22 + 32 · 23 + · · · + n2 2n . 2. 2 · 2 + 6 · 22 + 12 · 23 + 20 · 24 + 30 · 25 + · · · (n s h ng). n 3. x sin x. 1 4. Gi s fx là m t hàm kh tích h u t b c n. Ch ng minh r ng, tích phân t ng ph n liên ti p cho ta công th c ax a a 2 a n ∆−1 axfx = fx − ∆fx + ∆2fx +· · ·+(−1)n ∆n fx . a−1 a−1 a−1 a−1 5. S d ng k t qu câu 4 tính n n 3x x(2), 2x (x3 − 3x + 2). 1 1 1 1 1 1 6. S = 1·2·4 + 2·3·3 + 3·4·6 + ··· + n·(n+1)·(n+3) . n 1 7. (5x−2)(5x+3) 1 n 1 8. (2x−1)(2x+1)(2x+5) . 1 1·2 2·3 3·4 4·5 9. S = 3 + 32 + 33 + 34 + · · · (n s h ng). 3. Tính các t ng sau:
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 257 n x 1. fx , fx = (x+1)(x+2) 2x . 1 n 2x−1 2. fx , fx = 2x−1 . 1 n x2 +x−1 3. fx , fx = (x+2)! . 1 n x! 4. fx , fx = 2x · x · (2x+1) !. 1 n (a+x)2 5. fx , fx = 3a+x . 0 4 Ch ng minh các đ ng th c sau: 1 2n+1 √ Γ 2 x2n √ dx π 1. 1−x2 = 2 · . 0 Γ n+1 π n+1 m+1 2 Γ 2 Γ 2 n m 1 2. sin x cos xdx = 2 · . 0 n+m Γ 2 +1 ∞ Γ(n+1) 3. xn e−ax dx = an+1 . 0 √ 1 1 πΓ n 4. √ dx n = . 1−x 1 0 nΓ n +1 2 ∞ √ 2 π 5. e−x dx = 2 . 0 6.3 Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng Đ i v i phương trình sai phân tuy n tính thì b ng phép đ i bi n ta đưa v h phương trình tuy n tính c p 1. Trong m c này, h th ng l i m t s k t qu v công th c nghi m phương trình c p cao đư c suy ra m t cách tương t t phương trình c p 1. Đ nh lý 6.6. Nghi m t ng quát xn c a (2.2) b ng t ng xn và x∗ , v i x∗ là ˆ n n m t nghi m riêng b t kì c a (2.2). Đ nh nghĩa 6.5. xn1 , · · · , xnk đư c g i là k nghi m đ c l p tuy n tính c a
258 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân (2.3) n u t h th c C1xn1 + · · · + Ck xnk = 0 suy ra C1 = · · · = Ck = 0. Đ nh lý 6.7. N u xn1 · · · , xnk là k nghi m đ c l p tuy n tính c a (2.3), thì nghi m t ng quát xn c a (2.3) có d ng ˆ xn = C1 xn1 + · · · + Ck xnk , ˆ trong đó C1, C2 , · · · , Ck là các h ng s tuỳ ý. Đ nh lý 6.8. N u λ1 , λ2 , · · · , λk là k nghi m th c khác nhau c a (2.4) và c1 , c2 , · · · , ck là k h ng s tuỳ ý thì xn = c1 λn + c2 λn + · · · + ck λn ˆ 1 2 k là nghi m t ng quát c a phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t (2.3). Chú ý 6.4. N u phương trình đ c trưng (2.4) có nghi m th c λj b i s, thì ngoài nghi m λn , ta có nλn , n2 λn , · · · , ns λn cũng là các nghi m đ c l p tuy n j j j j tính c a (2.3) và do đó s−1 k xn = ˆ Cj ni λn i j + Ci λn . i i=0 j=i=1 Ví d 6.27. Tìm các hàm f : Z −→ R th a mãn các đi u ki n 5 f (x + y) + f (x − y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ Z, f(0) = 0, f(1) = . 2 Cho x = n ∈ Z, y = 1 ta đư c f (n + 1) + f (n − 1) = f (n)f (1). Đ t f (n) = un ta thu đư c phương trình sai phân 5 5 un+1 = un − un−1 , u0 = f (0) = 0, u1 = . 2 2
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 259 Cho x = 1, y = 0 ta đư c f (1)f (0) = 2f (1), suy ra f (0) = 2 = u0 . Ta d dàng tìm đư c nghi m 1 f (x) = 2x + , ∀x ∈ Z. 2x Đ nh lý 6.9. N u phương trình đ c trưng có nghi m ph c λj = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) thì k xn = ˆ Ci λn + rn (Cj cos nϕ + Cj sin nϕ). i 1 2 j=i=1 Ví d 6.28. Cho f : N∗ −→ R th a mãn các đi u ki n f (n + 2) = f (n + 1) − f (n), f(1) = 1, f(2) = 0. Ch ng minh r ng √ 2 3 |f (n)| , ∀n ∈ N∗ . 3 Đ t f (n) = un ta đư c bài toán giá tr ban đ u un+2 = un+1 − un , u1 = f (1) = 1, u2 = f (2) = 0. Phương trình đ c trưng có nghi m ph c √ √ 1+i 3 1−i 3 λ1 = , λ2 = . 2 2 Ta có λ = cos π + i sin π . Ta d dàng tìm đư c nghi m c a bài toán giá tr ban 3 3 đ u là √ nπ 3 nπ un = cos + sin . 3 3 3 Do đó √ 3 2 3 |f (n)| 12 + = , ∀n ∈ N∗ . 9 3 Đ nh lý 6.10. N u phương trình đ c trưng có nghi m ph c λj b i s thì k xn = ˆ Ci λn +rn [(A1+A2n+· · ·+As ns−1 ) cos nϕ+(B1 +B2n+· · ·+Bs ns−1 ) sin nϕ]. i j=i=1
260 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân M t s trư ng h p có th tìm nghi m riêng m t cách đơn gi n. • Trư ng h p fn = Pm (n), m∈N 1. N u λ1 , · · · , λk là các nghi m th c khác 1 c a phương trình (2.4) thì ∗ yn = Qm (n), m ∈ N, v i Qm (n) là đa th c cùng b c m v i fn . 2. N u (2.4) có nghi m λ = 1 b i s thì yn = ns Qm (n), ∗ m ∈ N, v i Qm(n) là đa th c cùng b c m v i fn . Ví d 6.29. Cho f : N∗ −→ R th a mãn các đi u ki n f (n + 1) − 2f (n) + f (n − 1) = n + 1, f(1) = 1, f(2) = 0. Ch ng minh r ng (6f (n) − 24) là b i c a n v i n 6. Đ t f (n) = un ta đư c bài toán giá tr ban đ u un+1 − 2un + un−1 = n + 1, u1 = f (1) = 1, u2 = f (2) = 0. Phương trình đ c trưng có nghi m kép λ = 1. Nghi m t ng quát c a phương trình thu n nh t là A + nB. Ta tìm nghi m riêng dư i d ng n2(an + b). D dàng tìm đư c a = 1 , b = 1 . Do đó 6 2 1 1 un = A + Bn + n2 n+ 6 2 và nghi m c a bài toán giá tr ban đ u là 11 n3 n2 un = f (n) = 4 − n+ + . 3 6 2 Do đó (6f (n) − 24) = (n3 + 3n2 − 22n) chia h t cho n. Ví d 6.30. (Đ d tuy n IMO - 1992) Gi s a, b là 2 s th c dương. Tìm t t c các hàm f : [0, ∞) −→ [0, ∞) th a mãn đi u ki n f (f (x)) + af (x) = b(a + b)x.
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 261 Vì phương trình hàm trên đúng v i m i x ∈ [0, ∞) nên f (f (f (x))) + af (f (x)) = b(a + b)f (x), x = f (x). Tương t như v y ta thu đư c f n+2 (x) + af n+1 (x) = b(a + b)f n (x). C đ nh x ta thu đư c phương trình sai phân un+2 + aun+1 = b(a + b)un . Phương trình đ c trưng có 2 nghi m λ = b, λ = −a − b. Khi đó f n (x) = un = K · bn + L · (−a − b)n . Ta có u0 = x = K + l, u1 = f (x) = Kb − L(a + b). Vì f n : [0, ∞) −→ [0, ∞) nên f n (x) b n 0 n =K +(−1)n L. (a + b) a+b n b M t khác, do a+b → 0 khi n → ∞ nên ta ph i có L = 0. V y f (x) = Kb = bx. • Trư ng h p fn = Pm (n)β n ∗ 1. N u các nghi m c a (2.4) đ u là các nghi m th c khác β thì yn = Qm (n)β n, v i Qm (n) là đa th c b c m. 2. N u (2.4) có nghi m λ = β b i s thì yn = ns Qm (n)β n , v i Qm (n) là đa ∗ th c b c m. Ví d 6.31. Xét phương trình sai phân xn+4 − 10xn+3 + 35xn+2 − 50xn+1 + 24xn = 48 · 5n .
262 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, λ4 = 4 đ u khác 5. T đó ta nh n đư c x∗ = 2 · 5n . n • Trư ng h p fn = α cos nx + β sin nx, α, β ∈ R Tìm nghi m riêng dư i d ng ∗ yn = a cos nx + b sin nx. Ví d 6.32. Tìm nghi m riêng x∗ phương trình sai phân n √ nπ nπ xn+3 − 2xn+2 − xn+1 + 2xn = (2 − 2) cos + 2 sin . 4 4 S d ng phương pháp v a trình bày ta d dàng tìm đư c nπ x∗ = cos n . 4 • Trư ng h p fn = gn1 + · · · + gns ∗ ∗ Tìm nghi m riêng yni ng v i hàm gni , i = 1, · · · , s. Nghi m riêng yn ng v i fn s là s ∗ ∗ yn = yni . i=1 Ví d 6.33. Tìm nghi m riêng x∗ phương trình sai phân n √ 3 nπ 3 nπ xn+4 − 3xn+3 + 3xn+2 − 3xn+1 + 2xn = sin − cos + 10 · 2n + 2. 2 3 2 3 Dùng nguyên lý ch ng nghi m và áp d ng phương pháp trong 3 trư ng h p đã nêu ta đư c nπ x∗ = sin n + n · 2n − n. 3 Bài t p 1. Xác đ nh s h ng t ng quát un c a dãy s n u bi t
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 263 un+1 = un + 2n, a. Đáp s : un = n2 − n + 2. u1 = 2. un+1 = 15un − 14n + 1, b. Đáp s : un = 99 − n2 . u0 = 7. un+1 = 2un + 3n , c. Đáp s : un = 7 · 2n + 3n . u0 = 8. un+1 = 7un + 7n+1 , d. Đáp s : un = (101 + n)7n . u0 = 101. un+1 = √2 un − √2 sin nπ , 1 1 e. 4 Đáp s : un = cos nπ . 4 u0 = 1. 2. Dùng phương pháp bi n thiên h ng s tìm nghi m riêng u∗ c a các phương n trình sai phân sau a. un+1 = un + n · n!. Đáp s : u∗ = n!. n b. un+1 = 2un + 6 · 2n . Đáp s : u∗ = 3n · 2n . n sin n− 1 2 x c. un+1 = un + cos nx. Đáp s : u∗ n = 2 sin x , sin x = 0. 2 2 1−n n d. un+1 = un + 2n+1 . Đáp s : u∗ = n 2n . e. un+1 = 5un + 1 (n2 − 3n + 1)n!. Đáp s : u∗ = 5 n n·n! 5 . 3. Dùng phương pháp phương pháp hàm Green tìm nghi m riêng x∗ c a các n phương trình sai phân sau 1. xn+1 = 2xn + n2 − n + 1. ĐS: x∗ = −n2 − n − 3 n 2. xn+1 = 5xn + n2 + 3n + 2. ĐS: x∗ = − 1 k 2 − 7 k − n 4 8 25 32 3. xn+1 = 3xn + (2 − n)2n . ĐS: x∗ = n2n n 4. xn+1 = 2xn + cos nπ − 2 sin nπ . ĐS: x∗ = sin nπ . 2 2 n 2 4. Xác đ nh s h ng t ng quát un c a dãy s n u bi t un+1 = (n + 1)un + 2n (n − 1), a. u1 = 0. n un+1 = n+1 (un + 1), b. u1 = 0. n(n+1) un+1 = (n+2)(n+3) (un + 1), c. u1 = 0. n(n+1)···(n+k) un+1 = (n+k+1)···(n+2k+1) (un + 1), d. u1 = 0.
264 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 5. Gi i các phương trình sai phân sau a. xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 0. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 2 (kép), λ2 = 3. b. xn+3 − 5xn+2 + 8xn+1 − 6xn = 0. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 3, λ2 = 1 + i, λ2 = 1 − i. c. xn+6 − 3xn+5 + 4xn+4 − 6xn+3 + 5xn+2 − 3xn+1 + 2xn = 0. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 1, λ2 =, λ3 = i (kép), λ3 = −i (kép). d. xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = n + 1. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 2 (kép), λ2 = 3 đ u khác 1. e. xn+4 − xn+3 − 3xn+2 + 5xn+1 − 2xn = 1. Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 1 (b i 3), λ2 = −2. f. xn+3 − 7xn+2 + 16xn+1 − 12xn = 2n (24 − 24n). Hư ng d n: Phương trình đ c trưng có các nghi m λ1 = 2 (kép), λ2 = 3. 6. Tìm t t c các hàm s f tho mãn đi u ki n a. f : R −→ R, f (f (x)) = 3f (x) − 2x, ∀x ∈ R. Hư ng d n: Vì phương trình hàm trên đúng v i m i x ∈ R nên f (f (x)) = 3f (x) − 2x, ∀x ∈ R. Tương t như v y ta thu đư c f n+2 (x) = 3f n+1 (x) − 2f n (x). C đ nh x ta thu đư c phương trình sai phân un+2 − 3un+1 + 2un , u0 = x, u1 = f (x). b. f : N −→ N, f(1) = 1, 2f (n)f (k + n) − 2f (k − n) = 3f (n)f (k), ∀k n.
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 265 Hư ng d n: Cho k = n = 0 ta đư c f 2 (0) = −2f (0) suy ra f (0) ∈ {0, −2}. Gi s f (0) = 0. Thay n = 0 vào phương trình hàm trên ta đư c −f (k) = 0∀k ∈ N nên f (1) = 0 (vô lý). V y f (0) = −2. Thay n = 1 vào phương trình hàm ta thu đư c bài toán giá tr ban đ u thu n nh t b c 2. c. f : N −→ Z, f(1) = 1, f (k + n) − 2f (n)f (k) + f (k − n) = 3n · 2k . Hư ng d n: Cho k = n = 0 ta đư c −2f 2 (0) + 2f (0) = 0 suy ra f (0) ∈ {0, 1}. Gi s f (0) = 0. Thay n = 0 vào phương trình hàm trên ta đư c 2f (k) = 0∀k ∈ N nên f (1) = 0 (vô lý). V y f (0) = −2. Thay n = 1 vào phương trình hàm ta thu đư c bài toán giá tr ban đ u không thu n nh t b c 2. 7. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u x1 = a, xm+n = xm + xn + mn, ∀m, n. 1 Đáp s : xn = n 2 (n − 1) + a . Th l i th y k t qu này th a mãn đ bài. 8. T n t i hay không m t dãy s {xn } mà ∀m, n ∈ N ta có xm+n = xm + xn + mn. Hư ng d n: Gi s x1 = a. Gi i tương t ví d trên ta đư c 1 xn = n[ (n + 1) + a] − 1. 2 Th l i th y k t qu này không th a mãn đ bài v i m i m, n. 9. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x2 = β, x m+n = xm +xn ∀m, n ∈ N∗ , m+n ∈ N. 2 2 2 Hư ng d n: D th y xn = x (n+1)+(n−1) . 2
266 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Gi i phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i đi u ki n ban đ u x1 = α, x2 = β ta đư c xn = 2α − β + (β − α)n. 10. Xác đ nh dãy s {xn } n u bi t xmn = xm xn . Hư ng d n: Ta có xm = xm·1 = xm x1 suy ra x1 = 1. xn = xpk1 pk2 ···pk = αk1 αk2 · · · αk . 1 2 1 2 11. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, xn+1 = axn + bx2 + c, n a2 − b = 1, α > 0, a > 1. Hư ng d n: Gi i phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i x1 = α, x2 = √ √ aα + bα2 + c = β ta đư c xn = αλ2 −β λn + αλ1−β λn , λ1 = a + a2 − 1, λ2 = 1−λ2 1 1−λ2 2 1 2 √ a − a2 − 1. 12. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x2 = β 2 xn+1 = xn +a . xn−1 Hư ng d n: Đưa v phương trình x2 xn = t(xn+1 + xn−1 ), t = . x3 + x2 13. Hãy tìm t t c các giá tr c a a ∈ R đ x1 = a xn xn+1 = 2+xn , n∈N xác đ nh m t dãy, hãy tìm s h ng t ng quát c a dãy s .
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 267 1 Hư ng d n: Đ t dãy s ph yn = xn , khi đó ta có yn+1 − 2yn = 1. Gi i phương trình này ta nh n đư c (a + 1)2n−1 − a yn = , a suy ra a xn = . (a + 1)2n−1 − a Ta ph i tìm giá tr c a a sao cho xn = −2, ∀n. 14. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x2 = β x2 +2bxn−1 −bxn−2 +c n−1 xn = xn−2 +b . Hư ng d n: Đ t yn = xn + b. Khi đó ta có 2 yn−1 + c yn = . yn−2 Phương trình d ng này đã bi t cách gi i. 15. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, x xn+1 = √n , α > 0, a > 1, a2 − b = 1. a+ b+x2 n 1 Đ t yn = xn , ta đư c yn+1 = ayn + 2 byn + c. Đây là phương trình sai phân đã bi t cách gi i. 16. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α, xn+1 = an xn + fn , an = 0. n−1 Đ t dãy s ph xn = yn k=0 ak . n−1 n α fk xn = [ + k ] ak . a0 i=0 ai k=1 k=0
268 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân Trư ng h p an = c = constan, ta có n−1 α fk n xn = [ + k−1 ]c , c > 1. c k=1 c 17. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α > 0, an > 0, ∀n ∈ N, k ∈ R xn+1 = an xk . n Logarit hoá hai v c a phương trình theo cơ s e ta đư c ln xn+1 = ln an + k ln xn . Đ t dãy s ph ln xn = yn đưa v phương trình d ng yn+1 − kyn = ln an . Đ t dãy s ph yn = k n−1 un . n−1 u n−1 [ln α+ n−1 ln ai xn = ek n = xn = ek i=1 ki ] 18. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x1 = α > 0, xn+1 = fn+1 xk , fk n fn > 0, ∀n ∈ N, k ∈ R. n Chuy n v d ng xn+1 xk = n, k fn+1 fn xn đ t dãy s ph vn = fn . Ta có k vn+1 = vn . Logarit cơ s e hai v , ta đư c ln vn+1 = k ln vn .
6.3. Phương trình sai phân tuy n tính v i h s h ng 269 Đ t dãy s ph un = ln vn . α kn−1 xn = fn [ ] . f1 19. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x0 = γ, xn+1 = ax2 − b, n ab = 2, a, b ∈ R. γ Đ t dãy s ph xn = byn suy ra y0 = b = α. Ta có byn+1 = ab2yn − b 2 hay 2 yn+1 = 2yn − 1. Xét trư ng h p |α| < 1 và |α| 1, xn = b cos 2n ϕ hayxn = bch2n ϕ. 20. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x0 = α, xn+1 = ax3 − 3xn , n a > 0. 2 Đ t xn = √ yn . a Ta có √ √ x0 a α a y0 = = =γ 2 2 và 3 yn+1 = 4yn − 3yn . Xét trư ng h p |γ| < 1 và |γ| < 1. 2 1 √ √ n √ √ n xn = √ sin 3n ϕ = √ [(α a + aα2 − 4)3 + (α a − aα2 − 4)3 ], a 2 a và 1 n n xn = √ [(γ + γ 2 − 1)3 + (γ − γ 2 − 1)3 ]. a 21. Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy {xn } n u bi t x0 = α, xn+1 = ax3 + 3xn , n a > 0.
270 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân 2 Đ t xn = √ yn . a Ta có √ α a y0 = =γ 2 và 3 yn+1 = 4yn + 3yn . Do y0 = γ nên t n t i ϕ sao cho chϕ = γ. Ch ng minh b ng quy n p ta đư c yn = sh3n ϕ. Do đó 2 xn = √ sh3n ϕ. a axn+b 22. Xét phương trình xn+1 = cxn +d , x0 cho trư c, a, b, c, d ∈ R. Ch ng minh r ng: N u (yn , zn ) là nghi m c a h phương trình yn+1 = ayn + bzn zn+1 = cyn + dzn , yn v i n = 0, 1, 2 · · · và y0 = α, z0 = 1 thì xn = zn là nghi m c a phương trình sai phân h u t axn + b xn+1 = , cxn + d v i n = 0, 1, 2 · · · và x0 = α. y0 Hư ng d n: Khi n = 0 thì m nh đ trên đúng do x0 = z0 = α. Gi s m nh đ trên đúng v i n, ta ch ng minh nó đúng v i n + 1. Ta có yn+1 ayn + bzn a yn + b zn axn + b xn+1 = = = yn = . zn+1 cyn + dzn c zn + d cxn + d Đ ý r ng h yn+1 = ayn + bzn zn+1 = cyn + dzn , v i n = 0, 1, 2 · · · và y0 = α, z0 = 1 là h phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t c p 2 đã bi t cách gi i.
6.4. H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng 271 6.4 H phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t v i h s h ng Xét h phương trình sai phân tuy n tính thu n nh t k n d ng U n+1 = AU n , (3.1) trong đó A là ma tr n vuông c p k và U0 là véc tơ cho trư c. Gi s v1 , v2 , · · · , vk là các véc tơ riêng đ c l p tuy n tính tương ng v i các giá tr riêng λ1 , λ2 , · · · , λk c a A. Khi đó t n t i các s α1 , α2, · · · , αk sao cho U 0 = α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αk v k . Ta có U n+1 = AU n = A2U n−1 = · · · = An+1 U 0 và U n = An U 0 = An (α1 v1 + α2 v2 + · · · + αk vk ) = α1An v 1 + α2 An v 2 + · · · + αk An vk = α 1 λ n v 1 + α 2 λ n v 2 + · · · + α k λn v k . 1 2 k Ta s ch ng t U n = α 1 λn v 1 + α 2 λ n v 2 + · · · + α k λn v k 1 2 k th a mãn (3.1). Th t v y, AU n = α1 λn Av1 + α2λn Av2 + · · · + αk λn Avk 1 2 k = α1 λn+1 v1 + α2 λn+1 v2 + · · · + αk λn+1 vk 1 2 k = U n+1 . Vy U n = α 1 λn v 1 + α 2 λ n v 2 + · · · + α k λn v k 1 2 k