Chuyên đề 1: Mệnh đề tập hợp

Gv: Nguy n Thanh D ng<br /> <br /> Chuyên<br /> V n 1: M nh<br /> <br /> 1: M NH<br /> <br /> -T PH P<br /> – ng d ng<br /> <br /> toán h c – Các phép toán m nh<br /> TÓM T T LÝ THUY T<br /> <br /> 1. M nh toán h c (g i t t là m nh ) là m t câu kh ng nh ÚNG ho c SAI. Ví d : +) “Hình bình hành có hai c nh i di n song song và b ng nhau” là m t m nh . +) “M y gi r i?” không ph i m nh ph nh c a 2. Cho m nh P. M nh “Không P”, ký hi u P , g i là m nh m nh P. 3. Cho hai m nh P và Q. M nh “n u P thì Q”, ký hi u P Q , g i là m nh kéo theo. M nh P Q ch sai khi P úng và Q sai. P Q , P g i là i u ki n có Q còn Q g i là i u Trong m nh ki n c n có P. M nh c g i là m nh o c a m nh Q P P Q. M nh “P khi và ch khi Q”, ký hi u P ⇔ Q , c g i là m nh t ng ng. M nh P ⇔ Q ch úng khi c P và Q u úng. 4. V i s t nhi n n, kh ng nh P(n) = “n chia h t cho 3” không là m t m nh , nh ng v i m i n c th thì nó s là m nh . Ch ng h n, P(6) là m nh úng, P(4) là m nh sai. Ta g i nh ng lo i kh ng nh nh th là m nh ch a bi n. 5. Ph nh c a P = “ ∀x ∈ X : P( x) ” là P = " ∃x ∈ X : P ( x)" Ph nh c a P = “ ∃x ∈ X : P( x) ” là P = " ∀x ∈ X : P ( x)" 6. nh lý th ng là m t m nh ÚNG d ng P Q Ví d : Cho n là s nguyên d ng; P(n): “n chia h t cho 6”; Q(n): “n chia h t cho 3”. Khi ó, • P(10) là m nh sai; Q(6) là m nh úng • P( n) : “ n không chia h t cho 6” • M nh kéo theo P(n) Q(n) là m mh • “∃n ∈ N , P(n)” là m nh<br /> *<br /> <br /> úng. nh là “∀n∈ N*, ”<br /> <br /> úng có ph<br /> <br /> BÀI T P Câu 1: Cho A = “∀x∈R : x2+1 > 0” thì ph a) A = “ ∀x∈R : x2+1 ≤ 0” c) A = “∃ x∈R: x2+1 < 0” Câu 2: Xác nh m nh úng: 2 a) ∃x∈R: x ≤ 0 c) ∀x ∈R: x2 >x<br /> Câu 3: Phát bi u nào sau ây là úng: a) x y x2 y2 c) x + y >0 thì x > 0 ho c y > 0 nh c a A là: b) A = “∃ x∈R: x2+1≠ 0” d) A = “ ∃ x∈R: x2+1 ≤ 0”<br /> <br /> b) ∃x∈R : x2 + x + 3 = 0 d) ∀x∈ Z : x > - x<br /> b) (x +y)2 x2 + y2 d) x + y >0 thì x.y > 0<br /> <br /> Nguyenthanhdung.wordpress.com<br /> <br /> 1<br /> <br /> Gv: Nguy n Thanh D ng<br /> Câu 4:Xác nh m nh úng: a) ∀x ∈R,∃y∈R: x.y>0 c) ∃x∈N, ∀y∈ N: x chia h t cho y b) ∀x∈ N : x<br /> 2<br /> <br /> -x<br /> <br /> d) ∃x∈N : x +4 x + 3 = 0<br /> <br /> Câu 5: Cho các m nh sau, m nh nào có m nh o úng : a) N u t giác ABCD là hình thoi thì AC ⊥ BD b) N u 2 tam giác vuông b ng nhau thì 2 c nh huy n b ng nhau c) N u 2 dây cung c a 1 ng tròn b ng nhau thì 2 cung ch n b ng nhau d) Nêu s nguyên chia h t cho 6 thì chia h t cho 3<br /> Câu 6: Cho các m nh sau, m nh nào có m nh o úng : a)N u t giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc i bù nhau b)N u a = b thì a.c = b.c c)N u a > b thì a2 > b2 d)N u s nguyên chia h t cho 6 thì chia h t cho 3 và 2<br /> <br /> Câu 7: Xác<br /> <br /> a) ∃x∈Q: 4x2 – 1 = 0 c) ∀n∈ N: n2 + 1 không chia h t cho 3<br /> <br /> nh m nh<br /> <br /> sai :<br /> <br /> b) ∃x∈R : x > x2 d) ∀n∈ N : n2 > n<br /> <br /> Câu 8: Cho các m nh sau, m nh nào sai : a) M t tam giác vuông khi và ch khi nó có 1 góc b ng t ng 2 góc kia b) M t tam giác u khi và ch khi nó có 2 trung tuy n b ng nhau và 1 góc = 600 c) Hai tam gíac b ng nhau khi và ch khi chúng ng dang và có 1 c nh b ng nhau d) M t t giác là hình ch nh t khi và ch khi chúng có 3 góc vuông o úng : Câu 9: Cho các m nh sau, m nh nào có m nh<br /> a) N b) N c) N d) N u t giác ABCD là hình thang cân thì 2 góc i bù nhau u a = b thì a.c = b.c u a > b thì a2 > b2 u s nguyên chia h t cho 10 thì chia h t cho 5 và 2<br /> <br /> Câu 10: M nh nào sau ây có m nh ph nh úng : a) ∃x∈ Q: x2 = 2 b) ∃x∈R : x2 - 3x + 1 = 0 c) ∀n ∈N : 2n ≥ n d) ∀x∈ R : x < x + 1 Bài 11: Các câu sau dây, câu nào là m nh , và m nh ó úng hay sai : a) ây là n i nào ? b) Ph ng trình x2 + x – 1 = 0 vô nghi m c) x + 3 = 5 d) 16 không là s nguyên t Bài 12: Nêu m nh ph nh c a các m nh sau : a) “Ph ng trình x2 –x – 4 = 0 vô nghi m ” b) “ 6 là s nguyên t ” c) “∀n∈N ; n2 – 1 là s l ” Bài 13: Xác nh tính úng sai c a m nh A, B và tìm ph nh c a nó : 3 2 A = “ ∀x∈ R : x > x ” B = “ ∃ x∈ N , : x chia h t cho x +1” Bài 14: Phát bi u m nh P Q và xét tính úng sai c a nó sau ó phát bi u m nh o a) P: “ ABCD là hình ch nh t ” và Q:“ AC và BD c t nhau t i trung i m m i ng” b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10” c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân t i A” và Q :“ Góc B = 450 ” Bài 15: Phát bi u m nh P ⇔ Q b ng 2 cách và và xét tính úng sai c a nó a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD c t nhau t i trung i m m i ng” b) P : “9 là s nguyên t ” và Q: “ 92 + 1 là s nguyên t ” Bài 16:Cho các m nh sau a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 ng chéo AC vuông góc v i BD” b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác u” c) R : “13 chia h t cho 2 nên 13 chia h t cho 10 ”<br /> <br /> Nguyenthanhdung.wordpress.com<br /> <br /> 2<br /> <br /> Gv: Nguy n Thanh D ng Hãy: + Xét tính úng sai c a các m nh và phát bi u m nh o: + Bi u di n các m nh trên d i d ng A B Bài 17: Cho m nh ch a bi n P(x) : “ x > x2” , xét tính úng sai c a các m nh a) P(1) b) P(<br /> <br /> sau<br /> <br /> 1 ) 3<br /> <br /> c) ∀x∈N ; P(x) d) ∃x∈ N ; P(x) Bài 18: Phát bi u m nh A B và A ⇔ B c a các c p m nh sau và xét tính úng sai a) A : “T giác T là hình bình hành ” B: “Hai c nh i di n b ng nhau” b) A: “T giác ABCD là hình vuông ” B: “ t giác có 3 góc vuông” c) A: “ x > y ” B: “ x2 > y2” ( V i x y là s th!c ) d) A: “"i m M cách u 2 c nh c a góc xOy ” B: “"i m M n m trên ng phân giác góc xOy” Bài 19: Hãy xem xét các m nh sau úng hay sai và l p ph nh c a nó 2 a) ∀x∈N : x ≥ 2x b) ∃x∈ N : x2 + x không chia h t cho 2 c) ∀x∈Z : x2 –x – 1 = 0 Bài 20 : Trong các m nh sau, m nh nào có m nh o úng a) A : “M t s t! nhiên t n cùng là 6 thì s ó chia h t cho 2” b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác u ” c) C: “ N u tích 3 s là s d ng thì c 3 s ó u là s d ng ” d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”<br /> <br /> Bài 21 Phát bi u thành l i các m nh<br /> a) P(x) : “x2 < 0” c) P(x) : “<br /> <br /> :<br /> <br /> ∀x: P(x) và ∃x : P(x) và xét tính úng sai c a chúng 1 b)P(x) :“ > x + 1” x<br /> <br /> x2 − 4 = x+ 2” x) P(x): “x2-3x + 2 > 0” x−2 Bài 22: Phát bi u các m nh sau v i thu t ng “ i u ki n c n”, “ i u ki n ” a) N u 2 tam giác b ng nhau thì chúng có cùng di n tích b) S nguyên d ng chia h t cho 6 thì chia h t cho 3 c) M t hình thang có 2 ng chéo b ng nhau là hình thang cân Bài 23: Phát bi u các nh lý sau ây b ng cách s# d$ng khái ni m “ i u ki n ” a) N u trong m t ph%ng, hai ng th%ng cùng vuông góc v i ng th%ng th 3 thì hai ng th%ng ó song song v i nhau. b) N u 2 tam giác b ng nhau thì chúng có di n tích b ng nhau c) N u s nguyên d ng a t n cùng b ng 5 thì chia h t cho 5 d)N u t giác là hình thoi thì 2 ng chéo vuông góc v i nhau Bài 24: Phát bi u các nh lý sau ây bang cách s# d$ng khái ni m“"i u ki n c&n ” a) N u trong m t ph%ng, hai ng th%ng cùng song song v i ng th%ng th 3 thì hai ng th%ng ó song song v i nhau b) N u 2 tam giác b ng nhau thì chúng có các góc t ng ng b ng nhau c) S nguyên d ng a chia h t cho 24 thì chia h t cho 4 và 6 d) N u t giác ABCD là hình vuông thì 4 c nh b ng nhau Bài 25: Cho các inh lý sau, nh lý nào có nh lý o, hãy phát bi u : a) “N u 1 s t! nhiên chia h t cho 3 và 4 thì chia h t cho 12” b) “M t tam giác vuông thì có trung tuy n t ng ng b ng n#a c nh huy n ”<br /> Nguyenthanhdung.wordpress.com<br /> 3<br /> <br /> Gv: Nguy n Thanh D ng c) “Hai tam giác ng d ng và có 1 c nh b ng nhau thì hai tam giác ó b ng nhau” d) “N u 1 s t! nhiên n không chia h t cho 3 thì n2 chia 3 d 1”<br /> Chú ý: (Ph ng pháp ch ng minh ph n ch ng) Gi s! c n ch ng minh m t kh ng nh P là úng, b ng ph ng pháp ph n ch ng, ta th c hi n nh sau: +) Gi s! kh ng nh P sai +) B ng các l"p lu"n toán h c ta i n m t mâu thu#n +) V"y kh ng nh P úng Bài 26: Dùng ph ng pháp ch ng minh ph n ch ng ch ng minh : a) V i n là s nguyên d ng, n u n2 chia h t cho 3 thì n chia h t cho 3 b) V i n là s nguyên d ng , n u n2 là s l thì n là s l c) Ch ng minh r ng 2 là s vô t' d) N u a≠b≠c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca Bài 27: Cho abc ≠ 0 . Ch ng minh r ng ít nh(t m t trong ba ph ng trình sau có nghi m ax 2 + 2bx + c = 0(1); bx 2 + 2cx + a = 0(2); cx 2 + 2ax + b = 0(3) a + b + c > 0(1) Bài 28: Cho các s a, b, c th)a mãn i u ki n ab + bc + ca > 0(2) . Cmr a > 0, b > 0, c > 0<br /> abc > 0(3)<br /> <br /> Bài 29: Cho a, b, c ∈ (0;1) . Ch ng minh r ng có ít nh(t m t trong các b(t %ng th c sau sai 1 1 1 a (1 − b) > (1); b(1 − c) > (2); c(1 − a ) > (3) 4 4 4<br /> <br /> Nguyenthanhdung.wordpress.com<br /> <br /> 4<br /> <br /> Gv: Nguy n Thanh D ng<br /> <br /> V n<br /> <br /> 2: T p h p và các phép toán t p h p<br /> TÓM T T LÝ THUY T x∈ A x∈B x∈ A<br /> <br /> 1. Giao: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B} . Ta có: x ∈ A ∩ B ⇔ 2. H*p: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B} . Ta có: x ∈ A ∪ B ⇔<br /> <br /> x∈B x∈ A 3. Hi u: A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B} . Ta có: x ∈ A \ B ⇔ x∈B / " c bi t, n u A ⊆ X thì ta ký hi u X \ A = C X ( A) và g+i là ph&n bù c a A trong X. T p r ng, ký hi u ∅ , là t p không ch a ph n t nào.<br /> <br /> BÀI T P<br /> <br /> Câu 1: Cho t p h*p A ={a;{b;c};d}, phát bi u nào là sai:<br /> b) {a ; d} ⊂ A d) {d} ⊂ A Câu 2: Cho t p h*p A = {x∈ N / (x3 – 9x)(2x2 – 5x + 2 )= 0 }, A *c vi t theo ki u li t kê là : a) A = {0, 2, 3, -3} b) A = {0 , 2 , 3 } c) A = {0, a) a ∈ A c) {b; c} ⊂ A<br /> <br /> Câu 3: Cho A = {x∈ N / (x4 – 5x2 + 4)(3x2 – 10x + 3 )= 0 }, A *c vi t theo ki u li t kê là : a) A = {1, 4, 3} b) A = {1 , 2 , 3 } c) A = {1,-1, 2 , -2 , a) A = { 3} c) A = {0,<br /> <br /> 1 , 2 , 3 , -3} 2<br /> <br /> d) A = { 2 , 3}<br /> <br /> Câu 4: Cho t p A = {x∈ N / 3x2 – 10x + 3 = 0 ho c x3- 8x2 + 15x = 0}, A<br /> b) A = {0 , 3 } d) A = { 5, 3}<br /> <br /> 1 } 3<br /> <br /> d) A = { -1,1,2 , -2, 3} *c vi t theo ki u li t kê là :<br /> <br /> 1 ,5,3} 3<br /> <br /> Câu 5:Cho A là t p h*p xác nh câu úng sau ây ( Không c&n gi i thích ) a) {∅}⊂ A b) ∅ ∈ A c) A ∩ ∅ = A Câu 6: Tìm m nh úng trong các m nh sau: a) R + ∩ R - = {0} b) R \ R - = [ 0 , + ∞ )<br /> <br /> d) A∪ ∅ = A<br /> <br /> c) R*+ ∪ R*- = R d) R \ R + = R – Câu 7: Cho t p h*p sô’ sau A = ( - 1, 5] ; B = ( 2, 7) . t p h*p A\B nào sau ây là úng: a) ( -1, 2] b) (2 , 5] c) ( - 1 , 7) d) ( - 1 , 2)<br /> Câu 8: Cho A = {a; b; c ; d ; e}. S t p con c a A có 3 ph&n t# là: a)10 b)12 c) 32 d) 8 Câu 9: T p h*p nào là t p h*p r ng: a) {x∈ Z / x