THCS.TOANMATH.com
1
BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ
Chương 1: Căn thức
1.1 CĂN THỨC BẬC 2
Kiến thức cần nhớ:
• Căn bậc hai của số thực
a
là số thực
x
sao cho
2
xa=
.
• Cho số thực
a
không âm. Căn bậc hai số học của
a
kí hiệu là
a
là
một số thực không âm
x
mà bình phương của nó bằng
a
:
2
00
ax
xa
ax
≥≥
⇔

=
=
• Với hai số thực không âm
,ab
ta có:
a b ab≤ ⇔≤
.
• Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý:
+
nếu
0
0
A
A
≥
<
+
2
AB A B A B= =
với
,0AB≥
;
2
AB A B A B= = −
với
0; 0AB<≥
+
2
..A AB AB
BB B
= =
với
0, 0AB B≥≠
+
.M MA
A
A=
với
0A>
;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu)
+
( )
MA B
M
AB
AB
=−
±
với
, 0,AB A B≥≠
(Đây gọi là phép
trục căn thức ở mẫu)
1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n.
1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.
Kiến thức cần nhớ:
THCS.TOANMATH.com
2
• Căn bậc 3 của một số
a
kí hiệu là
3a
là số
x
sao cho
3
xa=
• Cho
( )
3
3
33
;aRa x x a a∈ =⇔= =
• Mỗi số thực
a
đều có duy nhất một căn bậc 3.
• Nếu
0a>
thì
30a>
.
• Nếu
0a<
thì
30a<
.
• Nếu
0a=
thì
30a=
.
•
3
3
3
aa
bb
=
với mọi
0b≠
.
•
3 33
.ab a b=
với mọi
,ab
.
•
33
ab a b<⇔ <
.
•
33
3
A B AB=
.
•
32
3
A AB
BB
=
với
0B≠
•
3
33
AA
BB
=
•
33
22
3
33
1A AB B
AB
AB
+
=±
±
với
AB≠±
.
1.2.2 CĂN THỨC BẬC n.
Cho số
, ;2aRnNn∈∈ ≥
. Căn bậc
n
của một số
a
là một số mà lũy
thừa bậc
n
của nó bằng a.
• Trường hợp
n
là số lẻ:
2 1,n k kN=+∈
Mọi số thực
a
đều có một căn bậc lẻ duy nhất:
21
21 k
kax x a
+
+=⇔=
, nếu
0a>
thì
21
0
k
a
+
>
, nếu
0a<
thì
21 0
ka
+<
, nếu
0a=
thì
21
0
k
a
+
=
• Trường hợp
n
là số chẵn:
2,n kk N= ∈
.
Mọi số thực
0a>
đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn
dương kí hiệu là
2ka
(gọi là căn bậc
2k
số học của
a
). Căn bậc
chẵn âm kí hiệu là
2k
a−
,
2
0
k
ax x=⇔≥
và
2k
xa=
;
20
kax x− =⇔≤
và
2k
xa=
.
THCS.TOANMATH.com
3
Mọi số thực
0a<
đều không có căn bậc chẵn.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích:
a)
4
4Px= −
b)
3
8 33Px= +
c)
42
1Px x=++
Lời giải:
a)
( )( )
( )( )
( )
22 2
22 2 22Px x x x x= − +=− + +
.
b)
( )
( ) ( )( )
3
32
2 3 2 3 4 23 3Px x x x=+ =+ −+
.
c)
( ) ( )( )
2
2 22 2
1 11Px x xx xx= + − = −+ ++
.
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức:
a)
1
4
Axxx=−−+
khi
0x≥
.
b)
4 24 1 4 24 1Bx x x x= − −+ + −
khi
1
4
x≥
.
c)
9 5 3 5 8 10 7 4 3C=− ++ −
Lời giải:
a)
2
111
422
Axxx x x x x

= − − += − − = − −


+ Nếu
thì
1 11
2 22
x xA− = −⇒=
.
+ Nếu
11
0
24
xx< ⇔≤<
thì
11 1
2
22 2
x x Ax− =− +⇒= −
THCS.TOANMATH.com
4
b)
4 241 4 241 412411 412411Bx x x x x x x x= − − + + − = −− −++ −+ −+
Hay
( ) ( )
22
411 411 411 411Bx x x x= −− + −+ = −−+ −+
411 411xx= −−+ −+
+ Nếu
1
4110 411 2
x xx−−≥ ⇔ −≥⇔ ≥
thì
4 11 4 11xx−− = −−
suy
ra
24 1Bx= −
.
+ Nếu
11
4110 411 42
x xx−−< ⇔ −<⇔ ≤ <
thì
411 411xx−− =− −+
suy ra
2B=
.
c) Để ý rằng:
( )
2
7 43 2 3 7 43 2 3− =− ⇒− =−
Suy ra
9 5 3 5 8 10(2 3) 9 5 3 5 28 10 3C=−++−=−+−
( )
2
9 53 5 5 3=− +−
.Hay
9 5 3 5(5 3) 9 25 9 5 4 2C= − + − = − = −= =
Ví dụ 3) Chứng minh:
a)
7 26 7 26A=− −+
là số nguyên.
b)
33
84 84
11
99
B=+ +−
là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp
10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006).
THCS.TOANMATH.com
5
c) Chứng minh rằng:
33
18 1 18 1
33 33
aa aa
xa a
+− +−
=+ +−
với
1
8
a≥
là số tự nhiên.
d) Tính
xy+
biết
()()
22
2015 2015 2015xx yy++ ++ =
.
Lời giải:
a) Dễ thấy
0,A<
Tacó
()
2
2
7 26 7 26 7 26 7 26 27 26.7 26A= − − + =− ++ − − +
14 2.5 4=−=
Suy ra
2A= −
.
b) Áp dụng hằng đẳng thức:
( ) ( )
333
3uv u v uvuv+ =++ +
. Ta có:
3
33 3 33
84 84 84 84 84 84
1 1 1 1 3 1 .1
9 9 99 99
B


= + + − =+ +− + + −


33
84 84
11
99


+ +−


. Hay
3 3 33
3
3
84 84 84
23 1 1 . 231 2 2
9 9 81
B BB BB BBB

=+ + − ⇔=+ − ⇔=−⇔+−



( )
( )
2
1 20B BB⇔ − ++ =
mà
2
2
17
20
24
BB B

++= + + >


suy ra
1B=
.
Vậy
B
là số nguyên.
c) Áp dụng hằng đẳng thức:
( ) ( )
333
3uv u v uvuv+ =++ +