Chuyên đề Biến đổi Đại số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Chuyên đề Biến đổi đại số" sau đây để hệ thống lại kiến thức cần nhớ trong chuyên đề biến đổi đại số môn Toán. Tài liệu cung cấp một số các bài tập để các em học sinh ôn luyện, củng cố kiến thức đã học và áp dụng thật tốt vào thực tiễn. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Biến đổi Đại số

BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức 1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ: • Căn bậc hai của số thực a là số thực x sao cho x 2 = a . • Cho số thực a không âm. Căn bậc hai số học của a kí hiệu là a là một số thực không âm x mà bình phương của nó bằng a : a ≥ 0 x ≥ 0  ⇔ 2  a = x x = a • Với hai số thực không âm a, b ta có: a ≤ b ⇔ a ≤b. • Khi biến đổi các biểu thức liên quan đến căn thức bậc 2 ta cần lưu ý: 2 A A≥0 + A= A =  nếu − A A 0 ;(Đây gọi là phép khử căn thức ở mẫu) A A + M = ( M A B ) với A, B ≥ 0, A ≠ B (Đây gọi là phép A± B A− B trục căn thức ở mẫu) 1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3. Kiến thức cần nhớ: THCS.TOANMATH.com 1
• Căn bậc 3 của một số a kí hiệu là 3 a là số x sao cho x3 = a ( ) 3 • Cho a ∈ R; 3 a =x ⇔ x3 = 3 a =a • Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc 3. • Nếu a > 0 thì 3 a > 0. • Nếu a < 0 thì 3 a 0 , nếu a < 0 thì 2 k +1 a < 0 , nếu a = 0 thì 2 k +1 a =0 • Trường hợp n là số chẵn: = n 2k , k ∈ N . Mọi số thực a > 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn bậc 2k số học của a ). Căn bậc chẵn âm kí hiệu là − 2k a , 2k a = x ⇔ x ≥ 0 và x 2k = a ; − 2 k a = x ⇔ x ≤ 0 và x 2k = a . THCS.TOANMATH.com 2
Mọi số thực a < 0 đều không có căn bậc chẵn. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích các biểu thức sau thành tích: a) P = x4 − 4 P 8 x3 + 3 3 b) = c) P = x 4 + x 2 + 1 Lời giải: a) P = ( x 2 − 2 )( x 2 + 2 ) = x − 2( )( x + 2 ) ( x + 2) . 2 ( 3 ) =( 2 x + 3 )( 4 x − 2 3 x + 3) . 3 b) P =( 2 x ) + 3 2 (x + 1) − x 2= (x − x + 1)( x 2 + x + 1) . 2 c) P= 2 2 Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức: 1 a) A = x − x− x + khi x ≥ 0 . 4 1 b) B = 4 x − 2 4 x − 1 + 4 x + 2 4 x − 1 khi x ≥ . 4 c) C = 9 − 5 3 + 5 8 + 10 7 − 4 3 Lời giải: 2 1  1 1 a) A = x − x− x + = x−  x−  = x− x− 4  2 2 1 1 1 1 1 + Nếu x≥ ⇔ x ≥ thì x− = x− ⇒ A= . 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 + Nếu x< ⇔ 0 ≤ x < thì x− =− x+ ⇒ A=2 x− 2 4 2 2 2 THCS.TOANMATH.com 3
b) B = 4 x − 2 4 x − 1 + 4 x + 2 4 x −= 1 4x −1− 2 4x −1 +1 + 4x −1+ 2 4x −1 +1 ( ) ( ) 2 2 B Hay = 4x −1 −1 + 4 x − 1 + 1= 4x −1 −1 + 4x −1 +1 = 4x −1 −1 + 4x −1 +1 1 + Nếu 4x −1 −1 ≥ 0 ⇔ 4x −1 ≥ 1 ⇔ x ≥ thì 4 x − 1 −= 1 4 x − 1 − 1 suy 2 ra = B 2 4x −1 . 1 1 + Nếu 4x −1 −1 < 0 ⇔ 4x −1 < 1 ⇔ ≤ x < thì 4 2 4 x − 1 − 1 =− 4 x − 1 + 1 suy ra B = 2 . ( ) 2 c) Để ý rằng: 7 − 4 3 =2 − 3 ⇒ 7 − 4 3 =2 − 3 Suy ra C =9 − 5 3 + 5 8 + 10(2 − 3) =9 − 5 3 + 5 28 − 10 3 (5 − 3 ) 2 =9 − 5 3 + 5 .Hay C= 9 − 5 3 + 5(5 − 3) = 9 − 25 = 9−5 = 4= 2 Ví dụ 3) Chứng minh: a) A = 7 − 2 6 − 7 + 2 6 là số nguyên. 84 3 84 b) B = 3 1 + + 1− là một số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 9 9 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006). THCS.TOANMATH.com 4
a + 1 8a − 1 3 a + 1 8a − 1 c) Chứng minh rằng: x = 3 a + + a− với 3 3 3 3 1 a≥ là số tự nhiên. 8 ( d) Tính x + y biết x + x 2 + 2015 )( y + ) 2015 . y 2 + 2015 = Lời giải: a) Dễ thấy A < 0, Tacó ( ) = 7 − 2 6 + 7 + 2 6 − 2 7 − 2 6. 7 + 2 6 2 2 A = 7−2 6 − 7+2 6 =14 − 2.5 =4 Suy ra A = −2 . b) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) = u 3 + v3 + 3uv ( u + v ) . Ta có: 3 3  84 3 84  84 84  84 3 84  B =  3 1+ 3 + 1−  = 1+ +1− + 3 3 1 + . 1−   9 9  9 9  9 9       84 3 84   3 1+ + 1−  . Hay  9 9     84   84  84 B 3 =2 + 3 3 1 +  1 − 3 3 3  .B ⇔ B =2 + 3 3 1 − B ⇔ B =2 − B ⇔ B + B − 2  9  9  81 2  1 7 ⇔ ( B − 1) ( B + B + 2 ) = 2 0 mà B + B + 2 =  B +  + > 0 suy ra B = 1 . 2  2 4 Vậy B là số nguyên. c) Áp dụng hằng đẳng thức: ( u + v ) = u 3 + v3 + 3uv ( u + v ) 3 THCS.TOANMATH.com 5
Ta có x 3 = 2a + (1 − 2a ) x ⇔ x 3 + ( 2a − 1) x − 2a = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 2a ) = 0 Xét đa thức bậc hai x 2 + x + 2a với ∆ = 1 − 8a ≥ 0 1 1 1 + Khi a = ta có x = 3 + 3 = 1 . 8 8 8 1 + Khi a > , ta có ∆ = 1 − 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm duy nhất x = 1 8 1 a + 1 8a − 1 3 a + 1 8a − 1 Vậy với mọi a ≥ ta có: x = 3 a + + a− = 1 là 8 3 3 3 3 số tự nhiên. d) Nhận xét: ( x 2 + 2015 + x )( ) x 2 + 2015 − x = 2015 . x 2 + 2015 − x 2 = Kết hợp với giả thiết ta suy ra x 2 + 2015 − x = y 2 + 2015 + y ⇒ y 2 + 2015 + y + x 2 + 2015 + x = x 2 + 2015 − x + y 2 + 2015 − y ⇔ x + y =0 Ví dụ 4) a) Cho x = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . Tính giá trị biểu thức: x 4 − 4 x3 + x 2 + 6 x + 12 P= . x 2 − 2 x + 12 b) Cho x = 1 + 3 2 . Tính giá trị của biểu thức B = x 4 − 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 + 1942 .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016). c) Cho x =+ 1 3 2 + 3 4 . Tính giá trị biểu thức: P = x 5 − 4 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 2015 Giải: THCS.TOANMATH.com 6
a) Ta có: 2  2  x =  4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5  = 8 + 2 4 + 10 + 2 5 . 4 − 10 + 2 5   ( ) ( ) ( ) 2 2 ⇔ x 2 =8 + 2 6 − 2 5 =8 + 2 5 −1 =8 + 2 5 − 1 =6 + 2 5 = 5 +1 5 + 1 . Từ đó ta suy ra ( x − 1) =5 ⇔ x 2 − 2 x =4 . 2 ⇒ x= (x − 2 x ) − 2 ( x 2 − 2 x ) + 12 42 − 3.4 + 12 2 2 biến đổi: P Ta = = = 1. x 2 − 2 x + 12 4 + 12 b) Ta có x =1 + 3 2 ⇒ ( x − 1) = 2 ⇔ x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3 = 0 . Ta biến đổi 3 biểu thức P thành: P= x 2 ( x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + x ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + ( x3 − 3 x 2 + 3 x − 3) + 1945 = 1945 c) Để ý rằng: x = 3 22 + 3 2 + 1 ta nhân thêm 2 vế với 3 2 − 1 để tận dụng hằng đẳng thức: a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) . Khi đó ta có: ( 3 ) ( 2 − 1) ( 2 + 2 + 1) 2 −1 x = 3 3 2 3 ⇔ ( 2 − 1) x = 1 ⇔ 2 x = x + 1 ⇔ 2 x = ( x + 1) ⇔ x3 − 3 x 2 − 3 x − 1 = 0 . 3 3 3 3 Ta biến đổi: P = x 5 − 4 x 4 + x 3 − x 2 − 2 x + 2015 = (x 2 − x + 1)( x 3 − 3 x 2 − 3 x − 1) + 2016 = 2016 Ví dụ 5) Cho x, y, z > 0 và xy + yz + zx = 1. a) Tính giá trị biểu thức: P= x (1 + y )(1 + z ) + y (1 + z )(1 + x ) + z (1 + x )(1 + y ) 2 2 2 2 2 2 1 + x2 1+ y2 1+ z2 x y z 2 xy b) Chứng minh rằng: + − = (1 + x 2 )(1 + y 2 )(1 + z 2 ) 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z Lời giải: THCS.TOANMATH.com 7
a) Để ý rằng: 1 + x 2 = x 2 + xy + yz + zx = ( x + y )( x + z ) Tương tự đối với 1 + y 2 ;1 + z 2 ta có: x (1 + y )(1 + z=) 2 2 x ( y + x )( y + z )( z + x )( z + = y) x( y + z) 1+ x 2 ( x + y )( x + z ) Suy ra P= x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )= 2 ( xy + yz + zx )= 2 . b) Tương tự như câu a) Ta có: x y z x y z + −= + − 1+ x 1+ y 1+ z2 2 2 ( x + y )( x + z ) ( x + y )( y + z ) ( z + y )( z + x ) x ( y + z ) + y ( z + x) − z ( x + y) 2 xy 2 xy = = ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) (1 + x 2 )(1 + y 2 )(1 + z 2 ) Ví dụ 6) a) Tìm x1 , x2 ,..., xn thỏa mãn: 1 2 x12 − 12 + 2 x2 2 − 22 + .. + n xn 2 − = n2 2 ( x1 + x22 + ... + xn 2 ) 4n + 4n 2 − 1 b) Cho f (n) = với n nguyên dương. Tính 2n + 1 + 2n − 1 f (1) + f (2) + .. + f (40) . Lời giải: a) Đẳng thức tương đương với: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x12 − 12 − 1 + x2 2 − 22 − 2 + ... + xn 2 − n 2 − n =0 Hay= x2 2.22 ,...,= x1 2,= xn 2.n 2 THCS.TOANMATH.com 8
 x2 + y 2 =4n  b) Đặt = x 2n + 1, = y 2n − 1 ⇒  xy= 4n 2 − 1 .  x2 − y 2 = 2  Suy ra f (n)= x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 1 3 x+ y = 2 x −y 2 = 2 ( ( x − y 3 )= 1 2 ( 2n + 1) − 3 ( 2n − 1) 3 ). Áp dụng vào bài toán ta có: f (1) + f ( 2 ) + .. + f = 1 ( ) ( ( 40 )  33 − 13 + 53 − 33 + .. + 2 ) ( 813 − 793   ) = 1 2 ( ) 813 − 13= 364 Ví dụ 7) 1 1 1 a) Chứng minh rằng: + + .... + > 4 . Đề thi 1+ 2 3+ 4 79 + 80 chuyên ĐHSP 2011 1 1 1 1  1  b) Chứng minh rằng: + + + ... + > 2 1 − . 1 2 2 3 3 4 n n +1  n +1  1 1 1 1 1 c) Chứng minh: 2 n − 2 < + + + + ... + < 2 n − 1 với 1 2 3 4 n mọi số nguyên dương n ≥ 2 . Lời giải: 1 1 1 a) Xét = A + + .... + , 1+ 2 3+ 4 79 + 80 1 1 1 =B + + .. + 2+ 3 4+ 5 80 + 81 Dễ thấy A > B . 1 1 1 1 1 Ta có A + B = + + + .... + + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 79 + 80 80 + 81 THCS.TOANMATH.com 9
Mặt khác ta có: 1 = ( k +1 − k ) = k +1 − k k + k +1 ( k +1 + k )( k +1 − k ) Suy ra A + B = ( 2− 1 + ) ( ) 3 − 2 + ... + ( ) 81 − 80= 1 8 . Do 81 −= A > B suy ra 2 A > A + B =8 ⇔ A > 4 . 1 1 1 1 b) Để ý rằng: = − < với k k +1 k (k + 1) ( k +1 + k ) 2k k + 1 mọi k nguyên dương. Suy ra  1   1 1   1 1   1  VT > 2 1 −  + 2 −  + .. + 2  − = 2 1 − .  2  2 3  n n +1   n +1  1 1 1 1 1 c) Đặt P = + + + + ... + 1 2 3 4 n 2 1 2 2 Ta có: < = < với mọi số tự nhiên n ≥ 2 . n + n +1 n 2 n n + n −1 Từ đó suy ra 2 2 2 2 ( n +1 − = n ) < n +1 + n 2 n < = 2 n + n −1 ( ) n − n − 1 hay 2 2 ( n +1 − n < ) n < 2 n − n −1 ( ) Do đó: 2   ( 2− 1 + ) ( 3 − 2 ) + ... + ( n + 1 − n ) < T và T < 1 + 2 ( 2 − 1) + ( 3 − 2 ) + .... ( n − n − 1 )  .   Hay 2 n − 2 < T < 2 n − 1 . Ví dụ 8) THCS.TOANMATH.com 10
a) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn 3 a 1 − b 2 + b 1 − c 2 + c 1 − a 2 =.Chứng minh rằng: 2 3 a 2 + b 2 + c 2 =. 2 a) Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: 3 . (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp x 1 − y 2 + y 2 − z 2 + z 3 − x2 = 10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có a 2 + 1 − b2 b2 + 1 − c2 c2 + 1 − a 2 3 a 1 − b2 + b 1 − c2 + c 1 − a 2 ≤ + + =. 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =a 1 − b2 a 2 = 1 − b 2   2  2 2 2 2 2 3 b = 1 − c ⇔ b =1 − c ⇒ a + b + c = (đpcm).  c 2 = 1 − a 2 2 =c 1 − a2  b) Ta viết lại giả thiết thành: 2 x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2 z 3 − x 2 = 6. Áp dụng bất đẳng thức : 2ab ≤ a 2 + b 2 ta có: 2x 1 − y 2 + 2 y 2 − z 2 + 2 z 3 − x2 ≤ x2 + 1 − y 2 + y 2 + 2 − z 2 + z 2 + 3 − x2 = 6 . Suy ra VT ≤ VP . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: THCS.TOANMATH.com 11
=x 1− y2  x, y , z ≥ 0  x 2 + y 2 += z 2 3; x, y, z ≥ 0   2 2  2 x + y = 1 2  2 x + y = 1 y = 2− z ⇔  2 2 ⇔ 2 ⇔ x = 1; y = 0; z = 2   y +z = 2  y +z = 2 2 z = 3 − x2  2 2  z 2 + x2 = z + x = 3  3 Ví dụ 9) Cho A = x ( x+4 x−4 + x−4 x−4 ) với x > 4 x 2 − 8 x + 16 a) Rút gọn A .Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Lời giải: a) Điều kiện để biểu thức A xác định là x > 4 .  2  ( ) ( ) 2 A x  x−4 +2 + = x−4 −2  x x−4 +2 + x−4 −2  = ( ) ( x − 4) 2 x−4 x ( x−4 +2+ x−4 −2 ) x−4 + Nếu 4 < x < 8 thì x − 4 − 2 < 0 nên A= x ( x−4 +2+2− x−4 )= 4x = 4+ 16 x−4 x−4 x−4 Do 4 < x < 8 nên 0 < x − 4 < 4 ⇒ A > 8 . + Nếu x ≥ 8 thì x − 4 − 2 ≥ 0 nên A= x ( x−4 +2+ x−4 −2 2x x − 4 = ) = 2x = 2 x−4 + 8 ≥ 2 16= 8 x−4 x−4 x−4 x−4 (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 8 2 x−4 = ⇔ x−4 = 4 ⇔ x = 8. x−4 THCS.TOANMATH.com 12
Vậy GTNN của A bằng 8 khi x = 8 . 16 b) Xét 4 < x < 8 thì A= 4 + , ta thấy A ∈ Z khi và chỉ khi x−4 16 ∈ Z ⇔ x − 4 là ước số nguyên dương của 16 . Hay x−4 x − 4 ∈ {1; 2; 4;8;16} ⇔ x ={5;6;8;12; 20} đối chiếu điều kiện suy ra x = 5 hoặc x = 6 . 2x =x m2 + 4 + Xét x ≥ 8 ta có: A = , đặt x−4 = m⇒  khi đó ta có: x−4 m ≥ 2 2 ( m2 + 4 ) 8 A = = 2m + suy ra m ∈ {2; 4;8} ⇔ x ∈ {8; 20;68} . m m Tóm lại để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {5;6;8; 20;68} . MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014) 2+ x x −1 2 x +1 Với x > 0 , cho hai biểu thức A = và B = + . x x x+ x 1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 64 . 2) Rút gọn biểu thức B . A 3 3) Tính x để > . B 2 Câu 2. (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội) x +4 1) Cho biểu thức A = . Tính giá trị của biểu thức A . x +2  x 4  x + 16 2) Rút gọn biểu = thức B  +  : (với  x +4 x − 4 x + 2   x ≥ 0, x ≠ 16 ) THCS.TOANMATH.com 13
3) Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B ( A − 1) là số nguyên. Câu 3. (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội). x 10 x 5 Cho A = − − , với x ≥ 0, x ≠ 25 . x − 5 x − 25 x +5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị của A khi x = 9 . 1 3) Tìm x để A < . 3 Câu 4. (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội). x 2 x 3x + 9 Cho P = + − , với x ≥ 0, x ≠ 9 . x +3 x −3 x −9 1) Rút gọn P . 1 2) Tìm giá trị của x để P = . 3 3) Tìm giá trị lớn nhất của P . Câu 5. (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn các biểu thức sau: 5+ 5 5 3 5 A= + − 5+2 5 −1 3 + 5  x 1   2 6  =B  +  : 1 − +  ( x > 0) .  x+3 x x +3  x x+3 x  Câu 6. (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM) THCS.TOANMATH.com 14
Thu gọn các biểu thức sau:  x 3  x +3 =A  + . với x ≥ 0, x ≠ 9 .  x +3 x − 3  x + 9 ( ) ( ) −15 15 . 2 2 B 21 = 2+ 3 + 3− 5 −6 2− 3 + 3+ 5 Câu 7. (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) x 2 2x − 2 Rút gọn biểu = thức P + , với x > 0, x ≠ 2 . 2 x+x 2 x−2 Câu 8. (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định) 1 1 1 1 Cho A = + + + ... + và 1+ 2 2+ 3 3+ 4 120 + 121 1 1 B =1 + + ... + . 2 35 Chứng minh rằng B > A . Câu 9. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận) x3 + y 3 x+ y Cho biểu thức P = . 2 ,x ≠ y. x − xy + y x − y 2 2 2 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tính giá trị của P khi = x 7 − 4 3 và = y 4−2 3 . Câu 10. (Đề thi năm 2014 – 2015 , ĐHSPHN) Cho các số thực dương a, b ; a ≠ b . THCS.TOANMATH.com 15
(a − b) 3 − b b + 2a a ( ) 3 a− b 3a + 3 ab Chứng minh rằng: + 0. = a a −b b b−a Câu 11. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ) x + x − 6 x − 7 x + 19 x − 5 x =A + − ; x > 0, x ≠ 9 . x −9 x + x − 12 x + 4 x Câu 12. (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh) 1 1 2 x Cho biểu thức A = + − ( x ≥ 0, x ≠ 4 ) . 2+ x 2− x 4− x 1 Rút gọn A và tìm x để A = . 3 Câu 13. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi). 3 3 x x+x 1) Cho biểu thức P = + + . Tìm tất cả x −3 − x x −3 + x x +1 các giá trị của x để P > 2 . 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : y = − x 2 và đường thẳng ( d ) := y mx − 1 ( m là tham số). chứng minh rằng với mọi giá trị của m , đường thẳng ( d ) luôn cắt ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn x1 − x2 ≥ 2 . Câu 14. (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa) a 2 2 Cho biểu thức C = − − . a − 16 a −4 a +4 1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C . 2) Tính giá trị của biểu thức C khi a= 9 − 4 5 . THCS.TOANMATH.com 16
Câu 15. (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)  2 3 5 x −7  2 x +3 Cho biểu thức A =   x − 2 + 2 x + 1 − 2 x − 3 x − 2  : 5 x − 10 x   ( x > 0, x ≠ 4 ) . 1) Rút gọn biểu thức A . 2) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. Câu 16. (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội) x +1 1) Tính giá trị của biểu thức A = , khi x = 9 . x −1  x−2 1  x +1 2) Cho biểu= thức P  + . với x > 0 và x ≠ 1 .  x+2 x x + 2  x −1 x +1 a) Chứng minh rằng P = . x b) Tìm các giá trị của x để = 2P 2 x + 5 . Câu 17) Cho a = 3 + 5 + 2 3 + 3 − 5 + 2 3 . Chứng minh rằng a 2 − 2a − 2 =0. Câu 18) Cho a = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . a 2 − 4a 3 + a 2 + 6a + 4 Tính giá trị của biểu thức: T = . a 2 − 2a + 12 Câu 19) Giả thiết x, y, z > 0 và xy + yz + zx = a. Chứng minh rằng: x ( a + y )( a + z ) + y ( a + z ) ( a + x ) 2 2 2 2 +z ( a + x )( a + y ) = 2 2 2a . a + x2 a + y2 a + z2 THCS.TOANMATH.com 17
Câu 20. Cho a = 2 + 7 − 3 61 + 46 5 + 1 . a) Chứng minh rằng: a 4 − 14a 2 + 9 =0. b) Giả sử f ( x ) = x 5 + 2 x 4 − 14 x 3 − 28 x 2 + 9 x + 19 . Tính f ( a ) . Câu 21. Cho a = 3 38 + 17 5 + 3 38 − 17 5 . (x + 3 x + 1940 ) 2016 Giả sử có đa thức f ( x ) = 3 . Hãy tính f ( a ) . 2n + 1 + n ( n + 1) Câu 22. Cho biểu thức f ( n ) = . n + n +1 Tính tổng S= f (1) + f ( 2 ) + f ( 3) + ... + f ( 2016 ) . Câu 23) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 5 1≤ 2 + 2 + 2 + ... + 2 < . 1 2 3 n 3 Câu 24) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 , ta có 1 1 1 1 65 3 + 3 + 3 + ... + 3 < . 1 2 3 n 54 Câu 25) Chứng minh rằng: 43 1 1 1 44 < + + ... + < 44 2 1 + 1 2 3 2 + 2 3 2002 2001 + 2001 2002 45 (Đề thi THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm 2001-2002) Câu 26) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta có: 1 1 1 1 + + ... + < 1− . 2 2 +1 1 3 3 + 2 2 ( n + 1) n + 1 + n n n +1 THCS.TOANMATH.com 18
Câu 27) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 , ta có: 1 4 7 10 3n − 2 3n + 1 1 . . . .... . < . 3 6 9 12 3n 3n + 3 3 n + 1 LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1 1). Lời giải: 2 + 64 2 + 8 5 1) Với x = 64 ta có = A = = . 64 8 4 B= ( )( = ) ( x −1 . x + x + 2 x +1 . x x x + 2x 1+ = )1 = x +2 x. x + x ( x x+x) x +1 x +1 A 3 2+ x 2+ x 3 x +1 3 Với x > 0 , ta có: > ⇔ : > ⇔ > B 2 x x +1 2 x 2 ⇔ 2 x + 2 > 3 x ⇔ x < 2 ⇔ 0 < x < 4 (do x > 0 ). 2. Lời giải: 36 + 4 10 5 1) Với x = 36 , ta có = A = = . 36 + 2 8 4 2) Với x ≥ 0, x ≠ 16 ta có: (  x x −4 4 x +4  B= + ) ( )  = ( x + 2 ( x + 16 ) x + 2) = x +2  x − 16 x − 16  x + 16 ( x − 16 )( x + 16 ) x − 16   . x +2 x +4− x −2 2 Biểu thức B ( A − 1) 3)= =   x − 16  x +2  x − 16 B ( A − 1) nguyên, x nguyên thì x − 16 là ước của 2 , mà U ( 2 ) ={±1; ±2} . Ta có bảng giá trị tương ứng: Kết hợp điều kiện, để B ( A − 1) nguyên thì x ∈ {14;15;16;17} . THCS.TOANMATH.com 19
3). Lời giải: A= x − 10 x − 5 = x. ( ) ( x + 5 − 10 x − 5. x −5 ) x − 5 x − 25 x +5 ( x − 5)( x + 5) x + 5 x − 10 x − 5 x + 25 x − 10 x + 25 = ( x −5 x +5 )( ) ( x −5 )( x +5 ) ( ) 2 x −5 x −5 = ⇒A . Với x = 9 ta có: x = 3 . Vậy ( x −5 )( x +5 ) x +5 3 − 5 −2 1 A= = = − . 3+5 8 4 4). Lời giải: 1) P ( ) x x − 3 + 2 x x + 3 − 3x − 9 = ( ) 3 x −3 ( x +3 )( ) x +3 13 1 2) P = ⇔ = ⇒ x + 3 = 9 ⇔ x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) 3 x +3 3 3 3 3) Với x ≥ 0, P = ≤ =1 ⇒ Pmax =1 khi x = 0 (TM). x +3 0+3 5. Lời giải: 5+ 5 5 3 5 A= + − 5+2 5 −1 3 + 5 = (5 + 5 )( 5−2 )+ 5 ( 5 +1 ) − ( 3 5 3− 5 ) ( 5 + 2)( 5 − 2) ( 5 −1 )( 5 +1 ) (3 + 5 )(3 − 5 ) 5 + 5 9 5 − 15 5 + 5 − 9 5 + 15 = 3 5 −5+ − = 3 5 −5+ 4 4 4 THCS.TOANMATH.com 20