Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng tóm tắt của giáo khoa

Chia sẻ: PHAN THỊ TRAI ANH | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

122
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng tóm tắt của giáo khoa trình bày về bảng tính nguyên hàm cơ bản, tính tích phân bằng cách sử dụng định nghĩa và các tính chất tích phân, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số, tích phân từng phần,...Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng tóm tắt của giáo khoa

Chuyeân ñeà 13: I. Baûng tính nguyeân haøm cô baûn: TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA Baûng 2 Haøm soá f(x) (ax + b)α Baûng 1 Haøm soá f(x) a ( haèng soá) Hoï nguyeân haøm F(x)+C ax + C xα +1 +C α +1 ln x + C ax +C ln a ex + C Hoï nguyeân haøm F(x)+C 1 (ax + b)α +1 +C a α +1 1 ln ax + b + C a xα 1 x ax ex sinx cosx 1 ax + b eax + b sin(ax+b) cos(ax+b) 1 cos (ax + b) 2 -cosx + C Sinx + C tgx + C 1 cos2 x 1 sin2 x u' ( x ) u( x ) tgx cotgx 1 − cos(ax + b) + C a 1 sin(ax + b) + C a 1 tg(ax + b) + C a 1 − cot g(ax + b) + C a 1 x−a +C ln 2a x + a 1 ax + b e +C a -cotgx + C 1 sin (ax + b) 2 ln u( x ) + C 1 x − a2 2 − ln cos x + C ln sin x + C 1 x +a 2 2 ln x + x 2 + a2 + C Phöông phaùp 1: • Phaân tích tích phaân ñaõ cho thaønh nhöõng tích phaân ñôn giaûn coù coâng thöùc trong baûng nguyeân haøm cô baûn • Caùch phaân tích : Duøng bieán ñoåi ñaïi soá nhö muõ, luõy thöøa, caùc haèng ñaúng thöùc ... vaø bieán ñoåi löôïng giaùc baèng caùc coâng thöùc löôïng giaùc cô baûn. Ví duï : Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 2x − 5 1. f ( x ) = cos3 x + 2. f(x) = 2 x − 4x + 3 x +1 − x 83 Phöông phaùp 2: Söû duïng caùch vieát vi phaân hoùa trong tích phaân tgx 1 + ln x Ví duï: Tính caùc tích phaân: 1. ∫ cos5 x sin xdx 2. ∫ 3. ∫ dx dx x cos x I. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG CAÙCH SÖÛ DUÏNG ÑN VAØ CAÙC TÍNH CHAÁT TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa: Cho haøm soá y=f(x) lieân tuïc treân [ a; b] . Giaû söû F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) thì: ∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a) a b b ( Coâng thöùc NewTon - Leiptnitz) 2. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: • • • • • Tính chaát 1: Neáu haøm soá y=f(x) xaùc ñònh taïi a thì : Tính chaát 2: ∫ f ( x )dx = 0 a b ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx a b b a b a Tính chaát 3: Neáu f(x) = c khoâng ñoåi treân [ a; b] thì: ∫ cdx = c(b − a) Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø f ( x ) ≥ 0 thì ∫ f ( x )dx ≥ 0 a b Tính chaát 5: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø f ( x ) ≥ g( x ) ∀x ∈ [ a;b] thì ∫ a b f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx a b a b • Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a) • Tính chaát 7: Neáu hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [ a; b] thì ∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx • Tính chaát 8: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø k laø moät haèng soá thì a a a b b b ∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx • Tính chaát 9: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc treân [ a; b] vaø c laø moät haèng soá thì a a b b ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx • Tính chaát 10: Tích phaân cuûa haøm soá treân [ a; b] cho tröôùc khoâng phuï thuoäc vaøo bieán soá , nghóa laø : a a c b c b ∫ f ( x )dx = ∫ f (t)dt = ∫ f (u)du = ... a a a b b b 84 Baøi 1: Tính caùc tích phaân sau: 1 x 1) ∫ 2) dx (2x + 1)3 0 5) 2x − 5 ∫ x2 − 4x + 4dx 0 π 4 1 ∫ 0 3 1 x dx 2x + 1 3 3) ∫ x 1 − xdx 0 1 4) ∫ 8) 1 4x + 11 dx x + 5x + 6 0 2 6) x ∫ x2 + 2x + 1dx 0 π 2 0 7) ∫ (sin 6 x + cos6 x)dx 0 π 6 4sin3 x ∫ 1 + cos xdx 0 1 π 2 1 + sin 2x 9) ∫ dx cos2 x 0 π 10) ∫ cos4 2xdx π 11) ∫ 6 π 2 1 + sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x π 12) ∫ 1 dx . e +1 0 x π π 13) ∫ (cos 4 x − sin 4 x)dx 0 4 17) ∫ 3 0 −2 Baøi 2: 1) 5) −3 4 dx x + 2x − 3 2 2 cos 2 x dx 14) ∫ 0 1 + 2 sin 2 x 1 dx 18) ∫ 2 −1 x + 2x + 5 4 sin 3x dx 15) ∫ 0 2 cos 3 x + 1 2 16) cos x dx 0 5 − 2 sin x 2 ∫ ∫x − 1dx 2) 6) −1 ∫x 4 2 − 3x + 2dx 3) 7) −3 ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx ∫ 0 5 4) ∫ 1 2 2 x2 + 1 − 2dx x2 ∫ 0 3 2x − 4dx ∫ 0 π 1 + cos 2xdx 2π 1 + sin xdx 8) ∫ x 2 − x dx 0 2 Baøi 3: 1) Tìm caùc haèng soá A,B ñeå haøm soá f(x) = A sin πx + B thoûa maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän f (1) = 2 ' vaø ∫ f(x)dx = 4 0 2 2) Tìm caùc giaù trò cuûa haèng soá a ñeå coù ñaúng thöùc : b ∫ [a 0 2 2 + (4 − 4a)x + 4x3 ]dx = 12 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ : 1) DAÏNG 1:Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx baèng caùch ñaët t = u(x) a Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 1: Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët b ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt u (b ) u(a) a t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx x=b t = u (b) ⇒ Böôùc 2: Ñoåi caän : x=a t = u (a) Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) b u (b ) a u (a) 85 Tính caùc tích phaân sau: 1) ∫ cos3 x sin 2 xdx 0 π 2 2) ∫ cos5 xdx 0 π 2 3) ∫ 7) π 4 sin 4x dx 1 + cos2 x 0 4) ∫ x 3 1 − x 2 dx 0 1 5) ∫ sin 2x(1 + sin 2 x)3dx 0 π 2 6) ∫ cos 0 1 0 π 4 1 4 x dx ∫ 1 e 1 + ln x dx x 8) ∫ cos xdx 0 π 4 1 9) 1 + ln 2 x ∫ x dx 1 π e 10) ∫ x 5 (1 − x3 )6 dx π 11) cos x ∫ 6 − 5sin x + sin2 xdx 0 ln 5 π 6 12) π 2 ∫ 0 3 tg4 x dx cos2x 13) cos x + sin x ∫ 3 + sin 2 x dx 0 4 14) ∫ π 4 2 2 sin 2 x cos x + 4 sin x 2 dx 15) ∫ π 0 dx x −x −3 ln 3 e + 2e 16) ∫ sin 2 x dx 2 0 ( 2 + sin x ) 2 π ln(tgx) dx 17) ∫ π sin 2 x 3 4 18) ∫ (1 − tg 8 x)dx 0 19) ∫ π 2 sin x − cos x 1 + sin 2 x x 1+ x −1 π dx 20) ∫ sin 2 x + sin x 1 + 3 cos x dx 0 4 π π 21) ∫ π sin 2 x cos x dx 0 1 + cos x 2 22) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 23) ∫ 0 2 2 dx 24) ∫ 1 e 1 1 + 3 ln x ln x dx x 25) ∫ 1 − 2 sin 2 x dx 0 1 + sin 2 x 4 2) DAÏNG 2: Tính I = ∫ f(x)dx baèng caùch ñaët x = ϕ(t) a b Coâng thöùc ñoåi bieán soá daïng 2: Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt b a β α x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt x=b t=β Böôùc 2: Ñoåi caän : ⇒ x=a t =α Böôùc 3: Chuyeån tích phaân ñaõ cho sang tích phaân theo bieán t ta ñöôïc I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (tieáp tuïc tính tích phaân môùi) b a β α Tính caùc tích phaân sau: 1) ∫ 0 1 1 1 − x 2 dx 2) 1 ∫ 1 + x2 dx 0 π 2 1 3) ∫ 0 1 1 4 − x2 dx 4) ∫ 1 1 dx x − x +1 0 2 5) ∫ x dx 4 x + x2 + 1 0 6) 1 ∫ 1 + cos x + sin x dx 0 7) 86 ∫ 0 2 2 x2 1 − x2 dx 8) ∫ x 2 4 − x 2 dx 1 2 9) ∫x 2 2 3 1 x −1 2 dx 10) ∫ 1 1 3 9 + 3x 2 dx x2 11) ∫ 0 1 1− x (1 + x ) cos x 5 dx 12) ∫ 0 2 1 x x2 −1 dx 2 3 π 13) ∫ 0 2 cos x dx 7 + cos 2 x 1+ x4 14) ∫ dx 1+ x6 0 15) π ∫ 0 1 + cos x 2 dx 16) ∫ dx −1 x + 2x + 2 2 17) ∫ 1 0 dx 1 + 1 + 3x 18) ∫ x x −1 dx 1 x−5 2 II. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP VI PHAÂN: Tính caùc tích phaân sau: 1) ∫x 3 8 1 x2 + 1 dx 2) ∫ 0 2 0 7 3 x3 1+ x2 dx 3) ∫ 0 3 x 5 1 + x 2 dx dx x x2 + 4 4) ln 2 ∫ 0 1 ex + 2 dx 5) ∫ 0 7 3 x +1 dx 3 3x + 1 6) 2 3 ∫ x x + 1dx 7) 2 3 ∫ 5 III. TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN: Coâng thöùc tích phaân töøng phaàn: b ∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx b b a b a Hay: Caùch thöïc hieän: Böôùc 1: Ñaët ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu b b a a u = u ( x) du = u ' ( x)dx ⇒ dv = v' ( x)dx v = v( x) b b b a a Böôùc 2: Thay vaøo coâng thöùc tích phaân töøng töøng phaàn : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu Böôùc 3: Tính [u.v ]a b vaø ∫ vdu a b Tính caùc tích phaân sau: ln x 1) ∫ 5 dx x 1 4) π2 2 2) ∫ x cos2 xdx 0 π 2 3) ∫ e x sin xdx 0 1 ∫ sin 0 xdx 5) ∫ x ln 2 xdx 1 e 6) ∫ π 3 x + sin x dx cos2 x 0 87