Chương III: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

Chia sẻ: Mr. Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

553
lượt xem 150
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo về Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác trên báo tuổi trẻ online. Tài liệu hay và bổ ích dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học - cao đẳng tham khảo ôn tập củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương III: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

LƯỢNG GIÁC CHÖÔNG III: PHÖÔNG TRÌNH BAÄ C HAI VÔÙ I CAÙ C HAØ M SOÁ LÖÔÏ N G GIAÙ C a sin2 u + b sin u + c = 0 ( a ≠ 0) a cos2 u + b cos u + c = 0 ( a ≠ 0) atg 2 u + btgu = c = 0 ( a ≠ 0) a cot g 2 u + b cot gu + c = 0 ( a ≠ 0) Caù c h giaû i: Ñaët : t = sin u hay t = cos u vôù i t ≤ 1 π t = tgu (ñieà u kieä n u ≠ + kπ ) 2 t = cot gu (ñieà u kieä n u ≠ kπ ) Caù c phöông trình treâ n thaø n h: at 2 + bt + c = 0 Giaû i phöông trình tìm ñöôïc t, so vôù i ñieà u kieä n ñeå nhaä n nghieä m t. Töø ñoù giaû i phöông trình löôï n g giaù c cô baû n tìm ñöôï c u. Baø i 56: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2002) Tìm caù c nghieä m treâ n ( 0, 2π ) cuû a phöông trình ⎛ cos 3x + sin 3x ⎞ 5 ⎜ sin x + ⎟ = 3 + cos 2x ( * ) ⎝ 1 + 2 sin 2x ⎠ 1 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ − 2 ( ) ( Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − 4 sin 3 x + 4 cos3 x − 3 cos x ) ( = −3 ( cos x − sin x ) + 4 cos3 x − sin3 x ) ( = ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + 4 cos2 x + cos x sin x + sin 2 x ⎤ ⎣ ⎦ ) = ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2x ) ( Luù c ñoù : (*) ⇔ 5 ⎡sin x + ( cos x − sin x ) ⎤ = 3 + 2 cos2 x − 1 ⎣ ⎦ ) ⎛ 1⎞ ⎜ do sin 2x ≠ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⇔ 2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0
⎡ 1 cos x = ⇔⎢ 2 ⎢ ⎢cos x = 2 ( loaïi ) ⎣ π 3 1 ⇔ x = ± + k2π (nhaä n do sin 2x = ± ≠− ) 3 2 2 π 5π Do x ∈ ( 0, 2π ) neâ n x = ∨ x = 3 3 Baø i 57: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoái A, naê m 2005) Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *) 1 + cos 6x 1 + cos 2x Ta coù : (*) ⇔ .cos 2x − =0 2 2 ⇔ cos 6x.cos 2x − 1 = 0 (**) ( ) Caù c h 1: (**) ⇔ 4 cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0 ⇔ 4 cos4 2x − 3 cos2 2x − 1 = 0 ⎡cos2 2x = 1 ⇔⎢ 2 ⎢cos 2x = − 1 ( voâ nghieäm ) ⎢ ⎣ 4 ⇔ sin 2x = 0 kπ ⇔ 2x = kπ ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 1 Caù c h 2: (**) ⇔ ( cos 8x + cos 4x ) − 1 = 0 2 ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⎡cos 4x = 1 ⇔⎢ ⎢cos 4x = − 3 ( loaïi ) ⎣ 2 kπ ⇔ 4x = k2π ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 Caù c h 3: phöông trình löôï n g giaù c khoâ n g maã u möï c : ⎡cos 6x = cos 2x = 1 (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x = cos 2x = −1 Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2 ⇔ cos 8x = cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1 Baø i 58: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoái D, naê m 2005) ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 3 Giaû i phöông trình: cos4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2
Ta coù : (*) 1⎡ π⎞ ⎤ 3 ( ) 2 ⎛ ⇔ sin2 x + cos2 x − 2 sin2 x cos2 x + ⎢sin ⎜ 4x − 2 ⎟ + sin 2x ⎥ − 2 = 0 2⎣ ⎝ ⎠ ⎦ 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 0 2 2 2 1 1 1 1 2 2 ( 2 ) ⇔ − sin2 2x − 1 − 2 sin2 2x + sin 2x − = 0 2 2 ⇔ sin 2x + sin 2x − 2 = 0 ⎡sin 2x = 1 ⇔⎢ ⎣sin 2x = −2 ( loaïi ) π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 Baø i 59: (Ñeà th i tuyeån sinh Ñaï i ho ï c khoá i B, naê m 2004) Giaû i phöông trình: 5 sin x − 2 = 3 (1 − sinx ) tg 2 x ( *) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 sin2 x Khi ñoù: (*) ⇔ 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) cos2 x sin2 x ⇔ 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) 1 − sin2 x 3sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 1 + sin x 2 ⇔ 2 sin x + 3sin x − 2 = 0 ⎡ 1 ⇔ ⎢sin x = 2 ( nhaän do sin x ≠ ±1) ⎢ ⎢sin x = −2 ( voâ nghieäm ) ⎣ π 5π ⇔x= + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z) 6 6 1 1 Baø i 60: Giaûi phöông trình: 2 sin 3x − = 2 cos 3x + ( *) sin x cos x Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 1 1 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 ( sin 3x − cos 3x ) = + sin x cos x
1 1 ⎣ ( ) ⇔ 2 ⎡3 ( sin x + cos x ) − 4 sin3 x + cos3 x ⎤ = + ⎦ sin x cos x sin x + cos x ⎣ ( ) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) ⎡3 − 4 sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ = ⎦ sin x cos x ⎡ 1 ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + 8 sin x cos x − =0 ⎣ sin x cos x ⎥ ⎦ ⎡ 2 ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x − − 2⎥ = 0 ⎣ sin 2x ⎦ ⎡sin x + cos x = 0 ⎡ tgx = −1 ⇔⎢ 2 ⇔⎢ ⎢sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −1 ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) ⎣4 sin 2x − 2sin 2x − 2 = 0 ⎣ 2 π π π 7π ⇔x=− + kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ 4 2 6 6 π π 7π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 4 12 12 Baø i 61: Giaûi phöông trình: ( ) cos x 2 sin x + 3 2 − 2 cos2 x − 1 =1 ( *) 1 + sin 2x π Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ 4 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x cos x + 3 2 cos x − 2 cos2 x − 1 = 1 + sin 2x ⇔ 2 cos2 x − 3 2 cos x + 2 = 0 2 ⇔ cos x = hay cos x = 2 ( voâ nghieäm ) 2 ⎡ π ⎢ x = 4 + k2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k '2π ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢ ⎣ 4 π ⇔ x = + k2π 4 Baø i 62: Giaûi phöông trình: x 3x x 3x 1 cos x.cos .cos − sin x sin sin = ( *) 2 2 2 2 2 1 1 1 Ta coù : (*) ⇔ cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) = 2 2 2 2 ⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = 1 ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = 1 − cos2 x + sin x cos x ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x )
⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = 0 ( * * ) ( ) ⇔ ( cos x + sin x ) 1 − 2 sin 2 x − sin x = 0 ⎡ cos x = − sin x ⇔⎢ 2 ⎣ 2 sin x + sin x − 1 = 0 ⎡ π ⎡ ⎢ x = − 4 + kπ ⎢ tgx = −1 ⎢ ⎢ π ⇔ ⎢sin x = −1 ⇔ ⎢ x = − + k2π ( k ∈ Z) ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢sin x = ⎣ 2 ⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π ⎢ ⎣ 6 6 ⎛π ⎞ Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠ Baø i 63: Giaûi phöông trình: 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x ( *) Ta coù : (*) ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x − 8 cos x = 0 ( ⇔ cos x 2 cos2 x + 3 2 sin x − 4 = 0 ) ( ) ⇔ cos x ⎡ 2 1 − sin 2 x + 3 2 sin x − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ 2 ⇔ cos x = 0 ∨ 2 sin x − 3 2 sin x + 2 = 0 ⎡cos x = 0 ⎢ 2 ⇔ ⎢sin x = ⎢ 2 ⎢ ⎢sin x = 2 ( voâ nghieäm ) ⎣ π 2 π ⇔x= + kπ ∨ sin x = = sin 2 2 4 π π 3π ⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z ) 2 4 4 Baø i 64 : Giaûi phöông trình: ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) ( *) ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ π (*) ⇔ 2 cos 2x.cos + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) 4 ⇔ ( ) ( ) 2 1 − 2 sin2 x + 4 + 2 sin x − 2 − 2 = 0 ( ) ⇔ 2 2 sin2 x − 4 + 2 sin x + 2 = 0
⎡sin x = 2 ( loaïi ) ( ) ⇔ 2 sin x − 2 2 + 1 sin x + 2 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎢sin x = 1 ⎢ ⎣ 2 π 5π ⇔ x = + k2π hay x = + k2π, k ∈ 6 6 ( ) Baø i 65 : Giaû i phöông trình : 3 cot g 2 x + 2 2 sin 2 x = 2 + 3 2 cos x ( * ) Ñieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1 Chia hai veá (*) cho sin 2 x ta ñöôï c : cos2 x cos x (*) ⇔ 3 sin x 4 +2 2 = 2+3 2 ( ) sin2 x vaø sin x ≠ 0 cos x Ñaët t = ta ñöôï c phöông trình: sin 2 x ( ) 3t 2 − 2 + 3 2 t + 2 2 = 0 2 ⇔t= 2∨t= 3 2 cos x 2 * Vôù i t = ta coù : 2 = 3 sin x 3 ( ⇔ 3 cos x = 2 1 − cos2 x ) ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0 ⎡cos x = −2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢cos x = 1 ( nhaän do cos x ≠ ±1) ⎢ ⎣ 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 cos x * Vôù i t = 2 ta coù : = 2 sin2 x ( ⇔ cos x = 2 1 − cos2 x ) ⇔ 2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⎡cos x = − 2 ( loaïi ) ⎢ ⇔⎢ 2 ⎢cos x = ( nhaän do cos x ≠ ±1) ⎣ 2 π ⇔ x = ± + k2π, k ∈ 4 4 sin2 2x + 6 sin 2 x − 9 − 3 cos 2x Baø i 66 : Giaûi phöông trình: = 0 ( *) cos x
Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Luù c ñoù : (*) ⇔ 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x = 0 ( ) ⇔ 4 1 − cos2 2x + 3 (1 − cos 2x ) − 9 − 3 cos 2x = 0 ⇔ 4 cos2 2x + 6 cos 2x + 2 = 0 1 ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = − 2 1 ⇔ 2 cos2 x − 1 = −1 ∨ 2 cos2 x − 1 = − 2 ⎡cos x = 0 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⇔⎢⎢cos x = ± 1 nhaän do cos x ≠ 0 ⎢ ( ) ⎣ 2 π 2π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 3 1 2 Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x + sin 3x + sin 5x 3 5 Giaû i phöông trình: f ' ( x ) = 0 Ta coù : f '(x) = 0 ⇔ cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0 ⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = 0 ⇔ 2 cos 3x cos 2x + 2 cos 4x cos x = 0 ( ) ( ) ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x cos 2x + 2 cos2 2x − 1 cos x = 0 ( ) ⇔ ⎡ 4 cos2 x − 3 cos 2x + 2 cos2 2x − 1⎤ cos x = 0 ⎣ ⎦ ⎡ ⎡ 2 (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + 2 cos2 2x − 1 = 0 ⇔ ⎢⎣ ⎦ ⎢cos x = 0 ⎣ ⎡4 cos2 2x − cos 2x − 1 = 0 ⇔⎢ ⎣cos x = 0 1 ± 17 ⇔ cos 2x = ∨ cos x = 0 8 1 + 17 1 − 17 ⇔ cos 2x = = cos α ∨ cos 2x = = cos β ∨ cos x = 0 8 8 α β π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 2 2 2
17 Baø i 68: Giaûi phöông trình: sin8 x + cos8 x = cos2 2x ( *) 16 Ta coù : ( ) 2 sin 8 x + cos8 x = sin4 x + cos4 x − 2 sin 4 x cos4 x 2 1 ( ) 2 = ⎡ sin 2 x + cos2 x ⎢ − 2 sin 2 x cos2 x ⎤ − sin4 2x ⎥ ⎣ ⎦ 8 2 ⎛ 1 ⎞ 1 = ⎜ 1 − sin2 2x ⎟ − sin 4 2x ⎝ 2 ⎠ 8 1 = 1 − sin2 2x + sin4 2x 8 Do ñoù : 1 ( *) ⇔ 16 ⎛ 1 − sin2 2x + ⎜ ⎝ 8 ⎞ ( sin4 2x ⎟ = 17 1 − sin2 2x ⎠ ) ⇔ 2 sin4 2x + sin2 2x − 1 = 0 ⎡sin2 2x = −1 ( loaïi ) 1 1 ⇔⎢ ⎢sin2 2x = 1 ⇔ (1 − cos 4x ) = 2 2 ⎢ ⎣ 2 π ⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z ) 8 5x x Baø i 69 : Giaûi phöông trình: sin = 5 cos3 x.sin ( *) 2 2 x Nhaän xeù t thaáy : cos = 0 ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1 2 Thay vaø o (*) ta ñöôï c : ⎛ 5π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + 5kπ ⎟ = − 5. sin ⎜ + kπ ⎟ , khoâ n g thoû a ∀k ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ x Do cos khoâ n g laø nghieä m cuû a (*) neâ n : 2 5x x x x x ( *) ⇔ sin . cos = 5 cos2 x. sin cos vaø cos ≠ 0 2 2 2 2 2 1 5 x ⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 0 2 2 2 x ⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 2 sin x cos x = 5 cos3 x.sin x vaø cos ≠0 2 ⎧ x ⎪cos ≠ 0 ⇔⎨ 2 ⎪3 − 4 sin2 x + 2 cos x = 5 cos3 x ∨ sin x = 0 ⎩
⎧ x ⎪ cos ≠ 0 ⎪ 2 ⇔ ⎨ ⎪5 cos3 x − 4 cos2 x − 2 cos x + 1 = 0 ∨ sin x = 0 ⎪ ⎩ 2 ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⇔ ⎨ x ( ) ⎪( cos x − 1) 5 cos x + cos x − 1 = 0 ∨ sin 2 = 0 ⎩ 2 ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎪⎡ ⎪ ⎢cos x = 1 ⎪⎢ ⇔ ⎨⎢ −1 + 21 ⎪ ⎢cos x = 10 = cos α ⎪⎢ ⎪⎢ −1 − 21 ⎪ ⎣cos x = ⎢ 10 = cos β ⎩ ⇔ x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z ) Baø i 70: Giaûi phöông trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( *) Ñ ieà u kieä n : cos 2x ≠ 0 vaø sin x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 0 ∧ cos 2x ≠ 1 cos x sin 2x Ta coù : cot gx + tg2x = + sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x ⎛ cos x ⎞ 2 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x.cos x ⎜ ⎟ = 4 cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ 2 cos x ⇔ = 2 cos2 x cos 2x ⇔ ( cos 2x + 1) = 2 cos 2x ( cos 2x + 1) ⇔ ( cos 2x + 1) = 0 hay 1 = 2 cos 2x 1 ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = ( nhaän do cos 2x ≠ 0 vaø cos 2x ≠ 1) 2 π ⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈ 3 π π ⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 2 6 6x 8x Baø i 71 : Giaûi phöông trình: 2 cos2 + 1 = 3 cos ( *) 5 5
⎛ 12x ⎞ ⎛ 2 4x ⎞ Ta coù : (*) ⇔ ⎜ 1 + cos ⎟ + 1 = 3 ⎜ 2 cos − 1⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 4x 4x ⎛ 4x ⎞ ⇔ 2 + 4 cos3 − 3 cos = 3 ⎜ 2 cos2 − 1⎟ 5 5 ⎝ 5 ⎠ 4 Ñaë t t = cos x ( ñieàu kieän t ≤ 1) 5 Ta coù phöông trình : 4t 3 − 3t + 2 = 6t 2 − 3 ⇔ 4t 3 − 6t 2 − 3t + 5 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − 2t − 5 ) = 0 1 − 21 1 + 21 ⇔ t = 1∨ t = ∨t = ( loïai ) 4 4 Vaä y 4x 4x • cos =1⇔ = 2kπ 5 5 5kπ ⇔x= ( k ∈ Z) 2 4x 1 − 21 • cos = = cos α ( vôùi 0 < α < 2 π ) 5 4 4x ⇔ = ±α + l 2 π 5 5α l 5π ⇔x=± + ,(l ∈ Z) 4 2 ⎛ π⎞ Baø i 72 : Giaûi phöông trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − 1 ( *) ⎝ 4⎠ π π Ñaë t t = x − ⇔ x = + t 4 4 ⎛π ⎞ 1 + tgt (*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − 1 = − 1 vôùi cos t ≠ 0 ∧ tgt ≠ 1 ⎝4 ⎠ 1 − tgt 2tgt ⇔ tg3 t = 1 − tgt ⇔ tg3 t − tg 4 t = 2tgt ⇔ tgt ( tg3 t − tg 2 t + 2 ) = 0 ⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg 2 t − 2tgt + 2 ) = 0 ⇔ tgt = 0 ∨ tgt = −1( nhaän so ñieàu kieän ) π ⇔ t = kπ ∨ t = − + kπ, k ∈¢ 4 Vaä y (*)
π ⇔x= + kπ hay x = kπ, k ∈¢ 4 sin 4 2x + cos4 2x Baø i 73 : Giaûi phöông trình = cos4 4x (*) ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ Ñieà u kieä n ⎧ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎧ ⎛π ⎞ ⎪sin ⎜ 4 − x ⎟ cos ⎜ 4 − x ⎟ ≠ 0 ⎪sin ⎜ 2 − 2x ⎟ ≠ 0 ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎛ π + x ⎞ cos ⎛ π + x ⎞ ≠ 0 ⎪sin ⎛ π + 2x ⎞ ≠ 0 ⎪ ⎝ ⎜4 ⎟ ⎜4 ⎟ ⎪ ⎜2 ⎟ ⎩ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠ ⇔ cos 2x ≠ 0 ⇔ sin 2x ≠ ±1 Do : ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ 1 − tgx 1 + tgx tg ⎜ − x ⎟ tg ⎜ + x ⎟ = . =1 ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ 1 + tgx 1 − tgx Khi cos2x ≠ 0 thì : (*) ⇔ sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x ⇔ 1 − 2 sin 2 2x cos2 2x = cos4 4x 1 ⇔ 1 − sin 2 4x = cos4 4x 2 1 ⇔ 1 − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x 2 ⇔ 2 cos4 4x − cos2 4x − 1 = 0 ⎡ cos2 4x = 1 ⇔⎢ 2 ⇔ 1 − sin 2 4x = 1 ⎢ cos 4x = − 1 ( voâ nghieäm ) ⎢ ⎣ 2 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇔ sin 2x = 0 ( do cos 2x ≠ 0 ) π ⇔ 2x = kπ, k ∈¢ ⇔ x = k , k ∈¢ 2 1 2 Baø i 74 :Giaû i phöông trình: 48 − − 2 (1 + cot g2x cot gx ) = 0 ( *) cos x sin x 4 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 Ta coù :
cos 2x cos x 1 + cot g2x cot gx = 1 + . sin 2x sin x sin 2x sin x + cos 2x cos x = sin x sin 2x cos x 1 = = ( do cos x ≠ 0 ) 2 sin x cos x 2 sin 2 x 2 1 1 Luù c ñoù (*) ⇔ 48 − − 4 =0 cos x sin x 4 1 1 sin 4 x + cos4 x ⇔ 48 = + 4 = cos4 x sin x sin 4 x cos4 x ⇔ 48sin 4 x cos4 x = sin 4 x + cos4 x ⇔ 3sin 4 2x = 1 − 2 sin 2 x cos2 x 1 ⇔ 3sin 4 2x + sin 2 2x − 1 = 0 2 ⎡ 2 2 ⎢sin x = − 3 ( loïai ) ⇔⎢ ⎢sin 2 x = 1 ( nhaän do ≠ 0 ) ⎢ ⎣ 2 1 1 ⇔ (1 − cos 4x ) = 2 2 ⇔ cos 4x = 0 π ⇔ 4x = + kπ 2 π kπ ⇔ x = + ( k ∈ Z) 8 4 Baø i 75 : Giaû i phöông trình 5 ( ) sin 8 x + cos8 x = 2 sin10 x + cos10 x + cos 2x ( *) 4 Ta coù : (*) 5 ( ) ( ⇔ sin8 x − 2 sin10 x + cos8 x − 2 cos10 x = ) 4 cos 2x 5 ⇔ sin 8 x (1 − 2 sin 2 x ) − cos8 x ( −1 + 2 cos2 x ) = cos 2x 4 5 ⇔ sin 8 x.cos 2x − cos8 x cos 2x = cos 2x 4 ⇔ 4 cos 2x ( sin x − cos x ) = 5 cos 2x 8 8
⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5 ⇔ cos 2x = 0 hay 4 ( sin 4 x − cos4 x )( sin 4 x + cos4 x ) = 5 ⎛ 1 ⎞ ⇔ cos 2x = 0 hay 4 ⎜ 1 − sin 2 2x ⎟ = 5 ⎝ 2 ⎠ ⇔ cos 2x = 0 hay − 2 sin 2x = 1(Voâ nghieäm ) 2 π ⇔ 2x = + kπ, k ∈¢ 2 π kπ ⇔x= + , k ∈¢ 4 2 Caù c h khaù c: Ta coù 4 ( sin 8 x − cos8 x ) = 5 voâ nghieä m Vì ( sin 8 x − cos8 x ) ≤ 1, ∀ x neâ n 4 ( sin 8 x − cos8 x ) ≤ 4 < 5, ∀x Ghi chuù : Khi gaë p phöông trình löôï n g giaùc daï n g R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x) vôù i R haø m höõ u tyû thì ñaë t t = tgx 2t 2t 1 − t2 Luù c ñoù tg2x = , sin 2x = , cos 2x = 1 − t2 1 + t2 1 + t2 Baø i 76 : (Ñeå thi tuyeån sinh Ñaïi hoï c khoái A, naêm 2003) Giaû i phöông trình cos 2x 1 cot gx − 1 = + sin2 x − sin 2x ( *) 1 + tgx 2 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 vaø tgx ≠ −1 Ñaët t = tgx thì (*) thaø nh : 1 − t2 1 1 + t 2 + 1 ⎡1 − 1 − t ⎤ − 1 . 2t 2 −1 = ⎢ ⎥ t 1+t 2⎣ 1 + t2 ⎦ 2 1 + t2 1−t 1 − t 1 2t 2 t ⇔ = + . − ( do t ≠ −1) t 1+t 2 2 1+t 2 1 + t2 2 1 − t t 2 − 2t + 1 (1 − t ) ⇔ = = t 1 + t2 1 + t2 ⇔ ( 1 − t ) (1 + t 2 ) = ( 1 − t ) t 2 ⎡1 − t = 0 ⎡ t = 1 ( nhaän do t ≠ −1) ⇔⎢ ⇔⎢ 2 ⎣1 + t = (1 − t ) t ⎢2t − t + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) 2 ⎣ π Vaä y (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( nhaän do sin 2x = 1 ≠ 0) 4 Baø i 77 : Giaûi phöông trình: sin 2x + 2tgx = 3 ( * ) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Ñ aët t = tgx thì (*) thaøn h :
2t + 2t = 3 1 + t2 ⇔ 2t + ( 2t − 3) (1 + t 2 ) = 0 ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 4t − 3 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 2t 2 − t + 3) = 0 ⎡t = 1 ⇔⎢ 2 ⎣2t − t + 3 = 0 ( voâ nghieäm ) π Vaäy (*) ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) 4 Baø i 78 : Giaû i phöông trình 2 cot gx − tgx + 4 sin 2x = ( *) sin 2x Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 2t Ñaë t t = tgx thì : sin 2x = do sin 2x ≠ 0 neân t ≠ 0 1 + t2 1 8t 1 + t2 1 (*) thaø n h : − t + = = +t t 1 + t2 t t 8t ⇔ = 2t 1 + t2 4 ⇔ = 1 ( do t ≠ 0 ) 1 + t2 ⇔ t 2 = 3 ⇔ t = ± 3 ( nhaän do t ≠ 0 ) ⎛ π⎞ Vaäy (*) ⇔ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 3⎠ π ⇔ x = ± + kπ, k ∈ 3 Baø i 79 : Giaû i phöông trình (1 − tgx )(1 + sin 2x ) = 1 + tgx ( * ) Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Ñaët = tgx thì (*) thaø nh : 2t ⎞ (1 − t ) ⎛ 1 + ⎜ ⎟ =1+t ⎝ 1 + t2 ⎠ ( t + 1) = 1 + t 2 ⇔ (1 − t ) 1 + t2 ⎡ t = −1 ⎡ t = −1 ⇔ ⎢ (1 − t )(1 + t ) ⇔ ⎢ ⎢ =1 ⎣1 − t = 1 + t 2 2 ⎢ ⎣ 1+t 2 ⇔ t = −1 ∨ t = 0
⎡ tgx = −1 π Do ñoù (*) ⇔ ⎢ ⇔ x = − + kπ hay x = kπ, k ∈ ⎣ tgx = 0 4 Baø i 80 : Cho phöông trình cos 2x − ( 2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ( * ) 3 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎛ π 3π ⎞ b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ , ⎟ ⎝2 2 ⎠ Ta coù (*) 2 cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0 2 ⎧t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪2t − ( 2m + 1) t + m = 0 ⎩ ⎧ t = cos x ([ t ] ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 1 ⎪t = ∨ t = m ⎩ 2 3 a/ Khi m = , phöông trình thaønh 2 1 3 cos x = ∨ cos x = ( loaïi ) 2 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 ⎛ π 3π ⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ , ⎟ thì cos x = t ∈ [−1, 0) ⎝2 2 ⎠ 1 Do t = ∉ [ −1, 0] neân 2 π 3π ( *) coù nghieäm treân ⎛ , ⎞ ⇔ m ∈ ⎡ −1, 0) ⎜ ⎟ ⎣ ⎝2 2 ⎠ Baø i 81 : Cho phöông trình ( cos x + 1)( cos 2x − m cos x ) = m sin 2 x ( *) a/ Giaû i (*) khi m= -2 ⎡ 2π ⎤ b/ Tìm m sao cho (*) coù ñuù n g hai nghieä m treâ n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ Ta coù (*) ⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m cos x ) = m (1 − cos2 x ) ⇔ ( cos x + 1) ⎡2 cos2 x − 1 − m cos x − m (1 − cos x ) ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( cos x + 1) ( 2 cos2 x − 1 − m ) = 0 a/ Khi m = -2 thì (*) thaø nh :
( cos x + 1) ( 2 cos2 x + 1) = 0 ⇔ cosx = -1 ⇔ x = π + k2π ( k ∈ Z ) ⎡ 2π ⎤ ⎡ 1 ⎤ b / Khi x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì cos x = t ∈ ⎢ − ,1⎥ ⎣ 3⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎡ 1 ⎤ Nhaä n xeù t raè n g vôù i moãi t treâ n ⎢ − ,1⎥ ta chæ tìm ñöôï c duy nhaá t moä t x treâ n ⎣ 2 ⎦ ⎡ 2π ⎤ ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ 1 ⎤ Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ 2t 2 − 1 − m = 0 coù ñu ù n g hai n ghieä m treâ n ⎢ − ,1⎥ ⎣ 2 ⎦ Xeù t y = 2t 2 − 1 ( P ) vaø y = m ( d ) Ta coù y’ = 4t ⎡ 2π ⎤ Vaä y (*) coù ñuù ng hai nghieä m treâ n ⎢0, ⎥ ⎣ 3⎦ ⎡ 1 ⎤ ⇔ (d) caé t (P) taï i hai ñieå m phaân bieä t treâ n ⎢ − ,1⎥ ⎣ 2 ⎦ 1 ⇔ −1 < m ≤ 2 2 Baø i 82 : Cho phöông trình (1 − a ) tg 2 x − + 1 + 3a = 0 (1) cos x 1 a/ Giaû i (1) khi a = 2 ⎛ π⎞ b/ Tìm a ñeå (1) coù nhieà u hôn moä t nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ π Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ 2
(1) ⇔ (1 − a ) sin2 x − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0 ⇔ (1 − a ) (1 − cos2 x ) − 2 cos x + (1 + 3a ) cos2 x = 0 ⇔ 4a cos2 x − 2 cos x + 1 − a = 0 ⇔ a ( 4 cos2 x − 1) − ( 2 cos x − 1) = 0 ⇔ ( 2 cos x − 1) ⎡a ( 2 cos x + 1) − 1⎤ = 0 ⎣ ⎦ 1 ⎛ 1⎞ a/ Khi a = thì (1) thaø n h : ( 2 cos x − 1) ⎜ cos x − ⎟ = 0 2 ⎝ 2⎠ 1 π ⇔ cos x = = cos ( nhaän do cos x ≠ 0 ) 2 3 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 ⎛ π⎞ b/ Khi x ∈ ⎜ 0, ⎟ thì cos x = t ∈ ( 0,1) ⎝ 2⎠ ⎡ 1 cos x = t = ∈ ( 0,1) Ta coù : (1) ⇔ ⎢ 2 ⎢ ⎢2a cos x = 1 − a ( 2 ) ⎣ ⎧ ⎪a ≠ 0 ⎪ ⎧1 ⎫ ⎪ 1−a Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ (2) coù nghieä m treâ n ( 0,1) \ ⎨ ⎬ ⇔ ⎨0 < 0 ⎧1 ⎪ 2a ⎪ ⎪ 1 ⎪3 < a < 1 ⎪ ⇔⎨ ⇔ ⎨a < 0 ∨ a > ⇔ ⎨ ⎪ 1 − 3a ⎪ 3 ⎪a ≠ 1
⎧t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ 2 ⎪2t − 3t + m − 1 = 0 ( 2 ) ⎩ a/ Khi m = 1 thì (1) thaø nh ⎧t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎧ t = sin 2x ( t ≤ 1) ⎪ ⎪ ⎨ 2 ⇔⎨ 3 ⎪2t − 3t = 0 ⎩ ⎪t = 0 ∨ t = ( loaïi ) ⎩ 2 kπ ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x = 2 ⎡ π⎤ b/ Khi x ∈ ⎢0, ⎥ thì sin 2x = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Nhaän thaáy raè n g moãi t tìm ñöôïc treâ n [ 0,1] ta chæ tìm ñöôïc duy nhaá t moä t ⎡ π⎤ x ∈ ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù : (2) ⇔ −2t 2 + 3t + 1 = m Xeù t y = −2t 2 + 3t + 1 treân [ 0,1] Thì y ' = −4t + 3 Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ (d) y = m caé t taï i hai ñieå m phaâ n bieä t treâ n [ 0,1] 17 ⇔2 ≤ m < 8 Caù c h khaù c :ñaët f (x) = 2t 2 − 3t + m − 1 . Vì a = 2 > 0, neâ n ta coù ⎧Δ =17 − 8m > 0 ⎪ f (0) = m −1≥ 0 ⎪ ⎪ 17 Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ ⎨ f (1) = m − 2 ≥ 0 ⇔ 2 ≤ m < ⎪ 8 S 3 ⎪ 0 ≤ = ≤1 ⎪ ⎩ 2 4 Baø i 84 : Cho phöông trình 4 cos5 x.sin x − 4 sin 5 x cos x = sin 2 4x + m (1 ) a/ Bieát raè ng x = π laø nghieäm cuûa (1). Haõ y giaûi (1) trong tröôøn g hôï p ñoù . π b/ Cho bieá t x = − laø moä t nghieä m cuû a (1). Haõ y tìm taá t caû nghieä m cuû a (1) thoû a 8 x − 3x + 2 < 0 4 2
(1) ⇔ 4 sin x cos x ( cos4 x − sin 4 x ) = sin2 4x + m ⇔ 2 sin 2x ( cos2 x − sin2 x )( cos2 x + sin 2 x ) = sin 2 4x + m ⇔ 2 sin 2x.cos 2x = sin 2 4x + m ⇔ sin 2 4x − sin 4x + m = 0 (1) a/ x = π laø nghieä m cuû a (1) ⇒ sin2 4π − sin 4π + m = 0 ⇒m = 0 Luù c ñoù (1) ⇔ sin 4x (1 − sin 4x ) = 0 ⇔ sin 4x = 0 ∨ sin 4x = 1 π ⇔ 4x = kπ ∨ 4x = + k2π 2 kπ π kπ ⇔x = ∨x= + ( k ∈ Z) 4 8 2 ⎧t = x2 ≥ 0 ⎪ ⎧t = x2 ≥ 0 b/ x 4 − 3x 2 + 2 < 0 ⇔ ⎨ 2 ⇔⎨ ⎪t − 3t + 2 < 0 ⎩ ⎩1 < t < 2 ⇔ 1 < x2 < 2 ⇔ 1 < x < 2 ⇔ − 2 < x < −1 ∨ 1 < x < 2 ( *) π ⎛ π⎞ x=− thì sin 4x = sin ⎜ − ⎟ = −1 8 ⎝ 2⎠ π x = − laø nghieäm cuûa (1) ⇒ 1 + 1 + m = 0 8 ⇒ m = −2 Luù c ñoù (1) thaø nh : sin2 4x − sin 4x − 2 = 0 ⎧t = sin 4x ( vôùi t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪t − t − 2 = 0 2 ⎩ ⎧t = sin 4x ( vôùi t ≤ 1) ⎪ ⇔⎨ ⎪t = −1 ∨ t = 2 ( loaïi ) ⎩ ⇔ sin 4x = −1 π ⇔ 4x = − + k2π 2 π kπ ⇔x = − + 8 2 Keá t hôï p vôù i ñi eà u kieä n (*) suy ra k = 1 π π 3π Vaä y (1) coù n ghieä m x = − + = thoû a x4 − 3x2 + 2 < 0 8 2 8 Baø i 85 : Tìm a ñeå hai phöông trình sau töông ñöông 2 cos x.cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x (1 ) 4 cos2 x − cos 3x = a cos x + ( 4 − a )(1 + cos 2x ) ( 2)
Ta coù : (1) ⇔ cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x ( ⇔ cos x = 1 + 2 cos2 x − 1 ) ⇔ cos x (1 − 2 cos x ) = 0 1 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = 2 ( ) Ta coù : (2) ⇔ 4 cos x − 4 cos x − 3 cos x = a cos x + ( 4 − a ) 2 cos2 x 2 3 ⇔ 4 cos3 x + ( 4 − 2a ) cos2 x ( a − 3) cos x = 0 ⎡cos x = 0 ⇔⎢ ⎢4 cos x + 2 ( 2 − a ) cos x + a − 3 = 0 2 ⎣ ⎛ 1⎞ ⇔ cos x = 0 hay ⎜ cos x − ⎟ [ 2 cos x + 3 − a ] = 0 ⎝ 2⎠ 1 a−3 ⇔ cos x = 0 ∨ cos x = ∨ cos x = 2 2 Vaä y yeâ u caà u baø i toaù n ⎡a − 3 ⎢ 2 =0 ⎢ ⎡a = 3 ⇔ ⎢a − 3 = 1 ⇔ ⎢a = 4 ⎢ 2 2 ⎢ ⎢a − 3 a−3 ⎣a < 1 ∨ a > 5 ⎢ ⎢ < −1 ∨ >1 ⎣ 2 ⎢ 2 Baø i 86 : Cho phöông trình : cos4x = cos 2 3x + asin 2 x (*) a/ Giaû i phöông trì nh khi a = 1 ⎛ π ⎞ b/ Tìm a ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 12 ⎠ 1 a Ta coù : ( *) ⇔ cos 4x = (1 + cos 6x ) + (1 − cos 2x ) 2 2 ( ) ⇔ 2 2 cos 2x − 1 = 1 + 4 cos 2x − 3 cos 2x + a (1 − cos 2x ) 2 3 ⎧t = cos 2x ⎪ ( t ≤ 1) ⇔⎨ ⎩ ( 2 ) ⎪2 2t − 1 = 1 + 4t − 3t + a (1 − t ) 3 ⎧t = cos 2x ⎪ ( t ≤ 1) ⇔⎨ ⎪−4t + 4t + 3t − 3 = a (1 − t ) 3 2 ⎩ ⎧1 = cos 2x ⎪ ( t ≤ 1) ⇔⎨ ( ) ⎪( t − 1) −4t + 3 = a (1 − t ) ( * *) ⎩ 2 a/ Khi a = 1 thì (*) thaø nh :