Chương 9: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Chia sẻ: Tran Manh Hung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

241
lượt xem 84
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa 9.1. Một tập hợp mn số thực được sắp xếp có thứ tự thành một bảng gồm m dòng và n cột được gọi là một ma trận cấp m n, ký hiệu là...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 9: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC

Ma trËn - §Þnh thøc Ch¬ng 9: 9.1. Ma trËn 9.1.1. §Þnh nghÜa ma trËn. §Þnh nghÜa 9.1. Mét tËp hîp m× n sè thùc ®îc s¾p xÕp cã thø tù thµnh mét b¶ng gåm m dßng vµ n cét ®îc gäi lµ mét ma trËn cÊp m× n, ký hiÖu lµ:  a11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a2n  = ( aij ) A= , . . . ... m ×n    a m 1 a m 2 ... a m n  m ×n trong ®ã m, n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng; sè aij ( i = 1,m ; j = 1,n ) ®îc gäi lµ phÇn tö n»m trªn dßng i vµ cét j cña ma trËn. Chó ý 9.1. Trong ch¬ng nµy ta lu«n gi¶ thiÕt cÊp cña mét ma trËn lµ tÝch cña hai sè nguyªn d¬ng. Hai ma trËn cïng cÊp ®îc gäi lµ b»ng nhau nÕu c¸c phÇn tö t ¬ng øng cña chóng b»ng nhau vµ ®îc gäi lµ kh¸c nhau nÕu cã Ýt nhÊt mét phÇn tö kh¸c nhau. Mét ma trËn cÊp m× n mµ tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña nã ®Òu b»ng 0 ® îc gäi lµ ma trËn kh«ng cÊp m× n, ký hiÖu lµ 0m× n. VËy :  0 0 ... 0  0 0 ... 0 0m× n =   .  . . ... .     0 0 ... 0 m × n Mét ma trËn cÊp n× n ®îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n.  a11 a12 ... a1n  a   21 a22 ... a 2n  = ( aij ) , A= . . ... .  n ×n    a n 1 a n 2 ... a n n  n ×n trong ma trËn vu«ng cÊp n, ®êng chÐo ®i tõ a11 ®Õn ann ®îc gäi lµ ®êng chÐo chÝnh, ®êng chÐo ®i tõ an1 ®Õn a1n ®îc gäi lµ ®êng chÐo phô.
Mét ma trËn vu«ng cÊp n cã c¸c phÇn tö trªn ® êng chÐo chÝnh (hoÆc ®êng chÐo phô) lµ nh÷ng sè kh¸c 0, c¸c phÇn tö kh¸c ®Òu b»ng 0 ® îc gäi lµ ma trËn ®êng chÐo cÊp n. Ch¼ng h¹n,  1 0 ... 0   0 0 ... 0n  0 2 ... 0   0 0 ... n − 1 0  ,  .  . . ... .   . . ... 00      0 0 ... −1 n ×n  1 0 ... 0 0  n ×n Mét trËn ®êng chÐo cÊp n cã c¸c phÇn tö trªn ® êng chÐo chÝnh ®Òu b»ng 1 ®- îc gäi lµ ma trËn ®¬n vÞ cÊp n, ký hiÖu lµ Em× n. VËy:  1 0 ... 0  0 1 ... 0 = . Em× n  . . ... .     0 0 ... 1 n × n Mét ma trËn cÊp m× n ®îc gäi lµ ma trËn h×nh thang nÕu phÇn kh¸c 0 trong ma trËn ®ã lËp thµnh mét h×nh thang vu«ng. Ch¼ng h¹n, c¸c ma trËn sau lµ c¸c ma trËn h×nh thang: 1 3 5  0 0 . .. 0 3 1 0 0 2 2 6 1 0 0 0 0 4 2  0 0 ...  2 0 0 0 −1 1 0 7 9 0 0 0  ,  , ,   0 2 −1 3 4 8 0 1 0 1 0 0 2 5 0 2 5 0          1 −2 5 0 0 0 0  4×4 1 4× 4  0 0 0 0 0 4×5 1 1 0 2 0 4×5 . NhËn xÐt 9.1. Cho A = (aij)m× n. NÕu gäi A1, A2, ..., An lÇn lît lµ c¸c cét cña ma trËn A. Th× ma trËn A lµ mét hÖ gåm n vect¬ cét m chiÒu, hay A = (A 1, A2, ..., An). NÕu gäi A1, A2, ..., Am lÇn lît lµ c¸c dßng cña ma trËn A. Th× ma trËn A lµ mét hÖ gåm m vect¬ cét n chiÒu, hay
 A1  2 ÷ A ÷ . ÷ A=  ÷. . ÷  ÷ . ÷  Am ÷   9.1.2. C¸c phÐp tÝnh vÒ ma trËn. §Þnh nghÜa 9.2. Cho ma trËn  a11 a12 ... a1n  a ... a2n  a22 A=   21 . . . . ...    am 1 am 2 ... a m n  m ×n Ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:  a11 ... a n 1  a21 a ... a n 2  a22 =  12 AT . . . . ...    a1n a 2n ... a n m  n ×m VÝ dô 9.1. 1 6 2 1 0 2 3  5 2 4 0 1  ⇒ A T = 0 4 . A=   2 7 0  6 5 7 9 3×4     3 1 9 4×3 NhËn xÐt 9.2. Víi mäi ma trËn A ta lu«n cã: (A T )T = A. §Þnh nghÜa 9.3. C¸c phÐp biÕn ®æi sau ®©y thùc hiÖn vµo mét ma trËn ® îc gäi lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp: ∗ §æi chç hai dßng (hoÆc hai cét) cña ma trËn cho nhau. ∗ Nh©n c¸c phÇn tö trªn cïng mét dßng (hoÆc mét cét) cña ma trËn víi mét h»ng sè kh¸c 0.
∗ Nh©n c¸c phÇn tö trªn cïng mét dßng (hoÆc mét cét) cña ma trËn víi mét h»ng sè råi céng t¬ng øng vµo mét dßng (hoÆc mét cét) kh¸c. NhËn xÐt 9.3. C¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp thùc hiÖn vµo mét ma trËn chÝnh lµ c¸c phÐp biÕn ®æi s¬ cÊp thùc hiÖn vµo hÖ c¸c vÐct¬ dßng (hoÆc hÖ c¸c vÐct¬ cét) cña ma trËn ®ã. §Þnh nghÜa 9.4. Cho hai ma trËn A = (aij)m× n vµ B = (bij)m× n th× tæng cña hai ma trËn nµy lµ mét ma trËn ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: A + B =(aij + bij) m× n. NhËn xÐt 9.4. CÇn lu ý r»ng chØ cã tæng cña hai ma trËn cïng cÊp mµ kh«ng cã tæng cña hai ma trËn kh¸c cÊp. §Þnh nghÜa 9.5. Cho ma trËn A = (aij)m× n vµ k lµ h»ng sè th× tÝch cña sè k víi ma trËn A lµ mét ma trËn ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: kA = (kaij)m× n. §Þnh nghÜa 9.6. Cho ma trËn A = (aij)m× n. Gäi A1, A2, ..., An lÇn lît lµ c¸c cét cña ma 1 ≤ k ≤ n. PhÐp trËn A; B lµ vect¬ cét m chiÒu vµ k lµ sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n thÕ vect¬ cét B vµo vÞ trÝ cét k cña A lµ bá cét thø k cña A ®i vµ thay vµo ®ã cét B. Ma trËn nhËn ®îc, ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: Ak(B) = (A1, A2, ..., Ak-1, B, Ak+1,..., An) nÕu 1< k < n; A1(B) = (B, A2, A3,..., An) nÕu k = 1; An(B) = (A1, A2, ..., An-1, B) nÕu k = n. T¬ng tù ta cã phÐp thÕ vµo dßng. 1 2 3   VÝ dô 9.2. Cho vect¬ B = (a, b, c) vµ ma trËn A =  9 6 0 . Khi ®ã, ta cã: 8 7 4   1 2 3 1 2 a    9 6 b  A2(B) =  a b c  , A3(BT) = .  8 7 4 8 7 c      TÝnh chÊt 9.1. Cho A, B, C lµ c¸c ma trËn cïng cÊp; k lµ sè thùc. Th×:
A + B = B + A, k(A + B) = kA + kB, (A + B) + C = A + (B + C). §Þnh nghÜa 9.7. Cho hai ma trËn A = (aij)m× n, B = (bij)n× p. TÝch cña hai ma trËn A vµ B lµ ma trËn ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: AB = (cij)m× p trong ®ã cij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj (i = 1, 2, 3,..., n; j =1, 2, 3,...,p). NhËn xÐt 9.5. (i) Hai ma trËn nh©n ®îc víi nhau nÕu sè cét cña ma trËn bÞ nh©n b»ng sè dßng cña ma trËn nh©n. Ma trËn tÝch cã sè dßng b»ng sè dßng cña ma trËn bÞ nh©n, sè cét b»ng sè cét cña ma trËn nh©n. (ii) PhÇn tö n»m trªn dßng i vµ cét j cña ma trËn tÝch b»ng, c¸c phÇn tö n»m trªn dßng i cña ma trËn bÞ nh©n, nh©n t ¬ng øng víi c¸c phÇn tö n»m trªn cét j cña ma trËn nh©n råi céng l¹i. (iii) Ma trËn A cã thÓ nh©n ®îc víi ma trËn B, nhng B cha ch¾c ®· nh©n ®îc víi A (ch¼ng h¹n sè cét cña B kh¸c sè dßng cña A). V× vËy phÐp nh©n ma trËn kh«ng giao ho¸n. 1 6 2 1 0 2 3  5 2 4 0 1  , B =  0 4  . Th× VÝ dô 9.3. Cho hai ma trËn A =   2 7 0  6 5 7 9 3×4     3 1 9 4×3  c11 c12 c13  14 5 47   c23  =  5 21 41  , AB =  c21 c22    c31 c32 c33   47 41 191     41 59 38 44  38 49 41 35 BA =  .  44 69 35 53    59 49 69 91 NhËn xÐt 9.6. NÕu A = (aij)m× n th× AE n× n = A vµ E m× mA= A. 9.2. ®Þnh thøc
9.2.1. Ho¸n vÞ vµ nghÞch thÕ. §Þnh nghÜa 9.7. Cho n sè nguyªn, d¬ng ®Çu tiªn 1,2,3, ..., n. Mçi c¸ch s¾p xÕp vÞ trÝ cña n sè ®ã ®îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n sè ®ã. NÕu trong mét ho¸n vÞ, mµ mét sè ®øng tríc lín h¬n mét sè ®øng sau th× t¹o thµnh mét nghÞch thÕ. Sè nghÞch thÕ cña mét ho¸n vÞ lµ tæng c¸c nghÞch thÕ cã trong ho¸n vÞ ®ã. Ký hiÖu sè nghÞch thÕ cña ho¸n vÞ (j1,j2,..,jn) lµ N(j1,j2,..,jn). Ho¸n vÞ (j1,j2,..,jn) ®- îc gäi lµ ho¸n vÞ ch½n (hoÆc lÎ) nÕu N(j1, j2,.., jn) lµ sè ch½n (hoÆc sè lÎ). VÝ dô 9.4. (i) NÕu n = 1. Th× cã mét ho¸n vÞ lµ (1), N(1) = 0. (ii) NÕu n = 2. Th× cã hai ho¸n vÞ lµ (1,2) vµ (2,1). N(1,2) = 0, N(2,1) = 1. (iii) NÕu n = 3. Th× cã 6 ho¸n vÞ lµ: (1,2,3), N(1,2,3) = 0; (1,3,2), N(1,3,2) = 1; (2,1,3), N(2,1,3) = 1; (2,3,1), N(2,3,1) = 2; (3,1,2), N(3,1,2) = 2; (3,2,1), N(3,2,1) = 3. Chó ý 9.2. Víi n sè th× cã n! ho¸n vÞ. TÝnh chÊt 9.2. NÕu ®æi chç hai sè trong mét ho¸n vÞ cho nhau th× sè nghÞch thÕ cña nã thay ®æi tÝnh ch½n (lÎ). NghÜa lµ, nÕu (j1,j2,.., ji,.., jk,.., jn) lµ ho¸n vÞ ch½n th× (j1, j2,.., jk,.., ji,.., jn) lµ ho¸n vÞ lÎ vµ ngîc l¹i. 9.2.2. §Þnh nghÜa ®Þnh thøc. §Þnh nghÜa 9.8. Cho A =(aij)m× n lµ ma trËn vu«ng cÊp n. Tõ mçi dßng cña A lÊy tuú ý mét phÇn tö sao cho kh«ng cã hai phÇn tö nµo n»m trªn cïng mét cét, ch¼ng h¹n nÕu xÕp theo thø tù t¨ng dÇn cña dßng c¸c phÇn tö ®ã lµ a 1j1 , a 1j2 ,..., a 1jn (tõ ma trËn A lÊy ra ®îc n! bé sè nh trªn). Khi ®ã, ®Þnh thøc cña ma trËn A lµ:
N ( j ,j ,...,j ) ∑ ( −1) a 1j a 2 j ...a jn 12 n vµ ®îc ký hiÖu lµ: D, hoÆc   hoÆc det(A), A, 1 2 n ∀ ( j1,j2 ,...,jn ) a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n hoÆc . . ... . . VËy: . . ... . an 1 an 2 ... a nn N ( j ,j ,...,j ) ∑ ( − 1) a 1j a 2 j ...a jn 12 n  = A . (9.1) 1 2 n ∀ ( j1,j2 ,...,jn ) NhËn xÐt 9.7. Tæng (9.1) cã n! sè h¹ng vµ cßn ®îc viÕt díi d¹ng: ∑ ( −1)N (i1,i 2 ,..,i n ) a i11a i 2 2...a i n n  A= . (9.2) ∀(i1,i 2 ,...,i n ) VÝ dô 9.5. (i) n =1 ⇒    11 (−1)0 a11 = a11. A= a = a 11 a 12 = ( −1)N (1,2) a 11a 22 + ( −1)N ( 2,1) a 12a 21 = a 11a 22 − a 12a 21 . (ii) n = 2 ⇒   A= a 21 a 22 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = ( −1)N (1, 2,3) a 11a 22a 33 + ( −1)N (1,3,2) a 11a 23a 32 + (iii) n = 3 ⇒   A= a 31 a 32 a 33 ( −1)N ( 2,1,3) a 12a 21a 33 + ( −1)N ( 2,3,1) a 12a 23a 31 + ( −1)N ( 3,1, 2,) a 13a 21a 32 + ( −1)N ( 3,2,1) a 13a 22a 31 = a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 22a 31 −a 11a 23a 32 −a 12a 21a 33 −a 13a 21a 32 . NhËn xÐt 9.8. Trong ®Þnh thøc cÊp ba cã ba sè h¹ng mang dÊu céng lµ tÝch cña ba sè ®i theo ®êng chÐo chÝnh vµ song song ®êng chÐo chÝnh, ba sè h¹ng mang dÊu trõ lµ tÝch cña ba sè ®i theo ®êng chÐo phô vµ song song ®êng chÐo phô. 9.2.3. TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc.
§Þnh lý 9.1. Cho ma trËn A =(aij)n× n. Khi ®ã, ®Þnh thøc cña ma trËn kh«ng thay ®æi T qua phÐp chuyÓn vÞ, nghÜa lµ: A = A . Chøng minh. V× A =(aij)n× n⇒ AT =(aji)n× n. Theo ®Þnh nghÜa cña ®Þnh thøc vµ c¸c c«ng thøc (9.1), (9.2) ta cã: ∑ ∑ ( −1)N ( j1, j2 ,.., jn ) a 1j1a 2 j2 ...a n jn ( −1)N ( j1, j2 ,.., jn ) a j11a j2 2 ...a jn n  A= = ∀( j1, j2 ,..., jn ) ∀( j1, j2 ,..., jn ) = T A. NhËn xÐt 9.9. V× phÐp chuyÓn vÞ cña ma trËn lµ phÐp chuyÓn dßng j (j =1,2,...,n) cña ma trËn A (t¬ng øng) thµnh cét j cña ma trËn AT, nªn tõ ®Þnh lý 9.1 ta suy ra: “c¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc ®óng cho c¸c dßng th× còng ®óng cho c¸c cét cña ®Þnh thøc ®ã ”. §Þnh lý 9.2. NÕu ®æi chç hai dßng cña ®Þnh thøc cho nhau (hai cét cña ®Þnh thøc cho nhau) th× ®Þnh thøc ®æi dÊu. Chøng minh. Sö dông kÕt qu¶ cña nhËn xÐt 9.9, nªn ta chØ cÇn chøng minh ®Þnh lý cho phÐp ®æi chç hai cét cho nhau. Cho A = (a)n× n víi c¸c cét lµ A1, A2,..., An. Gi¶ sö ®æi chç cét thø j vµ cét thø k cña | A| cho nhau (1 ≤ j < k ≤ n) ®îc ®Þnh thøc míi ký hiÖu lµ | A′ | . Ta cã: | A| =| A1,A2,...,Aj,..., Ak,...,An | ∑ N (i1 ,i 2 ,..,i j ,...,i k ,...,i n ) ( −1) a i11a j2 2...a i j j ...a i k k ...a i n n = ∀(i1,i 2 ,...,i j ,..,i k ,...i n ) ∑ N (i1,i 2 ,..,i k ,...,i j ,...,i n ) =− ( −1) a i11a j2 2...a i k k ...a i j j...a i n n ∀(i1,i 2 ,...,i k ,..,i j ,...i n ) = −|A1,A2,...,Ak,..., Aj,...,An | = −|A′ | . HÖ qu¶ 9.2.1. NÕu trong mét ®Þnh thøc cã hai dßng b»ng nhau (hoÆc hai cét b»ng nhau) th× ®Þnh thøc b»ng 0. VÝ dô 9.6. Cho a1, a2,..., an lµ c¸c sè thùc kh¸c nhau. Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 ... x n 1x 2 n 1 a1 a 1 ... a 1 = 0. .. . ... . 2 n 1 an a n ... a n Gi¶i. VÕ tr¸i cña ph¬ng tr×nh lµ ®Þnh thøc cÊp n + 1 nªn cã (n + 1)! sè h¹ng. Mçi sè h¹ng lµ tÝch cña n + 1 thõa sè, mçi thõa sè n»m trªn mét dßng cña ®Þnh thøc. V× vËy, mçi sè h¹ng cña ®Þnh thøc chØ cã mét thõa sè n»m trªn dßng 1 cã chøa x víi luü thõa bËc cao nhÊt lµ n, c¸c thõa sè kh¸c ®Òu lµ h»ng sè. Hay ph ¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc n theo x, do ®ã cã nhiÒu nhÊt lµ n nghiÖm. NÕu x = a1 th× dßng 1 vµ dßng 2 cña ®Þnh thøc b»ng nhau nªn ®Þnh thøc b»ng 0, hay x = a1 lµ mét nghiÖn cña ph¬ng tr×nh. T¬ng tù, ta ®îc x = a1, x = a2,..., x = an lµ n nghiÖm cÇn t×m cña ph¬ng tr×nh. §Þnh lý 9.3. NÕu nh©n tÊt c¶ c¸c phÇn tö n»m mét dßng (hoÆc mét cét) víi mét sè th× ®Þnh thøc ®îc nh©n víi sè ®ã. Ch¼ng h¹n, gäi A1,A2, ...,Aj,...,An lÇn lît lµ c¸c cét cña | A| víi A = (a)n× n vµ k lµ sè thùc. Th×: | Aj(kAj)| = k| A| ⇔ | A1,A2,...,kAj,...,An | = k| A| . Chøng minh. Theo ®Þnh nghÜa ®Þnh thøc ta cã: ∑ ( −1)N ( j1, j2 ,.., jk ,... jn ) a 1j1a 2 j2 ....a kjk ...a n jn k  k ∀( j , j A= 1 2 ,..., jk ,... jn ) ∑ ( −1)N ( j1, j2 ,.., jk ,... jn ) a 1j1a 2 j2 ...ka kjk ...a n jn =| A ,A ,...,kA ,...,A | . = 1 2 j n ∀( j1, j2 ,..., jk ,... jn ) HÖ qu¶ 9.3.1. NÕu trong mét ®Þnh thøc cã mét dßng (hoÆc mét cét) b»ng kh«ng th× ®Þnh thøc ®ã b»ng 0. HÖ qu¶ 9.3.2. NÕu trong mét ®Þnh thøc cã hai dßng (hoÆc hai cét) tû lÖ víi nhau th× ®Þnh thøc ®ã b»ng 0.
§Þnh lý 9.4 (TÝnh chÊt tuyÕn tÝnh). Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n víi c¸c cét lµ A 1, A2,..., An; B1, B2,..., Bm lµ c¸c vect¬ cét n chiÒu ; k1, k2,..., km lµ c¸c sè thùc ; j lµ chØ sè cét cña A (1 ≤ j ≤ n). Th×: | Aj(k1B1+ k2B2+ ...+ kmBm)| = k1| Aj(B1)| + k2| Aj(B2)| + ...+ km| Aj(Bm)| ⇔ | A1,A2,...,Aj-1, k1B1+ k2B2+ ...+ kmBm, Aj+1,...,An | = k1| A1,A2,...,Aj-1,B1,Aj+1,...,An|+ k2| A1,A2,...,Aj-1,B2,Aj+1,...,An | + ... + km| A1,A2,...,Aj-1,Bm,Aj+1,...,An | . HÖ qu¶ 9.4.1. NÕu céng vµo mét cét (hoÆc mét dßng) mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c cét (hoÆc dßng) kh¸c th× gi¸ trÞ cña ®Þnh thøc kh«ng ®æi. Chøng minh. Gi¶ sö | A| lµ ®Þnh thøc cÊp n víi c¸c cét lµ A 1, A2,..., An; céng vµo cét 1 tæng k2A2+ k3A3+ ...+ knAn víi k2, k3,..., kn lµ c¸c sè thùc. Th× ®Þnh thøc míi lµ: | A1 + k2A2+ k3A3+ ...+ knAn,A2,A3,...,An| = | A1,A2,A3,...,An| + k2| A2,A2,A3,...,An|+ k3| A3,A2,A3,...,An|+ ... + kn| An,A2,A3,...,An| = | A| . C¸c trêng hîp kh¸c, chøng minh t¬ng tù.(®pcm) HÖ qu¶ 9.4.2. NÕu trong mét ®Þnh thøc cã mét dßng (hoÆc cét) lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c dßng (hoÆc cét) kh¸c th× ®Þnh thøc b»ng 0. Chøng minh. Gi¶ sö | A| lµ ®Þnh thøc cÊp n víi c¸c cét lµ A 1, A2,..., An; cã A1 = k2A2+ k3A3+ ...+ knAn víi k2,k3,...,kn lµ c¸c sè thùc. Th× ®Þnh thøc ®ã lµ: | k2A2+ k3A3+ ...+ knAn,A2,A3,...,An| = k2| A2,A2,A3,...,An|+ k3| A3,A2,A3,...,An|+ ... + kn| An,A2,A3,...,An| = 0. C¸c trêng hîp kh¸c, chøng minh t¬ng tù.(®pcm) HÖ qu¶ 9.4.3. NÕu trong mét ®Þnh thøc cã hÖ c¸c vect¬ dßng (hoÆc cét) lµ hÖ phô thuéc tuyÕn tÝnh th× ®Þnh thøc b»ng 0. Chøng minh. Gi¶ sö | A| lµ ®Þnh thøc cÊp n víi c¸c cét lµ A 1, A2,..., An; cã hÖ c¸c vect¬ cét phô thuéc tuyÕn tÝnh. Th× trong hÖ c¸c vect¬ cét ®ã cã Ýt nhÊt mét vect¬ biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ. Ch¼ng h¹n ®ã lµ A 1. Th×: A1 = k2A2+ k3A3+ ...+ knAn víi k2,k3,...,kn lµ c¸c sè thùc. Th× ®Þnh thøc ®ã lµ:
| k2A2+ k3A3+ ...+ knAn,A2,A3,...,An| = k2| A2,A2,A3,...,An|+ k3| A3,A2,A3,...,An|+ ... + kn| An,A2,A3,...,An| = 0. C¸c trêng hîp kh¸c, chøng minh t¬ng tù.(®pcm) HÖ qu¶ 9.4.4. NÕu ®Þnh thøc kh¸c 0 th× hÖ c¸c vect¬ dßng (cét) cña nã ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Chøng minh. Gi¶ sö | A| ≠ 0 mµ hÖ { A1, A2,..., An} c¸c vect¬ cét cña nã phô thuéc tuyÕn tÝnh. Theo hÖ qu¶ 9.4.3 th× | A| = 0, tr¸i víi gi¶ thiÕt ⇒ (®pcm) . VÝ dô 9.7. TÝnh c¸c ®Þnh thøc sau: a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 12345 12347 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 a) D1 = , b) D2 = 2 . c (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 22345 22347 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 Gi¶i. a) LÊy cét thø 2 trõ ®i cét thø nhÊt vµ ¸p dông hÖ qu¶ 9.4.1 ta cã: 12345 2 12345 1 =2 = −20000 . D1 = 22345 2 22345 1 a 2  a  1  2 b  1 b   , C =  . b) §Æt: A =  2  , B = c  1 c    d 2  1 d   ¸p dông ®Þnh lý 9.4 ta cã: D2 = | A, A+ 2B+ C, A+ 4B+ 4C, A+ 6B+ 9C| = | A,A,A+ 4B+ 4C,A+ 6B+ 9C| + 2| A,B,A+ 4B+ 4C,A+ 6B+ 9C| + | A,C,A+ 4B+ 4C,A+ 6B+ 9C| =2| A,B,A,A+ 6B+ 9C| + 8| A,B,B,A+ 6B+ 9C| + 8| A,B,C,A+ 6B+ 9C|+ + | A,C,A,A+ 6B+ 9C| + 4| A,C,B,A+ 6B+ 9C| + 4| A,C,C,A+ 6B+ 9C|
= 8| A,B,C,A+ 6B+ 9C| − 4| A,B,C,A+ 6B+ 9C| = 4| A,B,C,A+ 6B+ 9C| = 4| A,B,C,A| + 24| A,B,C,B| + 36| A,B,C,C| = 0. 9.3. khai triÓn ®Þnh thøc Trong phÇn ®Þnh thøc, chóng ta míi chØ tÝnh ® îc c¸c ®Þnh thøc ®Õn cÊp 3. Trong phÇn nµy, chóng ta ®a ra ph¬ng ph¸p khai triÓn ®Þnh thøc ®Ó tõ ®ã ta tÝnh ®îc ®Þnh thøc c¸c cÊp. 9.3.1. PhÇn phô ®¹i sè. Cho D = | A| víi A = (aij)n× n. Nh ta ®· biÕt det(aij) = | aij| = aij. PhÇn tö aij ®îc gäi lµ ®Þnh thøc con cÊp 1 cña D. Trong ®Þnh thøc D, sau khi bá ®i dßng thø i vµ bá ®i cét thø j (i =1,2,...,n; j =1,2,...,n) chØ cßn n −1 dßng vµ n −1 cét. C¸c phÇn tö n»m trªn giao ®iÓm cña n −1 dßng vµ n −1 cét cßn l¹i ®ã (gi÷ nguyªn thø tù cña c¸c dßng vµ c¸c cét) t¹o thµnh mét ®Þnh thøc cÊp n −1 ký hiÖu lµ Mij vµ ®îc gäi lµ ®Þnh thøc con bï cña phÇn tö aij. §Þnh nghÜa 9.9. Cho D = | A| víi A = (aij)n× n. PhÇn phô ®¹i sè (hoÆc phÇn bï ®¹i sè) cña phÇn tö aij (i =1,2,...,n; j =1,2,...,n) ®îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau: +j Aij = (−1)i Mij , trong ®ã Mij lµ ®Þnh thøc con bï cña phÇn tö aij . 1 3 −2 VÝ dô 9.8. Cho D = 0 2 −4 . Th×: 3 0 −7 2 −4 0 −4 = −14 , A12 = (−1)1+ 2 M12 = (−1)3 = −12 , +1 A11= (−1)1 M11= (−1)2 0 −7 3 −7 3 −2 02 = −6 , A21 = (−1)2+ 1 M21 = (−1)3 = 21. + A13 = (−1)1 3 M13 = (−1)4 0 −7 30 9.3.2. C«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo mét dßng (hoÆc cét).
Cho D = | A| víi A = (aij)n× n. Ngêi ta chøng minh ®îc c¸c c«ng thøc sau: C«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo dßng thø i (i =1,2,...,n): D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin. C«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo cét thø j (j =1,2,...,n): D = a1jA1j + a2jA2j + ... + anjAnj. NhËn xÐt 9.10. (i) Tõ c¸c c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo mét dßng (hoÆc mét cét) ta thÊy nªn chän dßng (hoÆc cét) cã nhiÒu phÇn tö b»ng 0 ®Ó khai triÓn v× phÇn tö nµo b»ng 0 th× kh«ng cÇn ph¶i tÝnh phÇn phô ®¹i sè cña nã. (ii) NÕu trong ®Þnh thøc cÇn tÝnh cã Ýt phÇn tö b»ng 0 (thËm chÝ kh«ng cã). Th× ta sö dông c¸c tÝnh chÊt cña ®Þnh thøc, ®Ó chuyÓn viÖc tÝnh ®Þnh thøc ®· cho vÒ tÝnh ®Þnh thøc míi cã nhiÒu phÇn tö b»ng 0, thËm chÝ cã dßng (hoÆc cét) chØ cã 1 phÇn tö kh¸c 0. C¸c vÝ dô sau ®©y sÏ minh ho¹ cho nhËn xÐt 9.10. VÝ dô 9.9. TÝnh c¸c ®Þnh thøc sau: a1 0 ... 0 0 a2 ... 0 (i) | A| = , víi a1, a2,..., an lµ c¸c sè thùc. . . ... . 00 ... a n a 11 a 12 ... a 1n 0 a 22 ... a 2n (ii) | A| = , víi aij (i, j =1,2,...,n) lµ c¸c sè thùc. . . ... . 0 0 ... a nn Gi¶i. (i) Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc: a2 0 ... 0 0 a3 ... 0 | A| = a1(−1) 2 . . . ... . 00 ... a n Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
a3 0 ... 0 0 a4 ... 0 | A| = a1a2(−1)2 . . . ... . 00 ... a n T¬ng tù nh trªn ta suy ra | A| = a1a2... an. Tõ vÝ dô 9.9 (i) ta cã | En× n| = 1 víi n nguyªn d¬ng. (ii) Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc: a 22 a 23 ... a 2n 0 a 33 ... a 3n | A| = a11(−1) 2 . . . ... . 0 0 ... a n n Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
a 33 a 34 ... a 3n 0 a 44 ... a 4n | A| = a11a22(−1)2 . . . ... . 0 0 ... a n n T¬ng tù nh trªn ta suy ra | A| = a11a22... ann. VÝ dô 9.10. TÝnh c¸c ®Þnh thøc sau: 0 0 ... 0 a 1 0 0 ... a 2 0 (i) | A| = , víi a1, a2,..., an lµ c¸c sè thùc. . . ... . . 0 ... 0 0 an 0 0 ... 0 a 1n 0 0 ... a 2(n −1) a 2n (ii) | A| = , víi aij (i, j =1,2,...,n) lµ c¸c sè thùc. . . ... . . a 1n a 2n ... a n (n −1) a n n Gi¶i. (i) Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc: 0 0 ... 0 a 1 0 0 ... a 2 0 +n | A| = an(−1)1 . . . ... . . 0 ... 0 0 a n −1 Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc: 0 0 ... 0 a 1 0 0 ... a 2 0 + | A| = anan−1(−1)1 n (−1)1+(n-1) . . . ... . . 0 ... 0 0 a n −2 T¬ng tù nh trªn ta suy ra + 2+...+n) + n) | A| = (−1)2(1 a1a2... an= (−1)n(1 a1a2... an. (ii) Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
0 0 ... 0 a 1n 0 0 ... a 2(n −1) a 2n +n | A| = an1(−1)1 . . . ... . . a (n −1)2 a (n −1)3 ... a (n −1)(n −1) a (n −1)n Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc: 0 0 ... 0 a 1n 0 0 ... a 2(n −1) a 2n 1+ n | A| = an1a(n−1)2(−1) (−1) 1+(n-1) . . . ... . . a (n − 2)3 a (n − 2)4 ... a (n − 2)(n −1) a (n − 2)n T¬ng tù nh trªn ta suy ra + 2+...+n) + n) | A| = (−1)2(1 an1a(n-1)2... ann= (−1)n(1 an1a(n-1)2... ann. 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 VÝ dô 9.11. TÝnh | A| = 3 3 3 4 5. 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 Gi¶i. Nh©n dßng 1 víi (−2) råi céng vµo dßng 2, Nh©n dßng 1 víi ( −3) råi céng vµo dßng 3, Nh©n dßng 1 víi (−4) råi céng vµo dßng 4, Nh©n dßng 1 víi ( −5) råi céng vµo dßng 5. Nh vËy ta ®· thªm vµo c¸c dßng (tõ dßng 2 ®Õn dßng 5) mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c dßng cßn l¹i. Theo hÖ qu¶ 9.4.1 th× gi¸ trÞ cña ®Þnh thøc kh«ng ®æi. VËy: 1 2 3 4 5 −2 −3 −4 −5 0 −3 −6 −8 −10 . | A| = 0 −4 −8 −12 −15 0 −5 −10 −15 −20 0 Khai triÓn ®Þnh thøc theo cét 1 ta ®îc:
−2 −3 −4 −5 −3 −6 −8 −10 | A| = 1. (−1)2 . −4 −8 −12 −15 −5 −10 −15 −20 ¸p dông ®Þnh lý 9.3 ta cã: 2 345 3 6 8 10 4 8 12 15 | A| = 5(−1)4 1 234 Nh©n cét 1 víi (−2) råi céng vµo cét 2, Nh©n cét 1 víi ( −3) råi céng vµo cét 3, Nh©n cét 1 víi (−4) råi céng vµo cét 4 ta cã: 2 −1 −2 −3 3 0 −1 −2 | A| = 5 . 4 0 0 −1 1000 Khai triÓn ®Þnh thøc theo dßng 4 ta ®îc: −1 −2 −3 0 −1 −2 = 5. | A| = 5(−1)5 0 0 −1 9.4. Ma trËn nghÞch ®¶o 9.4.1.§Þnh nghÜa ma trËn nghÞch ®¶o. §Þnh nghÜa 9.10. Cho A vµ X lµ c¸c ma trËn vu«ng cÊp n. Ma trËn X ® îc gäi lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A nÕu: XA = AX = En× n. − Ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A ®îc ký hiÖu lµ A 1. VËy − − A 1A = A A 1 = En× n. §Þnh lý 9.5. NÕu ma trËn A = (aij)n× n cã ma trËn nghÞch ®¶o th× ma trËn
nghÞch ®¶o ®ã lµ duy nhÊt. − − Chøng minh. Gi¶ sö ma trËn A cã hai ma trËn nghÞch ®¶o A1 1 vµ A 21 . Theo ®Þnh nghÜa 9.10 ta cã: − − − − A1 1 A = A A1 1 = En× n, A 21 A = A A 21 = En× n. − − Nh©n bªn tr¸i c¶ hai vÕ cña A A1 1 = En× n víi A 21 ta ®îc: − − − − − − − − A 21 A A1 1 = A 21 En× n ⇔ ( A 21 A) A1 1 = A 21 ⇔ En× n A1 1 = A 21 − − ⇔ A1 1 = A 21 . (®pcm) 9.4.2. Ph¬ng ph¸p t×m ma trËn nghÞch ®¶o. §Þnh nghÜa 9.11. Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. Ma trËn phô hîp cña ma trËn A ® - îc ký hiÖu vµ x¸c ®Þnh nh sau:  A 11 ... A n 1  A 21 A ... A n 2  A 22 A =  12 . . . . ...    A1n A 2n ... A nn  n ×n §Þnh lý 9.6. Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. NÕu A lµ ma trËn phô hîp cña ma trËn A th×: 0 0 A ... 0 0 A ... A A = A A = | A| En× n= . . . ... . 0 0 ... A n ×n Chøng minh. Gi¶ sö A A = (cij)n× n. Theo c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo mét dßng ta cã: cii = ai1Ai1 + ai2Ai2+ ...+ ainAin = | A| (∀i =1,2,...,n). NÕu trong ®Þnh thøc cã dßng i b»ng dßng j th× c«ng thøc khai triÓn ®Þnh thøc theo i lµ. ai1Ai1 + ai2Ai2+ ...+ ainAin = ai1Aj1 + ai2Aj2+ ...+ ainAjn =0. VËy: cij = ai1Aj1 + ai2Aj2+ ...+ ainAjn = 0 (∀i, j =1,2,...,n; i ≠ j). (®pcm) §Þnh nghÜa 9.12. Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. Ma trËn A ® îc gäi lµ ma trËn kh«ng suy biÕn nÕu | A| ≠ 0 vµ ®îc gäi lµ ma trËn suy biÕn nÕu | A| = 0.
 1 2 3   VÝ dô 9.12. Ma trËn A =  0 3 1 lµ ma trËn suy biÕn v× | A| = 0. Ma trËn A =  2 7 7    1 2 3  0 3 1  lµ ma trËn kh«ng suy biÕn v× | A| = 14 ≠ 0.   0 7 7   §Þnh lý 9.7. Cho A lµ ma trËn vu«ng cÊp n. §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o lµ ma trËn A kh«ng suy biÕn. − − Chøng minh. NÕu ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o A 1 th× A A 1 = En× n. Suy ra: | A − − A 1| = | En× n| ⇒|A|| A 1| = 1 ⇒|A| ≠ 0. Ngîc l¹i, nÕu A lµ ma trËn kh«ng suy biÕn ⇒|A| ≠ 0. Gäi A lµ ma trËn phô hîp cña A. Theo c¸c ®Þnh lý 9.5 vµ 9.6 th×: A A = A A = | A| En× n. A − ⇒A 1 = lµ ma trËn nghÞch ®¶o duy nhÊt cña A. (®pcm) A Quy t¾c t×n ma trËn nghÞch ®¶o. ∗ TÝnh | A| . NÕu | A| = 0, kh¼ng ®Þnh ma trËn A suy biÕn do ®ã kh«ng cã ma trËn nghÞch ®¶o. NÕu | A| ≠ 0, kh¼ng ®Þnh ma trËn A kh«ng suy biÕn do ®ã kh«ng cã duy nhÊt ma trËn nghÞch ®¶o . A − ∗ TÝnh A vµ tÝnh A 1 = . A VÝ dô 9.13. T×m ma trËn nghÞch ®¶o (nÕu cã) cña ma trËn  1 3 2   A =  2 1 2 .  3 4 1   A − Gi¶i. Ta cã | A| = 15 ≠ 0, ma trËn A kh«ng suy biÕn nªn cã duy nhÊt A 1 = . A
12 22 21 2 3 4 A11 = ( −1) = −7 , A12 = ( −1) = 4, A13 = ( −1) = 5, 41 31 34 32 12 13 3 4 5 A21 = ( −1) = 5, A22 = ( −1) = −5 , A23 = ( −1) = 5, 41 31 34 32 12 13 4 5 6 A31 = ( −1) = 4, A32 = ( −1) = 2, A33 = ( −1) = −5 . 12 22 21  −7 5 4   −7 5 4  A   1  VËy A =  4 −5 2  nªn A 1 =  4 −5 2  . − = A 15  5 5 −5  5 5 −5     1 3 2    VÝ dô 9.14. Cho ma trËn A =  2 1 2  . 3 4 α    Víi gi¸ trÞ nµo cña α th× ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o? 1) T×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A khi α = 0. 2) Gi¶i. 1) §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ma trËn A cã ma trËn nghÞch ®¶o lµ ma trËn A kh«ng suy biÕn ⇔ | A| ≠ 0 ⇔ 20 −5α ≠ 0 ⇔ α ≠ 4.  1 3 2   − 2) Víi α = 0 th× A =  2 1 2 , | A| = 20 ≠ 0, ⇒A cã duy nhÊt ma trËn A 1. A11 =  3 4 0   12 22 21 ( −1)2 3 4 = −8 , A12 = ( −1) = 6, A13 = ( −1) = 5, A21 = 40 30 34 32 12 13 ( −1)3 4 5 = 8, A22 = ( −1) = −6 , A23 = ( −1) = 5, 40 30 34