CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 2

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

94
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

LÝ THUYẾT TIA VỀ TRƯỜNG ÂM TRONG ĐẠI DƯƠNG Lý thuyết tia mặc dù với bản chất gần đúng là một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu truyền âm tại những tần số đủ cao trong môi trường bất đồng nhất như đại dương. Trong chương này chúng ta dẫn lập các phương trình cơ bản của âm học tia và đưa ra những nghiệm của chúng cho trường hợp đại dương phân tầng. Trong các chương tiếp sau, cách tiếp cận tia sẽ được áp dụng cho sự truyền sóng âm bị dẫn, sự phản xạ của âm...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 2

Chương 2 là sự xâm nhập nước Địa Trung Hải tại các tầng sâu trung gian vào Đại Tây Dương gần eo Gibraltar. Các thấu kính loại này (“trung gian”) đã LÝ THUYẾT TIA VỀ TRƯỜNG ÂM TRONG ĐẠI DƯƠNG được nghiên cứu kỹ nhất. Lý thuyết tia mặc dù với bản chất gần đúng là một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu truyền âm tại những tần số đủ cao trong môi trường bất đồng nhất như đại dương. Trong chương này chúng ta dẫn lập các phương trình cơ bản của âm học tia và đưa ra những nghiệm của chúng cho trường hợp đại dương phân tầng. Trong các chương tiếp sau, cách tiếp cận tia sẽ được áp dụng cho sự truyền sóng âm bị dẫn, sự phản xạ của âm từ bề mặt biển và một số bài toán khác. 2.1. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CHO MÔI TRƯỜNG BẤT ĐỒNG NHẤT Sự truyền âm trong các môi trường bất đồng nhất (đại dương, khí quyển) được mô tả bằng phương trình sóng thu được từ phép tuyến tính hóa các phương trình thủy động lực học của chất lỏng lý tưởng. Các phương trình xuất phát sẽ là: Phương trình Euler: Hình 1.40. Sơ đồ tia âm khi có mặt một thấu kính [1.40] ∂v 1 + (v∇)v = − ∇p , (2.1.1) Các thấu kính ngoại nêm nhiệt gây nhiễu động trường tốc độ âm, ρ ∂t làm thay đổi cấu trúc không gian - thời gian của trường tốc độ âm trong ở đây v là tốc độ phần tử, p là áp suất âm, ρ là mật độ của môi trường đại dương - các vùng tối trở nên có âm (khi không có cấu trúc vùng đối và t là thời gian. Phương trình liên tục là với các điều kiện nền) và sự khúc xạ phương ngang của các tia âm xuất ∂ρ hiện. Sự xoay của các thấu kính dẫn tới sự thay đổi pha của các sóng âm + ∇( ρ v) = 0 . (2.1.2) ∂t truyền qua thấu kính. Hình 1.40 biểu diễn sơ đồ tia được tính cho trắc diện tốc độ âm ở hình 1.39 [1.39]. Nguồn âm được đặt ở độ sâu 900 m và Bỏ qua sự dẫn nhiệt và khuếch tán của các hợp phần, ta có thể xử lý cách tâm thấu kính 33 km. Sự xuất hiện âm của các vùng tối thứ nhất và sự truyền âm như là quá trình đoạn nhiệt. Trong trường hợp đó, phương thứ hai đã được thấy rất rõ; đó là do thấu kính. 55 56
⎛ ∂v ⎞ ∂2ρ′ trình trạng thái được viết như sau: + ∇⎜ ρ 0 ⎟=0. (2.1.8) ⎜ ∂t ⎟ dρ ∂t 2 ⎝ ⎠ dp = c2 , (2.1.3) dt dt ∂v Thay thế ρ 0 , theo (2.1.5) ta được ở đây c = ( dp / dρ ) S là tốc độ âm đoạn nhiệt, S − entropy. Trong ∂t trường hợp tổng quát, c và S có thể phụ thuộc vào các tọa độ không ∂2ρ′ = ∆ p′ , (2.1.9) gian. Đối với một môi trường bất đồng nhất, phương trình (2.1.3) nên ∂ t2 được viết chỉ trong dạng các đạo hàm toàn phần bởi vì phương trình này ở đây ∆ là toán tử Laplace. phải được thỏa mãn đối với một phần tử đã chọn, chứ không phải đối với Lấy đạo hàm (2.1.7) theo thời gian, ta viết lại nó dưới dạng như sau: điểm đã chọn của môi trường. Dưới hiệu ứng của một sóng âm, áp suất p và mật độ ρ bị nhiễu 1 ∂ 2 p′ ∂ 2 ρ ′ ⎛ ∂ v ⎞ +⎜ ∇ ⎟ρ 0 . = (2.1.10) ∂ t2 ⎜ ∂ t ⎟ động, chúng nhận các giá trị sau đây: c2 ∂ t 2 ⎝ ⎠ p = p0 + p′ , ρ = ρ0 + ρ ′ , (2.1.4) ∂v Sau khi thay thế số hạng thứ nhất theo (2.1.9) và theo (2.1.5) ở v ế ở đây p0 và ρ 0 là các giá trị của p và ρ trong trường hợp không có ∂t sóng âm, còn p′ và ρ ′ là những nhiễu động của các đại lượng đó do phải của (2.1.10), ta có (bỏ qua các chỉ số) sóng âm gây nên ( p′
∂ψ 1 ∂p 1 ∂p1 p = −ρ p = p1 , vn = v1n = . (2.1.14) , (2.1.20) hay ρ ∂ t ρ1 ∂ t ∂t Đối với các sóng điều hòa p ∼ exp(−iω t ) , phương trình sóng (2.1.12) ở đây n là vectơ đơn vị pháp tuyến với mặt phân cách. Chỉ số “1” để chỉ môi trường thứ hai. giản ước thành phương trình Helmholtz ∂p ∆p + k 2 p = 0 , (2.1.15) =0. (2.1.21) ∂n ω là số sóng âm. Thế của tốc độ ψ cũng thỏa mãn (2.1.15). ở đây k = c 2.1.1. Những nghiệm đơn giản nhất của phương trình Helmholtz Phương trình (2.1.11) có thể chuyển đổi thành một phương trình Bây giờ chúng ta xét hai nghiệm đơn giản nhất của (2.1.15) đối với kiểu phương trình Helmholtz. Nếu đưa ra một hàm mới F thay cho p : môi trường bất đồng nhất ( k là hằng số). p Nghiệm thứ nhất là sóng cầu mô tả trường của một nguồn điểm F= , (2.1.16) ρ đẳng hướng (một mặt cầu bán kính nhỏ phát xung) − iωρ V0 ta được p= exp (i kR) , (2.1.22) 4π R ∆F + K 2 F = 0 , (2.1.17) ở đây R = ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 , V0 = 4π a 2 v0 là tốc độ khối của nguồn, ở đây a là bán kính của mặt cầu dao động và v0 là biên độ của tốc độ. Nguồn 2 3 ⎛1 ⎞ 1 ∆ρ − ⎜ ∇ ρ ⎟ . K =k + 2 2 (2.1.18) ⎜ρ ⎟ âm được giả thiết là nằm ở gốc tọa độ x = y = z = 0 . Người ta có thể dễ 2ρ 4⎝ ⎠ dàng kiểm tra rằng (2.1.22) thỏa mãn (2.1.15) bằng cách lấy đạo hàm trực Các điều kiện biên. Nếu các chất lỏng bị giới hạn hoặc các tham số tiếp, viết toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu của chúng không liên tục tại một số bề mặt nào đó, thì các điều kiện biên ∂ 2 p 2 ∂p phải được chỉ định cho các phương trình. Tại bề mặt tự do của nước điều ∆p = + , ∂R 2 R ∂R kiện biên là áp suất âm bằng không: cho phép p chỉ phụ thuộc vào R trong trường hợp này. p=0. (2.1.19) Nghiệm đơn giản và quan trọng khác của (2.1.15) là một sóng phẳng Tại mặt phân cách của hai môi trường lỏng, điều kiện biên là điều kiện p = A exp [i (k x x + k y y + k z z )] , (2.1.23) liên tục của áp suất âm và hợp phần pháp tuyến của tốc độ phần tử ở hai phía: ở đây A là biên độ của sóng và kx , k y và k z là ba hằng số bất kỳ (các hợp phần của vectơ sóng dọc theo các trục tọa độ) thỏa mãn quan hệ 59 60
k x + k y + kz = k 2 . lý thuyết tia được đáp ứng, người ta có thể xác định cường độ âm (và do 2 2 2 (2.1.24) đó là áp suất âm) tại điểm bất kỳ tuân theo định luật về mở rộng ống tia. Các mặt phẳng có pha không đổi (các front sóng) của sóng cầu Trong phép xấp xỉ lý thuyết tia, người ta còn có thể xác định pha sóng âm (2.1.24) là những mặt cầu ( R = const) và các tia, mà theo định nghĩa là hay thời gian truyền đi của xung âm dọc theo một tia đã chọn. 7 một họ các đường vuông góc với các front, là những đường thẳng xuất Bây giờ ta chỉ ra rằng trong một môi trường phân tầng phương phát từ điểm R = 0 . Trong trường hợp sóng phẳng (2.1.23) các front là ngang, tại mỗi z một tia phải thỏa mãn quan hệ (định luật Snell) những mặt phẳng, kx x + k y y + kz z = const và các tia là họ các đường cos χ ( z) = const , (2.2.2) thẳng song song vuông góc với các mặt phẳng đó. c( z) Nghiệm (2.1.5) dưới dạng của một sóng phẳng là rất quan trọng. ở đây χ ( z) là góc mở mà tia tạo với các mặt phẳng z = const. Với mục Trong nhiều trường hợp, đặc biệt tại những khoảng cách đủ lớn kể từ đích đó, ta tưởng tượng rằng môi trường được các mặt phẳng ngang chia nguồn, sóng âm có thể được biểu diễn như là một sóng phẳng hoặc như là ra thành một loạt rất nhiều lớp đồng nhất mỏng và giả sử rằng tia tại các xếp chồng của các sóng phẳng. Điều này là rất rõ, chẳng hạn đối với một biên của những lớp đó không bị phản xạ, chỉ khúc xạ. Giả sử ta ký hiệu sóng cầu tại những khoảng cách nơi độ cong của front sóng có thể không các lớp bằng 1, 2, ..., n , n + 1 , ... Theo định luật khúc xạ (xem ở dưới), cần tính đến. tại biên của các lớp n và n + 1 với các tốc độ c n và c n +1 ta có cos χ n+1 cos χ n 2.2. SỰ KHÚC XẠ CỦA CÁC TIA ÂM = . cn+1 cn Trước hết xét đại dương phân tầng phương ngang, tốc độ âm chỉ phụ thuộc vào độ sâu ( c = c( z) ), còn bề mặt và đáy của đại dương là những Một cách tương tự tại biên của các lớp n và (n − 1) : mặt phẳng nằm ngang. Thậm chí với những giả thiết đơn giản này, người cos χ n cos χ n−1 = ta cũng chỉ có thể tìm được các nghiệm chính xác của (2.1.1) trong những cn cn−1 trường hợp ngoại lệ. Do đó, phép xấp xỉ tia âm được dùng rộng rãi. Điều và tiếp tục như vậy. kiện cần (nhưng không đủ) để áp dụng phép xấp xỉ này là tích số của Giả sử số lượng lớp tiến đến vô cùng và độ dày của chúng tiến đến građien tương đối của tốc độ âm và bước sóng phải nhỏ: không, khi đó ta được định luật (2.2.2) đối với môi trường chia lớp. Định λ dc
Chẳng hạn, nhờ định luật này người ta có thể giải bài toán về một tia dz ở đây dS = là yếu tố của độ dài quỹ đạo tia (hình 2.2) và phải đi từ một độ sâu có tốc độ âm bằng c1 với góc χ bằng bao nhiêu để sin χ trở thành tia đi ngang tại độ sâu nơi tốc độ c = c2 (hình 2.1). Bởi vì góc cos χ 0 q= (2.2.5) mở của tia này bằng không (và cosin của nó bằng đơn vị) tại độ sâu thứ c0 hai, nên nếu sử dụng (2.2.2) đối với hai độ sâu này, ta có dχ là tham số hằng số đối với mỗi tia. Ta thấy rằng đạo hàm , là độ cong c cos χ = 1 , dS c2 tia tại một độ sâu đang xét, tỷ lệ với građien tốc độ âm tại độ sâu đó. Dấu trừ ở (2.2.4) cho thấy rằng góc mở giảm khi tốc độ âm tăng lên theo độ sâu và ngược lại. Hình 2.1. Quan hệ giữa góc mở của một tia và độ sâu quay lại từ đó ta xác định góc χ . Thông thường c2 gần bằng c1 và χ là nhỏ. Do đó, nếu khai triển hàm cosin thành một chuỗi theo χ , chỉ tính đến các số Hình 2.2. Yếu tố tia hạng tới bậc hai và ký hiệu c2 − c1 = ∆c , ta tìm được 1/2 ⎛ 2∆c ⎞ Bán kính cong của tia R là χ =⎜ ⎜c ⎟ . (2.2.3) ⎟ ⎝ 1⎠ dχ dc R −1 = =q . (2.2.6) Công thức này sẽ được dùng thường xuyên trong những thảo luận tiếp dS dz theo. dc = const R = const , tức đối với trường hợp građien tốc Khi građien Bây giờ ta xác định quan hệ giữa độ cong tia và građien tốc độ âm. dz Với mục đích đó, ta sẽ viết (2.2.2) dưới dạng độ âm không đổi thì tia là cung của một đường tròn. c0 cos χ = c cos χ 0 , Thế (2.2.5) vào (2.2.6) thu được trong đó χ 0 và c0 là góc mở và tốc độ âm tại độ sâu cố định nào đó. Lấy 1 R= , a cos χ 0 đạo hàm đẳng thức này theo z sẽ cho dχ dχ dc dc dc − c0 sin χ = cos χ 0 = −q − hay , (2.2.4) ở đây a = c0 1 là građien thẳng đứng tương đối của tốc độ âm. a càng dz dz dS dz dz 63 64
lớn và χ 0 càng nhỏ thì sự khúc xạ tia càng mạnh. Ngược lại, nếu một tia z ∫z′ (n − cos 2 χ 1 ) −1 / 2 dz . + cos χ 1 2 (2.3.3) đi ra từ nguồn thẳng đứng lên trên hoặc xuống dưới ( χ 0 = ±π / 2) R = ∞ Thời gian truyền đi của sóng âm dọc theo yếu tố độ dài dS là và không có khúc xạ. dS dz dt = = . 2.3. KHOẢNG CÁCH PHƯƠNG NGANG CỦA MỘT TIA c sin χ c Cho r = 0, z = z1 và r, z tuần tự là tọa độ của một nguồn và điểm hay nếu biểu diễn χ và c thành các số hạng theo n và χ 1 quy chiếu. Đối với một yếu tố vô cùng bé bất kỳ của tia (hình 2.2) ta có 1 z ∫z n 2 (n 2 − cos 2 χ 1 ) −1 / 2 dz , t= (2.3.4) dz dr = c1 . Khoảng cách ngang tổng cộng một tia đi được bằng 1 tgχ ở đây để đơn giản chúng ta đã bỏ đối số z trong n( z) . Nếu một nguồn dz phát ra một sóng điều hòa tần số ω = 2π f pha của nó tại điểm quy chiếu z ∫z r= . (2.3.1) tgχ ( r, z) là ω t ; thời gian t được cho bằng phương trình sau cùng. 1 Theo (2.2.2) góc mở χ ( z) có thể được biểu diễn thành các số hạng theo Lấy đạo hàm r và t theo χ , ta được χ 1 - góc tại độ sâu nguồn ∂r ∂χ 1 c1 cos χ = cos χ 1 , v≡ = = const . ∂ t cos χ 1 n ∂χ c1 ở đây n = n( z) ≡ và c1 là tốc độ âm. Do đó (2.3.1) có thể viết thành c( z) Vậy v = ∂ r / ∂ t − hợp phần phương ngang của tốc độ pha của một sóng truyền dọc theo tia - là hằng số. Cũng phải lưu ý rằng c1 / cos χ 1 bằng tốc z ∫z [n 2 ( z) − cos 2 χ 1 ] −1 / 2 dz . r = cos χ 1 (2.3.2) độ âm tại độ sâu quay lại z′ và do đó v = c( z ′) . 1 Chúng ta sẽ sử dụng phương trình này rất thường xuyên từ nay về sau. Ở 2.4. XẤP XỈ GRAĐIEN KHÔNG ĐỔI CỦA TRẮC DIỆN TỐC ĐỘ đây r được giả thiết là một hàm đơn trị của z . Nếu không phải như vậy ÂM (chẳng hạn trong kênh âm ngầm nơi một tia nhiều lần quay trở lại độ sâu cố định nào đó), (2.3.2) sẽ được áp dụng cho những đoạn của tia mà ở đó Để vẽ được các tia cho trắc diện bất kỳ c( z) người ta thường giả hàm đơn trị. Ví dụ, nếu một tia giữa nguồn và máy thu có điểm quay lại thiết môi trường chứa một số lượng lớp nhất định với quy luật c( z) đơn của nó tại độ sâu z′ phương trình cho r chứa hai phần: giản và do đó với một quy tắc đơn giản cho quỹ đạo tia trong phạm vi z′ ∫z (n 2 − cos 2 χ 1 ) −1 / 2 dz r = cos χ 1 mỗi lớp. 1 65 66
đây n( z) = ci −1 / c( z) ) và lấy tích phân theo χ , ta thu được với (2.2.4) Ngay từ thời khởi đầu của thủy âm học môi trường được chia ra thành một chuỗi các lớp đồng nhất. Tốc độ âm biến đổi nhảy cóc tại các 1 1 1 1 χi ∫χ cos χ dχ = (sin χ i − sin χ i−1 ) . Di = ranh giới giữa các lớp. Các tia trong những lớp đó là những đường thẳng. cos χ i−1 cos χ i−1 ai ai i −1 Hướng của chúng thay đổi do sự khúc xạ tại các ranh giới lớp. (2.4.1) Về sau, người ta sử dụng rộng rãi cách chia thành những lớp trong ở đây ai = ( ci − ci −1 ) / ci −1 hi là građien tốc độ âm tương đối trong lớp đó tốc độ âm phụ thuộc tuyến tính vào độ sâu. Trong trường hợp này thứ i , còn χ i−1 , χ i là các góc mở tại các ranh giới của lớp. Đối với không phải tốc độ âm mà građien tốc độ âm bị gián đoạn tại các ranh giới khoảng cách ngang tổng cộng mà tia đi được ta có lớp. Như chúng ta đã biết, các tia trong những lớp đó là những cung của r = ∑ Di . đường tròn. Hướng của một tia khi nó đi qua một ranh giới lớp biến đổi liên tục, nhưng độ cong của nó biến đổi một cách không liên tục. Nhược i điểm của phương pháp này là ở chỗ sự không liên tục của građien tốc độ tại các ranh giới lớp dẫn tới những điểm tựa tụ tia như Pedersen [2.2] đã chỉ ra lần đầu tiên. Người ta cũng đã từng sử dụng xấp xỉ của c( z) trong các lớp nào đó bằng các đa thức bậc hai và bậc ba (ví dụ xem [2.3, 4]). Cân nhắc sự đơn giản và ứng dụng rộng của xấp xỉ građien không đổi, chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về cách xấp xỉ này. Trên hình 2.3 ở bên trái dẫn một trắc diện c( z) tuân theo xấp xỉ này, còn ở bên phải vẽ một trong các tia. Ta ký hiệu các ranh giới lớp là z1 , z2 v.v.. Cho hi = z i − z i −1 (i = 1, 2, 3, 4) là độ dày, còn c i và χ i tuần tự là tốc độ âm và góc mở tại ranh giới dưới của mỗi lớp. Chúng liên quan với nhau theo định luật Snell, cos χ i / ci = const , ở đây hằng số const được xác Hình 2.3. Về tính toán sơ đồ tia cho trường hợp định bằng góc mở χ 1 của tia tại nguồn. Građien tốc độ âm trong lớp i là xấp xỉ građien tốc độ âm không đổi ci − ci−1 . Trên hình 2.3 građien là dương trong hai lớp bên trên và âm hi 2.5. CƯỜNG ĐỘ ÂM, NHÂN TỐ TIÊU ĐIỂM VÀ CÁC ĐIỂM TỤ ÂM trong hai lớp bên dưới và theo đó độ cong tia có các dấu khác nhau trong những lớp ấy. Có thể thấy rằng thông năng lượng âm tại điểm nào đó trong môi Ta sẽ tìm khoảng cách ngang Di mà tia âm đi được trong lớp thứ i . trường hướng dọc theo tia. Do đó, có thể tưởng tượng ra một ống tia tạo Đặt χ 1 = χ i −1 trong (2.3.2), sử dụng quan hệ cos χ = cos χ 1 / n( z) (ở thành bởi một tập hợp tia đi ra từ nguồn O và tại khoảng cách nào đó nó 67 68
2π π /2 đi qua một đường bao nhỏ tùy ý Γ (hình 2.4). Trong phép xấp xỉ lý (4π ) −1 ∫0 ∫−π / 2 N ( χ 1 , ϕ1 ) cos χ 1 dχ 1 dϕ1 = 1 . thuyết tia thì năng lượng âm được giả thiết là “chảy” dọc theo ống tia và Từ đây suy ra chúng ta sẽ bỏ qua nhân tử N ( χ 1 , ϕ 1 ) để cho đơn giản. không cắt ngang qua thành ống. Từ đây suy ra chúng ta sẽ quan tâm tới Do đó nói một cách chính xác thì kết quả của chúng ta sẽ chỉ đúng đối cường độ âm, tức là dòng năng lượng đi qua một đơn vị diện tích của mặt với các nguồn đẳng hướng. Tuy nhiên, nhân tử này có thể luôn luôn được cắt ngang qua ống tia trong một đơn vị thời gian. Hiển nhiên là đại lượng đưa vào trong các công thức cuối cùng của cường độ âm. này sẽ giảm với khoảng cách kể từ nguồn theo cách tỷ lệ nghịch với diện tích của mặt cắt ngang qua ống tia. Bây giờ ta rút ra công thức cho cường độ âm tại một điểm bất kỳ A ( r, z) (hình 2.5) đối với môi trường phân tầng phương ngang ( c = c( z) ) khi diễn ra sự khúc xạ âm. Giả sử nguồn đặt ở điểm r = 0 , z = z1 . Khoảng cách ngang r do tia bất kỳ đi được sẽ là một hàm của góc xuất phát χ 1 , tức r = r ( χ 1 ) . Giả sử tia từ nguồn đi ra với góc χ 1 + dχ 1 đến tại điểm C nằm ở cùng độ sâu z như điểm A . Rõ ràng AC = ∂r / ∂χ 1 dχ 1 . Mặt cắt ngang qua ống tia trong mặt phẳng r, z được minh họa trên hình vẽ là Hình 2.4. Ôngs tia ∂r Trong một môi trường đồng nhất diện tích của mặt cắt ngang qua BC = AC sin χ = sin χ dχ 1 , ∂χ 1 ống tia tăng lên tỷ lệ với bình phương khoảng cách từ nguồn và do đó cường độ âm giảm nghịch đảo bình phương khoảng cách theo như công ở đây χ là góc mở tại điểm A . thức sau Vì nguồn được giả thiết là đẳng hướng, trường âm có sự đối xứng WN ( χ 1 , ϕ1 ) hình trụ so với trục z . Nếu tưởng tượng rằng biểu đồ trên hình 2.5 xoay I0 = . (2.5.1) 4π R 2 xung quanh trục z , thì ta nhận được diện tích của front sóng bao hàm trong các tia đó ở đây W là năng lượng âm phát ra, R là khoảng cách từ nguồn và N ( χ 1 , ϕ 1 ) là nhân tử (thường gọi là hàm mẫu) đặc trưng cho tính định ∂r dS = 2π r sin χ dχ 1 . hướng của nguồn. Nó phụ thuộc vào góc mở χ 1 và phương vị ϕ 1 của ∂χ 1 một tia tại nguồn. Năng lượng W do nguồn phát ra trong khoảng dχ 1 chảy qua diện tích Theo định nghĩa, giá trị trung bình của hàm mẫu trên tất cả các góc này. Rõ ràng năng lượng dW liên hệ với tổng năng lượng phát ra của bằng đơn vị, tức là nguồn, như là góc lập thể 2π cos χ 1 dχ 1 ứng với diện tích này liên hệ với 4π . Vì vậy 69 70
r cos χ 1 W I cos χ 1 dχ 1 . dW = f= = ∂r 2 I0 sin χ ∂χ 1 là nhân tử tiêu điểm. Trường hợp f > 1 ứng với sự tăng của trường do các tia hội tiêu. 8 Lý thuyết không áp dụng được đối với hai trường hợp ngoại lệ này. Phương trình đối với mỗi tia có thể được viết dưới dạng r = r ( χ 1 , z) , (2.5.4) trong đó χ 1 là một tham số của họ các tia đi ra từ nguồn O . Như đã biết, đường bao của một họ tia như thế có thể tìm được bằng cách loại χ 1 Hình 2.5. Minh họa cách tính nhân tử tiêu điểm khỏi (2.5.4) và Bây giờ đối với cường độ âm, tức thông lượng năng lượng trên một ∂ r ( χ 1 , z) = 0. (2.5.5) đơn vị bề mặt front sóng, ta có ∂χ 1 W cos χ 1 dW I= = Từ (2.5.3) và (2.5.5) người ta có thể thấy rằng nhân tử tiêu điểm thực ra . (2.5.2) ∂r dS tiến đến vô cùng trên đường bao của họ tia. Để tính nhân tử tiêu điểm trên 4π r sin χ ∂χ 1 điểm tụ tia và lân cận nó thì âm hình học đòi hỏi một số cải biên. Ta Trong trường hợp nguồn định hướng, nhân tử N ( χ 1 , ϕ 1 ) phải được đưa không thể xét tỉ mỉ ở đây (xem [2.5], mục 45) và chỉ nhận xét rằng nhân tử tiêu điểm ở trên và lân cận điểm tụ tia được tính bằng vào phương trình này. Trong khi phân tích lý thuyết về cấu trúc trường âm thì công suất nguồn W là không quan trọng (âm học tuyến tính!) và do đó, hợp lý hơn 8 W Ngoại trừ trường hợp r = 0 ( z ≠ z1 ) , ở đây f bằng không, không phải vì một cả là chuẩn hóa I theo giá trị I 0 = − cường độ âm của cùng một 4π r 2 đặc thù nào đó của trường, mà chỉ vì định nghĩa của chúng ta về f . Đôi khi để nguồn trong môi trường đồng nhất tại điểm ( r, z) . Ta sẽ gọi tỷ số định nghĩa f đại lượng I trong (2.5.2) được liên hệ với I 0 = W /(4π R 2 ) , trong đó R là khoảng cách tổng cộng từ nguồn tới máy thu. Tuy nhiên, định nghĩa (2.5.3) là thuận tiện hơn cả cho các mục đích thực tiễn. 71 72
trong đó v(t) là hàm Airy được vẽ trên hình 2.7 với v(0) = 0,6293 . Đối số của hàm Airy được cho bằng −1 / 3 ∂2r 1/3 ( k1 sin χ 1 ) 2 / 3 ( r − r0 ) . t = ±2 (2.5.7) ∂χ 1 2 Ở đây r − r0 là khoảng cách ngang giữa điểm quan trắc và diểm tụ tia. Trong (2.5.7) chúng ta phải chọn dấu cộng khi ∂ 2 r / ∂χ 1 < 0 và dấu trừ 2 khi ∂ 2 r / ∂χ 1 > 0 . Ở một phía của điểm tụ tia (bên trên điểm tụ tia trong 2 hình 2.6) hai tia giao nhau tại mỗi điểm. Những dao động không gian của trường là do sự giao thoa giữa hai tia này ( t < 0 trong hình 2.7). Ở phía Hình 2.6. (a) Trắc diện c( z) và (b) sơ đồ tia với điểm tụ tia phía của điểm tụ tia (bên dưới điểm tụ tia trong hình 2.6) không có một tia nào thuộc họ tia này đi tới. Đó là một vùng tối tương ứng với sự giảm nhanh của trường theo khoảng cách từ điểm tụ tia ( t > 0 trong hình 2.7). 2.6. SỰ KHÚC XẠ BA CHIỀU Trong một môi trường nơi chỉ số khúc xạ n = n( R ) có thể là hàm của tất cả ba tọa độ thì một tia sẽ không bị hạn chế trong một mặt phẳng, tức chúng ta sẽ có sự khúc xạ ba chiều. Trong âm học đại dương chúng ta gặp phải sự khúc xạ như vậy, ví dụ khi phân tích tác động của sóng nội tới trường âm. Bài toán như thế cũng nổi lên khi nghiên cứu sự truyền âm đi xa trong một đại dương phụ thuộc khoảng cách. Khúc xạ ba chiều cũng quan trắc được ở lân cận các núi băng trôi, chúng tạo nên những khu vực lạnh và nhạt cục bộ và tại các biên phân cách rõ nét của các hải lưu. Để rút ra các phương trình của âm học tia trong trường hợp ba chiều Hình 2.7. Đồ thị của hàm Airy ta biểu diễn áp suất âm p( R) dưới dạng −2 / 3 cos χ 1 ( k1 sin χ 1 ) 1 / 3 p( R ) = A( R ) exp [ik0 W ( R )] , k( R ) = ( x, y, z) , (2.6.1) ∂2r 5/3 f =2 v 2 (t) . (2.5.6) r sin χ ∂χ 1 2 ở đây A và k0 W là biên độ và pha của một sóng âm, hàm W thường 73 74
được gọi là hàm eikonal, k0 = ω / c0 và c0 là tốc độ âm tại một điểm cố Do đó định (thường là tại điểm đặt nguồn âm). Thế (2.6.1) vào phương trình d (ne) = ∇n . (2.6.7) Helmholtz ds ∆p + k 2 ( R) p = 0, k( R) = k0 n( R) Đối với trường hợp môi trường đồng nhất n = 1 và từ (2.6.7) suy ra rằng de sẽ nhận được =0 ds ∆A + i k0 (2∇A ⋅ ∇W + A∇W ) + k0 A [n 2 − (∇W ) 2 ] = 0 . (2.6.2) 2 và do đó e = const dọc theo tia mà phương trình của nó bây giờ có thể Các phương trình của lý thuyết tia nhận được từ (2.6.2) khi k0 tiến viết thành tới vô cùng k0 → ∞ (bước sóng âm λ = 2π / k0 → 0 ). Bỏ qua số hạng R = se + R 0 thứ nhất trong (2.6.2) và sau đó cho riêng phần thực và phần ảo trong - phương trình của một đường thẳng, trong đó R0 là bán kính vectơ của phương trình còn lại bằng không, ta được hai phương trình: điểm mà từ đó tia xuất phát. phương trình eikonal Nếu nhân các vectơ e và ∇n trong (2.6.7) với thành phần phương (∇W ) 2 = n 2 (2.6.3) ngang của vectơ đơn vị e r và lưu ý rằng các tích vô hướng ee r = cos χ và phương trình vận chuyển và ∇ne r = 0 , ta nhận ngay được định luật Snell n cos χ = const . Nếu 2∇A ⋅ ∇W + A∇W = 0 . (2.6.4) nhân chính các vectơ đó với thành phần thẳng đứng của vectơ đơn vị e z , Phương trình eikonal (2.6.3) xác định hình học của các tia, tức các ta được đường vuông góc với các front sóng với W = const . Nếu R là bán kính d dn (n sin χ ) = vectơ của một điểm trên một tia và s là khoảng cách dọc theo tia, khi đó ds dz tính chất trực giao trong trường hợp dR / ds ≡ e sẽ cho ta vectơ đơn vị mà từ đó dễ dàng thu được biểu thức (2.2.6) cho bán kính cong của tia. dọc theo tia Để tính toán bằng số tiện lợi hơn thay vì (2.6.7) người ta dùng hệ ne = ∇ W . (2.6.5) tương đương gồm hai phương trình bậc nhất: Lấy đạo hàm (2.6.5) theo s và sử dụng (2.6.3) và (2.6.5), ta được phương dk ω dR c 2 = ∇n . = k, (2.6.8) trình vi phân thường đối với các quỹ đạo tia ω dt n dt d d (∇W ) = (e ⋅ ∇) ∇W = n −1 (∇W ⋅ ∇) ∇W (ne) = Sự tương đương vừa nói có thể dễ dàng chứng minh nếu ta lưu ý rằng ds ds e = dR / ds = c −1 dR / dt , t là thời gian đi dọc theo tia, k = k0 ne là = (2n) −1 ∇ (∇W ) 2 = (2n) −1 ∇(n 2 ) = ∇n . (2.6.6) vectơ sóng tại điểm R , còn k = ω / c( R ) , c( R ) = c0 / n( R ) . Tần số ω 75 76
⎛ ∂R ∂R ⎞ chỉ có mặt trong công thức (2.6.8) một cách hình thức, bởi vì vectơ sóng c2 k⋅⎜ 0 × 0 ⎟. D= (2.6.12) được chọn như là một trong những tọa độ của tia. Hình dáng của tia ⎜ ∂kx ∂k y ⎟ ω ⎝ ⎠ không phụ thuộc vào ω . Các đại lượng ∂R / ∂k 0 , ( j = x, y ) cần thiết để tính D được tìm bằng Sau khi tìm được quỹ đạo tia R = R( s ) từ (2.6.8), ta có thể biểu j cách lấy đạo hàm (2.6.8) theo k 0 diễn hàm W như một tích phân dọc theo tia. Điều này thấy rõ từ (2.6.5) j dW c2 ∂ ⎛ k ⎞ d ∂R 1∂ = e ⋅ ∇W = n ( c 2 k) = 0 = ⎜ ⎟ ds dt ∂k 0 ω ∂k 0 ω ∂k 0 ⎝ n 2 ⎠ j j j trong đó c 2 ⎡ ∂k 2k ⎛ ⎞⎤ ⎜ ∇n ⋅ ∂R ⎟⎥. s ⎢ = − ∫ n [ R( s)] ds . W= n⎜ ⎟⎥ ω ⎢ ∂k 0 ∂k 0 ⎝ ⎠⎦ ⎣j j 0 Ở đây ta đã lưu ý rằng Phương trình vận chuyển (2.6.4) xác định biên độ sóng. Bây giờ ta sẽ nhận một biểu thức cho biên độ sóng dưới dạng hiện. Áp dụng toán tử ⎛ ⎞ ∂n ∂n ∂x ∂n ∂y ∂n ∂z ∂R = ⎜ ∇n ⋅ 0 ⎟. = + + phân kỳ đối với (2.6.5) sẽ cho ∂x ∂k j ∂y ∂k j ∂z ∂k j ⎜ ⎟ 0 0 0 0 ∂k j ∂k j ⎝ ⎠ ∆ W = e ⋅ ∇ n + n∇ e . (2.6.9) Một cách tương tự, ta tìm được Phân kỳ của vectơ đơn vị dọc theo tia được cho bằng ([2.6, mục 150]) d ∂k ω ⎡⎛ ∂R ⎞⎤ ⎞ ∇n ⎛ ∂ ⎜ ∇n ⋅ ∂R = ⎢⎜ 0 ⋅ ∇ ⎟∇n − ⎟⎥ . ∇e = (2.6.10) ln D ⎜ ∂k j ⎟ n⎜ ⎟⎥ ∂s 0 ∂k 0 n ⎢⎝ dt ∂k j ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ j trong đó Bây giờ ta tìm đại lượng ∇A ⋅ ∇W có mặt trong phương trình vận dR ⎛ ∂R ∂R ⎞ ∂ ( x, y, z ) chuyển (2.6.4). Vì ⋅⎜ 0 × 0 ⎟ D= = (2.6.11) dt ⎜ ∂kk ∂k y ⎟ 0 0 ∂ ( t, kx , k y dW dW ⎝ ⎠ ∇W = = n, và (2.6.13) e ds ds là Jacobien chuyển đổi từ các tọa độ Đêcac ( x, y, z ) sang các tọa độ tia nên 0 0 0 ( t, kk , k y ) , ở đây kx = k0 sin θ 0 cos ϕ 0 , k y = k0 sin θ 0 sin ϕ 0 và 0 ∂A dW ∂A θ 0 , ϕ 0 là các góc của tia tại một nguồn âm trong hệ tọa độ cầu. ∇A ⋅ ∇W = =n . (2.6.14) ∂s ∂s ∂s Sử dụng (2.6.8) biểu thức của D có thể viết thành Thế (2.6.9) và (2.6.14) vào (2.6.4) và lưu ý rằng ∇n ⋅ e = ∂n / ∂s , sau một số biến đổi đơn giản ta được 77 78
∂ 2.7. ĐỊNH LUẬT SNELLS ĐỐI VỚI ĐẠI DƯƠNG PHỤ THUỘC ( A 2 nD) = 0 . ∂s KHOẢNG CÁCH Do đó đại lượng A 2 nD là hằng số dọc theo một tia và vì vậy Định luật Snells (2.2.2) là một quan hệ cơ bản trong lý thuyết tia. Nó −1 / 2 liên hệ góc mở χ của tia tại một độ sâu nào đó với tốc độ âm c tại độ A = B ( nD) . (2.6.15) sâu đó cũng như với tốc độ âm c0 và góc χ 0 tại nguồn, do đó nó xác Ở đây B là một hằng số được xác định từ các điều kiện gần nguồn âm, định cấu trúc tia của trường âm. Sử dụng định luật Snells, ta có thể các nơi người ta có thể bỏ qua sự khúc xạ và xem môi trường như là đồng định một đặc trưng quan trọng của kênh âm ngầm: góc mở cực đại χ max nhất ( n = 1) . Đối với một nguồn điểm trong môi trường đồng nhất của các tia bị bẫy bởi ống dẫn sóng, góc này về phần mình xác định số A = 1 / R và B = ( D0 )1 / 2 / R , trong đó D0 là giá trị của D đối với lượng tương đối của năng lượng âm bị bẫy (xem [6.1.3]). n = 1 . Vậy Nếu như có mối phụ thuộc vào khoảng cách, sơ đồ tia của trường 1/ 2 1⎛D ⎞ A ( R) = ⎜ 0 ⎟ âm bị biến đổi, dẫn tới năng lượng âm bị phân bố lại trong không gian. . (2.6.16) R ⎜ nD ⎟ ⎝ ⎠ Để kiểm tra những nhiễu động như vậy của trường âm, phải thiết lập định Đối với môi trường đồng nhất luật Snells cho môi trường phụ thuộc khoảng cách. Nếu những biến thiên { } của chỉ số khúc xạ trên phương nằm ngang là đủ chậm, ta có thể sử dụng dR 0 0 0 = c0 (k0 / k0 ) , R = R( k0 / k0 ) , k0 kx , k y , kz định luật Snells dưới dạng (7.2.10), xem r như một tham số. Tuy nhiên, dt ở đây ta sẽ nhận một dạng khác của định luật Snells cho trường hợp này và tuân theo bài báo của Henrich và Burkon [2.8]. Ta xuất phát từ (2.6.7) và c0 R 2 giả thiết rằng những biến thiên tốc độ âm trong mặt phẳng nằm ngang D0 = . (2.6.17) 2 k0 cos θ 0 ngang hướng với đường truyền có thể bỏ qua. Do đó, tia ban đầu nằm trong mặt phẳng x z sẽ ở nguyên trong chính mặt phẳng đó tại khoảng Thế (2.6.17) vào (2.6.16) cho cách bất kỳ kể từ nguồn. Khi đó, giả thiết trong (2.6.7) 1/ 2 ⎛ ⎞ 1 c e = {cos α , 0, sin α }, ⎜ ⎟ A( R ) = . (2.6.18) ⎜ D cosθ ⎟ k0 ⎝ ⎠ 0 ta được Tại điểm tụ tia D = 0 và biên độ của sóng âm trở thành vô cùng. Đối với ∂n ∂n d d ( n cos χ ) = ( n sin χ ) = trường hợp đó trường âm có thể được tính toán bằng cách sử dụng công , . (2.7.1) ∂x ∂z ds ds thức tiệm cận, thí dụ có trong công trình của Kravtzov [2.7]. Lấy tích phân phương trình thứ nhất trong (2.7.1) theo s trên quỹ đạo tia, ta có 79 80
tích lũy dọc theo quỹ đạo tia. Từ (2.7.5) suy ra rằng c′ biến đổi dọc theo ∂n s ∫ n cos χ = n cos χ − cos χ 0 = s ds . (2.7.2) 0 ∂χ quỹ đạo tia. 0 Đối với građien tốc độ âm dương ( ∂c / ∂x > 0 ) , c′ > c0 / cos χ 0 và Lưu ý rằng n = c0 / c và đặt ds = dx / cos χ , có thể viết lại (2.7.2) do đó, độ sâu của các điểm quay ngoặt trở lại ở phía dưới trong kênh âm thành ngầm tăng lên, trong khi độ sâu của các điểm quay ngoặt trở lại ở phía cos χ cos χ 0 s ∂c 1 −∫ = dx . (2.7.3) trên giảm khi x tăng (hình 2.8a). Kết quả là có thể xảy ra tình hình: bắt 0 ∂x cos χ c c0 đầu từ khoảng cách nào đó c′ sẽ vượt trội cb - tốc độ âm gần đáy đại Có thể tiếp tục làm giản hóa dựa trên sự biến thiên tỷ số của tốc độ dương. Trong trường hợp này một tia sẽ bị phản phản xạ từ đáy. Mức âm rất nhỏ xảy ra trong đại dương: trường âm trong nước do tia này sẽ bị giảm mạnh hoặc là do sự truyền âm ( c − c0 ) / c0 ≡ ε 0 ; (b) ∂c / ∂x < 0 81 82
Đối với građien tốc độ âm âm ( ∂c / ∂x < 0 ) , c′ sẽ nhỏ hơn rất dài (mục 1.2) và nó có độ nạy cao đối với những bất đồng nhất của cột c0 / cos χ 0 và độ sâu của các điểm quay ngoặt trở lại ở phía dưới giảm, nước và độ gồ ghề các loại của biên. Những yếu tố này làm thay đổi các đặc trưng của tín hiệu âm như thời gian đi dọc theo các tia, pha và tốc độ trong khi độ sâu của các điểm quay ngoặt ở phía trên tăng lên (hình 2.8b). nhóm của các thức dao động, các sơ đồ giao thoa không gian - tần số của Vì lý do đó tia đi tới một độ sâu đã cho ở những khoảng cách ngắn sẽ trường âm. Để xác định những tham số vật lý thủy văn của môi trường không đạt tới độ sâu đó ở những khoảng cách dài. Kết quả là số lượng tia đại dương, lĩnh vực thám âm cắt lớp đại dương (OAT) sử dụng những đi tới máy thu có thể ít hơn so với trong đại dương không phụ thuộc biến thiên của các tín hiệu âm mẫu phát qua một khu vực thử nghiệm khoảng cách. Mức trường âm cũng có thể bị suy giảm trong trường hợp giữa các nhóm nguồn và máy thu. Các phương pháp thám cắt lớp âm hiện này. tồn khác nhau về kỹ thuật quan trắc trường, kiểu tín hiệu sử dụng, những Một số thí dụ về định luật Snells sử dụng dưới dạng (2.7.4) để tính bất đồng nhất được khôi phục và các phương pháp chuyển đổi (tái tạo) toán bằng số về sự suy giảm mức trường âm ở những vùng hội tụ khi những tham số vật lý thủy văn. Một sơ đồ thám sát cắt lớp âm điển hình truyền âm ngang qua một vòng khuyên của Gulf Stream được mô tả trong được biểu diễn trên hình 2.9. Ở đây S1 − S3 là các máy phát âm và [2.8]. R1 − R4 là các máy thu. Khái niệm về OAT do Munk và Wunsch [2.9] phát triển lần đầu tiên. Sơ đồ mà họ đề xuất được dùng để tái tạo những 2.8. THÁM SÁT CẮT LỚP ÂM ĐẠI DƯƠNG bất đồng nhất quy mô vừa của trường tốc độ âm bằng cách đo những thời Như đã nói ở mục 1.4, Đại dương Thế giới rất biến động - các front, gian trở về của các tín hiệu xung dọc theo những quỹ đạo tia khác nhau. dòng chảy quy mô lớn, rối các cỡ làm nhiễu loạn các khối nước trên Hiệu số của các thời gian trở về còn có thể dùng để tái tạo những đặc khoảng không rộng lớn. Sự biến động đại dương có ảnh hưởng rõ rệt tới trưng khác của môi trường biển như nhiệt độ, tốc độ dòng chảy và độ khí hậu đại dương và thời tiết trên Trái Đất: nó quyết định nhiều mặt tới muối. Nhiệt kế âm học cho môi trường đại dương đã được sử dụng để năng suất inh học của đại dương và làm thay đổi mạnh cấu trúc vùng của kiểm soát sự nóng lên toàn cầu của khí hậu Trái Đất [2.10, 11]. Còn biết các trường âm, gây nên những thăng giáng tín hiệu âm và nhiễu loạn quỹ rằng máy đo muối âm học có thể sử dụng để xác định từ xa độ muối trong đạo tia âm. Tất nhiên thông tin về diễn biến của các khối nước thu được các lớp nước dưới băng ở Bắc Băng Dương [2.12]. từ các tầu nghiên cứu và vệ tinh là rất lớn, nhưng dù sao vẫn chưa đủ cho Ta xét những quan hệ cơ bản của phương pháp thám sát cắt lớp tia. những mục đích thực tiễn, bởi vì thông tin đó chủ yếu chỉ liên quan tới bề Thời gian đi t m của một tín hiệu âm dọc theo quỹ đạo tia Γm nối máy mặt và các lớp dưới bề mặt của đại dương. phát nào đó với một trong các máy thu bằng Có thể giải quyết vấn đề thu nhận thông tin chuyên đề cần thiết bằng ds t m = ∫Γ cách tổ chức kiểm soát trong một thời kỳ dài (khoảng một năm) trên vùng , (2.8.1) m c (r, z) nước diện tích 106 km2. Sóng âm tần thấp là phù hợp nhất đối với mục đích kiểm soát như vậy bởi vì nó có thể lan truyền đi những khoảng cách 83 84
ngoài ra đường lấy tích phân Γm phụ thuộc vào ∆c . Tuy nhiên, bài toán sẽ giản ước rất nhiều do tồn tại một tham số bé ε = ∆c / c0 , tham số này thậm chí đối với những vùng rối mạnh nhất - những vòng khuyên của Gulf Stream, thường là không lớn hơn 0,02 [2.13, 14]. Chú ý tới sự vô cùng bé của ε , ta khai triển vế phải của (2.8.1) thành các lũy thừa của ε và chỉ giữ lại các số hạng không cao hơn vô cùng bé bậc một: (0 (1 t m = t m ) + t m) + ... , trong đó ds t m ) = ∫Γ( 0 ) (0 c0 ( r , z ) m là thời gian truyền tín hiệu trong môi trường không nhiễu dọc theo tia Γm0 ) , còn ds là yếu tố của độ dài tia. Lượng hiệu chỉnh tuyến tính cho ( (0 t m ) bằng Hình 2.9. Sơ đồ điển hình của hệ thống thám sát âm cắt lớp đại dương ∆c ở đây c ( r , z ) là tốc độ âm trong môi trường và ds là yếu tố của quỹ đạo t m) = − ∫Γ( 0 ) (1 ds . (2.8.3) 2 tia Γm . Biểu diễn c ( r , z ) thành c0 m c ( r , z ) = c0 ( r , z ) + ∆ c ( r , z ) , (2.8.2) Chính phương trình này là cơ sở của phương pháp thám âm cắt lớp của Munk-Wunsch. Sự thay thế Γm bằng Γm0 ) trong (2.8.3) dẫn tới một sai số ( trong đó c0 ( r , z ) là giá trị đã biết (quy chiếu) của trường tốc độ âm (đối mà với những giá trị đủ bé của ε là không lớn và tùy thuộc vào những với ∆c = 0 ), còn ∆ c ( r , z ) là nhiễu động gây nên bởi sự hiện diện của quy mô không gian của các bất đồng nhất, độ dài đường truyền của tia l những bất đồng nhất trong cột nước cần phải xác định. Với tư cách là c0 trong phạm vi vùng bất đồng nhất và độ rộng lớn chung của đường đi người ta có thể chọn những phân bố khác nhau, thí dụ như phân bố trung sóng âm. Người ta giả thiết rằng tia Γm0 ) tiến một cách liên tục tới tia Γm ( bình khí hậu của trường tốc độ âm được lấy trung bình trên vùng nước. tại ∆c → 0 [2.13]. Sự tuyến tính hóa của (2.8.1) đôi khi không thật. Đó là Việc chọn đặc biệt của c0 tùy thuộc vào số lượng dữ liệu vật lý thủy văn vì thậm chí với những giá trị bé của ε hình dạng của tia Γm0 ) có thể rất ( và vào khả năng tính toán các quỹ đạo tia trong một môi trường bất đồng nhất đang xét. Do đó, bài toán thám âm cắt lớp quy về bài toán tìm t m khác với hình dạng của tia Γm . Trong trường hợp đó việc tái tạo những bằng một tập hợp ∆ c. Dưới dạng phát biểu chặt chẽ, bài toán này rất bất đồng nhất trở nên không thể. Sự ước lượng của lượng hiệu chỉnh bình phức tạp. Nó không tuyến tính bởi vì ∆c xuất hiện ở trong mẫu số và (0 phương cho t m ) và điều kiện áp dụng của phép xấp xỉ tuyến tính được 85 86
dòng. Ký hiệu các thăng giáng thời gian truyền ngược dòng là ~ (1) , ta có (1 giới thiệu trong [2.14]. Giá trị t m) và thời gian đo t m tín hiệu trở về tại tm (1 (0 ~ (1) = − điểm thu liên quan với nhau bằng quan hệ t m) = t m − t m ) . ∫ Γ(0) c0 ( ∆c + v e m ) ds −2 (2.8.6) tm m Phương trình (2.8.3) được viết cho mỗi tia m = 1, 2, 3, ..., N nối tất Lấy (2.8.5) trừ đi (2.8.6) nhận được cả các máy phát và thu. Trong quá trình truyền âm nhiều thức trong kênh ∆t m) = − ∫Γ( 0 ) c0 2 ve m ds , − (1 (2.8.7) âm ngầm số tia tổng cộng là N = s r l , ở đây s là số nguồn, r là số đầu m thu, còn l là số tia tiêu biểu nối mỗi cặp phát - thu. Tham số l được xác trong đó định bằng những tính chất của môi trường và độ xa của các điểm phát và t m) − ~m1) (1 t( thu tương ứng. Để giải bằng số (2.8.3) ta chia vùng kiểm định thành (1 ∆t m) = . 2 những ô hình dạng tùy ý. Kích thước của các ô không được lớn hơn quy Khả năng sử dụng (2.8.7) để tái tạo các tốc độ dòng chảy dựa trên mô không gian của các nhiễu động ∆c . Ta còn giả định rằng các nhiễu giả thiết rằng các quỹ đạo tia thực là khá gần với Γm0 ) trong trường hợp động ∆c trong phạm vi mỗi ô là không đổi và bằng ∆c n . Khi đó (2.8.3) ( quy về hệ các phương trình đại số tuyến tính [2.13-15]: truyền âm trên hướng ngược lại. Lưu ý rằng (2.8.7) chỉ xác định hình chiếu của vectơ v lên hướng e m chứ không phải vectơ v thực sự. Chỉ N ∑ Emn ∆cn , (1 t m) = (2.8.4) đối với những góc mở nhỏ của các tia trong mặt phẳng thẳng đứng thì n =1 vectơ e m mới có thể được thay thế bằng vectơ phương ngang e hướng ở đây E mn = 0 nếu một tia nhiễu động m không đi qua ô n và từ điểm phát tới điểm thu. Ký hiệu v0 = ve ta được Emn = ∫ Γ( 0 ) c −2 ds nếu ngược lại. Ở đây Γmn là quỹ đạo tia m trong ô (0) ∆t m) = − ∫Γ( 0 ) c0 2 v0 ds . − (1 (2.8.8) mn n . Hệ (2.8.4) có thể giải bằng một phương pháp chuẩn. m Cấu trúc của (2.8.8) trùng với cấu trúc của (2.8.3) và cũng có thể Bây giờ ta xét vấn đề về thám âm cắt lát đối với dòng chảy [2.14, giẩnhó thành một hệ phương trình đại số tuyến tính. 15]. Giả sử số Mach là nhỏ so với đơn vị, M = v / c , trong đó v là tốc độ Chú ý rằng để hiện thực hóa thành công sơ đồ thám âm cắt lớp đã dòng chảy. Trong trường hợp này những thăng giáng của thời gian truyền tín hiệu trong phép xấp xỉ bậc một về ε và M được cho bằng xét người ta phải kiểm soát chặt chẽ về vị trí chính xác của các đầu phát và thu tại mọi thời thời, đồng bộ hóa sự hoạt động của chúng, các tín hiệu t m) = − ∫ Γ(0) c0 2 ( ∆c + v e m ) ds , − (1 (2.8.5) phải tương đối mạnh và phân biệt tốt, quan trắc thời hạn dài và chọn phù m trong đó e m là vectơ đơn vị dọc theo tia Γm0 ) . Để xác định v phải đo ( hợp phân bố tốc độ âm quy chiếu gần với phân bố thực. (1 t m) khi tín hiệu truyền ngược và xuôi dòng, tức là đổi chỗ vị trí của đầu Ngoài thám tia cắt lớp, những phương pháp thám âm cắt lớp khác cũng khá phát triển: phương pháp thức (mode method) sử dụng những phát và đầu thu. Giả sử biểu thức (2.8.5) mô tả thời gian truyền xuôi nhiễu động về pha và các tốc độ nhóm của những thức âm với số sóng 87 88
độ âm là do các chùm tia phân kỳ yếu (WDB) mà góc mở xuất phát từ thấp làm dữ liệu xuất phát [2.9, 16]; phương pháp giao thoa dựa trên đo nguồn của chúng gần với những điểm cực trị trơn trên đường cong phụ hiệu pha của các thức khác nhau [2.13, 15] và phương pháp khúc xạ, thuộc giữa độ dài chu trình tia D( χ 0 ) và χ 0 . Nói cách khác, các chùm trong đó các tham số được tái tạo là những nhiễu động của trường tốc độ tia phân kỳ yếu xuất hiện gần những tia đặc biệt mà với chúng âm và mật độ của cột nước cũng như những đặc trưng thống kê của bề dD / dχ 0 = 0 . Những chùm như thế có mặt một số nơi trong không gian mặt dậy sóng và đáy đại dương [2.17]. Mặc dù có những khác biệt đáng và có cấu trúc tựa tuần hoàn. kể, song nhưng tất cả những phương pháp này thường được xem như một nhóm chung bởi vì các phép đo dựa trên sử dụng những tín hiệu tựa xung Ta xét WDB trong một kênh âm ngầm với trắc diện tốc độ âm điển băng rộng lan truyền giữa các đầu phát và đầu thu bị neo. Nhóm này hình của Bắc Đại Tây Dương [2.23]: thường được gọi là thám âm cắt lớp truyền thống. Một cách tiếp cận khác ⎧ c0 − a1 z, − h ≤ z ≤ 0, ⎪ sử dụng các đầu phát và, hoặc đầu thu được thả xuống từ boong tầu c( z ) = ⎨ c0 + a2 z, 0 ≤ z ≤ z2 , (2.9.1) chuyển động (thám âm cắt lớp động) [2.18, 19]. Thám cắt lớp truyền ⎪ c + a ( z − z ), z2 ≤ z ≤ H , ⎩2 3 2 thống thuận tiện đối với những quan trắc dài hạn vì có thể thực hiện ở đây c0 là tốc độ âm tại trục kênh z = 0 , z = − h là bề mặt đại dương, không cần người vận hành và cho các tham số hải dương học về những z = H là đáy đại dương và a1 , a2 , a3 là các građien tốc độ âm trong bất đồng nhất môi trường quy mô vừa lấy trung bình trên tuyến truyền âm, trong khi thám cắt lớp động cung cấp nhiều tuyến truyền âm hơn và các lớp (hình 2.10). độ phân giải phương ngang cao hơn. Ngoài ra nó cho phép ta dễ dàng thay đổi khu vực khảo sát và chiến lược quan trắc trong quá trình khảo sát [2.19]. Thám cắt lớp động phù hợp nhất đối với việc dò những bất đồng nhất quy mô vừa. Trong [2.13, 15] phân loại chi tiết về các phương pháp thám âm đại dương hiện đại. Các vấn đề và phương pháp của thám âm đại dương được giới thiệu đầy đủ trong cuốn chuyên khảo cơ sở [2.20]. 2.9. CÁC CHÙM TIA PHÂN KỲ YẾU Các thí nghiệm về thám sát thẳng đứng trường âm ở vùng khơi đại dương tại khoảng cách lớn từ nguồn đã phát hiện được những khoảng độ sâu có mức tín hiệu sóng tăng lên [2.21]. Thấy rằng, trong những điều kiện thủy văn nhất định năng lượng âm có thể tập trung tại những độ sâu nào đó thay vì phân bố đồng đều trên toàn cột nước. Trong các công trình [2.21, 22] đã đưa ra một giả thuyết cho rằng những dị thường về cường Hình 2.10. Trắc diện tốc độ âm điển hình của Bắc Đại Tây Dương [2.23] 89 90
phương trình dD / dv = 0 . Đạo hàm (2.9.3) theo v , ta được Độ dài chu trình tia được xác định bằng (2.3.1) trong đó các cận tích phân trải dài từ z′ (điểm quay lại phía trên) đến z′′ (điểm quay lại phía ⎡⎛ ⎤ −1 / 2 −1 / 2 ⎞ ⎛ ⎞ c2 c2 dD ⎢⎜1 − 0 ⎥. ⎟ − µ ⎜1 − 2 ⎟ =η (2.9.5) dưới): ⎜ v2 ⎟ ⎢⎜ v 2 ⎟ ⎥ dv ⎝ ⎠ ⎣⎝ ⎠ ⎦ z′′ dz ∫ D( χ 0 ) = 2 . Từ (2.9.5) suy ra rằng tại a 2 = a3 (trắc diện tuyến tính kép) hoặc tại tgχ ( z ) z′ a3 < a 2 (građien của lớp dưới bé hơn của lớp giữa), µ < 0 và do đó Sẽ thuận tiện nếu ta biểu diễn tgχ ( z ) thành các số hạng thành phần dD / dv ≠ 0 , tức WDB bổ sung vắng mặt. Tại a3 > a 2 , µ > 0 và phương ngang của tốc độ pha của sóng truyền dọc theo tia, dD / dv = 0 , giá trị cực trị của tốc độ pha là v = v0 / cos χ 0 = c( z ) / cos χ ( z ) , với c( z ′) = c( z ′′) = v . Trong trường 1/ 2 ⎛ ⎞ hợp này µ 2 c2 c 2 ⎜1 − 2 0 ⎟ ⎜ ⎟ −1 / 2 ⎡ v2 ⎤ z′′ c2 ⎝ ⎠ ∫ = D( v) = 2 − 1⎥ . (2.9.6) dz . (2.9.2) ⎢2 vext 1− µ2 ⎣ c ( z) ⎦ z′ Ta ước lượng góc xuất phát của tia cực trị từ nguồn đặt tại z = 0 Thay thế (2.9.1) trong (2.9.2) ta được [ ] (trục kênh). Nếu giả sử rằng c0 = 1490 m/s, c 2 = 1499 m/s, D( v) = η ( v 2 − c0 )1 / 2 − µ ( v 2 − c2 )1 / 2 , 2 2 (2.9.3) a1 = a2 = 0,015 s-1, ta tìm được v ext = 1500,5 m/s, nó tương ứng với trong đó χ 0 = 6,8 o. η = 2( a1−1 + a2 1 ) , − Hình 2.11 [2.21] thể hiện hai họ tia: (a) các chùm phân kỳ yếu và (b) ⎧ v < c2 , các tia bình thường. Cả hai loại tia được tính cho những điều kiện thủy 0, ⎪ 1 − a2 / a3 µ=⎨ văn đặc thù của thủy vực Canary tại các khoảng cách 900-1200 km từ v > c2 . , ⎪ nguồn. Độ gián đoạn của các góc đi ra của các tia này là 0,1o trong 1 + a2 / a1 ⎩ khoảng − 11o − 9 o đối với (a) và − 8 o − 6 o đối với (b). Trong trường hợp Đạo hàm (2.9.3) theo χ 0 , ta được thứ nhất, do sự phân kỳ yếu hơn của các tia mà mật độ góc lớn hơn, dẫn dD dD dv dD tới cường độ âm cao hơn. Những thí nghiệm thực hiện ở khu vực này đã v tgχ 0 . = = (2.9.4) dχ 0 dv dχ 0 cho thấy rằng các vùng cường độ cao được quan sát thấy tới những dv khoảng cách 3400 km. Một bức tranh như vậy được quan sát thậm chí Một giá trị cực trị χ 0 = 0 tương ứng với một tia đi ra từ nguồn với góc trong trường hợp nguồn âm và đầu thu cách xa trục kênh một khoảng mở bằng không. Khi nguồn nằm gần trục kênh chùm này tương ứng với cách đáng kể và các đặc trưng thủy văn biến thiên mạnh dọc theo tuyến các tia lân cận trục mà phần chính của năng lượng âm truyền trên đó. Các truyền âm. Sơ đồ tia đối với những tia bình thường có dạng hoàn toàn điểm cực trị khác tương ứng với những tia nghiêng hơn được xác định từ khác mặc dù có sự tập trung các tia một cách yếu hơn đã từng diễn ra đối 91 92
với các nhóm tia riêng biệt. Trong trường hợp kênh âm tuyến tính kép, WDB chỉ vắng mặt giữa các tia nước thuần khiết, nhưng chúng có thể tồn tại giữa các tia phản xạ từ bề mặt đại dương. Độ dài chu trình của một tia phản xạ từ bề mặt đại dương được cho bằng −1 / 2 ⎛ v2 ⎞ z′′ ⎜ ⎟ ∫−h D( v) = 2 ⎜ c 2 ( z ) − 1⎟ dz . (2.9.7) ⎝ ⎠ Thay thế (2.9.1) trong (2.9.7) và lưu ý rằng a 2 = a3 , ta tìm được 22 2 ( v − c0 )1 / 2 − (1 − cS )1 / 2 , 2 2 D( v) = (2.9.8) a a1 trong đó c S là tốc độ âm tại bề mặt đại dương và a −1 = ( a1−1 + a2 1 ) . − Bây giờ phương trình để xác định v ext có dạng −1 / 2 −1 / 2 dD ⎛ c2 ⎞ ⎛ c2 ⎞ a = ⎜1 − 0 ⎟ ⎜1 − S ⎟ − =0, (2.9.9) dv ⎜ v 2 ⎟ ⎜ v2 ⎟ a1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ từ đó ta được 1/ 2 ⎛ γ 2 c2 ⎞ c S ⎜1 − 2 0 ⎟ ⎜ cS ⎟ =⎝ ⎠ , (2.9.10) vext (1 − γ 2 ) 1 / 2 ở đây γ = a / a1 . Đặt h = 600 m và a2 = 0,06 s −1 , ta tìm được v ext = 1515 m/s và χ 0 = 10,4 o . Cần nhận xét rằng các chùm tia phân kỳ yếu có thể bị phá hủy dưới sự phản xạ từ bề mặt đại dương dậy sóng. Có thể đưa ra giải thích rất đơn giản về sự không phụ thuộc của độ dài chu trình của tia cực trị vào góc đi ra của nó. Đó là sự giảm khoảng cách ngang mà một tia như thế đi qua trong lớp nước bên trên khi góc mở tăng lên hoàn toàn được bù trừ bằng sự tăng khoảng cách trong lớp dưới. Hình 2.11. So sánh hai họ tia: (a) các chùm tia hội tụ yếu trong khoảng Tình hình đúng như vậy xảy ra đối với trường hợp các tia nước thuần túy o o o o góc − 11 − 9 ; (b) các tia bình thường trong khoảng góc − 8 − 6 93 94