CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 9

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

SỰ TẢN MÁT ÂM TẠI CÁC BỀ MẶT GỒ GHỀ Như đã chỉ ra ở chương 1, bề mặt và đáy đại dương là những bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên. Chưa có lý thuyết chính xác về sự tản mát sóng đối với các bề mặt kiểu đó. Tuy nhiên, người ta đã phát triển những phương pháp gần đúng hiệu quả cho một số trường hợp cụ thể quan trọng như sự gồ ghề với những đỉnh và sườn nhỏ và sự gồ ghề trơn lớn. 9.1. THAM SỐ RAYLEIGH Độ gồ ghề của mặt biển có phổ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ SỞ ÂM HỌC ĐẠI DƯƠNG ( BIÊN DỊCH PHẠM VĂN HUẤN ) - CHƯƠNG 9

Chương 9 tương đối so với mặt phẳng trung bình z = 0 (hình 9.1). Có thể thấy từ hình 9.1 rằng hiệu pha bằng SỰ TẢN MÁT ÂM TẠI CÁC BỀ MẶT GỒ GHỀ ∆ϕ = k( BC + CD ) = k( 2CD − AB ) . Như đã chỉ ra ở chương 1, bề mặt và đáy đại dương là những bề mặt gồ ghề ngẫu nhiên. Chưa có lý thuyết chính xác về sự tản mát sóng đối với các bề mặt kiểu đó. Tuy nhiên, người ta đã phát triển những phương pháp gần đúng hiệu quả cho một số trường hợp cụ thể quan trọng như sự gồ ghề với những đỉnh và sườn nhỏ và sự gồ ghề trơn lớn. 9.1. THAM SỐ RAYLEIGH Độ gồ ghề của mặt biển có phổ không gian liên tục với những bước sóng từ vài milimét tới một số mét. Phổ của địa hình đáy cũng rất rộng - từ “các gợn sóng” nhỏ do dòng chảy gây nên trên cát đến những dãy núi Hình 9.1. Về sự thiên lệch của tham số Rayleigh trung tâm đại dương trải dài hàng nghìn kilômét và độ cao vài kilômét. Nhưng bởi vì Trong lý thuyết tản mát sóng, quy mô theo phương thẳng đứng của ζ độ gồ ghề thường được chỉ ra bằng tham số Rayleigh 27 P ≡ 2 kσ cos θ 0 , AB = 2ζ tan θ 0 sin θ 0 , CD = , cosθ 0 trong đó k là số sóng, θ 0 là góc tới của sóng âm và σ là li độ căn bình nên phương trung bình của bề mặt gồ ghề so với mực trung bình của nó. Tại ∆ϕ = 2 kζ cos θ 0 . P > 1 ứng với độ gồ ghề lớn, nó gây nên sự [〈( ∆ϕ ) 〉 ]1/ 2 2 σ = ( 〈ζ 2 〉 )1 / 2 . = 2kσ cos θ 0 = P, (9.1.1) tản mát âm đáng kể trên một khoảng góc tương đối rộng. Để làm rõ ý σ π nghĩa của P , ta xét những phản xạ âm từ bề mặt gồ ghề → 0 hay θ 0 → . Trong trường hợp Ta còn thấy rằng P → 0 nếu z = ζ ( r ), r = {x, y} và tìm đổi thiên pha bổ sung dọc theo tia ACD λ 2 đó sự tản mát không xảy ra và sự phản xạ trở thành phản xạ gương. 27 Trong mục 1.6 tham số Rayleigh đã được định nghĩa thông qua góc mở χ = π / 2 − θ0 . 287 288
⎧∂ ∂⎫ 9.2. PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỘNG BÉ (MSP) n⊥ = −∇ ⊥ ζ , ∇⊥ = ⎨ , ⎬ . (9.2.3) ⎩ ∂x ∂y ⎭ nz Nếu một bề mặt gồ ghề chỉ thiên lệch nhẹ khỏi một bề mặt trung Bây giờ chúng ta khai triển các điều kiện biên (9.2.1, 2) thành một bình xác định (thường là một mặt phẳng) và có những góc nghiêng khá chuỗi lũy thừa của ζ , chỉ giữ lại những số hạng không cao hơn ζ nhỏ, thì trường bị tản mát bởi bề mặt đó có thể tính được một cách gần ∂p đúng bằng phương pháp nhiễu động bé. ý tưởng chủ yếu của phương p +ζ =0, a) pháp này là: các điều kiện biên tại một bề mặt gồ ghề z = ζ ( r ) có thể ∂z chuyển đổi về bề mặt trung bình bằng cách khai triển các điều kiện biên ∂2 p ∂p + ζ 2 − ∇ ⊥ p.∇ ⊥ζ = 0 thành chuỗi lũy thừa của ζ . Trường âm trong một nửa không gian b) 9.2.4) ∂z ∂z z > ζ cũng có thể khai triển thành những lũy thừa của ζ và những điều tại z = 0 . kiện phải được thỏa mãn bởi các phép gần đúng bậc nhất, bậc hai và tiếp Một cách tương tự, ta giả thiết đối với trường âm tổng cộng trong theo tại bề mặt trung bình được tìm. Kết quả là bài toán về tản mát sóng nửa không gian z > 0 tại một bề mặt gồ ghề được quy về bài toán phát xạ bởi lượng đóng góp p (r , z ) = p0 (r , z ) + ps (r , z ) , của các nguồn âm “biểu kiến”. (9.2.5) Rayleigh là người đầu tiên dùng phương pháp nhiễu động bé trong trong đó p0 là trường âm khi không có độ gồ ghề và ps là trường tản các công trình của ông về về sự tản mát âm tại những bề mặt không đều mát bậc nhất. tuần hoàn [9.1, 2]. Feinberg [9.3], Bass và Fuks [9.4] đã có những đóng Thế (9.2.5) vào (9.2.4) và cho các số hạng bậc ζ 0 và bậc ζ bằng góp quan trọng cho sự phát triển của phương pháp nhiễu động bé. nhau, ta nhận được những điều kiện biên tại mặt phẳng z = 0 Ta xét trường hợp đơn giản nhất về một bề mặt gồ ghề phản xạ lý p0 = 0 a) (9.2.6) tưởng và giả thiết rằng mặt phẳng xy trùng với bề mặt trung bình, tức ζ = 0 . Đối với bề mặt giải phóng áp suất điều kiện biên có dạng ∂p0 ps = −ζ (9.2.7) p[r , ζ ( r )] = 0 ∂z a) (9.2.1) và đối ∂p0 với một bề mặt cứng tuyệt đối =0 b) (9.2.8) ∂z ⎛ ∂p ⎞ ⎜⎟ = (∇p ⋅ n ) z =ζ = 0 , b) (9.2.2) ∂ 2 p0 ∂ps ⎝ ∂n ⎠ z =ζ = −ζ + ∇ ⊥ p0 ⋅ ∇ ⊥ ζ (9.2.9) ∂z ∂z 2 ở đây n = {n ⊥ , n z } là vectơ đơn vị của pháp tuyến trong của bề mặt gồ Ta có thể thấy rằng trong trường hợp b) trường tản mát phụ thuộc không ghề, còn chỉ vào ζ , mà cả vào độ nghiêng của bề mặt gồ ghề ∆ ⊥ ζ . 289 290
Nghiệm của phương trình Helmholtz Helmholtz (9.2.10) bởi vì phương trình Helmholtz được thỏa mãn bởi sóng phẳng trong biểu thức dưới dấu tích phân. 2 ∆p + k p = 0 (9.2.10) Như vậy, trong phép gần đúng bậc nhất của phương pháp nhiễu với các điều kiện biên (9.2.6, 8) đối với p0 đã rất quen thuộc (chương 3). động bé mỗi hợp phần Fourier của độ gồ ghề tạo nên sóng phẳng tản mát Đối với sóng tới phẳng nghiệm đó là của riêng nó truyền trên hướng (ξ , γ ) , sóng này tuân theo định luật p0 ( r, z ) = exp( iξ 0 ⋅ r ) [exp( − iγ 0 z ) ± exp( iγ 0 z )] , (9.2.11) Bragg trong đó số hạng thứ nhất là sóng tới và số hạng thứ hai là sóng phản xạ ξ = ξ0 + ℵ . (9.2.17) gương, dấu trừ tương ứng bề mặt giải phóng áp suất và dấu cộng tương Một cách tương tự, đối với một bề mặt cứng, nếu sử dụng (9.2.13) ứng với bề mặt cứng; ξ 0 và − γ 0 là các hợp phần phương ngang và thẳng ps (r, z ) = −2i ∫−∞ A(ℵ)(γ 0 − ℵ ⋅ ξ 0 ) exp[i(ξ 0 + ℵ) ⋅ r + iγ z]γ −1 dℵ ∞ 2 đứng của vectơ sóng k0 của sóng tới thỏa mãn điều kiện ξ 02 + γ 02 = k02 ( k0 ≡ k ) . (9.2.18) Thế (9.2.11) vào (9.2.7) và (9.2.9), ta được 9.3. CƯỜNG ĐỘ TRUNG BÌNH ps ( r , 0 ) = 2iγ 0 ζ ( r ) exp( iξ 0 ⋅ r ) a) (9.2.12) Các đặc trưng thống kê của trường tản mát ps (r , z ) lấy trung bình [ ] ∂ps ( r, 0 ) 2 = 2 γ 0 ζ (r ) + iξ 0 ⋅ ∇ ⊥ ζ ( r ) exp( iξ 0 ⋅ r ) b) (9.2.13) trên một tập hợp các bề mặt ngẫu nhiên ζ ( r ) được quan tâm nhất. Theo ∂z (9.2.16), giá trị trung bình của một trường tản mát, tức ps bằng không, Chúng ta biểu diễn ζ (r ) như một tích phân Fourier vì chúng ta đã giả thiết rằng ζ = 0 và do đó, A(ℵ) = 0 . Nhưng giá trị ∞ ζ (r ) = ∫−∞ A(ℵ) exp(iℵ ⋅ r )dℵ . (9.2.14) trung bình của cường độ âm (bình phương trung bình của mô đun áp suất Khi đó, trong trường hợp a) ta có tại z = 0 2 âm) I s = ps thì không bằng không. ps (r, 0) = 2iγ 0 ∫−∞ A(ℵ) exp [i(ξ 0 + ℵ) ⋅ r ] dℵ ∞ (9.2.15) 9.3.1. Bề mặt vô hạn Để nhận được một biểu thức cho trường âm tại z > 0 chỉ cần đưa Trước hết ta xét trường hợp khi một bề mặt gồ ghề là vô hạn và vào trong (9.2.15) thừa số exp( iγ z ) , ở đây γ = [ k 2 − (ξ 0 + ℵ) 2 ] 1 / 2 và điểm quy chiếu ở xa kể từ bề mặt so với bước sóng âm. Trong trường hợp Im{ γ } > 0 , này chỉ các sóng không suy yếu mà với chúng γ là số thực mới có đáng ps (r, z) = 2iγ 0 ∫−∞ A(ℵ) exp[i(ξ 0 + ℵ) ⋅ r + iγ z] dℵ . ∞ (9.2.16) kể trong tích phân (9.2.16). Khoảng cách tương ứng của ℵ được ký hiệu bằng Γ1 . Khi đó, đối với I s ta được Biểu thức này thỏa mãn cả điều kiện biên (9.2.15) lẫn phương trình 291 292
I s = 4γ 0 ∫ ∫ 〈 A(ℵ) A ∗ (ℵ′)〉 exp[i(ℵ − ℵ′) ⋅ r + i(γ − γ ′) z] dℵdℵ′ , bước sóng âm λ và bán kính tương quan ρ 0 của bề mặt gồ ghề. 2 Γ1 Γ1 Ta sẽ xét một trường tản mát ở vùng xa (vùng Fraunhofer). Những (9.3.1) chỉ tiêu đối với vùng xa đối với một bề mặt ngẫu nhiên gồ ghề nhẹ là [9.6] trong đó dấu phảy trên chỉ đại lượng liên hợp phức, và [ ] Q0 l / λ
dS = R 2 tgθ dθ dϕ và khác và số vùng là vô hạn, phép lấy tổng có thể được thay thế bằng phép tích phân. Kết quả là, nếu đặt I i = I , ta được 2π π /2 ∫0 ∫0 m s (θ , ϕ )tgθ dϕ dθ . Is = (9.3.9) I s = ∫ m s (θ ,ϕ ) R dS , −2 (9.3.8) ϕ θ Thay đổi cách tích phân trong (9.3.5) thành và ở đây tích phân được thực hiện trên bề mặt vô hạn. ( dℵ = dξ = ξ dξ dϕ , ξ = k sin ϕ ), ta được Giả sử P là điểm quy chiếu, nơi các sóng tản mát bởi những vùng 2π π /2 I s = 4γ 0 k 2 ∫ 0 ∫0 2 G(ℵ) sin θ cosθ dϕ dθ . (9.3.10) khác nhau của biên OB (hình 9.2) được xét. Mỗi điểm của biên có thể được đặc trưng bởi các góc θ và ϕ đã đưa ra ở trên. Ta sẽ sử dụng Từ sự so sánh (9.3.9) và (9.3.10) ta tìm được những góc này như các biến tích phân mới trong (9.3.8). Vậy ta có m s (θ , ϕ ) = 4k 4 cos 2 θ 0 cos 2 θ G(ℵ) . (9.3.11) dS = AB ⋅ OA ⋅ dϕ , ở đây OAdϕ là kích thước thẳng của bề mặt trên ở đây γ 0 = k cos θ 0 và θ 0 là góc tới của sóng âm. hướng pháp tuyến với mặt phẳng biểu diễn trong hình vẽ. Từ (9.3.11) suy ra rằng trong phép gần đúng bậc nhất của phương pháp nhiễu động bé hệ số tản mát được xác định bằng một hợp phần đơn của phổ không gian của độ gồ ghề với vectơ sóng ℵ thỏa mãn định luật Bragg (9.2.17). Sự tản mát loại này được gọi là tản mát cộng hưởng hay tản mát chọn lọc. Đối với những hướng đã cho của sóng tới (θ 0 , ϕ 0 ) và sóng tản mát (θ , ϕ ) các hợp phần của giá trị cộng hưởng của ℵ là ℵx = ξ x − ξ 0 x = k (sin θ cos ϕ − sin θ 0 cos ϕ0 ) , (9.3.12) ℵ y = ξ y − ξ 0 y = k(sin θ cos ϕ − sin θ 0 cos ϕ 0 ) . (9.3.13) Đối với sự tản mát ngược trở lại (θ = θ 0 , ϕ = ϕ 0 + π ) ta được ℵ = (ℵ2 + ℵ2 )1 / 2 = 2k sin θ 0 , α ≡ arctg(ℵ y / ℵ x ) = ϕ 0 . (9.3.14) x y Như vậy, trường tản mát trên hướng ngược trở lại là do hợp phần của bề mặt biển gồ ghề có cùng góc phương vị α như sóng âm tới và bước sóng Hình 9.2. Các tham số để tính trường âm ở trong vùng xa 2π λ trong phép gần đúng của phương pháp nhiễu động bé Λ= = . ℵ 2 sin θ 0 Rdθ CA OA = R sin θ AB = = Nhưng và . Kết quả là Trường tản mát trên hướng phản xạ gương là do hợp phần với bước cosθ cosθ 295 296
sóng lớn vô hạn. Thật vậy, nếu giả thiết (9.3.12, 13) θ = θ 0 và ϕ = ϕ 0 , ta (9.3.16) nhận được ℵ = 0 . ở đây F ( ρ,η ;θ , ϕ ) ≡ sin θ ( ρ x cos ϕ + ρ y sin ϕ ) + η cos ϕ Quan hệ (9.3.11) cung cấp một sự kết nối trực tiếp giữa hệ số tản mát m s và phổ không gian của độ gồ ghề G(ℵ) . Nếu đo được m s đối và ρ x , ρ y là các hợp phần của vectơ ρ tuần tự dọc theo các trục x và với một khoảng đủ rộng tần số âm hay các góc θ , ϕ và θ 0 , chúng ta có y. thể ước lượng phổ G(ℵ) . Phương pháp này có thể hữu ích bởi vì đo trực Bây giờ đặt ρ x = ρ y = η = 0 trong (9.3.16), ta được cường độ của tiếp phổ không gian của sóng gió ở ngoài khơi đại dương gặp một số trở ngại kỹ thuật. trường tản mát 2π π /2 I s = ( 2 kγ 0 ) 2 ∫ 0 ∫0 G(θ , ϕ ) cosθ dΩ , (9.3.17) 9.3.3. Hàm tương quan của trường tản mát trong đó dΩ = sin θ dθ dϕ là góc lập thể mà một vùng ds của bề mặt Một đặc trưng quan trọng của trường âm tản mát là hàm tương quan gồ ghề được nhìn thấy từ điểm quy chiếu trên hướng θ , ϕ . không gian. Trong một số trường hợp hàm này cho phép chúng ta nhận được nghiệm của bài toán ngược, tức tìm hàm tương quan của độ gồ ghề. Mật độ góc của thông lượng năng lượng hay cường độ tia sẽ là Như ở mục 9.3.1, ta giả thiết rằng bề mặt gồ ghề là vô hạn, sóng tới là dI s = ( 2kγ 0 ) 2 G(θ , ϕ ) cosθ . Js ≡ sóng phẳng và khoảng cách của điểm quy chiếu từ bề mặt gồ ghề dài hơn (9.3.18) dΩ nhiều so với bước sóng âm. Đối với hàm tương quan không gian của Nếu thế (9.3.18) vào (9.3.16), ta tìm được trường tản mát bởi bề mặt giải phóng áp suất ta có theo (9.2.16, 17) và J s exp [ikF ( ρ,η ;θ , ϕ )]sin θ dθ dϕ . 2π π /2 (9.3.3): ∫0 ∫0 Bs ( ρ,η ) = (9.3.19) [− i(ξ ⋅ ρ + γ η )] dϕ ∫ ∗ 2 Bs ( ρ,η ) = = 4γ 〈 ps (r1 , z1 ) ps (r2 , z 2 )〉 0 Γ G(ℵ) exp Mối liên hệ (9.3.19) tỏ ra là một quan hệ khá tổng quát. Nó liên hệ hàm tương quan của trường âm bất kỳ với cường độ tia. Đại lượng sau (9.3.15) không cần phải ước lượng theo phương pháp nhiễu động bé. Chỉ cần trong đó ρ = r2 − r1 ,η = z 2 − z1 , γ = ( k 2 − ξ 2 )1 / 2 và Γ là một miền của trường tản mát dừng trong không gian, tức hàm tương quan sẽ chỉ phụ ξ ứng với các giá trị số thực của γ . thuộc vào ρ và η . Như vậy chúng ta có thể sử dụng (9.3.19) để tính hàm Đôi khi hợp lý nhất là biểu diễn hàm tương quan thông qua mật độ tương quan của một trường tản mát bởi một bề mặt gồ ghề với độ gồ ghề thông lượng năng lượng. Thay đổi cách tích phân trong (9.3.15) thành các là trơn lớn. biến θ và ϕ , ta được Còn có thể thu được một biểu thức hữu ích đối với Bs ( ρ,η ) thông G(θ , ϕ ) exp [ikF ( ρ,η ;θ , ϕ )]sin θ cos θdθdϕ 2π π /2 Bs ( ρ,η ) = ( 2kγ 0 ) 2 ∫ 0 ∫0 qua hệ số tản mát (9.3.9). Sau khi tìm được cường độ tia từ (9.3.9) 297 298
m s (θ , ϕ ) (9.3.23) Js = cosθ trong đó Bs ( ρ ) là hàm tương quan của độ gồ ghề (9.3.2). Vì đường bao và thế nó vào (9.3.19), ta được của hàm tương quan của trường tản mát tỷ lệ thuận với đường bao của độ m s (θ , ϕ ) exp [ikF ( ρ,η ;θ , ϕ )] tgθ dθ dϕ . (9.3.20) gồ ghề, tức hàm tương quan di chuyển không bị biến dạng tới mặt phẳng 2π π /2 ∫0 ∫0 Bs ( ρ,η ) = tùy ý z = const [9.5, mục 10]. Rõ ràng bán kính tương quan phương Tiến hành lấy tích phân trên mặt phẳng trung bình của bề mặt gồ ghề và ngang của trường bằng bán kính tương quan của độ gồ ghề. chú ý rằng ds = R 2 tgθ dθ dϕ , ta nhận được (b) Hàm tương quan phương thẳng đứng ( ρ = 0 ) . Trong trường hợp Bs ( ρ,η ) = ∫S m s (θ , ϕ ) R −2 exp[ikF ( ρ,η ;θ , ϕ )] ds . này thuận tiện nhất là dùng (9.3.20). Ta giả sử rằng hàm tương quan của (9.3.21) độ gồ ghề có dạng Gauss Các phương trình (9.3.15, 19-21) cho phép chúng ta ước lượng hàm B( ρ ) = σ 2 exp( −ρ 2 / ρ 0 ) . 2 tương quan của trường tản mát nếu phổ không gian của độ gồ ghề, hoặc Hệ số tản mát sẽ là cường độ tia của trường tản mát, hoặc hệ số tản mát được biết. [ ] m s (θ , ϕ ) = A cos 2 θ exp − (ℵρ 0 / 2 ) 2 , (9.3.24) Đối với bề mặt biển, độ gồ ghề được mô tả bằng phổ thực nghiệm, những tính toán như vậy chỉ có thể thực hiện bằng số. Vì lý do đó dưới trong đó A = (1 / ρ )( kρ 0 ) 2 cos 2 θ 0 . đây chúng ta xét một số mô hình về phổ mặt biển dậy sóng và nhận một Thế (9.3.24) vào (9.3.20), ta nhận được tại ρ x = ρ y = 0 : số kết quả liên quan tới các đặc trưng tương quan của trường tản mát. [ ] 2π π /2 I. Độ gồ ghề quy mô lớn ( kρ 0 >> 1, ρ 0 là bán kính tương quan của Bs (η ) = A ∫ 0 ∫0 exp − (ℵρ 0 / 2) 2 + ikη cosθ sin θ cosθ dθ dϕ độ gồ ghề) (9.3.25) (a) Hàm tương quan phương ngang (η = 0 ) . Từ (9.3.15) ta nhận Để đơn giản, dưới đây ta giả thiết θ 0 = 0 . Chú ý rằng ℵ = k sin θ được cho trường hợp này trong trường hợp này, phép tích phân theo ϕ cho kết quả 2π . Vì chỉ Bs ( ρ ) = 4γ 0 ∫ Γ G(ℵ) exp( iξ ⋅ ρ )dξ . 2 (9.3.22) những giá trị bé của sin θ ~ 2 / kρ 0 là có ý nghĩa trong (9.3.25), nên ta có thể một cách gần đúng cho cosθ ≈ 1 − (1 / 2 ) sin 2 θ . Sau khi thực hiện Với độ gồ ghề quy mô lớn hàm G(ℵ) không bằng không chỉ tại những giá trị bé ℵ ≤ 1 / ρ 0 và giảm rất nhanh khi ℵ tăng lên. Nhờ đó, tích phân trong (9.3.25) theo θ , ta tìm đối hệ số tương quan (hàm tương chúng ta có thể trong (9.3.22) thực hiện trước tích phân trên ℵ và mở quan chuẩn hóa): [ ] rộng các cận tích phân tới ± ∞ . Kết quả là ta được −1 N s (η ) = Bs (η ) / Bs ( 0 ) = 1 + ( 2η / kρ 0 ) 2 2 exp( ikη − iα ) , (9.3.26) ∞ Bs ( ρ ) = 4γ exp( iξ 0 ⋅ ρ )∫ −∞ G(ℵ) exp( iℵ ⋅ ρ )dℵ = 4γ exp( iξ 0 ⋅ ρ ) B( ρ ) 2 2 2 ở đây α = arctg( 2η / kρ 0 ) . 0 0 299 300
Như suy ra từ (9.3.26), bán kính tương quan thẳng đứng có bậc 9.4. HỆ SỐ TẢN MÁT CỦA BỀ MẶT ĐẠI DƯƠNG 2 η 0 ~ kρ 0 , tức nó kρ 0 lớn hơn so với bán kính tương quan ngang. Đáng tiếc, có rất ít dữ liệu thực nghiệm về phổ không gian của sóng II. Độ gồ ghề quy mô bé ( kρ 0 π /2 ⎪0 ⎩ Có thể chứng minh rằng bán kính tương quan phương thẳng đứng trong đó v(ℵ) biến thiên từ 10 tại các tần số thấp đến 2 tại các tần số cao. cũng có bậc của bước sóng âm. Các kết quả (9.3.26-28) trước đây đã Thừa số b phải xác định từ điều kiện chuẩn hóa. Đôi khi các giá trị của nhận được trong [9.5, mục 10] bằng cách xét sự khúc xạ của sóng phẳng v = 2 hoặc v = 4 được sử dụng cho tất cả ℵ . tại một vách chắn ngẫu nhiên. Thế (9.4.2) vào (9.3.11) cho m s = 2 k 4 g 1 / 2 ℵ − 3 / 2 cos 2 θ 0 cos 2 θ S ( g ℵ ) K (ℵ , α ) , (9.4.4) 301 302
trong đó ℵ = (ℵ2 + ℵ2 )1 / 2 và tgα = ℵ y / ℵ x . Đối với sóng gió phát trên hướng phản xạ gương không có mặt. x y Chúng ta quan tâm nhất tới những hướng cực đại tản mát và độ rộng triển hoàn toàn được mô tả bằng phổ tần số Pierson-Neuman [9.9] góc của chúng, bởi vì các đặc trưng này là dữ liệu cần thiết để giải những ⎡ ⎛ g ⎞2 ⎤ S( Ω ) = CΩ −6 exp ⎢− 2 ⎜ ⎟ ⎥, bài toán khác như sự truyền âm dẫn sóng trong đại dương với bề mặt gồ (9.4.5) ⎢ ⎝ Ωv ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ghề, tiếng vọng khoảng cách xa... trong đó C = 2,4 m2/s5 và v là tốc độ gió tính bằng m/s, ta được Xét vùng thứ nhất của biểu đồ tản mát với một bề mặt nón θ = θ 0 đối với mặt biển dậy sóng đẳng hướng ( K = 1 / 2π ) và tìm phổ ϕ m của m s = ( 21 / 2 C / g 3 )( k / ℵ) 4 v cos 2 θ 0 cos 2 θ a −1 / 2 exp( −1 / a) K ( v, α ) cường độ trường tản mát. Đạo hàm m s (θ 0 , ϕ ) theo ϕ và cho kết quả (9.4.6) bằng không, ta được [(ℵ ] với / ℵm ) 2 − 2 cos[(ϕ m − ϕ 0 ) / 2] = 0 , (9.4.9) 0 −1 2 a ≡ ( 2 g ) ℵv . trong đó ℵm = 2 k sin θ 0 sin[(ϕ m − ϕ 0 ) / 2] . Nếu chấp nhận thừa số thứ Chúng ta cũng sẽ đưa ra một biểu thức cho hệ số tản mát đối với nhất trong (9.4.9) bằng không, ta tìm được sóng gió phát triển hoàn toàn được mô tả bởi phổ tần số Pierson- ℵm = ℵ0 / 2 , Moscovitz [9.10] hiện nay rất hay được dùng: [ ] S( Ω ) = 8,1 ⋅ 10 −3 g 2 Ω −5 exp − 0,74( g / Ωv) 4 . (9.4.7) hoặc ϕ m = ϕ 0 ± 2 arcsin ε , (9.4.10) Thế (9.4.7) vào (9.4.4) sẽ cho trong đó ε ≡ (ℵ0 / k ) /( 2 2 sin θ 0 ) . Vì ∂ 2 m s (θ 0 ,ϕ ) / ∂ϕ 2 < 0 tại ϕ = m s (θ , ϕ ) = 1,62 ⋅ 10 −2 ( k / ℵ) 4 cos 2 θ 0 cos 2 θ exp( −ℵ0 / ℵ2 ) K (ℵ, α ) , 2 ϕ m , ϕ m xác định phương vị của hai cực đại đối xứng qua ϕ = ϕ 0 . Rõ (9.4.8) ràng rằng những nghiệm như thế xuất hiện chỉ nếu ε < 1 . 2 trong đó ℵ0 ≡ 0,86 g / v . Giả sử thừa số thứ hai trong (9.4.9) bằng không, ta nhận được một Như suy ra từ (9.4.80, hệ số tản mát bằng không tại ℵ = 0 , tức trên phổ nữa ϕ m = ϕ 0 + π trên hướng tản mát ngược trở lại. Đó là một cực hướng phản xạ gương. Lưu ý rằng cũng có thể nhận được cùng kết quả tiểu ( ∂ 2 m s (θ 0 , ϕ ) / ∂ϕ 2 > 0 tại ϕ = ϕ m ) nếu ε < 1 và cực đại như vậy từ (9.4.6) nếu giả thiết ℵ = 0 và do đó a = 0 . Hệ số tản mát ( ∂ 2 m s (θ 0 , ϕ ) / ∂ϕ 2 < 0 tại ϕ = ϕ m ) nếu ε > 1 . bằng không trên hướng phản xạ gương đối với phổ bất kỳ của sóng gió Trong mặt phẳng thẳng đứng ϕ = ϕ 0 biểu đồ tản mát còn có hai cực (tại những giá trị bé của tham số Rayleigh). Điều này chính là hệ quả của thực tế rằng giá trị trung bình của ly độ bề mặt gồ ghề bằng không, nói đại tại θ = θ m ( ∂ 2 m s (θ , ϕ 0 ) / ∂θ 2 < 0 tại θ = θ m ) , có thể tìm được từ cách khác, hợp phần với bước sóng vô hạn chịu trách nhiệm làm tản mát phương trình 303 304
(ℵ0 / ℵm ) 2 − 2 = (ℵm / k ) sin θ m / cos 2 θ m , v = 3 m/s, ta tìm được rằng giá trị có ý nghĩa chỉ có một cực đại với 9.4.11) θ m = −51,2 o. Nửa độ rộng góc hiệu quả ∆θ của cực đại này được cho trong đó ℵm = k sin θ m − sin ϖ 0 . bởi mối quan hệ [9.11] Nghiệm (9.4.11) ngoại trừ nếu ∆θ = arccos(cos θ m / e ) , (9.4.14) 1 θ c > 1 . mối phụ thuộc tần số của hệ số tản mát có biểu lộ bất đẳng hướng góc. Chúng ta sẽ minh họa đặc điểm này của hệ số tản mát từ bề mặt biển gồ Nếu chú ý rằng ℵ0 ~ 1 / ρ 0 , ở đây ρ 0 là bán kính tương quan của bề mặt dậy sóng được mô tả bởi phổ tần số Pierson-Moscovitz. Tính bất đẳng gồ ghề, thì điều kiện này có thể viết lại thành hướng của mối phụ thuộc tần của hệ số tản mát đáng đáng quan tâm nhất kρ 0 sin θ − sin θ 0 1) và θ gần với θ 0 . của các hài cộng hưởng của độ gồ ghề mặt biển trên hướng của các cực đại biểu đồ tản mát tại ϕ = ϕ 0 là Từ (9.4.11) ta nhận được [ ] κm = κ0 / 2 . θ m = arccos ( kℵ0 )(1 − sin θ 0 ) 3 / 2 , θm > 0 (9.4.15) (9.4.13) [ ], 3/ 2 θ m = − arccos ( kℵ0 )(1 + sin θ 0 ) θm < 0 Thế (9.4.15) vào (9.4.8), ta thu được mối phụ thuộc tần rất quen thuộc của hệ số tản mát đối với mặt biển gồ ghề nhẹ Chẳng hạn, nếu chấp nhận θ m = 80 o , f = 50 Hz ( k = 0,2 m-1) và m s (θ m , ϕ 0 ) ~ f 4 . (9.4.16) 305 306
Một mối phụ thuộc tần hoàn toàn khác xuất hiện khi âm bị tản mát bề mặt đại dương bởi vì chúng không làm thay đổi năng lượng của trường trên hướng ngược trở lại (θ = θ 0 , ϕ = ϕ 0 + π ) . Trong trường hợp này số âm tản mát đã xét cho tới lúc này. Tuy nhiên, có những hiện tượng hoàn toàn là do những dao động thời gian của bề mặt. Sự dịch chuyển tần số sóng của các hài bề mặt cộng hưởng là của tín hiệu tản mát so với tần số của tín hiệu tới là một ví dụ về một hiện κ = 2 k sinθ 0 . (9.4.17) tượng như thế. Bây giờ, tỉ số ( k / κ ) 4 trong (9.4.8) không còn phụ thuộc vào tần số âm Phổ tần số của trường tản mát được xác định bởi biến đổi Fourier và mối phụ thuộc tần tản mát m s (θ 0 , ϕ 0 + π ) chỉ bị quyết định bởi thừa ∞ F ( v) = ( 2π ) −1 ∫−∞ Bs (τ ) exp( −ivτ ) dτ (9.5.1) số mũ trong (9.4.8). Nếu thế (9.4.17) vào (9.4.8), ta nhận được [ ] m s (θ 0 , ϕ 0 + π ) = A exp − 0,185 /( kρ 0 sin θ 0 ) 2 , (9.4.18) của hàm tương quan thời gian của trường tản mát ∗ Bs (τ ) = 〈 ps ( R, t ) ps ( R, t + τ )〉 . trong đó A là một hằng số không phụ thuộc vào tần số âm và tham số (9.5.2) ρ 0 = v 2 / g chỉ bán kính tương quan không gian của trường sóng do gió. Như suy ra từ (9.5.1), phổ F ( v) được chuẩn hóa theo cường độ trung Tham số không thứ nguyên kρ 0 sin θ 0 là tỷ lệ âm học của độ gồ ghề trên bình của trường tản mát, tức mặt phẳng ngang. Khi tham số này tăng lên, hệ số tản mát có xu thế tiến ∞ ∫ −∞ F ( v) dv = Bs ( 0) = I s . (9.5.3) tới bão hòa, tức nó không phụ thuộc vào tần số nữa. Mối phụ thuộc tần có cùng đặc điểm như vậy trên tất cả các hướng khác khác với hướng các Ta xét sự tản mát của một sóng đơn phẳng với tần số ω 0 . Để tìm cực đại của biểu đồ tản mát. Như vậy, hệ số tản mát của âm tần thấp ps ( R, t ) , ta có thể dùng giá trị biên (9.2.12) cho ps một lần nữa, trong (tham số Rayleigh bé so với đơn vị) không phụ thuộc vào tần số đối với đó ly độ ζ phải chấp nhận là một hàm không chỉ của r , mà còn của t , kρ 0 sin θ 0 >> 1 . và thừa số đã bỏ qua exp( − iω 0 t ) phải được giữ lại. Thuận tiện hơn cả là biểu diễn ζ ( r, t ) thành một tổng của các sóng bề mặt tiến. Mối phụ thuộc tần của hệ số tản mát được mô tả bởi biểu thức {∫ } (9.4.6) trên hướng của các cực đại biểu đồ tản mát cũng tuân theo định ∞ ζ (r, t ) = Re A0 (ℵ) exp(ℵ ⋅ r − Ωt ) dℵ , (9.5.4) luật f 4 . Trên hướng tản mát ngược trở lại, nó có dạng −∞ trong đó Ω = Ω(ℵ) và A0 (ℵ) là tần số và biên độ ngẫu nhiên của sóng m s (θ 0 , ϕ 0 + π ) ~ k −1 / 2 exp ( −1 / kρ 0 sin θ 0 ) . (9.4.19) mặt với số sóng ℵ . Hệ số tản mát đạt cực đại với k = 2 / ρ 0 sin θ 0 và sau đó giảm khi số Nếu sử dụng (9.5.4), chúng ta nhận được cho hàm tương quan sóng k (tần số) tăng lên. không gian - thời gian của bề mặt biển dậy sóng [9.4, mục 12] B( ρ,τ ) = 〈ζ ( r , t )ζ ( r + ρ, t + τ )〉 9.5. PHỔ TẦN SỐ CỦA TRƯỜNG TẢN MÁT = ∫−∞ G0 (ℵ) cos [ℵ ⋅ Q − Ω(ℵ)τ ] dℵ ∞ (9.5.5) Ở các mục trước chúng ta đã bỏ qua những dao động thời gian của 307 308
trong đó G 0 (ℵ) là phổ không gian của sóng mặt truyền trên hướng ℵ . Theo (9.5.7) đối với hàm tương quan thời gian của trường tản mát tại những khoảng cách kể từmặt phẳng z = 0 lớn so với bước sóng âm ta A0 (ℵ) Nó được biểu diễn qua các biên độ A0 (ℵ) và * bằng những quan nhận được hệ như sau: Bs (τ ) = 2γ 0 ∫ Γ {G0 (ℵ) exp[i(ω 0 + Ω )τ ] 2 ∗ 〈 A0 ( ±ℵ) A0 ( ±ℵ′)〉 = 2G 0 ( ±ℵ)δ (ℵ − ℵ′), 1 〈 A0 (ℵ) A0 ( −ℵ′)〉 = 〈 A0 ( −ℵ) A0 ( −ℵ′)〉 ≡ 0. * * + G 0 ( −ℵ) exp[ i(ω 0 − Ω )τ } dℵ . (9.5.8) Đối với trường tản mát tại điểm R = {r , z}, z > 0 , ta được Phương trình (9.5.8) xác định hàm Bs (τ ) đối với một bề mặt gồ ghề vô ∞ hạn. Nếu bề mặt gồ ghề bị giới hạn và điểm quy chiếu nằm trong vùng ps ( R, t ) = iγ 0 ∫−∞ A0 (ℵ) exp{ i [(ξ 0 + ℵ) ⋅ r + γ + z − (ω 0 + Ω )t ′]}dℵ xa, thì hàm Bs (τ ) sẽ khác với (9.5.8) giống hệt như các biểu thức đối với ∞ + iγ 0 ∫−∞ A0 (ℵ) exp{ i[(ξ 0 − ℵ) ⋅ r + γ − z − (ω 0 + Ω )t]}dℵ . (9.5.6) các cường độ tản mát khác nhau trong hai trường hợp này (xem (9.3.5, 7, 11)). Như vậy, hàm Bs (τ ) trong vùng xa sẽ có dạng ở đây Bs (τ ) = 2S(γγ 0 / R) 2 {G0 (ℵ) exp[i(ω 0 + Ω )τ ] γ 0 = k cos θ 0 , + G 0 ( −ℵ) exp[ i(ω 0 − Ω )τ } . (9.5.9) 1/ 2 ⎡⎛ ω ± Ω ⎞ 2 ⎤ ⎟ − (ξ 0 ± ℵ) 2 ⎥ γ ± = ⎢⎜ 0 , Im{γ ± } > 0 Thế (9.5.9) vào (9.5.1), ta được đối với phổ tần số trong vùng xa ⎜ ⎟ ⎢⎝ c ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ F ( v) = 2 S(γγ 0 / R) 2 {G0 (ℵ)δ [v − ω 0 − Ω(ℵ)] hoặc, vì Ω
Ω max = ( 2kg )1 / 2 . ước lượng được phổ của trường sóng gió. Kết quả này đã được khẳng định bởi rất nhiều dữ liệu thực nghiệm thu 9.6. HỆ SỐ PHẢN XẠ TRÊN HƯỚNG PHẢN XẠ GƯƠNG được với sóng vô tuyến [9.4]. Ví dụ, nếu cho f = 0,5 kHz Hệ số phản xạ âm dưới nước từ một bề mặt đại dương phẳng rất gần ( k = 2,1 m −1 ) , ta được Ω max / 2π ≅ 1 Hz. với -1 (chương 3). Khi bề mặt lag gồ ghề, mô đun của hệ số phản xạ bé Sau khi tích phân (9.5.10) theo v từ − ∞ đến ∞ , ta tìm được hơn đơn vị bởi vì một số năng lượng âm mất vào trường tản mát. Để tìm I s = 2S(γγ 0 / R) 2 [G0 (ℵ) + G0 ( −ℵ)] , (9.5.12) hệ số phản xạ trung bình trên hướng phản xạ gương từ bề mặt gồ ghề trong phép gần đúng bậc hai của phương pháp nhiễu động bé, người ta trong đó các số hạng thứ nhất và thứ hai cho cường độ của các vệt phổ dịch chuyển về tần số tương đối so với ω 0 tuần tự Ω(ℵ) và − Ω(ℵ) . phải sử dụng định luật bảo toàn năng lượng; thông lượng năng lượng thẳng đứng qua một bề mặt đơn vị trong sóng tới phải bằng tổng của Ta sẽ chỉ ra rằng (9.5.12) giống như (9.3.7). Thật vậy, cho τ = 0 thông lượng trong sóng phản xạ và sóng tản mát. Như trước đây, nếu giả trong (9.5.5), ta được thiết biên độ áp suất trong sóng tới bằng đơn vị và tính tới (9.3.5), ta có 1∞ 2 ∫ −∞ B( ρ ,0) = [G0 (ℵ) + G0 ( −ℵ)] exp( iℵ ⋅ Q)dℵ . (9.5.13) thể viết định luật này dưới dạng 2 cos θ 0 = Vc cos θ 0 + 4γ 0 ∫Γ G(ℵ)(γ / k)dℵ , 2 (9.6.1) Từ so sánh (9.5.13) và (9.3.4) ta nhận được 1 G(ℵ) = [G 0 (ℵ) + G 0 ( −ℵ)] / 2 , (9.5.14) ở đây γ / k = cosθ = (1 / k)[ k 2 − (ξ 0 + ℵ) 2 ] 1 / 2 và Vc là một hệ số phản ở đây G(ℵ) là phổ không gian của bề mặt biển bất động. Thế (9.5.14) xạ phải xác định. Từ (9.6.1) ta có, nếu chú ý rằng số hạng thứ hai ở vế phải là bé só với đơn vị vào (9.5.12) dẫn đến Vc = 1 − 2k cosθ 0 ∫ Γ G(ℵ)[ k 2 − (ξ 0 + ℵ) 2 ] 1 / 2 dℵ . I s = 4S(γγ 0 / R) 2 G(ℵ) = SR −2 m s (θ , ϕ ) , (9.6.2) 1 biểu thức này trùng hợp với (9.3.7) đối với I i = 1 . Cho ℵ = {ℵ cos α ,ℵ sin α } ta biến đổi tích phân trong (9.6.2) theo số sóng ℵ và góc phương vị α , chú ý tới (9.3.12, 13) Nếu nguồn và máy thu ở trong vùng gần, sẽ có một khoảng hữu hạn các góc θ 0 và θ của sóng tới và sóng tản mát tương ứng với một khoảng Vc = 1 − 2k 2 cosθ 0 ∫∫ G(ℵ, α )[cos 2 θ 0 + 2(ℵ / k) sin θ 0 cos(α − ϕ 0 ) các giá trị cho phép của ℵ và do đó, của Ω(ℵ) . Kết quả là một dải phổ − (ℵ / k) 2 ]1 / 2 ℵdℵdα . (9.6.3) độ rộng hữu hạn sẽ xuất hiện thay vì một vệt phổ. Các hợp phần phổ gần với vệt trung tâm, tức hợp phần hiệp biến của trường, là do các vùng của Các khoảng tích phân theo ℵ và α tương ứng với những giá trị thực của bề mặt lân cận với điểm phản xạ gương (hình 1.27). căn thức trong biểu thức dưới dấu tích phân. Nếu sử dụng phổ tần số quan trắc của một trường tản mát thì có thể Đại lượng Vc được gọi là hệ số phản xạ hiệp biến hay trung bình. 311 312
Trong khi lấy trung bình theo một tập hợp các bề mặt ζ , các sóng tản ∞ Vc = 1 − 4π 2 k 3 / 2 cosθ 0 E(ϕ 0 )∫ 0 G(ℵ)ℵ3 / 2 dℵ , (9.6.6) mát bị triệt tiêu do những pha ngẫu nhiên của chúng và chỉ có sóng phản ở đây hàm xạ gương được giữ lại bởi vì cnó có hiệu pha xác định so với sóng tới. π /2 E(ϕ 0 ) = ∫ −π / 2 K (α + ϕ 0 ) cos α dα Ta xét một số trường hợp cụ thể của (9.6.3). 1. Độ gồ ghề quy mô lớn của bề mặt biển, θ 0 ± π / 2 . Vì G(ℵ, α ) là mô tả sự ảnh hưởng của sự bất đẳng hướng độ ggồ ghề tới hệ số phản xạ biến đổi Fourier của hàm tương quan, nó chỉ có các giá trị có nghĩa tại trung bình. Đối với độ gồ ghề đẳng hướng K = ( 2π ) −1 và ℵ ≤ 1 / ρ 0 và giảm nhanh tại ℵ > 1 / ρ 0 , ở đây ρ 0 là bán kính tương −1 ⎛3⎞⎡ ⎛ 5 ⎞⎤ quan không gian của bề mặt gồ ghề. Ta giả thiết rằng điều kiện E = Γ ⎜ ⎟ ⎢2 π Γ ⎜ ⎟⎥ kρ 0 cos 2 θ 0 >> 1 được thực hiện. Khi đó chỉ cần giữ lại số hạng thứ nhất ⎝4⎠⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ trong căn thức và lấy tích phân theo ℵ từ 0 đến ∞ và theo α từ − π đến trong đó Γ là hàm gamma Euler. π . Do đó, ta có Đối với bề mặt biển đẳng hướng được mô tả bởi phổ tần Pierson- π ∞ Vc = 1 − 2 ( k cosθ 0 ) 2 ∫ 0 ∫ −π G(ℵ,α )ℵdℵdα . (9.6.4) Neumann (9.4.5), nếu tính tới (9.4.2), ta được −1 ⎛ 3 ⎞⎡ ⎛ 5 ⎞⎤ Nhưng Vc = 1 − CΓ ⎜ ⎟ ⎢4 g 4 2π g Γ ⎜ ⎟⎥ k 3 / 2 v 4 cosθ , (9.6.7) ⎝ 4 ⎠⎣ ⎝ 4 ⎠⎦ ∞ ∞ ∫0 ∫ −π G(ℵ,α )ℵdℵdα = σ , 2 ở đây v là tốc độ gió tính bằng m/s. nên Vc = 1 − 2( kσ cosθ 0 ) 2 = 1 − P 2 / 2 , 9.7. PHƯƠNG PHÁP MẶT PHẲNG TIẾP TUYẾN: KHÁI NIỆM CƠ (9.6.5) BẢN ở đây P là tham số Rayleigh. Phương pháp nhiễu động đã giới thiệu ở các mục trước chỉ áp dụng 2. Độ gồ ghề quy mô lớn, góc mở tia âm tới ( kQ 0 >> 1, cho trường hợp tham số Rayleigh bé. Tuy nhiên, sóng trên bề mặt đại kQ0 cos 2 θ 0
2 kℜ sin χ >> 1 , (9.7.2) xét (hình 9.3). Các tính chất âm của mặt phẳng này là giống như các tính chất của bề mặt gồ ghề được xét tại điểm tiếp tuyến. ở đây ℜ là bán kính bé hơn trong hai bán kính cong chính tại điểm đã cho và χ là góc mở địa phương. Trên hình 9.4a góc mở χ bằng 0 tại điểm A: do đó điều kiện (9.7.2) không thỏa mãn. Gần điểm này các sóng tản mát và tới không kết nối với nhau bởi những mối liên hệ đơn giản (9.7.1). Trên hình 9.4b vùng AB là vùng tối so với sóng tới và phương pháp lại không áp dụng được dưới dạng thông thường của mình. Nhưng Hình 9.3. Sơ đồ tản mát “địa phương”. nó có thể được cải biên nếu giả thiết rằng trường ở trong các khu vực θ 0 là góc tới địa phương so với pháp được chiếu âm của bề mặt gồ ghề được xác định như trước đây và đúng tuyến tại điểm đang xét bằng không ở vùng tối. 28 Trong trường hợp này các giá trị của ps và ∂ps / ∂n được xác định thông qua pi ở biên theo các mối liên hệ ∂ ∂ ps ( R ) = Vpi ( R ), ps ( R ) = −V pi ( R ) , (9.7.1) ∂n ∂n trong đó V là một hệ số phản xạ địa phương, còn n là vectơ đơn vị của pháp tuyến với bề mặt gồ ghề tại điểm R = {r , ζ ( r )}, ở đây như mọi khi r = { x, y } . Hình 9.4. (a) Góc mở χ của sóng tới tại điểm A trở thành bằng 0; Giả thiết này tương tự như nguyên lý Kirchhoff nổi tiếng trong lý (b) vùng bề mặt gồ ghề AB là “vùng tối” so với sóng tới thuyết khúc xạ. Vì vậy, phương pháp mặt phẳng tiếp tuyến cũng thường Khi các giá trị của ps và ∂ps / ∂n đã được xác định tại bề mặt gồ hay được gọi là phép gần đúng Kirchhoff. ghề theo cách này, trường tản mát tại điểm bất kỳ R 0 = { r0 , z0 }, z 0 > ζ Phương pháp mặt phẳng tiếp tuyến cho những kết quả tốt chỉ đối với có thể được tính toán không cần những phép xấp xỉ tiếp theo bằng công những hướng tản mát nào gần với các hướng của phản xạ gương tại các thức Green [9.14, chương 7] điểm khác nhau của một bề mặt gồ ghề. Ngoài ra, phép gần đúng này sẽ tốt chỉ khi nếu như trong mặt phẳng tiếp tuyến xung quanh điểm tiếp 28 Ở đây chúng ta sẽ không bàn luận chi tiết các điều kiện áp dụng của phương tuyến người ta có thể tách ra được vùng nào đó lớn về kích thước thẳng pháp mặt phẳng tiếp tuyến [9.13]; chúng ta chỉ lưu ý rằng như trong lý thuyết so với bước sóng âm không bị phản xạ nhiều tại biên từ bề mặt gồ ghề. khúc xạ, phương pháp này tốt trong những vùng gần với các vùng được chiếu âm Điều này dẫn tới điều kiện sau đây trong phép gần đúng âm hình học. 315 316
⎡ ⎤ ∂ exp( ikR1 ) exp( ikR1 ) ∂ Tồn tại những trường hợp khác khi hệ số phản xạ không phụ thuộc ps ( R0 ) = ( 4π ) −1 ∫ ⎢ ps ( R ) − ps ( R )⎥ dS vào vào góc tới. Đó là trường hợp, ví dụ, đối với một số trầm tích dưới ∂n ∂n ⎣ ⎦ R1 R1 nước, nếu tốc độ âm trong nước và trong các trầm tích đó bằng nhau (9.7.3) (mục 3.1). Trong tất cả những trường hợp đó hệ số phản xạ V trong trong đó R1 = R0 − R là khoảng cách giữa điểm quy chiếu và điểm tại (9.7.4) có thể đưa ra ngoài tích phân. một bề mặt gồ ghề (hình 9.5). Phương pháp mặt phẳng tiếp tuyến để giải các bài toán về sóng âm và sóng điện từ bị tản mát do Brekhovskikh [9.13, 15, 16] đề xuất lần đầu tiên đối với các bề mặt gồ ghề tuần hoàn và sau đó được Issakovich [9.17] mở rộng cho những bề mặt ngẫu nhiên. 9.8. TRƯỜNG TRUNG BÌNH Để nhận được giá trị trung bình của trường tản mát, biểu thức (9.7.4) phải được lấy trung bình thống kê theo tập hợp các bề mặt ngẫu nhiên ζ ( r ) . Tuy nhiên, trước hết ta phải biến đổi (9.7.4). Tương tự với (4.2.7), ta có ⎛ exp( ikR1 ⎞ ∞ ⎜ ⎟ = i( 2π ) −1 ∫− ∞ γ −1 exp[ iξ ⋅ ( r0 − r ) + iγ ( z 0 − ζ )]dξ , ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ z =ζ R1 γ = ( k 2 − ξ 2 )1 / 2 . Hình 9.5. Tham số để tính toán trường tản mát ở trong vùng xa Lấy đạo hàm và chú ý rằng trong phép gần đúng mặt phẳng tiếp tuyến ∂ Thế các giá trị biên (9.7.1) trong (9.7.3) ta được (r ⋅ ξ ) = ∇(r ⋅ ξ ) n = ξ ⋅ n = −n z (ξ ⋅ ∇ ⊥ ζ ) , ∂n ⎡ ⎤ ∂ exp(i kR1 ) exp(ikR1 ) ∂ ps ( R0 ) = ( 4π ) −1 ∫ V ⎢ pi ( R ) + pi ( R )⎥ dS . ta tìm được ∂n ∂n ⎣ ⎦ R1 R1 ⎛ ∂ exp( ikR1 ) ⎞ ∞ ⎜ ⎟ = n z ( 2π ) −1 ∫− ∞ γ −1 (γ − ξ ⋅ ∇ ⊥ ζ ) (9.7.4) ⎜ ∂n ⎟ ⎝ ⎠ z =ζ R1 Như suy ra từ công thức (9.7.4) các trường tản mát tại bề mặt tự do × exp [ iξ ⋅ ( r0 − r ) + iγ ( z 0 − ζ )] dξ . (9.8.1) (giải phóng áp suất) ( V = −1) và bề mặt cứng tuyệt đối ( V = 1) khác nhau chỉ bởi dấu (dịch chuyển pha π ) trong phép gần đúng này. Một cách tương tự, đối với sóng tới phẳng 317 318
pi = exp[ i( ξ 0 ⋅ r − γ 0 z )] 9.8.2) thước hữu hạn (mục 9.3) và điểm quan trắc nằm ở trong vùng xa. Khi chúng ta phân tích trường tản mát trung bình chỉ tiêu đối với vùng xa ta có cũng như là đối với trường hợp một bề mặt phẳng, tức R >> l 2 / λ , trong ⎛ ∂pi ⎞ = −in z (γ 0 + ξ 0 ⋅ ∇ ⊥ ζ ) exp[i( ξ 0 ⋅ r − γ 0ζ )] . ⎜ ⎟ (9.8.3) đó l là kích thước thẳng của bề mặt. Nếu sử dụng phép tiệm cận ta có ⎝ ∂n ⎠ z=ζ (hình 9.5) Thế (9.8.1-3) vào (9.7.4) và nhớ rằng dS = dxdy / n z , ta nhận được R1 ≅ R0 − R ⋅ R0 / R0 . ∞ ps ( R0 ) = V (8π 2 ) −1 ∫ ∫−∞ γ −1 ( q − ℵ ⋅ ∇ ⊥ ζ ) Ta ký hiệu k = {ξ , γ } là vectơ sóng của một sóng tản mát, trong đó ξ = kr0 / R0 và γ = kz 0 / R0 . Khi đó, cho R = { r , ζ ), r là vectơ bán × exp[ − i(ℵ ⋅ r + qζ ) + i(ξ ⋅ r0 + γ z0 )]drdξ (9.8.4) kính trong mặt phẳng z = 0 , ta nhận được ở đây q ≡ γ + γ 0 , ℵ ≡ ξ − ξ 0 , r = { x, y } và dr = dxdy . exp(ikR1 ) ≅ (1 / R0 ) exp[i(kR0 − ξ ⋅ r − γζ )] , Bây giờ ta lấy trung bình (9.8.4) và chú ý rằng R1 ∞ ∫ −∞ exp( −iqζ )w(ζ )dζ 〈 exp( − iqζ )〉 ≡ f1 ( − q) = (9.8.5) ∂ exp(ikR1 ) ≅ −in z (1 / R0 )(γ − ξ ⋅ ∇ ⊥ζ ) exp[−i(kR0 − ξ ⋅ r + qζ )] . ∂n R1 là hàm đặc trưng của một đại lượng ngẫu nhiên ζ , với w(ζ ) theo định nghĩa là mật độ xác suất của ζ . Vì hàm đặc trưng một chiều không phụ (9.8.8) thuộc vào các tọa độ, nên Thế (9.8.2, 3, 8) vào (9.7.4) cho 〈∇ ⊥ ζ exp( − iqζ )〉 = ( i / q )∇ ⊥ 〈 exp( − iqζ )〉 = ( i / q )∇ ⊥ f1 ( − q ) = 0 − iV exp(ikR0 ) ∫S (q − ℵ ⋅ ∇ ⊥ζ ) exp[−i(ℵ ⋅ r + qζ )] dr p s ( R0 ) = 4π R0 (9.8.6) Tích phân theo r trong (9.8.4) cho hàm delta δ (ℵ) , và khi đó tích phân (9.8.9) theo ξ có thể tính được. Kết quả ta có Lấy trung bình (9.8.9) và sử dụng (9.8.5, 6), ta được 〈 p s 〉 = V c p0 , Vc ≡ Vf1 ( −2γ 0 ) , (9.8.7) − iqV exp(ikR0 ) f1 (−q) ∫ exp(−iℵ ⋅ r ) dr . 〈 ps 〉 = (9.8.10) 4π R0 trong đó p0 = exp[ i(ξ 0 r0 + γ 0 z 0 )] là một sóng âm phẳng phản xạ từ S một bề mặt phẳng vô hạn và Vc là hệ số phản xạ trung bình (hiệp biến), Đối với kl >> 1 , đây là giả thiết, tích phân trong (9.8.10) xấp xỉ bằng tức hệ số phản xạ trên hướng phản xạ gương. không đối với tất cả các hướng ngoại trừ ℵ = 0 . Đối với ℵ = 0 , tức với sự tản mát trên hướng phản xạ gương, nó bằng S . Trong trường hợp đó DeSanto [9.18] mới đây đã khái quát hóa (9.8.7) sự tản mát đa (9.8.7) vẫn đúng với ps với hướng. Bây giờ chúng ta xét trường hợp khi bề mặt tản mát có các kích 319 320
p0 = − ikS cos θ 0 exp( ikR0 ) /( 2π R0 ) w(ζ ) (đối với một giá trị đã biết của V ) (9.8.11) và cùng Vc . ∞ w(ζ ) = (π V ) −1 ∫ −∞ Vc (γ 0 ) exp( 2iγ 0 ζ ) dγ 0 . Công thức (9.8.7) cũng đúng đối với một sóng cầu tới nếu trong 1 1 1 (9.8.11) ta đưa ra thừa số bổ sung exp( ikR0 ) / R0 , trong đó R0 là 9.9. HỆ SỐ TẢN MÁT CỦA ÂM TẦN CAO khoảng cách giữa gốc tọa độ nằm trong phạm vi vùng tản mát và nguồn. Để ước lượng hệ số tản mát của âm tần cao trong vùng xa, có thể sử Ta cũng giả thiết rằng nguồn ở trong vùng xa so với S . dụng công thức (9.8.9). Ta có thể chờ đợi rằng sự đóng góp trung bình Bây giờ ta bàn luận biểu thức (9.8.7) đối với hệ số phản xạ trung vào tích phân theo r nhận được từ các điểm pha dừng được xác định bình Vc . Giả sử ζ phân bố chuẩn với giá trị trung bình ζ = 0 , bằng phương trình ∇ ⊥ (ℵ ⋅ r + qζ ) = 0 hay ∇ ⊥ ζ = −ℵ / q (9.9.1) w(ζ ) = (σ 2π ) −1 exp( −ζ 2 / 2σ 2 ) . (9.8.12) và những lân cận của chúng. Lưu ý rằng độ nghiêng của bề mặt gồ ghề Khi đó ∇ ⊥ ζ được cho bằng (9.9.1) tạo điều kiện phản xạ gương địa phương của ∞ Vc = V ∫ −∞ exp( −2iγ 0 ζ ) w(ζ )dζ = V exp( − P 2 / 2) , (9.8.13) một sóng tới trên hướng {ξ , γ } , tức tới điểm quy chiếu. Thật vậy, đối với một sự phản xạ như vậy từ một diện tích bé của bề mặt gồ ghề với pháp trong đó P là tham số Rayleigh. Với P 2
∞ Nếu nhân (9.9.3) với đại lượng liên hợp phức và lấy trung bình, ta I s = S( kFV / R0 ) 2 ∫−∞ w(a)δ ( qa + ℵ)da = S( kFV / qR0 ) 2 w( −ℵ / q) thu được cho áp suất bình phương trung bình (9.9.8) 2 ⎛ kFV ⎞ 2 ∫ ∫ exp[−iℵ ⋅ (r1 − r2 )] f 2 (−q, q) dr1dr2 , I s ≡ 〈 p s ( R0 ) 〉 = ⎜ ⎟ Từ (9.9.8) và (9.9.7) ta nhận được hệ số tản mát ⎜ 2π R ⎟ ⎝ ⎠ 0 ~ S m s = ( VF ) 2 w( −ℵ / q ) , (9.9.9) (9.9.4) trong đó trong đó 1 ~ F ≡ kF / q = (1 + ℵ2 / q 2 ) . f 2 ( − q, q ) ≡ 〈 exp[ − iq(ζ 1 − ζ 2 )]〉 (9.9.10) 2 ∞ Từ (9.9.9) suy ra rằng hệ số tản mát trong trường hợp này không ∫ ∫ exp[−iq(ζ 1 − ζ 2 )] w(ζ 1 , ζ 2 )dζ 1 dζ 2 = (9.9.5) phụ thuộc vào tần số âm f và σ và được xác định chỉ bởi độ nghiêng −∞ là hàm đặc trưng hai chiều của đại lượng ngẫu nhiên {ζ 1 , ζ 2 } được chỉ bình phương trung bình của bề mặt. Điều này một lần nữa cho thấy rằng trường tản mát trong phép gần đúng mặt phẳng tiếp tuyến được hình định thông qua mật độ xác suất w(ζ 1 , ζ 2 ), ζ i = ζ ( ri ) và i = 1, 2 . Đối thành sự phản xạ gương - “lóe sáng” - từ những phần của bề mặt gồ ghề với bề mặt gồ ghề trơn hiệu ζ 1 − ζ 2 có thể khai triển thành một chuỗi lũy có độ nghiêng thỏa mãn điều kiện (9.9.1). thừa của ρ = r2 − r1 . Chỉ giữ lại số hạng không triệt tiêu thứ nhất, ta Sử dụng các giá trị của hệ số tản mát đo được trong một dải đủ rộng được các góc tới và tản mát, có thể xác định phân bố hai chiều của độ nghiêng ζ 1 − ζ 2 = − ρ ⋅ ∇ ⊥ζ . (9.9.6) bề mặt gồ ghề dựa trên công thức (9.9.9). Thế (9.9.6) vào (9.9.5) cho Đối với độ nghiêng phân bố chuẩn ∞ f 2 ( − q, q) = 〈exp( iqQ ⋅ ∇ ⊥ ζ )〉 = ∫−∞ exp( iqa ⋅ ρ)w(a)da , (9.9.7) ⎡ 1 ⎛ ζ 2 ζ y ⎞⎤ 2 w(ζ x , ζ y ) = ( 2πδ x δ y ) −1 exp ⎢− ⎜ x + 2 ⎟⎥ , (9.9.11) trong đó w(a ) là mật độ xác suất hai chiều của độ nghiêng, ⎢ 2 ⎜ δ x δ y ⎟⎥ 2 ⎝ ⎠⎦ ⎣ a ≡ ∇ ⊥ ζ = { x , ζ y }. ζ 2 trong đó δ x và δ y là các độ nghiêng bề mặt trung bình bình phương dọc 2 Ta thế (9.9.7) vào (9.9.4) và đưa ra một biến tích phân mới ρ , mở theo x và y , từ (9.9.9) ta nhận được rộng các cận tích phân tới ± ∞ . Khi đó ⎡ 1 ⎛ ℵ2 ℵ2 ⎞ ⎤ ∞ ∫ −∞ exp[i( qa + ℵ) ρ ]dρ = ( 2π ) 2 − ( 2π ) 2 δ ( qa + ℵ) . ~ m s = ( VF ) 2 ( 2πδ x δ y ) −1 exp ⎢− 2 ⎜ 2 + 2 ⎟⎥ . y x (9.9.12) 2q ⎜ δ x δ y ⎟⎥ ⎢ ⎝ ⎠⎦ ⎣ Tích phân theo r1 cho diện tích tản mát S . Kết quả ta có Trong trường hợp bề mặt gồ ghề đẳng hướng δ x = δ y ≡ δ ta có 323 324
⎛ ℵ2 ⎞ ⎡ tg 2 ( ∆θ / 2 ) ⎤ ~ m s = ( VF ) 2 ( 2πδ 2 ) −1 exp ⎜ − 2 2 ⎟ . D(θ , ϕ 0 ) = cos − 4 ( ∆θ / 2 ) exp ⎢− (9.9.13) ⎥, (9.9.17) ⎜ 2q δ ⎟ 2δ 2 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Để ước lượng sự phản xạ giá trị của hệ số tản mát ngược trở lại phải được trong đó chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức ξ = ξ 0 , ℵ = 2ξ 0 = sử dụng. Trong trường hợp này sin θ − sin θ 0 ∆θ = tg , 2 k sin θ 0 , q = 2 k cos θ 0 và do đó, cosθ − cosθ 0 2 ⎛ tg 2θ 0 ⎞ với ∆θ = θ − θ 0 . Như vậy, biểu đồ tản mát trong mặt phẳng thẳng đứng m s (θ 0 ) = V 2 (8πδ 2 cos 4 θ 0 ) −1 exp ⎜ − ⎟. (9.9.14) ⎜ 2δ 2 ⎟ chỉ phụ thuộc vào hiệu θ − θ 0 . Do đó, khi góc θ 0 thay đổi, biểu đồ sẽ ⎝ ⎠ quay đi cùng một góc mà không thay đổi hình dạng của nó. 9.9.1. Biểu đồ tản mát Với những độ nghiêng bé (δ