Chuyên đề Dao động cơ Luyện thi ĐH - CĐ

Chia sẻ: Nguyễn Quang Hưng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:263

Thêm vào BST

Báo xấu

287
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Dao động cơ Luyện thi ĐH - CĐ cung cấp cho các bạn những kiến thức về dao động điều hòa; con lắc lò xo; dao động tắt dần, dao động cưỡng bức. Đặc biệt, những bài tập và hướng dẫn giải được đưa ra ở trong chuyên đề sẽ giúp các bạn nắm bắt được những kiến thức này một cách tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Dao động cơ Luyện thi ĐH - CĐ

CHUYÊN ĐỀ: DAO ĐỘNG CƠ LUYỆN THI ĐH-CĐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I/ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1. Dao động điều hòa + Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian. + Phương trình dao động: x = Acos(ωωt + ϕ). + Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm M chuyển động tròn đều trên đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó. 2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà: Trong phương trình x = Acos(ω ωt + ϕ) thì: Các đại lượng đặc Ý nghĩa Đơn vị trưng A biên độ dao động; xmax = A >0 m, cm, mm (ωt + ϕ) pha của dao động tại thời điểm t (s) Rad; hay độ ϕ pha ban đầu của dao động, rad ω tần số góc của dao động điều hòa rad/s. T Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực s ( giây) 2π t hiện một dao động toàn phần :T = = ω N f Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần Hz ( Héc) hay 1/s 1 thực hiện được trong một giây . f = T Liên hệ giữa ω, T và f: 2π ω= = 2πf; T Biên độ A và pha ban đầu ϕ phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu làm cho hệ dao động, Tần số góc ω (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ dao động. 3. Mối liên hệ giữa li độ , vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà: Đại lượng Biểu thức So sánh, liên hệ Ly độ x = Acos(ω ωt + ϕ): là nghiệm của phương trình : Li độ của vật dao động điều hòa biến thiên điều x’’ + ω2x = 0 là phương trình động lực học của π dao động điều hòa. hòa cùng tần số nhưng trễ pha hơn so với với 2 xmax = A vận tốc. Vận tốc v = x' = - ωAsin(ωωt + ϕ) -Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên π π v= ωAcos(ω ωt + ϕ + ) điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn so 2 2 -Vị trí biên (x = ± A), v = 0. với với li độ. -Vị trí cân bằng (x = 0), |v| = vmax = ωA. - Khi vật đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng thì vận tốc có độ lớn tăng dần, khi vật đi từ vị trí cân bằng về biên thì vận tốc có độ lớn giảm dần. Gia tốc a = v' = x’’ = - ω2Acos(ωωt + ϕ) -Gia tốc của vật dao động điều hòa biến thiên a= - ω2x. điều hòa cùng tần số nhưng ngược pha với li độ Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn π hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ x(sớm pha so với vận tốc v). 2 lớn của li độ. - Ở biên (x = ± A), gia tốc có độ lớn cực đại: -Khi vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí biên, a amax = ω2A. ngược chiều với v ( vật chuyển động chậm dần) - Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0. -Khi vật đi từ vị trí biên đến vị trí cân bằng, a cùng chiều với v ( vật chuyển động nhanh dần). Lực kéo về F = ma = - kx - Chuyển động nhanh dần : a.v>0, F ⇑ v ; Lực tác dụng lên vật dao động điều hòa :luôn hướng về vị trí cân bằng, gọi là lực kéo về (hồi - Chuyên động chậm dần a.v
( F là hợp lực tác dụng lên vật) 4.Hệ thức độc lập đối với thời gian : x2 v2 +Giữa tọa độ và vận tốc: + =1 A 2 ω2 A 2 v x = ± A2 − v2 A= x2 + v2 v = ±ω A2 − x 2 ω= ω 2 ω 2 A − x2 2 +Giữa gia tốc và vận tốc: v2 a2 v2 a 2 a2 + = 1 Hay A 2 = + v 2 = ω 2 .A 2 − + a 2 = ω 4 . A 2 − ω 2 .v 2 ω2 A 2 ω4 A 2 ω2 ω4 ω 2 II/ CON LẮC LÒ XO: 1.Mô tả: Con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với vật nặng khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc treo thẳng đứng. k 2.Phương trình dao động: x = Acos(ωt + ϕ); với: ω =; m m 1 k 3. Chu kì, tần số của con lắc lò xo: T = 2π ; tần số : f = . k 2π m 4. Năng lượng của con lắc lò xo: 1 1 + Động năng: Wđ = mv 2 = mω 2 A 2 sin 2 (ω t + ϕ ) = Wsin 2 (ω t + ϕ ) 2 2 1 1 +Thế năng: Wt = mω 2 x 2 = mω 2 A2 cos 2 (ωt + ϕ ) = Wco s 2 (ωt + ϕ ) 2 2 1 1 +Cơ năng : W = Wđ + Wt = kA2 = mω 2 A2 = hằng số. 2 2 T Động năng, thế năng của vật dao động điều hòa biến thiên tuần hoàn với ω’ = 2ω, tần số f’ = 2f, chu kì T’ = . 2  ±A x = n +1  5. Quan hệ giữa động năng và thế năng: Khi Wđ = nWt ⇒  v = ±ω A n  n +1 Một số giá trị đặc biệt của x, v, a , Wt và Wd như sau: Ly đ ộ x -A A 3 A 2 A 0 A A 2 A 3 A - - - 2 2 2 2 2 2 Vận tốc 0 1 2 3 ωA 3 2 1 0 /v/ ωA ωA ωA ωA ωA ωA 2 2 2 2 2 2 Thế năng 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 3 kA2 Wt kA kA . kA . kA . kA . kA . kA . 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 Động 0 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 0 năng Wd kA . kA . kA . mω A kA . kA . kA . 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 So sánh: Wtmax Wt=3Wd Wt=Wd Wd=3Wt Wdmax Wd=3Wt Wt=Wd Wt=3Wd Wtmax Wt và Wd 2
III/ CON LẮC ĐƠN: 1.Mô tả: Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích thước không đáng kể so với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng. 2π l 1 ω 1 g 2.Tần số góc: ω = g ; +Chu kỳ: T = = 2π ; +Tần số: f = = = l ω g T 2π 2π l Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α0
+Con lắc đơn chiều dài l1 - l2 (l1>l2) có chu kỳ là: T = T1 − T2 2 2 2 8. Khi con lắc đơn dao động với α0 bất kỳ. a/ Cơ năng: W = mgl(1-cosα0). b/Vận tốc : v = 2 gl (cosα − cosα 0 ) c/Lực căng dây: T = mg(3cosα – 2cosα0) Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α0 có giá trị lớn - Khi con lắc đơn dao động điều hoà (αα0 0 thì đồng hồ chạy chậm (đồng hồ đếm giây sử dụng con lắc đơn) * Nếu ∆T < 0 thì đồng hồ chạy nhanh * Nếu ∆T = 0 thì đồng hồ chạy đúng ∆T * Thời gian chạy sai mỗi ngày (24h = 86400s): θ = 86400( s) T 11. Khi con lắc đơn chịu thêm tác dụng của lực phụ khác không đổi ngoài trọng lực : → Nếu ngoài trọng lực ra, con lắc đơn còn chịu thêm một lực F không đổi khác (lực điện trường, lực quán tính, → → → → lực đẩy Acsimet, ...), thì trọng lực biểu kiến tác dụng lên vật sẽ là: P ' = P + F , gia tốc rơi tự do biểu kiến là: g ' → → F l = g + . Khi đó chu kì dao động của con lắc đơn là: T’ = 2π . m g' Lực phụ không đổi thường là: a/ Lực quán tính: F = − ma , độ lớn F = ma ( F ↑↓ a ) Lưu ý: + Chuyển động nhanh dần đều a ↑↑ v ( v có hướng chuyển động) + Chuyển động chậm dần đều a ↑↓ v b/ Lực điện trường: F = qE , độ lớn F = |q|E (Nếu q > 0 ⇒ F ↑↑ E ; còn nếu q < 0 ⇒ F ↑↓ E ) c/ Lực đẩy Ácsimét: FA = DVg ( F luông thẳng đứng hướng lên) Trong đó: D là khối lượng riêng của chất lỏng hay chất khí. g là gia tốc rơi tự do. V là thể tích của phần vật chìm trong chất lỏng hay chất khí đó. Khi đó: P ' = P + F gọi là trọng lực hiệu dụng hay trong lực biểu kiến (có vai trò như trọng lực P ) F g ' = g + gọi là gia tốc trọng trường hiệu dụng hay gia tốc trọng trường biểu kiến. m l Chu kỳ dao động của con lắc đơn khi đó: T ' = 2π g' d/ Các trường hợp đặc biệt: * F có phương ngang ( F ⊥ P ): F + Tại VTCB dây treo lệch với phương thẳng đứng một góc có: tan α = P 4
F g ' = g 2 + ( )2 m F * F có phương thẳng đứng thì g ' = g ± m F + Nếu F ↑↑ P => g ' = g + ; m F + Nếu F ↑↓ P => g ' = g − m F 2 F * ( F , P) = α => g ' = g + ( ) + 2( ) gcosα 2 m m 4π 2 l 12. Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do nhờ đo chu kì và chiều dài của con lắc đơn: g = . T2 13.Con lắc lò xo; con lắc đơn và Trái Đất; con lắc vật lý và Trái Đất là những hệ dao động . Dưới đây là bảng các đặc trưng chính của một số hệ dao động. Hệ dao động Con lắc lò xo Con lắc đơn Con lắc vật lý Hòn bi (m) gắn vào lò xo (k). Hòn bi (m) treo vào đầu sợi Vật rắn (m, I) quay quanh Cấu trúc dây (l). trục nằm ngang. -Con lắc lò xo ngang: lò xo Dây treo thẳng đứng QG (Q là trục quay, G là không dãn trọng tâm) thẳng đứng VTCB - Con lắc lò xo dọc: lò xo biến mg dạng ∆l = k Lực đàn hồi của lò xo: Trọng lực của hòn bi và lực Mô men của trọng lực của F = - kx căng của dây treo: vật rắn và lực của trục Lực tác dụng x là li độ dài g quay: F = −m s s: li độ cung M = - mgdsinα α là li giác l Phương trình x” + ω2x = 0 s” + ω2s = 0 α” + ω2α = 0 động lực học của chuyển động k g mgd Tần số góc ω= ω= ω= m l I Phương trình dao x = Acos(ωt + φ) s = s0cos(ωt + φ) α = α0cos(ωt + φ) động. 1 2 1 W = mgl (1 − cos α 0 ) W= kA = mω 2 A2 Cơ năng 2 2 1 g 2 = m s0 2 l IV/ DAO ĐỘNG TẮT DẦN -DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC: 1. Các định nghĩa: Dao động Là chuyển động qua lại quanh 1 vị trí cân bằng Tuần hoàn Là dao động mà cứ sau những khỏang thời gian T như nhau vật trở lại vị trí cũ và chiều chuyển động như cũ Điều hòa Là dao động tuần hòan mà phương trình có dạng cos ( hoặc sin) của thời gian nhân với 1 hằng số (A) x = Acos(ωt + ϕ) Tự do (riêng) Là dao động chỉ xảy ra với tác dụng của nội lực, mọi dao động tự do đều có ω xác định gọi là tần số (góc) riêng của hệ,ω chỉ phụ thuộc cấu tạo của hệ Duy trì Là dao động mà ta cung cấp năng lượng cho hệ bù lại phần năng lượng bị mất mát do ma sát mà không làm thay đổi chu kì riêng của nó Dao động duy trì có chu kì bằng chu kì riêng của hệ và biên độ không đổi Tắt dần +Là dao động có biên độ giảm dần theo thời gian , do có ma sát. Nguyên nhân làm tắt dần dao động là do lực ma sát và lực cản của môi trường làm tiêu hao cơ năng của con lắc, 5
chuyển hóa dần cơ năng thành nhiệt năng. + Phương trình động lực học: − kx ± Fc = ma Dao động tắt dần không có chu kỳ xác định . + Ứng dụng: các thiết bị đóng cửa tự động, các bộ phận giảm xóc của ô tô, xe máy, … Cưỡng bức +Là dao động dưới tác dụng của ngọai lực cưỡng bức tuần hoàn. + Dao động cưỡng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực cưỡng bức: fcöôõng böùc = fngoaïi löïc + Biên độ của dao động cưỡng bức phụ thuộc vào biên độ của ngoại lực cưỡng bức, vào lực cản trong hệ và vào sự chênh lệch giữa tần số cưỡng bức f và tần số riêng f0 của hệ. Biên độ của lực cưỡng bức càng lớn, lực cản càng nhỏ và sự chênh lệch giữa f và f0 càng ít thì biên độ của dao động cưỡng bức càng lớn. + Hiện tượng biên độ của dao động cưỡng bức tăng dần lên đến giá trị cực đại khi tần số f của lực cưỡng bức tiến đến bằng tần số riêng f0 của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng. + Điều kiện cộng hưởng f = f0 f = f 0 Hay T = T 0 laøm A ↑→ A Max ∈ löïc caûn cuûa moâi tröôøng ω = ω  0 Amax phụ thuộc ma sát : ms nhỏ Amax lớn : cộng hưởng nhọn ms lớn Amax nhỏ : cộng hưởng tù + Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng: -Tòa nhà, cầu, máy, khung xe, ...là những hệ dao động có tần số riêng. Không để cho chúng chịu tác dụng của các lực cưởng bức, có tần số bằng tần số riêng để tránh cộng hưởng, dao động mạnh làm gãy, đổ. -Hộp đàn của đàn ghi ta, .. là những hộp cộng hưởng làm cho tiếng đàn nghe to, rỏ. 2. Các đại lượng trong dao động tắt dần : kA 2 ω 2 A2 - Quảng đường vật đi được đến lúc dừng lại: S = = . 2 µmg 2 µg 4 µmg 4 µg - Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì: ∆A = = . k ω2 A Ak Aω 2 - Số dao động thực hiện được: N= = = . ∆A 4µmg 4µmg -Vận tốc cực đại của vật đạt được khi thả nhẹ cho vật dao động từ vị trí biên ban đầu A: kA2 mµ 2 g 2 vmax = + − 2 µgA . m k 3. Bảng tổng hợp : DAO ĐỘNG TỰ DO DAO ĐỘNG TẮT DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC DAO ĐỘNG DUY TRÌ DẦN SỰ CỘNG HƯỞNG Lực tác dụng Do tác dụng của nội lực tuần Do tác dụng của lực cản Do tác dụng của ngoại lực tuần hoàn ( do ma sát) hoàn Biên độ A Phụ thuộc điều kiện ban đầu Giảm dần theo thời gian Phụ thuộc biên độ của ngoại lực và hiệu số ( fcb − f0 ) Chu kì T Chỉ phụ thuộc đặc tính riêng Không có chu kì hoặc Bằng với chu kì ( hoặc tần số) của (hoặc tần số f) của hệ, không phụ thuộc các tần số do không tuần ngoại lực tác dụng lên hệ yếu tố bên ngoài. hoàn Hiện tượng đặc Không có Sẽ không dao động khi Sẽ xãy ra HT cộng hưởng (biên độ biệt trong DĐ masat quá lớn A đạt max) khi tần số fcb = f0 Ưng dụng Chế tạo đồng hồ quả lắc. Chế tạo lò xo giảm xóc Chế tạo khung xe, bệ máy phải có Đo gia tốc trọng trường của trong ôtô, xe máy tần số khác xa tần số của máy gắn trái đất. vào nó.Chế tạo các loại nhạc cụ 6
V/ TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG HÒA 1. Giản đồ Fresnel: Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số và độ lệch pha không đổi x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) vaø x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) . Dao động tổng hợp x = x1 + x2 = A cos(ωt + ϕ) biên độ và pha : a. Biên độ: A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) ; điều kiện A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2 Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của các dao động thành phần: A1 sin ϕ1 + A 2 sin ϕ2 A b. Pha ban đầu ϕ : tan ϕ = ; điều kiện ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 hoaëc ϕ2 ≤ ϕ ≤ ϕ1 A1 cos ϕ1 + A 2 cos ϕ2 Hai dao ñoäng cuøng pha ∆ϕ = k 2π : A = A1 + A2 A2  Hai dao ñoäng ngöôïc pha ∆ϕ = (2k + 1)π : A = A1 − A2 A1 Chú ý:  π Hai dao ñoäng vuoâng pha ∆ϕ = (2k + 1) 2 : A = A1 + A2 2 2 ϕ  x' O x Hai dao ñoäng coù ñoä leäch pha ∆ϕ = const : A1 − A2 ≤ A ≤ A1 + A2 2. Tổng hợp dao động nhờ số phức: ωt + ϕ) có thể được biểu diễn bằng bằng số phức dưới dạng: z = a + bi - Dao động điều hoà x = Acos(ω ϕ) (với môđun: A= a 2 + b 2 ) hay Z = Aej(ωt + ϕ). ϕ +i cosϕ -Trong tọa độ cực: z =A(sinϕ -Trong các máy tính CASIO fx- 570ES, ESPlus,VINACAL-570ESPLus: kí hiệu là: r ∠ θ (ta hiểu là: A ∠ ϕ). a.Tìm dao động tổng hợp xác định A và ϕ bằng cách dùng máy tính thực hiện phép cộng: +Cộng các véc tơ:A = A1 + A2 =>Cộng các số phức: A1∠ ϕ1 + A2 ∠ ϕ 2 = A∠ ϕ b.Tìm dao động thành phần( xác định A1 và ϕ1; ( xác định A2 và ϕ2 ) ) bằng cách dùng máy tính thực hiện phép trừ: +Trừ các véc tơ: A1 = A − A 2 ; A 2 = A − A1 =>Trừ các số phức: A∠ ϕ − A2 ∠ ϕ 2 = A1∠ ϕ1 ; A∠ ϕ − A1∠ ϕ1 = A2 ∠ ϕ 2 c.Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx – 570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math. Thực hiện phép tính về số phức Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX ∠θ (ta hiêu:A∠ Dạng toạ độ cực: r∠ ∠ϕ ) Bấm: SHIFT MODE 3 2 Hiển thị số phức kiểu r ∠θ Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R Để nhập ký hiệu góc ∠ Bấm SHIFT (-). Màn hình hiển thị ký hiệu ∠ d.Lưu ý :Khi thực hiện phép tính kết quả được hiển thị dạng đại số: a +bi (hoặc dạng cực: A∠ ϕ ). ∠ ϕ , bấm SHIFT 2 3 = -Chuyển từ dạng : a + bi sang dạng: A∠ 1 ∠ π Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 ->Nếu hiển thị: 4+ 4 3 i .Ta bấm SHIFT 2 3 = kết quả: 8∠ 3 ∠ ϕ sang dạng : a + bi : bấm SHIFT 2 4 = -Chuyển từ dạng A∠ 1 ∠ π , ta bấm SHIFT 2 4 =  kết quả :4+4 3 i Ví dụ: Nhập: 8 SHIFT (-) (π:3 -> Nếu hiển thị: 8∠ 3 Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ ) Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi ) ( đang thực hiện phép tính ) VÒNG TRÒN LƯỢNG GIÁC- GÓC QUAY VÀ THỜI GIAN QUAY 7
Các góc quay và thời gian quay được tính từ gốc A V0 φ π T/4 T/4 3 A A 3 −A − A/2 A Sơ đồ thời gian: -A 2 2 -A/2 O 2 2 A x T/12 T/12 T/12 T/12 T/12 T/12 T/24 T/24 T/8 T/8 T/6 T/6 amax 3 amax amax amax amax amax 3 Gia tốc: ω2A T/2 − − − -ω2A 2 2 2 O 2 2 2 x Vận tốc: 0 ∓ vmax vmax vmax 3 vmax 3 vmax vmax 0 ∓ ∓ ∓ ∓ ∓ 2 2 2 2 2 2 3 A A 3 -A A -A/2 A/2 A Ly độ x: 2 2 O 2 2 A x kA2 3 1 1 1 3 2 Wt= W = W W W Wt=0 1 W W W W = kA 2 4 2 4 O 4 2 4 2 Wd= 1 1 3 kA2 3 1 1 0 W W W W= W W W 0 4 2 4 2 4 2 4 ωt : Một số giá trị đặc biệt của x, v, a , Wt và Wd như sau: Với : x = Acosω 8
t 0 T/12 T/8 T/6 T/4 T/3 3T/8 5T/12 T/2 ωt=2ᴫt/T 0 ᴫ/6 ᴫ/4 ᴫ/3 ᴫ/2 2ᴫ/3 3ᴫ/4 5ᴫ/6 ᴫ x=Acosωt A A 3 A 2 A 0 A -A 2 -A 3 -A - 2 2 2 2 2 2 Vận tốc v 0 1 2 3 -ωA 3 2 1 0 − ωA − ωA − ω A − ωA − ωA − ω A 2 2 2 2 2 2 Gia tốc −ω2 A 3 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 ω2 A a=-ω2.x − ω A − ω2 A − ω A ωA ωA ωA 2 2 2 2 2 2 Thế năng 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 1 2 1 1 2 3 kA2 Wt kA kA . kA . kA . kA . kA . kA . 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 Động 0 1 2 1 1 2 1 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 1 1 2 1 0 năng Wd kA . kA . kA . mω A kA . kA . kA . 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 4 So sánh: Wtmax Wt=3Wd Wt=Wd Wd=3Wt Wdmax Wd=3Wt Wt=Wd Wt=3Wd Wtmax Wt và Wd B. CÁC CHỦ ĐỀ DAO ĐỘNG CƠ: CHỦ ĐỀ 1. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA Dạng 1 – Nhận biết, xác định các đặc trưng của phương trình Dao động 1 – Kiến thức cần nhớ : – Phương trình chuẩn : x = Acos(ωt + φ) ; v = –ωAsin(ωt + φ) ; a = – ω2Acos(ωt + φ) 2π – Công thức liên hệ giữa chu kỳ và tần số : ω = = 2πf T 1 + cos2α – Một số công thức lượng giác : sinα = cos(α – π/2); – cosα = cos(α + π); cos2α = 2 a+b a −b 1 − cos2α cosa + cosb = 2cos cos . sin2α = 2 2 2 2 – Phương pháp : a – Xác định A, φ, ω… -Tìm ω : Đề cho : T, f, k, m, g, ∆l0 2π ∆t ω = 2πf = , với T = , N – Tổng số dao động trong thời gian ∆t T N Nếu là con lắc lò xo : Nằm ngang Treo thẳng đứng k g mg g ω= , (k : N/m ; m : kg) ω= , khi cho ∆l0 = = 2. m ∆l0 k ω v a a max vmax Đề cho x, v, a, A : ω= = = = A −x 2 2 x A A v 2 - Tìm A :*Đề cho : cho x ứng với v ⇒ A= x2 + ( ) . ω - Nếu v = 0 (buông nhẹ) ⇒ A=x v max - Nếu v = vmax ⇒ x = 0 ⇒ A= ω a max CD * Đề cho : amax ⇒A= * Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD ⇒ A = . ω 2 2 9
Fmax l max − l min * Đề cho : lực Fmax = kA. ⇒ A= . * Đề cho : lmax và lmin của lò xo ⇒A = . k 2 2W 1 2 * Đề cho : W hoặc Wdmax hoặc Wt max ⇒A = .Với W = Wđmax = Wtmax = kA . k 2 * Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim ⇒A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin. - Tìm ϕ (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu : Nếu t = 0 :  x0 x = Acos ϕ  co s ϕ = A - x = x0 , v = v0 ⇒  0 ⇒  ⇒ φ=? v0 = −Aωsin ϕ  sin ϕ = − v 0  ωA a = −Aω cos ϕ 2 v0 - v = v0 ; a = a 0 ⇒  0 ⇒tanφ = ω ⇒φ=?  v0 = −Aωsin ϕ a0  x1 = A cos(ωt1 + ϕ) a = −Aω cos(ωt1 + ϕ) 2 * Nếu t = t1 :  ⇒φ =? hoặc  1 ⇒φ =?  v1 = −Aω sin(ωt1 + ϕ) v1 = −Aωsin(ωt1 + ϕ) v (Cách giải tổng quát: x0 ≠ 0; x0 ≠ A ; v0 ≠ 0 thì :tan ϕ = − 0 ) ω.x 0 – Đưa các phương trình về dạng chuẩn nhờ các công thức lượng giác. – so sánh với phương trình chuẩn để suy ra : A, φ, ω……….. b – Suy ra cách kích thích dao động :  x = A cos(ωt + ϕ) x – Thay t = 0 vào các phương trình  ⇒  0 ⇒ Cách kích thích dao động.  v = − Aω sin( ωt + ϕ) v0 *Lưu ý : – Vật theo chiều dương thì v > 0 → sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0→ sinϕ > 0. *Các trường hợp đặc biệt : Chọn gốc thời gian t = 0: x0 = ? v0 = ? Vị trí vật lúc CĐ theo chiều trục Pha ban Vị trí vật lúc CĐ theo chiều trục Pha ban t = 0 : x0 =? tọa độ; dấu của v0? đầu φ? t = 0 : x0 =? tọa độ; dấu của v0? đầu φ? VTCB x0 = 0 Chiều dương: v0 > 0 φ =– π/2. A 2 Chiều dương: v0 > 0 π x0 = φ=– 2 4 VTCB x0 = 0 Chiều âm :v0 < 0 φ = π/2. A 2 Chiều dương:v0 > 0 3π x0 = – φ=– 2 4 biên dương x0 =A v0 = 0 φ=0 A 2 Chiều âm : v0 < 0 π x0 = φ= 2 4 biên âm x0 = -A v0 = 0 φ = π. A 2 Chiều âm :v0 > 0 3π x0 = – φ= 2 4 A Chiều dương:v0 > 0 π A 3 Chiều dương: v0 > 0 π x0 = φ=– x0 = φ=– 2 3 2 6 A Chiều dương:v0 > 0 2π A 3 Chiều dương:v0 > 0 5π x0 = – φ=– x0 = – φ=– 2 3 2 6 A Chiều âm : v0 < 0 π A 3 Chiều âm : v0 < 0 π x0 = φ= x0 = φ= 2 3 2 6 A Chiều âm :v0 > 0 2π A 3 Chiều âm :v0 > 0 5π x0 = – φ= x0 = – φ= 2 3 2 6 3– Phương trình đặc biệt.  Biên độ : A  – x = a ± Acos(ωt + φ) với a = const ⇒  Tọa độ VTCB : x = a   Tọa độ vị trí biên : x = a ± A A – x = a ± Acos2(ωt + φ) với a = const ⇒ Biên độ : ; ω’ = 2ω ; φ’ = 2φ. 2 10
4 – Bài tập : Bài 1. Chọn phương trình biểu thị cho dao động điều hòa : A. x = A(t)cos(ωt + b)cm B. x = Acos(ωt + φ(t)).cm C. x = Acos(ωt + φ) + b.(cm) D. x = Acos(ωt + bt)cm. Trong đó A, ω, b là những hằng số.Các lượng A(t), φ(t) thay đổi theo thời gian. HD : So sánh với phương trình chuẩn và phương trình dạng đặc biệt ta có x = Acos(ωt + φ) + b.(cm). Chọn C. Bài 2. Phương trình dao động của vật có dạng : x = Asin(ωt). Pha ban đầu của dao động dạng chuẩn x = Acos(ωt + φ) bằng bao nhiêu ? A. 0. B. π/2. C. π. D. 2 π. HD : Đưa phương pháp x về dạng chuẩn : x = Acos(ωt − π/2) suy ra φ = π/2. Chọn B. Bài 3. Phương trình dao động có dạng : x = Acosωt. Gốc thời gian là lúc vật : A. có li độ x = +A. B. có li độ x = −A. C. đi qua VTCB theo chiều dương. D. đi qua VTCB theo chiều âm. HD : Thay t = 0 vào x ta được : x = +A Chọn : A Bài 4 : Toạ độ của một vật biến thiên theo thời gian theo định luật : x = 4.cos (4.π .t ) (cm). Tính tần số dao động , li độ và vận tốc của vật sau khi nó bắt đầu dao động được 5 (s). ω HD: Từ phương trình x = 4.cos (4.π .t ) (cm) Ta có : A = 4cm; ω = 4.π ( Rad / s ) ⇒ f = = 2( Hz ) . 2.π - Li độ của vật sau khi dao động được 5(s) là : x = 4.cos (4.π .5) = 4 (cm). - Vận tốc của vật sau khi dao động được 5(s) là : v = x ' = −4.π .4.sin(4.π .5) = 0 Bài 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 4 cos(2π .t + π / 2) a, Xác định biên độ, chu kỳ, pha ban đầu của dao động. b, Lập biểu thức của vận tốc và gia tốc. 1 c, Tính vận tốc và gia tốc tại thời điểm t = s và xác định tính chất chuyển động. 6 HD: a, A = 4cm; T = 1s; ϕ = π / 2 . b, v = x' =-8 π sin(2π .t + π / 2) cm/s; a = - ω2 x = - 16 π2 cos(2π .t + π / 2) (cm/s2). c, v=-4 π ; a=8 π 2 . 3 . Vì av < 0 nên chuyển động chậm dần. Bài 6. Cho các phương trình dao động điều hoà như sau : π π a) x = 5.co s(4.π .t + ) (cm). b) x = −5.co s(2.π .t + )(cm) 6 4 π c) x = −5.co s(π .t ) (cm). d) x = 10.cos (5.π .t + ) (cm). 3 Xác định biên độ, tần số góc, pha ban đầu, chu kỳ, tần số, của các dao động điều hoà đó? Giải : π π a) x = 5.co s(4.π .t + ) (cm). ⇒ A = 5(cm); ω = 4.π ( Rad / s ); ϕ = ( Rad ); 6 6 2.π 2.π 1 1 T= = = 0,5( s ); f = = = 2( Hz ) ω 4.π T 0,5 π π 5.π b) x = −5.co s(2.π .t + ) = 5.co s(2.π .t + + π ) = 5.co s(2.π .t + ). (cm). 4 4 4 5.π 2.π 1 ⇒ A = 5(cm); ω = 2.π (rad / s ); ϕ = ( Rad ) ⇒ T = = 1( s ); f = = 1( Hz ). 4 ω T c) x = −5.co s(π .t )(cm) = 5.co s(π .t + π )(cm) 2.π ⇒ A = 5(cm); ω = π ( Rad / s ); ϕ = π ( Rad ); T = = 2( s ); f = 0,5( Hz ). π π π π 5.π d) x = 10.cos (5.π .t + )cm = 10.sin(5.π .t + + )cm = 10.sin(5.π .t + )cm . 3 3 2 6 5.π 2.π 1 ⇒ A = 10(cm); ω = 5.π ( Rad / s ); ϕ = ( Rad ); T = = 0.4( s ); f = = 2,5( Hz ) . 6 5.π 0, 4 11
Bài 7. Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau: a) x = 5.cos (π .t ) + 1 (cm) π b) x = 2.sin 2 (2.π .t + ) (cm) 6 c) x = 3.sin(4.π .t ) + 3.cos (4.π .t ) (cm) Chứng minh rằng những chuyển động trên đều là những dao động điều hoà. Xác định biên độ, tần số, pha ban đầu, và vị trí cân bằng của các dao động đó. Giải: π a) x = 5.cos (π .t ) + 1 (cm) ⇒ x − 1 = 5.cos (π .t ) = 5.sin(π .t + ) . (cm) 2 π Đặt x-1 = X. ta có: X = 5.sin(π .t + ) (cm) ⇒ Đó là một dao động điều hoà 2 ω π π Với A = 5(cm); f = = = 0,5( Hz ); ϕ = ( Rad ) 2.π 2.π 2 VTCB của dao động là : X = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇒ x = 1(cm). π π π π π b) x = 2.sin 2 (2.π .t + ) = 1 − cos (4.π .t + ) = 1 + sin(4.π .t + − ) = 1 + sin(4.π .t − ) 6 3 3 2 6 π Đặt X = x-1 ⇒ X = sin(4.π .t − ) ⇒ Đó là một dao động điều hoà. 6 ω 4.π π Với A = 1(cm); f = = = 2( s ); ϕ = − ( Rad ) 2.π 2.π 6 π π π c) x = 3.sin(4.π .t ) + 3.cos (4.π .t ) = 3.2sin(4.π t + ).cos (− ) ⇒ x = 3. 2.sin(4.π .t + )(cm) 4 4 4 4.π π ⇒ Đó là một dao động điều hoà. Với A = 3. 2(cm); f = = 2( s ); ϕ = ( Rad ) 2.π 4 π Bài 8. Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 3cos(2π t − ) , trong đó x tính bằng cm, t tính bằng 3 giây. Gốc thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào? A. Đi qua Vị trí có li độ x = - 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox B. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox C. Đi qua vị trí có li độ x = 1,5 cm và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox D. Đi qua vị trí có li độ x = - 1,5cm và đang chuyển động theo chiều âm trục Ox   π  x0 = 3cos  2π .0 − 3  = 1, 5cm    Giải:  ⇒ Đáp án C v = x ' = −6π sin  2π .0 − π  = 3 3π cm / s > 0  0    3  π Bài 9. Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình: x = 4 cos  17t +  cm ,( t đo bằng giây).  3 Người ta đã chọn mốc thời gian là lúc vật có: A. Tọa độ -2 cm và đang đi theo chiều âm B. tọa độ -2cm và đang đi theo chiều dương C.tọa độ +2cm và đang đi theo chiều dương D. tọa độ +2cm và đang đi theo chiều âm   π  x0 = 4 cos 17.0 + 3  = 2cm    Giải::  ⇒ Đáp án D  v = x = −17.4sin 17.0 + π   = −34 3 < 0 '  0   3 Bài 10. Một vật dao động điều hòa phải mất 0,025s để đi từ điểm có vận tốc bằng không tới điểm tiếp theo cũng có vận tốc bằng không, hai điểm ấy cách nhau 10cm. Chon đáp án Đúng 12
A.chu kì dao động là 0,025s B.tần số dao động là 10Hz C.biên độ dao động là 10cm D.vận tốc cực đại của vật là 2π cm / s T  = 0, 025 T = 2.0, 025 = 0, 05( s ) Giải:  2  2π ⇒  10 ⇒ v m ax = ω . A = . A = 2π m / s A = l  A = = 5 cm = 0, 05 m T  2 2 Bài 11: Một vật dao động điều hòa, ở thời điểm t1 vật có li độ x1 = 1cm, và có vận tốc v1= 20cm/s. Đến thời điểm t2 vật có li độ x2 = 2cm và có vận tốc v2 = 10cm/s. Hãy xác định biên độ, chu kỳ, tần số, vận tốc cực đại của vật? v2 Giải:Tại thời điểm t ta có : x = Acos(ωt + ϕ ) và v = x ' = − Aω sin (ω t+ϕ ) ; Suy ra: A = x + 2 2 ω2 v12 v22 - Khi t = t1 thì: A2 = x12 + (1); - Khi t = t2 thì : A2 = x22 + (2) ω2 ω2 v12 v22 v22 − v12 - Từ (1) và (2) ⇒ x12 + = x22 + ⇒ ω2 = = 100 ⇒ ω = 10( Rad / s ) ω2 ω2 x12 − x22 2π ω 2 Chu kỳ: T = = 0, 628 (s); Tần số: f = = 1, 59 Hz; Biên độ: A = 1 +  20  = 5 (cm) ω 2π  10  Vận tốc cực đại: Vmax = Aω = 10 5 (cm/s) 5 – Trắc nghiệm : Câu 1:Một Con lắc lò xo dao động với phương trình x = 6cos(20πt) cm. Xác định chu kỳ, tần số dao động chất điểm. A. f =10Hz; T= 0,1s . B. f =1Hz; T= 1s. C. f =100Hz; T= 0,01s . D. f =5Hz; T= 0,2s Câu 2. Phương trình dao động có dạng : x = Acos(ωt + π/3). Gốc thời gian là lúc vật có : A. li độ x = A/2, chuyển động theo chiều dương B. li độ x = A/2, chuyển động theo chiều âm C. li độ x = −A/2, chuyển động theo chiều dương. D. li độ x = −A/2, chuyển động theo chiều âm Câu 3. Trong các phương trình sau phương trình nào không biểu thị cho dao động điều hòa ? A. x = 5cosπt + 1(cm). B. x = 3tcos(100πt + π/6)cm C. x = 2sin2(2πt + π/6)cm. D. x = 3sin5πt + 3cos5πt (cm). Câu 4. Phương trình dao động của vật có dạng : x = Asin2(ωt + π/4)cm. Chọn kết luận đúng ? A. Vật dao động với biên độ A/2. B. Vật dao động với biên độ A. C. Vật dao động với biên độ 2A. D. Vật dao động với pha ban đầu π/4. Câu 5. Phương trình dao động của vật có dạng : x = asin5πt + acos5πt (cm). biên độ dao động của vật là : A. a/2. B. a. C. a 2 . D. a 3 . Câu 6. Dưới tác dụng của một lực có dạng : F = 0,8cos(5t − π/2)N. Vật có khối lượng m = 400g, dao động điều hòa. Biên độ dao động của vật là : A. 32cm. B. 20cm. C. 12cm. D. 8cm. Câu 7: Một vật dao động điều hoà với tần số 50Hz, biên độ dao động 5cm, vận tốc cực đại của vật đạt được là A. 50 π cm/s B. 50cm/s C. 5 π m/s D. 5 π cm/s π Câu 8: Một vật dao động điều hoà theo phương trình : x = 10 cos ( 4πt + ) cm. Gia tốc cực đại vật là 3 A. 10cm/s2 B. 16m/s2 C. 160 cm/s2 D. 100cm/s2 Câu 9: Một chất điểm thực hiện dao động điều hoà với chu kỳ T = 3,14s và biên độ A = 1m. Khi chất điểm đi qua vị trí x = -A thì gia tốc của nó bằng: A. 3m/s2. B. 4m/s2. C. 0. D. 1m/s2 –Viết phương trình dao động điều hòa –Xác định các đặc trưng của DĐĐH. Dạng 2– 13
I – Phương pháp 1:(Phương pháp truyền thống) * Chọn hệ quy chiếu : - Trục Ox ……… - Gốc tọa độ tại VTCB - Chiều dương ……….- Gốc thời gian ……… * Phương trình dao động có dạng : x = Acos(ωt + φ) cm * Phương trình vận tốc : v = -ωAsin(ωt + φ) cm/s * Phương trình gia tốc : a = -ω2Acos(ωt + φ) cm/s2 1 – Tìm ω * Đề cho : T, f, k, m, g, ∆l0 2π ∆t - ω = 2πf = , với T = , N – Tổng số dao động trong thời gian ∆t T N Nếu là con lắc lò xo : nằm ngang treo thẳng đứng k g mg g ω= , (k : N/m ; m : kg) ω= , khi cho ∆l0 = = 2. m ∆l0 k ω v a a max vmax Đề cho x, v, a, A : ω = = = = A −x2 2 x A A 2 – Tìm A v 2 * Đề cho : cho x ứng với v ⇒ A= x2 + ( ) . ω - Nếu v = 0 (buông nhẹ) ⇒ A=x v max - Nếu v = vmax ⇒ x = 0 ⇒ A= ω a max CD * Đề cho : amax ⇒ A = * Đề cho : chiều dài quĩ đạo CD ⇒ A = . ω 2 2 Fmax l − l min * Đề cho : lực Fmax = kA. ⇒ A= * Đề cho : lmax và lmin của lò xo ⇒A = max . k 2 2W 1 2 * Đề cho : W hoặc Wdmax hoặc Wt max ⇒A = .Với W = Wđmax = Wtmax = kA . k 2 * Đề cho : lCB,lmax hoặc lCB, lmim ⇒A = lmax – lCB hoặc A = lCB – lmin. 3 - Tìm ϕ (thường lấy – π < φ ≤ π) : Dựa vào điều kiện ban đầu  x  co s ϕ = 0 x = Acos ϕ  A * Nếu t = 0 : - x = x0 , v = v0 ⇒  0 ⇒  ⇒ φ= ? v  0 = −A ω sin ϕ  sin ϕ = v 0  ωA a 0 = −Aω cos ϕ 2 v - v = v0 ; a = a 0 ⇒  ⇒ tanφ = ω 0 ⇒φ=?  v0 = −Aωsin ϕ a0  π  cos ϕ = 0  ϕ=±  = ϕ  ⇒  0 Acos 2 Đặc biệt: + x0 = 0, v = v0 (vật qua VTCB)⇒  ⇒  v0 v  0 = −Aω sin ϕ  A = − > 0 v A = / 0 /  ω sin ϕ  ω  x0 x 0 = Acos ϕ A = >0  ϕ = 0; π + x = x0, v = 0 (vật qua VT biên )⇒  ⇒  cosϕ ⇒  0 = −Aωsin ϕ sin ϕ = 0  A = /x o /   x = A cos(ωt1 + ϕ) a = −Aω cos(ωt1 + ϕ) 2 * Nếu t = t1 :  1 ⇒φ =? hoặc  1 ⇒φ =?  v1 = −Aω sin(ωt1 + ϕ) v1 = −Aωsin(ωt1 + ϕ) Lưu ý :– Vật đi theo chiều dương thì v > 0 → sinφ < 0; đi theo chiều âm thì v < 0→ sinϕ > 0. – Trước khi tính φ cần xác định rõ φ thuộc góc phần tư thứ mấy của đường tròn lượng giác 4 – Bài tập : 14
Bài 1. Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là : A. x = 4cos(2πt − π/2)cm. B. x = 4cos(πt − π/2)cm. C. x = 4cos(2πt + π/2)cm. D. x = 4cos(πt + π/2)cm. Giải: ω = 2πf = π. và A = 4cm ⇒ loại B và D.  π 0 = cos ϕ ϕ=± t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 :  ⇒  2 chọn φ = −π/2 ⇒ x = 4cos(2πt − π/2)cm. Chọn : A v0 = −Aωsin ϕ > 0 sin ϕ < 0 Bài 2. Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz. Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là : A. x = 2cos(20πt + π/2)cm. B. x = 2cos(20πt − π/2)cm. C. x = 4cos(20t − π/2)cm. D. x = 4cos(20πt + π/2)cm. Giải: ω = 2πf = π. và A = MN /2 = 2cm ⇒ loại C và D.  π 0 = cos ϕ ϕ = ± t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 :  ⇒  2 chọn φ =−π/2 ⇒ x =2cos(20πt − π/2)cm. Chọn : B v0 = −Aωsin ϕ > 0 sin ϕ < 0 Bài 3. Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc ω = 10π(rad/s). Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm. Chọn gố tọa độ tại VTCB. chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Phương trình dao động của vật là : A. x = 2cos(10πt + π)cm. B. x = 2cos(0,4πt)cm. C. x = 4cos(10πt − π)cm. D. x = 4cos(10πt + π)cm. l max − l min Giải: ω = 10π(rad/s) và A = = 2cm. ⇒ loại B 2 −2 = 2cos ϕ cosϕ < 0 t = 0 : x0 = −2cm, v0 = 0 :  ⇒  chọn φ = π ⇒ x = 2cos(10πt + π)cm. Chọn : A 0 = sin ϕ ϕ = 0 ; π Bài 4. Một chất điểm dđ đh dọc theo trục ox quanh VTCB với biên độ 2cm chu kỳ 2s. Hãy lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc: a. Vật ở biên dương; b. Vật ở biên âm c. Vật đi qua VTCB theo chiều dương ; d.Vật đi qua VTCB theo chiều âm 2.π Giải: ω = = π rad/s T a . t0=0 thì  x 0 = A = A c o s φ  suy ra  co s φ = 1     ⇒ φ = 0 ta có x=2.cos( π .t ) cm  v 0 = − ω . A . sin φ = 0   sin φ = 0  b. t0=0 thì  x 0 = − A = A cos φ  suy ra  cos φ = − 1  ⇒ φ = π ta có phương trình x=2cos( π .t + π ) cm  v 0 = − ω . A . sin φ = 0   sin φ = 0   π c. t0=0  x 0 = 0 = A cos φ  π ;  cos φ = ±  π => x=2cos( π .t − π ) cm  ⇒ φ = −  2⇒φ =−  v 0 = − ω . A. sin φ > 0  2  2 2  sin φ < 0  π c. t0=0  x 0 = 0 = A cos φ  π  π   ⇒ φ = ;  c o s φ = ± 2  ⇒ φ = π => x=2cos( π .t + ) cm  v 0 = − ω . A . sin φ < 0  2  s in φ > 0  2 2   Bài 5. Một chất điểm dao động điều hoà dọc theo trục Õ quanh VTCB O với biên độ 4 cm, tần số f=2 Hz .hãy lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc a. chất điểm đi qua li độ x0=2 cm theo chiều dương b. chất điểm đi qua li độ x0= -2 cm theo chiều âm  x0 = 2 = 4 cos ϕ  π π Giải:a. t0=0 thì  ⇒ϕ = − => x=4cos(4 π .t − ) cm v0 = −4π .4. sin ϕ > 0 3 3  x = − 2 = 4 cos ϕ  2 .π b. . t0=0 thì  0 ⇒ϕ = v 0 = − 4π .4 . sin ϕ < 0  3 Bài 6. Một chất điểm d đ đ hdọc theo trục Ox quanh vị trí cân bằng O với ω = 10rad / s a. Lập phương trình dao động nếu chọn mốc thời gian t0=0 lúc chất điểm đi qua li độ x0=-4 cm theo chiều âm với vận tốc 40cm/s b. Tìm vận tốc cực đại của vật 15
 − 4 π Giải: a. t0=0 thì  x 0 = − 4 = A cos ϕ   cos ϕ = A  suy ra ϕ = − , A = 4 2 cm   ⇒   4 v  0 = − 40 = − 10 . A . sin ϕ < 0   sin ϕ = − 4   A  b. vmax= ω. A = 10.4. 2 = 40. 2 Bài 7: Một vật dao động điều hoà trên trục Ox với tần số f = 4 Hz, biết toạ độ ban đầu của vật là x = 3 cm và sau đó 1/24 s thì vật lại trở về toạ độ ban đầu. Phương trình dao động của vật là A. x = 3 3 cos(8πt – π/6) cm. B. x = 2 3 cos(8πt – π/6) cm. C. x = 6cos(8πt + π/6) cm. D. x = 3 2 cos(8πt + π/3) cm. Giải :Vẽ vòng lượng giác so sánh thời gian đề cho với chu kì T sẽ xác định được vị trí ban đầu của vật ở thời điểm t = 0 và thời điểm sau 1/24s Ta có: T = 1/f = 1/4s > ∆t = 1/ 24 => vật chưa quay hết được một vòng Dễ dàng suy ra góc quay ∆α = 2 |ϕ| = ω∆t = 8π/24= π/3 ϕ Vì đề cho x = 3cm => góc quay ban đầu là ϕ = – π/6 Biên độ A = x/ cosϕ = 3/ ( 3 /2) = 2 3 cm=> Chọn B 5 – Trắc nghiệm : Câu 1: Một vật dđđh trên quĩ đạo có chiều dài 8 cm với tần số 5 Hz. Chọn gốc toạ độ O tại VTCB, gốc thời gian t=0 khi vật ở vị trí có li độ dương cực đại thì Phương trình dao động của vật là: A. . x= 8cos( πt + π / 2) (cm); B. x= 4cos10 πt (cm). C. x= 4cos(10 πt + π / 2) (cm); D. x= 8cos πt (cm). Câu 2: Một vật có k.lượng m= 1 kg dđđh với chu kì T= 2 s. Vật qua VTCB với vận tốc v0= 31,4 cm/s. Khi t=0, vật qua vị trí có li độ x = 5 cm ngược chiều dương quĩ đạo. Lấy π 2=10. Phương trình dao động của vật là: A. x = 10cos( πt + 5π / 6) (cm); B. x = 10cos( πt + π / 6) (cm); C . x = 10cos( πt − π / 6) (cm); D. đáp án khác * Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm v? vmax? a? amax? Fmax?... Câu 3: Con lắc lò xo dđđh với tần số góc 10 rad/s. Lúc t = 0, hòn bi của con lắc đi qua vị trí có li độ x= 4 cm, với vận tốc v = - 40cm/s. Viết Phương trình dao động . A. x=4 2 cos(10t + 3π / 4) (cm) ; B. x= 8 cos(10t + 3π / 4) (cm) ; C. x=4 2 cos(10t − π / 4) (cm) . D. đáp án khác Câu 4: Một vật dao động với biên độ 6(cm). Lúc t = 0, con lắc qua vị trí có li độ x = 3 2 (cm) theo chiều dương 2 với gia tốc có độ lớn (cm/s2). Phương trình dao động của con lắc là: 3  t π  t π A. x = 6cos9t(cm) B. x = 6 cos  −  (cm) C. x = 6 cos  +  (cm) D. 3 4 3 4  π x = 6 cos  3t +  (cm)  3 Câu 5: Một vật dao động điều hoà khi qua vị trí cân bằng vật có vận tốc v = 20 cm/s. Gia tốc cực đại của vật là amax= 2m/s2. Chọn t = 0 là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm của trục toạ độ. Phương trình dao động của vật là : A. x = 2cos(10t + π) cm. B. x = 2cos(10t + π/2) cm. C. x = 2cos(10t – π/2) cm. D. x = 2cos(10t) cm. Câu 6: Một con lắc lò xo dao động điều hoà với chu kỳ T = 5 s. Biết rằng tại thời điểm t = 5s quả lắc có li độ x = 2 2 cm và vận tốc v = π cm / s. Phương trình dao động của con lắc lò xo có dạng như thế nào ? 2 5  2π π  2π π  2π π  2π π A. x = 2 cos  t −  B. x = 2 cos  t+  C. x = cos  t−  D. x = cos  t+   5 2  5 2  5 4  5 4 II– Phương pháp 2: Dùng số phức biểu diễn hàm điều hòa (NHỜ MÁY TÍNH fX 570MS; 570ES; 570ES Plus;VINACAL 570Es Plus)  x(0) = A cos ϕ = a  x = A cos(ω .t + ϕ ) t =0  x(0) = A cos ϕ  1- Cơ sở lý thuyết:  →  ⇔  v(0 )  v = −ω A sin(ω .t + ϕ )  v(0) = −ω A sin ϕ − = A sin ϕ = b  ω 16
 a = x(0) Vậy x = A c o s ( ω t + ϕ ) ←  t=0 → x = a + b i,   v(0 ) b = −  ω  a = x( 0 ) 2- Phương pháp SỐ PHỨC: t = 0 có:  v( 0 ) v( 0 ) ⇒ x = x( 0 ) − i → A ∠ ϕ ⇒ x = A cos(ω t + ϕ ) b = − ω  ω v( 0 ) 3.- Thao tác máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, R (radian), Bấm nhập : x ( 0 ) − i = ω - Với máy fx 570ES : bấm tiếp SHIFT, 2 , 3, = máy sẽ hiện A ∠ ϕ , đó là biên độ A và pha ban đầu ϕ. -Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT, + ( ⊳ r∠θ ( A∠θ ) ), = (Re-Im) máy hiện A, sau đó bấm SHIFT, = (Re-Im) máy sẽ hiện ϕ. 4. Chú ý các vị trí đặc biệt: (Hình vòng tròn lượng giác) Vị trí của vật Phần Phần ảo: bi Kết quả: Phương trình: II lúc đầu t=0 thực: a a+bi = A∠ϕ x=Acos(ωt+ϕ) Biên dương(I): a=A 0 A∠0 x=Acos(ωt) x0 = A; v0 = 0 Theo chiều âm (II): a=0 bi = Ai A∠ π/2 x=Acos(ωt+π/2) x0 = 0 ; v0 < 0 -A O X0 Ax ϕ I Biên âm(III): a = -A 0 A∠ π x=Acos(ωt+π) III x0 = - A; v0 = 0 Theo chiều dương a=0 bi= -Ai A∠- π/2 x=Acos(ωt-π/2) (IV): x0 = 0 ;v0 > 0 Vị trí bất kỳ: a= x0 v0 A∠ ϕ x=Acos(ωt+ϕ) M bi = − i IV ω Hình Vòng Tròn LG 5. Chọn chế độ thực hiện phép tính về số phức của máy tính: CASIO fx–570ES, 570ES Plus Các bước Chọn chế độ Nút lệnh Ý nghĩa- Kết quả Chỉ định dạng nhập /xuất toán Bấm: SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math Thực hiện phép tính về số phức Bấm: MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX ∠θ Hiển thị dạng toạ độ cực: r∠ Bấm: SHIFT MODE 3 2 Hiển thị số phức dạng r ∠θ Hiển thị dạng đề các: a + ib. Bấm: SHIFT MODE 3 1 Hiển thị số phức dạng a+bi Chọn đơn vị đo góc là độ (D) Bấm: SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D Chọn đơn vị đo góc là Rad (R) Bấm: SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R Nhập ký hiệu góc ∠ Bấm SHIFT (-) Màn hình hiển thị kí hiệu: ∠ v( 0 ) -Thao tác trên máy tính (fx 570MS;570ES): Mode 2, và dùng đơn vị R (radian), Bấm nhập : x ( 0 ) − i ω - Với máy fx 570ES : Muốn xuất hiện biên độ A và pha ban đầu ϕ: Làm như sau: Bấm SHIFT 2 màn hình xuất hiện như hình bên Nếu bấm tiếp phím 3 = kết quả dạng cực (r ∠ θ ) Nếu bấm tiếp phím 4 = kết quả dạng phức (a+bi ) ( đang thực hiện phép tính ) -Với máy fx 570MS : bấm tiếp SHIFT + ( ⊳ r∠θ ( A∠θ ) ), = (Re-Im): hiện A, SHIFT = (Re-Im) : hiện ϕ. 6- Thí dụ: Ví dụ 1.Vật m dao động điều hòa với tần số 0,5Hz, tại gốc thời gian nó có li độ x(0) = 4cm, vận tốc v(0) = 12,56cm/s, lấy π = 3,14 . Hãy viết phương trình dao động. Giải: Tính ω= 2πf =2π.0,5= π (rad/s) 17
a = x(0) = 4  π π t = 0: v(0) ⇒ x = 4 − 4i . bấm 4 - 4i, = SHIFT 23 =→ 4 2 ∠ − ⇒ x = 4 2 cos(π t − )cm b = − = −4 4 4  ω Ví dụ 2 . Vật m gắn vào đầu một lò xo nhẹ, dao động điều hòa với chu kỳ 1s. người ta kích thích dao động bằng cách kéo m khỏi vị trí cân bằng ngược chiều dương một đoạn 3cm rồi buông. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc buông vật, hãy viết phương trình dao động. Giải: Tính ω= 2π/T=2π/1= 2π (rad/s) a = x(0) = −3  t = 0: v(0) ⇒ x = −3; ; bấm -3,= b = − = 0  ω SHIFT 23 =→ 3 ∠ π ⇒ x = 3 cos(2π t + π )cm Ví dụ 3. Vật nhỏ m =250g được treo vào đầu dưới một lò xo nhẹ, thẳng đứng k = 25N/m. Từ VTCB người ta kích thích dao động bằng cách truyền cho m một vận tốc 40cm/s theo phương của trục lò xo. Chọn gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian lúc m qua VTCB ngược chiều dương, hãy viết phương trình dao động. Giải: a = x(0) = 0 k  ω= = 10rad / s ;  v(0) ⇒ x = 4i ; bấm m b = − = 4  ω π π 4i,= SHIFT 2 3 =→ 4 ∠ ⇒ x = 4 cos(10t + )cm 2 2 III–Các bài tập : Bài 1: Một vật dao động điều hòa có biên độ A = 24 cm ,chu kỳ T= 4 s Tại thời điểm t = 0 vật có li độ cực đại âm (x = -A) a) Viết phương trình dao động điều hòa x ? b) Tình x ? v ? a ? ở thời điểm t = 0 ,5s HD Giải: a) ω = 2π π (rad/s) Tại t = 0  x0 = − A = A cos ϕ ⇒ cos ϕ = − 1 ⇒ ϕ = π => =  T 2  v0 = 0 = −ω A sin ϕ ⇒ sin ϕ = 0 x = 24 cos  π  t + π  (cm ) 2  a = x(0) = −A = −24  Cách 2: dùng máy tính :  v(0) ⇒ x = −24 ; Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian), b = − = 0  ω π Nhập: -24 = SHIFT 2 3 =→ 24 ∠ π ⇒ x = 24 cos( t + π )cm 2 b) x = 24 cos  π .0,5 + π  = − 16,9( cm ) ; v = − 24 π sin 5π = ( − 12π )( − 2 ) = 26, 64 cm / s 2  2 4 2 Bài 2: Một lò xo khối lượng không đáng kể có k = 200 N/m.Đầu trên giữ cố định đầu dưới treo vật nặng có m = 200g, vật dao động thẳng đứng có vận tốc cực đại 62,8 cm/s. Viết Phương trình dao động dao động của vật. HD Giải: Từ PT dđđh x = Acos (ωt + ϕ ) . Xác định A, ω , ϕ ? K 200 * ω= = = 10 10 = 10 π 2 = 10π rad/s (trong đó m = 200g = 0,2 kg) m 0,2 v 62,8 * vmax= A ω => A = max = = 2 (cm) ω 10π * Điều kiện ban đầu t = 0, x = 0, v > 0 0 = Acos ϕ Suy ra ϕ = ± π/2 v = -ωAsin ϕ > 0 Suy ra ϕ < 0 => ϕ = - π/2 => x = 2cos( 10πt -π π/2) (cm) 18
Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R: Radian), π π π Nhập: −2i = SHIFT 2 3 = ketqua : 2 ∠ − ⇒ x = 2 cos( t − )cm 2 2 2 Bài 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 4cm và T = 2s. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là : A. x = 4cos(2πt - π/2)cm. B. x = 4cos(πt - π/2)cm. C. x = 4cos(2πt -π/2)cm. D. x = 4cos(πt + π/2)cm. HD Giải: ω = 2πf = π. Và A = 4cm ⇒ loại A và C.  π 0 = cos ϕ ϕ = ± t = 0 : x0 = 0, v0 > 0 :  ⇒  2 chọn φ = - π/2 Chọn : B v0 = −Aωsin ϕ > 0 sin ϕ < 0 Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian), π π π Nhập: −4i , = SHIFT 2 3 =→ 4 ∠ − ⇒ x = 4 cos( t − )cm 2 2 2 Bài 4: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với f = 10Hz. Lúc t = 0 vật qua VTCB theo chiều âm của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là : A. x = 2cos(20πt - π/2)cm. B. x = 2cos(20πt + π/2)cm. C. x = 4cos(20t -π/2)cm. D. x = 4cos(20πt + π/2)cm. HD Giải: ω = 2πf = 20π. Và A = MN /2 = 2cm ⇒ loại C và D.  π 0 = cos ϕ ϕ=± t = 0 : x0 = 0, v0 < 0 :  ⇒  2 chọn φ =- π/2 Chọn : B v0 = −Aωsin ϕ < 0 sin ϕ > 0 Dùng Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian), π π π Nhập: 2i , = SHIFT 2 3 =→ 2 ∠ ⇒ x = 4 cos( t + )cm 2 2 2 Bài 5: Một lò xo đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m. Vật dao động theo phương thẳng đứng với tần số góc ω = 10π(rad/s). Trong quá trình dao động độ dài lò xo thay đổi từ 18cm đến 22cm. Chọn gốc tọa độ O tại VTCB. Chiều dương hướng xuống, gốc thời gian lúc lò xo có độ dài nhỏ nhất. Phương trình dao động của vật là : A. x = 2cos(10πt + π)cm. B. x = 2cos(0,4πt)cm. C. x = 4cos(10πt + π)cm. D. x = 4cos(10πt + π)cm. l − l min HD Giải: ω = 10π(rad/s) và A = max = 2cm. ⇒ loại B 2 −2 = 2cos ϕ cosϕ < 0 t = 0 : x0 = -2cm, v0 = 0 :  ⇒ chọn φ = π ⇒ x = 2cos(10πt + π)cm. Chọn :A 0 = sin ϕ ϕ = 0 ; π Máy Fx570Es bấm: Mode 2, Shift Mode 4 (R:radian), π Nhập: -2 = SHIFT 2 3 = ketqua : 2 ∠ π ⇒ x = 2 cos( t + π )cm 2 Bài 6: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 5cm, chu kỳ T = 0,5s. Viết phương trình dao động của con lắc trong các trường hợp: a) t = 0 , vật qua VTCB theo chiều dương. b) t = 0 , vật cách VTCB 5cm, theo chiều dương. c) t = 0 , vật cách VTCB 2,5cm, đang chuyển động theo chiều dương. HD Giải: Phương trình dao động có dạng : x = A.co s(ω.t + ϕ ) . Phương trình vận tốc có dạng : v = x ' = − A.ω.sin(ω.t + ϕ ) . 2.π 2.π Vận tốc góc : ω= = = 4π ( Rad / s ) . T 0,5 x0 = A.co s ϕ 0 = 5.co s ϕ π a) t = 0 ; ⇔ ⇒ ϕ = −π / 2 . Vậy x = 5.co s(4.π .t − ) (cm). v0 = − A.ω.sin ϕ v0 = −5.4.π .sin ϕ ≻ 0 2 x0 = A.co s ϕ 5 = 5.co s ϕ b) t = 0 ; ⇔ ⇒ϕ = 0. v0 = − A.ω.sin ϕ v0 = −5.4.π .sin ϕ ≻ 0 Vậy: x = 5.co s(4.π .t ) (cm). 19
x0 = A.co s ϕ 2,5 = 5.co s ϕ π c) t = 0 ; ⇔ ⇒ϕ = − (rad ) . v0 = − A.ω.sin ϕ v0 = −5.4.π .s inϕ ≻ 0 3 π Vậy: x = 5.co s(4.π .t − ) (cm). 3 Bài 7: Một con lắc lò xo dao động với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 0, vật qua vị trí có li độ x = −5. 2 (cm) với vận tốc v = −10.π . 2 (cm/s). Viết phương trình dao động của con lắc. HD Giải: Phương trình dao động có dạng : x = A.co s(ω.t + ϕ ) . Phương trình vận tốc có dạng : v = x ' = − A.ω.sin(ω.t + ϕ ) . 2.π 2.π Vận tốc góc : ω= = = 2π ( Rad / s ) . T 1 v2 v2 (−10.π . 2) 2 ADCT : A2 = x 2 + ⇒ A = x2 + = (−5. 2) 2 + = 10 (cm). ω2 ω2 (2.π )2 x = A.co s ϕ −5. 2 = A.co s ϕ Điều kiện ban đầu : t = 0 ; ⇔ v = − A.ω.sin ϕ −10.π . 2 = − A.2.π .s inϕ 3.π 3π ⇒ tan ϕ = −1 ⇒ ϕ = (rad ) . Vậy x = 10.co s(2.π .t + ) (cm). 4 4 Bài 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox. Lúc vật qua vị trí có li độ x = − 2 (cm) thì có vận tốc v = −π . 2 (cm/s) và gia tốc a = 2.π 2 (cm/s2). Chọn gốc toạ độ ở vị trí trên. Viết phương trình dao động của vật dưới dạng hàm số cosin. HD Giải: Phương trình có dạng : x = A.cos( ω.t + ϕ ). Phương trình vận tốc : v = - A. ω.sin(ω.t + ϕ ) . Phương trình gia tốc : a= - A. ω 2 .cos (ω.t + ϕ ) . Khi t = 0 ; thay các giá trị x, v, a vào 3 phương trình đó ta có : x = − 2 = A.cosϕ ; v = −π . 2 = − A.ω.sin ϕ ; a = π 2 . 2 = −ω 2 . Acosϕ . Lấy a chia cho x ta được : ω = π ( rad / s ) . 3.π Lấy v chia cho a ta được : tan ϕ = −1 ⇒ ϕ = (rad ) (vì cosϕ < 0 ) 4 3.π ⇒ A = 2cm . Vậy : x = 2.co s(π .t + ) (cm). 4 Bài 9: Vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại 40 cm/s. Tại vị trí có li độ x0 = 2 2(cm) vật có động năng bằng thế năng. Nếu chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí này theo chiều dương thì phương trình dao động của vật là ω A = 40 ω A = 40  A = 4  π  A = 4  π HD Giải:  A 2 ⇒ ⇒ x = 4 cos 10t −  A 2 ⇒ ⇒ x = 4 cos 10t −  cm  = 2 2 ω = 10  4  = 2 2 ω = 10  4  2  2 Bài 10: Một vật có khối lượng m = 100g được treo vào đầu dưới của một lò xo có độ cứng k = 100(N/m). Đầu trên của lò xo gắn vào một điểm cố định. Ban đầu vật được giữ sao cho lò xo không bị biến dạng. Buông tay không vận tốc ban đầu cho vật dao động. Viết phương trình dao động của vật (dạng sin) . Lấy g = 10 (m/s2); π 2 ≈ 10 . k 100 HD Giải: Ta có tần số góc : ω = = = 10.π (Rad/s). m 0,1 m.g 0,1.10 Tại VTCB lò xo dãn ra một đoạn là : ∆l = = = 10−2 (m) = 1cm ⇒ A = ∆l = 1cm . k 100 Phương trình dao động có dạng : x = A.sin(ω.t + ϕ ) Điều kiện ban đầu t = 0 , giữ lò xo sao cho nó không biến dạng tức x0 = - ∆l . x0 = −∆l = −1 = A.sin ϕ π π Ta có :t = 0 ; ⇒ ϕ = − (rad ) . Vậy : x = sin(10.π .t − ) (cm). v0 = A.ω.cosϕ ≻ 0 2 2 20