intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
171
lượt xem 13
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề : tính đơn điệu của hàm số', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số

  1. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là    Đồng biến trên K nếu với mọi x 1, x 2  K , x 1  x 2  f x 1  f x 2 ;  f  x   f x  .  Nghịch biến trên K nếu với mọi x 1, x 2  K , x 1  x 2 1 2 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I   Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x  0 với mọi x  I ; I thì f '  x   0 với mọi x  I .  Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange):   Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm trên khoảng a;b thì tồn tại ít nhất một điểm c  a;b       sao cho f b  f a  f ' c b  a . Định lý 2 : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó :   Nếu f ' x  0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ;  Nếu f '  x   0 với mọi x  I thì hàm số f không đổi trên khoảng I .  Chú ý :    Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm f ' x  0 trên khoảng a;b thì hàm số f đồng biến  trên a;b  .     Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm f ' x  0 trên khoảng a;b thì hàm số f nghịch  biến trên a;b  .  5
  2. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh BÀI TOÁN GIÁO KHOA Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 13  c) f x  x 3  3x 2  3x  2  x  3x 2  8x  2 a) f x  3 13 12  d) f x  x  x  2x  2 x 2  2x  3 2 b) f x  x 1 Giải : 13  x  3x 2  8x  2 a) f x  3 Hàm số đã cho xác định trên  .  Ta có f ' x  x 2  6x  8  f ' x  0  x  2, x  4 Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : x 2 4    0 0 f' x   f x        Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;2 và 4;  , nghịch biến trên khoảng 2; 4 x 2  2x  b) f x  x 1  Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ 1 . 2 x  1  1  0, x  1 x 2  2x  2  Ta có f ' x   2 2 x  1 x  1 Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : x 1    f' x      fx      Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;  6
  3. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh  c) f x  x 3  3x 2  3x  2 Hàm số đã cho xác định trên  . 2    Ta có f ' x  3x 2  6x  3  3 x  1   f ' x  0  x  1 và f ' x  0 với mọi x  1   Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 và  1;  nên hàm số đồng biến trên  .   Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : x 1    0 f' x   f x   1    Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 và  1;  nên hàm số đồng biến trên  .   1 1  d ) f x  x 3  x 2  2x  2 Tương tự bài a ) 3 2 Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 4 2  a ) f x  2x 3  3x 2  1  c) f x   x 3  6x 2  9x  3 3 f x   x 4 2 b)  2x  5 f x   2x  x 2 d) Giải :  a ) f x  2x 3  3x 2  1 Hàm số đã cho xác định trên  .  Ta có f ' x  6x 2  6x           f ' x  0, x  ; 1 , 0;   f x đồng biến trên mỗi khoảng ; 1 và 0;  . f '  x   0, x   1; 0   f x  nghịch biến trên khoảng  1; 0  .  Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' x  0 , tìm ra hai nghiệm x  1, x  0 , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận.  b) f x  x 4  2x 2  5 Hàm số đã cho xác định trên  . 7
  4. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh  Ta có f ' x  4x 3  4x          f ' x  0, x  1; 0 , 1;   f x đồng biến trên mỗi khoảng 1; 0 và 1;  . f '  x   0, x   ; 1 ,  0;1  f x  nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1 và  0;1 .  Ngoài ra : Học sinh có thể giải f ' x  0 , tìm ra hai nghiệm x  1, x  0, x  1 , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 4 2  c) f x   x 3  6x 2  9x  3 3 Hàm số đã cho xác định trên  . 2    Ta có f ' x  4x 2  12x  9   2x  3 3 3   f' x 0x  và f ' x  0 với mọi x  2 2 3 3    ;   nên hàm số nghịch biến trên  . Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  ;  và 2 2    d ) f x  2x  x 2 Hàm số đã cho xác định trên  0;2  .  1x   Ta có f ' x  , x  0;2 2x  x 2      0;1 ; f ' x  0, x  0;1  f x đồng biến trên khoảng f '  x   0, x  1;2   f  x  nghịch biến trên khoảng 1;2  . Hoặc có thể trình bày :     f ' x  0, x  0;1  f x đồng biến trên đoạn  0;1 ;  f '  x   0, x  1;2   f  x  nghịch biến trên đoạn 1;2  .  Ví dụ 3:  Chứng minh rằng hàm số f x  4  x 2 nghịch biến trên đoạn  0;2   Giải : x  Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn  0;2  và có đạo hàm f ' x   0 với mọi  4  x2  x  0;2 . Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn  0;2  .  Ví dụ 4: 8
  5. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh  1. Chứng minh rằng hàm số f x  x 3  x  cos x  4 đồng biến trên  . 2 . Chứng minh rằng hàm số f  x   cos 2x  2x  3 nghịch biến trên  . Giải : 1. Hàm số đã cho xác định trên  .  Ta có f ' x  3x 2  1  sin x  Vì 3x 2  0, x   1  sin x  0, x   nên f ' x  0, x   . Do đó hàm số đồng biến trên  . 2. Hàm số đã cho xác định trên  .      Ta có f ' x  2 sin 2x  1  0, x   và f ' x  0  sin 2x  1  x    k , k   4      Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn    k  ;   k  1   , k   . Do đó hàm số nghịch biến trên 4 4  . Ví dụ 5:    Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f x  sin x trên khoảng 0;2 . Giải :      Hàm số đã cho xác định trên khoảng 0;2 và có đạo hàm f ' x  cos x , x  0;2 . 3     f ' x  0, x  0;2  x  ,x  2 2 Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 3  x 0 2 2 2  0  0 f' x  f x  0 1 0 1  3   3     Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  0;  và  ;2  , nghịch biến trên khoảng  ; .  2 2 2 2   Ví dụ 6: 9
  6. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh   Chứng minh rằng : sin x  t a n x  2x , x   0;  .  2 Giải :    Xét hàm số f x  sin x  t a n x  2x liên tục trên nửa khoảng  0;  .Ta có :  2 1 1      2  cos2 x  f ' x  cos x   2  0, x   0;   f x là hàm số đồng biến trên cos2 x cos2 x  2          0;  và f x  f 0 , x   0;  hay sin x  t a n x  2x , x   0;  (đpcm).  2  2  2 Ví dụ 7: Chứng minh rằng   x2 x 4  1. sin x  x , x  0;  3. cos x  1  , x  (0; )   2 2 24 2 3 x3  sin x    2. sin x  x  ,x  (0; )   cos x , x  (0; ) 4.  3! 2 x 2 Giải :   1. sin x  x , x  0;   2   Xét hàm số f (x )  sin x  x liên tục trên đoạn x   0;   2     Ta có: f '(x )  cos x  1  0 ,x   0;   f (x ) là hàm nghịch biến trên đoạn  0;  .  2  2   Suy ra f (x )  f (0)  0  sin x  x x  0;  (đpcm).  2 x3  2. sin x  x  ,x  (0; ) 3! 2 x3   Xét hàm số f (x )  sin x  x  liên tục trên nửa khoảng x  0;  . 6  2 x2   Ta có: f '(x )  cos x  1   f "(x )   sin x  x  0 x  0;  (theo câu 1) 2  2      f '(x )  f '(0)  0 x   0;   f (x )  f (0)  0 x   0;   2  2 x3    sin x  x  , x   0;  (đpcm). 3!  2 10
  7. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh x2 x 4  3. cos x  1  , x  (0; )  2 24 2 x2 x 4   Xét hàm số g(x )  cos x  1  liên tục trên nửa khoảng x  0;   2 24  2 x3     Ta có: g '(x )   sin x  x   0 x  0;  (theo câu 2)  g(x )  g (0)  0 x   0;  6  2  2 x2 x4    cos x  1  , x   0;  (Đpcm).  2 24  2 3  sin x     cos x , x  (0; ) 4.  x 2 x3   Theo kết quả câu 2, ta có: sin x  x  , x   0;  6  2 3 3 x2   x2 x2 x4 x6 sin x  sin x  1 1   1       x x 6 6 2 12 216   3 x2 x4 x4 x2  sin x  1  (1  )    x 2 24 24 9 3 x2 x2 x4  sin x    Vì x   0;   1  0 1   x  2 9 2 24 x2 x4    cos x ,x   0;  Mặt khác, theo câu 3: 1   2 24  2 3  sin x      cos x ,x   0;  (đpcm). Suy ra  x  2 Ví dụ 8: Chứng minh rằng 1 1 4   , x   0;  1   2 sin2 x x 2 2 Giải : 1 1   Xét hàm số f (x )  liênt ục trên nửa khoảng x   0;  .   2 sin2 x x2 2(x 3 cos x  sin 3 x ) 2 cos x 2 Ta có: f '(x )     . 3 3 3 3 sin x x x sin x 3  sin x      cos x ,x   0;  Theo kết quả câu d của ví dụ7 , ta có:  x  2 11
  8. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh      x 3 cos x  sin 3 x  0 ,x   0;   f '(x )  0 ,x   0;   2  2 4      f (x )  f    1  , x   0;  2  2 2 1 1 4   , x   0;  (đpcm). 1 Do vậy:   2 sin2 x x2 2 Ví dụ 9: 3 x 1  . Chứng minh rằng 22. sin x  2t a n x  2 2 Với 0  x  . 2 Giải : 1 sin x  t a n x 2. sin x ta n x 2 sin x ta n x 2 Ta có: 2 2  2. 2 .2  2.2 3x 1 sin x  t a n x 1 3  2 22 t a n x  x x  [0; ) .  sin x  Ta chứng minh: 2  2 2 2 3x 1   Xét hàm số f x  sin x  t a n x  liên tục trên nửa khoảng 0  x  . 2 2 2 3 2 cos3 x  3 cos2 x  1 1 Ta có: f , x  cos x     2 2. cos2 x 2 cos2 x (cos x  1)2 (2 cos x  1)   0 , x  [0; ) .  2 2 2 cos x 1 3    f (x ) đồng biến trên [0; )  f (x )  f (0)  0  sin x  tan x  x x  [0; ) (đpcm). 2 2 2 2 Ví dụ 10: Chứng minh rằng x4  x  1  0 ,  x . Giải : Xét hàm số f (x )  x 4  x  1 liên tục trên  . 1 Ta có f '(x )  4x 3  1 và f '(x )  0  x  . 3 4 1 Vì f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua , do đó 3 4 1 1 1 min f (x )  f ( ) 1  0  3 43 4 3 4 4 Vậy f (x )  0 , x . Ví dụ 11: Chứng minh rằng 12
  9. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 1. ex  1  x , x x2 2. e x  1  x  , x  0 2 Giải : 1. ex  1  x , x Xét hàm số f (x )  e x  x  1 liên tục trên  . Ta có: f '(x )  e x  1  f '(x )  0  x  0 Lập bảng biến thiên, ta thấy f (x )  f (0)  0 x . x2 2. e x  1  x  , x  0 2 x2 Xét hàm số f (x )  e x  1  x   liên tục trên nửa khoảng  0;   2 Ta có: f '(x )  e x  1  x  0 x (theo kết quả câu 1)  f (x )  f (0)  0 x  0 đpcm. Ví dụ 11: Tìm tất cả các giá trị của a để : a x  1  x x  0 (1). Giải : (1)  f (x )  a x  x  1  0 với x  0 (2). Ta có: f (x ) là hàm liên tục trên [0; ) và có f '(x )  a x ln a  1 .  Nếu 0  a  1  ln a  0  f '(x )  0 x  0  f(x) nghịch biến.  f (x )  f (0)  0 x  0  mâu thuẫn với (2).  a  1 không thỏa yêu cầu bài toán.  Nếu a  e  a x ln a  1  ex  1  0 x  0  f (x ) là hàm đồng biến trên [0; )  f (x )  f (0)  0 x  0  a  e thỏa yêu cầu bài toán.  1  a  e , khi đó f '(x )  0  x  x 0   loga (ln a )  0 và f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 , dẫn đến min f (x )  f (x 0 ) x 0 1  f (x )  0 x  0  f (x 0 )  0   loga (ln a )  1  0 ln a ln(ln a ) 1  1  0  1  ln(ln a )  ln a  0   ln a ln a e ln a  0  e ln a  a  e ln a  a  0 (3).  ln a Xét hàm số g(a )  e ln a  a với 1  a  e , ta có: e g '(a )   1  0 a  (1; e)  g(a )  g (e)  0 a  (1; e) mâu thuẫn với (3)  1  a  e không thỏa a yêu cầu bài toán. Vậy a  e . 13
  10. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh Ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn về dạng toán này ở chuyên đề “ Mũ – Logarit” Ví dụ 12: 12 1. Chứng minh rằng ln(1  x )  x  x x  0 (4). 2 2. Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với x  0 ln(1  x )  x  ax 2 (5). Giải : 12 1. Chứng minh rằng ln(1  x )  x  x x  0 (4). 2 12  Xét hàm số f (x )  ln(1  x )  x  x liên tục trên nửa khoảng  0;  .  2 x2 1 Ta có f '(x )  1 x   0, x  0 1x x 1  f (x )  f (0)  0 x  0  (4) đúng. 2. Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với x  0 ln(1  x )  x  ax 2 (5). Giả sử (5) đúng với x  0  (5) đúng với x  0 ln(1  x )  x  a x  0 (6).  2 x 1 1 ln(1  x )  x 1 Cho x  0 , ta có:    a  a  .  2 2 x2 2 12 x  x  ax 2 x  0 , Khi đó: x  2 12 x x  0 , dẫn đến ln(1  x )  x  ax 2 x  0 . Mà theo chứng minh ở câu 1 thì: ln(1  x )  x  2 1 Vậy a  là giá trị cần tìm. 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN  1. Chứng minh rằng hàm số f x  1  x 2 nghịch biến trên đoạn  0;1 .  4  2. Chứng minh rằng hàm số f x  x 3  2x 2  x  3 đồng biến trên  . 3 3. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 10 7 1   a ) f x  2x 5  5x 4  x 3  h) f x   2x x 1 3 3  b) f x  x 3  2x 2  x  1  i ) f x  3x  1 f x   4x  x 2 j) 14
  11. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 4  k) f x  x  x  c) f x  x  x f x   x  l) x 9  d) f x  x  2x x  m) f x  1 2 x 9  e) f x  x 3  2x 2  4x  5 3 x 2  8x  9  f) f x  x 5 f x   x 2  2x  3 g) 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau : 14 1 1 x  x3  x  5 e) y  a) y   2 x x 2 3 3 x 1 f ) y  x 4  2x 3  x 2  6x  11 b) y  4 2 3x 45 3x g) y   x  x 3  8 c) y  2 5 x 1 7 h ) y  9x 7  7x 6  x 5  12 d ) y  x 2  2x  3 5 5. Chứng minh rằng : x 2 a ) Hàm số y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . x 2 x 2  2x  3 b) Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . x 1 6. Chứng minh rằng : 3x a ) Hàm số y  nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 1  2x 2x 2  3x b) Hàm số y  đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 2x  1 c) Hàm số y  x  x 2  8 nghịch biến trên  . d ) Hàm số y  x  cos2 x đồng biến trên  . 7. Chứng minh rằng : a ) Hàm số y  2x  x 2 nghịch biến trên đoạn 1;2    b) Hàm số y  x 2  9 đồng biến trên nửa khoảng  3;   4  c) Hàm số y  x  nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  2; 0 và 0;2    x x     d ) Hàm số y  2 đồng biến trên khoảng 1;1 , nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 và x 1   1;  . 8. Cho hàm số y  2x 2 x  2 15
  12. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh  a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   b) Chứng minh rằng phương trình 2x 2 x  2  11 có nghiệm duy nhất . Hướng dẫn :   x 5x  8    a) y '   0, x  2;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   x 2  b) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng 2;  , do đó cũng liên tục trên đoạn 2; 3  ,      y 2  11  y 3 nên theo định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực c  2; 3 sao   cho y c  11 . Số thực c  2; 3 là 1 nghiệm của phương trình đã cho và vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2;   nên c   2; 3  là nghiệm duy nhất của phương trình .  9. Cho hàm số y  sin2 x  cos x .     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .   Hướng dẫn :     a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch biết trên đoạn  ;   .  3 3     Hàm số liên tục trên đoạn  0;   và y '  sin x 2 cos x  1 , x  0;    1     Vì x  0;   sin x  0 nên trong khoảng 0;  : f ' x  0  cos x  x  2 3      y '  0, x   0;  nên hàm số đồng biến trên đoạn  0;   3  3      y '  0, x   ;   nên hàm số nghịch biến trên đoạn  ;   3  3  b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm duy nhất thuộc   đoạn  0;   .   5         x  0;  ta có y 0  y  y    1  y  nên phương trình cho không có nghiệm m  1;1  3 3 4 5       x   ;   ta có y   y  y    1  y  . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số 3  3 4 5       liên tục với m  1;1   1;  , tồn tại một số thực c   ;   sao cho y c  0 . Số c là nghiệm 4 3   16
  13. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh   của phương trình sin2 x  cos x  m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn  ;   nên trên đoạn này , 3  phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn  0;   .    10. Cho hàm số f x  2 sin x  tan x  3x   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;  .  2 Hướng dẫn :   a ) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng  0;   2    Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 2    1  cos x 2 cos x  1 2 cos3 x  1  3 cos2 x 1    f ' x  2 cos x   0, x   0;  3  cos2 x cos2 x cos2 x  2    Do đó hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;   2   b) Chứng minh rằng 2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2    Hàm số f x  2 sin x  tan x  3x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và  2       f x  f 0  0, x   0;  ; do đó 2 sin x  tan x  3x  0 mọi x   0;  hay  2  2   2 sin x  tan x  3x với mọi x   0;   2 11.   a ) Chứng minh rằng tan x  x với mọi x   0;  .  2 x3   b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2 Hướng dẫn :    a ) Chứng minh rằng hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  .  2 17
  14. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh    Hàm số f x  tan x  x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 1     1  tan2 x  0, x   0;  . f' x  2  2 cos x        Do đó hàm số f x  tan x  x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và f x  f 0  0, x   0;   2  2 hay tan x  x . x3   b) Chứng minh rằng tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2 x3    Xét hàm số g x  tan x  x   0;  . trên nửa khoảng 3  2 x3    Hàm số g x  tan x  x  liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm 3  2 1        1  x 2  tan2 x  x 2  tan x  x tan x  x  0, x   0;  câu a ) g' x  2  2 cos x x3    Do đó hàm số g x  tan x  x   0;  và đồng biến trên nửa khoảng 3  2 x3       g x  g 0  0, x   0;  hay tan x  x  với mọi x   0;  . 3  2  2 4    12. Cho hàm số f x  x  tan x với mọi x   0;   4    a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4 4   b) Từ đó suy ra rằng x  tan x với mọi x   0;  .  4  Hướng dẫn :   a ) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn  0;  .  4 4    Hàm số f x  x  tan x liên trục trên đoạn  0;  và có đạo hàm  4  4 1 4  4       tan2 x , x   0;  f' x  f ' x  0  tan x  ,   2  4  cos x   4  4     1  tan nên tồn tại một số duy nhất c   0;  sao cho tan c  Vì 0  4  4       f ' x  0, x  0; c  hàm số f x đồng biến trên đoạn x  0; c   18
  15. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh        f ' x  0, x   c;   hàm số f x nghịch biến trên đoạn x  c;   4  4 4 4       b) Dễ thấy 0  f x  f c ; x   0;   x  tan x  0 hay x  tan x với mọi x   0;  .  4  4   13. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau : a ) sin x  x với mọi x  0 , sin x  x với mọi x  0 x2 b) cos x  1  với mọi x  0 2 x3 x3 c) sin x  x  , sin x  x  với mọi x  0 với mọi x  0 6 6   d ) sin x  tan x  2x với mọi x   0;   2 Hướng dẫn : a ) sin x  x với mọi x  0 .    Hàm số f x  x  sin x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 x      f ' x  1  cos x  2 sin2  0, x   0;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  0;  và ta có 2  2  2         f x  f 0  0, x   0;  , tức là x  sin x  0, x   0;  hay x  sin x , x   0;  .  2  2  2 x2 b) cos x  1  với mọi x  0 2 x2    Hàm số f x  cos x  1  liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm f ' x  x  sin x  0  2   với mọi x  0 ( theo câu a ). Do đó hàm số f x đồng biến trên nửa khoảng  0;  và ta có  x2   f x  f 0  0, x  0 , tức là cos x  1   0, x  0 2 2  x  x2  Với mọi x  0 , ta có cos x  0, x  0 hay cos x  1   0, x  0 1 2 2 2 x Vậy cos x  1  với mọi x  0 2 x3   c) Hàm số f x  x   sin x . Theo câu b thì f ' x  0, x  0 . Do đó hàm số nghịch biến trên  . 6    f x  f 0 khi x  0  Và     f x  f 0 khi x  0    d ) sin x  tan x  2x với mọi x   0;   2 19
  16. Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh    Hàm số f x  sin x  tan x  2x liên tục trên nửa khoảng  0;  và có đạo hàm  2 1 1     2  cos2 x  f ' x  cos x   2  0, x   0;  . Do đó hàm số đồng biến trên nửa 2 2  2 cos x cos x       khoảng  0;  và ta có f x  f 0  0, x   0;   2  2 14 Chứng minh rằng : d ) 20082009  20092008   a ) 2sin x  2tan x  2x 1, x   0;   2 a b a b  e)  tan a  tan b  ,0  a  b  2 2 2 cos b cos a  2   b) 1  x cos2 x  , x   0;  4  4 c) 5 tan 60  6 tan 50 15 Chứng minh rằng : b a b b a a b a b a) c) ab  ,0  a  b , a  0, b  0, a  b  ln   a a b ln a  ln b 2 d ) lgx (x  1)  lgx 1(x  2), x  1 y x 1 lg  lg 4 b) y  x  1  y 1x x y x y e) ,x  y  0    0  x  1; 0  y  1, x  y ln x  ln y 2 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2