Các đại lượng trung bình của các số không âm - Bất đẳng thức AM GM

Chia sẻ: đỗ Thu Hà | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

234
lượt xem 49
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Các đại lượng trung bình của các số không âm - Bất đẳng thức AM GM dành cho các bạn có nhu cầu học tập, ôn tập môn toán học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các đại lượng trung bình của các số không âm - Bất đẳng thức AM GM

CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA CÁC SỐ KHÔNG ÂM BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM A. KIẾN THỨC CƠ BẢN I. CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA HAI SỐ KHÔNG ÂM • Với hai số không âm a, b. Kí hiệu: a+b  A= là trung bình cộng của hai số a, b. 2  G = ab là trung bình nhân của hai số a, b. a +b 2 2  Q= là trung bình toàn phương của hai số a, b. 2 2 H=  1 1 + là trung bình điều hòa của hai số dương a, b.. a b Ta có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H.  Chứng minh: a+b ( ) 2 Từ a �b ��− a 2 ab b 0 +− 0 ab hay A ≥ G (1) 2 ( a − b) 2 �� a 2 − 2ab + b 2 �� a 2 + b 2 � ab 0 0 2 a2 + b2 a +b hay + 2�+2�b 2 ) ( a b ) (a hay Q ≥ A 2 (2) 2 2 2 �1 1� 1 1 2 2 � � +��− Mặt khác � a � 0 ab 1 1 hay G ≥ H (3) � b� � a b ab + a b Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q ≥ A ≥ G ≥ H. Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi a = b. • Mở rộng ra cho n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta cũng có: a1 + a2 + a3 + ... + an A= là trung bình cộng của n số a1 , a2 , a3 ,..., an . n G= 1 2 3 n n a a a ...a là trung bình nhân của n số a1 , a2 , a3 ,..., an . a12 + a2 2 + a32 + ...an 2 Q= là trung bình toàn phương của n số a1 , a2 , a3 ,..., an . n n H= 1 1 1 1 + + + �� là trung bình điều hòa của n số dương 1 2 3 a , a , a ,..., an . + a1 a2 a3 an Ta cũng có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H. Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ... = an .
Chú ý:  A, G, Q, H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa). II. BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM Theo phần I. thì ta đã có mối liên hệ giữa các đại lượng trung bình c ủa các s ố không âm: Q ≥ A ≥ G ≥ H. Trong đó, bất đẳng thức A ≥ G thường được sử dụng hơn cả và được gọi là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (gọi tắt là bất đẳng thức A-G). Cách gọi tên này khá phổ biến ở nước ngoài, nhất là ở các nước Âu, Mỹ. Ở Việt Nam, người ta vẫn quen gọi là bất đẳng thức Cauchy (Cô-si). Đây là một cách gọi sai lầm vì bất đẳng thức này không phải do Cauchy phát hiện ra mà thực ra ông chỉ là người đưa ra phép chứng minh bất đẳng thức này b ằng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy. Cách chứng minh này rất hay và nổi tiếng, đến nỗi nhiều người lầm tưởng Cauchy là người phát hiện ra bất đẳng thức này. • Nội dung của bất đẳng thức này như sau: a1 + a2 + a3 + ... + an Với n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta có: n a1a2 a3 ...an n Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ... = an . • Hệ quả: Ta có một số bất đẳng thức rất quen thuộc và là hệ quả của bất đẳng thức AM-GM như sau: ( a + b) 2 1. a 2 + b2 �� 2ab a 2 + b 2 �� 2ab 2 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. ( a + b + c) 2 2. a + b + c � + bc + ca � a + b + c 2 2 ab 2 2 2 2 �� ab + bc + ca 3 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c. a b 3. + 2 (ab > 0). Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b. b a 1 hay a + 2 (a > 0). Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 1. a 1 1 1 1 n2 4. + + + �� + hay a1 a2 a3 an a1 + a2 + a3 + ... + an �1 1 1 1 � ( a1 + a2 + a3 + ... + an ) � + + + �� n 2 + � ( a1 , a2 , a3 ,..., an > 0 ) �1 a2 a3 a an � Dấu “=” xảy ra ⇔ a1 = a2 = a3 = ... = an .
Chú ý:  Bất đẳng thức Cauchy thật ra lại là bất đẳng thức sau: (a 2 + b2 ) ( x 2 + y 2 ) ( ax + by ) hay có thể viết là 2 (a 2 + b2 ) ( x 2 + y 2 ) ax + by a b Dấu “=” xảy ra � ax = by và nếu x, y khác 0 thì x = y ) Bất đẳng thức này đúng với 2 bộ số thực bất kì (a ; b) và (x ; y). Mở rộng ra ta thu được kết quả với 2 bộ n số thực ( a1 , a2 ,..., an ) và ( b1 , b2 ,..., bn ) như sau: (a 2 1 + a2 + ... + an ) ( b12 + b2 + ... + bn ) 2 2 2 2 ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 hoặc (a 2 1 + a2 + ... + an ) ( b12 + b22 + ... + bn ) 2 2 2 a1b1 + a2b2 + ... + anbn a1 = kb1 a2 = kb2 Dấu “=” xảy ra ... an = kbn  Bất đẳng thức Cauchy nêu trên còn có nhiều tên gọi khác như bất đẳng thức Bunyakovsky (Bu-nhi-a-cốp-xki) hay bất đẳng thức Schwarz (Sờ-vác) hoặc bằng cái tên rất dài Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Nhiều tài liệu ở Việt Nam lại viết theo kiểu ngược lại, tức là Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz, do đó bất đẳng thức này được viết tắt là BCS.  Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) là nhà toán học người Pháp, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 - 1889) là nhà toán học Nga và Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921), nhà toán học Đức. Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vectơ thực hữu hạn chiều, đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky thu được dạng tích phân của bất đẳng thức, kết quả tổng quát được Schwarz chứng minh năm 1885. B. CÁC ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC AM − GM  Chứng minh bất đẳng thức  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong bài toán hình học  Các ứng dụng khác (giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh các mệnh đề toán học…)
I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC • VÍ DỤ 1. Hãy chứng minh các hệ quả nêu trên của bất đẳng thức AM- GM.  Giải:  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: ( ab ) 2 a 2 + b2 2 a 2b 2 = 2 = 2 ab 2ab a 2 = b2 � =b a Dấu “=” xảy ra � � �� a=b ab 0 ab 0 2 ( a 2 + b 2 ) � 2 + b 2 + 2ab = ( a + b ) 2 Từ a 2 + b2 �� 2ab a Do đó ta có: a 2 + b 2 ( a + b) 2 2 Dấu “=” xảy ra � a = b ( a + b) 2 Mặt khác, cũng từ a 2 + b 2 �� 2ab a 2 + b 2 + 2ab �� 4ab � ab 4 Nên ( a + b) 2 2ab . Dấu “=” xảy ra � a = b 2  Theo chứng minh trên thì a 2 + b2 2ab b 2 + c 2 �� 2bc a 2 + b 2 + b 2 + c 2 + c 2 + a 2 � ab + 2bc + 2ca 2 c2 + a2 2ca � 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) � ( ab + bc + ca ) � a 2 + b 2 + c 2 � + bc + ca 2 ab a=b Dấu “=” xảy ra � b = c � a = b = c c=a Mà a + b + c � + bc + ca � 2 ( a + b + c ) � ( ab + bc + ca ) 2 2 2 2 2 2 ab 2 ( a + b + c) 2 � 3( a + b + c ) �( a + b + c ) 2 2 2 2 �a +b +c 2 2 2 � 3 Dấu “=” xảy ra � a = b = c . Lại có: a 2 + b 2 + c 2 � + bc + ca � ( a + b + c ) � ( ab + bc + ca ) 2 ab 3 (+ + b + c ) 2 a + ab bc ca 3 a b  Vì ab > 0 nên a, b cùng dấu � , > 0 b a Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a b a b + �� 2 =2 b a b a a b � = ab > 0 � >0 ab Dấu “=” xảy ra � � a � � 2 2 � � = b � a = b b a =b a ab > 0
a b 1 1 Nếu coi là a thì là (a > 0). Như vậy ta có: a + 2. b a a a 1 a= a>0 Dấu “=” xảy ra � � a � � 2 � a = 1 . a =1 a>0  Theo bất đẳng thức AM-GM thì: a1 + a2 + a3 + ... + an n n a1a2 a3 ...an 1 1 1 1 1 1 1 1 � + + + �� + nn a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an �1 1 1 1 � 2 � ( a1 + a2 + a3 + ... + an ) � + + + �+ � � � �n �1 a2 a3 a an � Chia cả hai vế của bất đẳng thức vừa chứng minh cho 1 1 1 1 n2 a1 + a2 + a3 + ... + an > 0 ta có � + + + �+ � � � a1 a2 a3 an a1 + a2 + a3 + ... + an a1 = a2 = a3 = ... = an Dấu “=” xảy ra � 1 = 1 = 1 = �� a1 = a2 = a3 = ... = an = 1 a1 a2 a3 an • VÍ DỤ 2. Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b, c 1 1 1 1 1 1 + + + + (*) a b c ab bc ca  Giải: Áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 2 2 1 1 1 �1 � �1 � �1 � 1 1 1 + + = � �+ � �+ � � + + a b c �a � �b � �c� ab bc ca 1 1 1 Dấu “=” xảy ra � = = � a = b = c a b c Nhận xét: Chúng ta có thể mở rộng bất đẳng thức (*) bằng cách nhân cả hai vế của bất đẳng thức (*) với abc > 0 , ta có bất đẳng thức mới: � 1 1� 1 abc � + + � a + b + c . Và nếu giả thiết cho thêm dữ kiện � b c� a a + b + c = 1 thì chúng ta có một bất đẳng thức khá “đẹp” nh ư sau: 1 1 1 1 + + . Cứ tiếp tục như vậy, chúng ta sẽ tìm tòi được nhiều a b c abc bài toán mới, hay hơn, tổng quát hơn… Đây chính là cách suy nghĩ trên những bài toán giúp ta nắm vững kiến thức, cũng như một cách rèn luyện tư duy, từ đó hình thành một thói quen học toán tốt. • VÍ DỤ 3. Chứng minh rằng ∀a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức sau: a b c 3 + + (**) b+c c+a a +b 2  Giải: Ta có:
a b c a+b+c b+c+a c+a +b + + = + + −3 b+c c+a a +b b+c c+a a+b �1 1 1 � = ( a + b + c) � + + − �3 � +c c+a a+b � b 1 �1 1 1 � = � + c) + ( c + a) + ( a + b) � �(b �b + c + c + a + a + b � 3 � − 2 � � Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM ta có: a b c 1 3 + + ��9 − 3 = b+c c+a a +b 2 2 Dấu “=” xảy ra � b+c = c+a = a+b � a = b = c Chú ý: Bất đẳng thức (**) chính là bất đẳng thức Nesbitt (Ne-xbít) cho 3 số dương. Ngoài ra, còn rất nhiều cách khác để chứng minh bất đẳng thức này. 2 � y � � 4 � • VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng ∀x, y > 0, ( 1 + 2 x ) �+ �1 + 1 � � � 81 � 2x � � y�� y � y ( ) 2  Giải: Ta có: ( 1 + 2 x ) �+ 2 x � 1 + 2 x + 2 x + y 1 + 2 y + y = 1 + y 1 = � � 2 2 � 4 � � 4 � � y � ( 1+ y ) 2 Do đó ( 1 + 2 x ) �+ �1 + 1 � � � �+ 1 � � 2x � � y� � � � y� � 2 2 � � � 4 � � � � ( = � + y �+ 1 1 � ) � = �+ y + � � y� � � 1 4 y + 4� � � � � � � 2 � 4 � y � + 4 �= ( 1 + 2.2 + 4 ) = 81 2 � 1 + 2. � � y � � � y 2x = 2x 4 x =1 Dấu “=” xảy ra � � y = �� y y=2 x, y > 0 • VÍ DỤ 5. Chứng minh rằng: a. Nếu hai số không âm có tổng là hằng số S không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. b. Nếu hai số không âm có tích là hằng số P không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.  Giải: Gọi a, b là hai số không âm bất kì. S2 a. Theo bất đẳng thức AM-GM thì a b + ab � 2 S 2 ab ab 4 S2 S Do đó Max ( ab ) = � a = b = 4 2 b. Tương tự a + b 2 P
Vậy Min ( a + b ) = 2 P � a = b = P Chú ý:  Đây cũng là một hệ quả khá quan trọng của bất đẳng thức AM-GM, giúp chúng ta nhanh chóng tìm ra giá trị lớn nh ất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x ( 8 − x ) . 2 2 Giải: Dễ dàng nhận ra x + ( 8 − x ) = 8 (không đổi). 2 2 Do đó theo phần a. thì x ( 8 − x ) đạt giá trị lớn nhất là 2 2 82 = 16 khi 4 8 và chỉ khi x 2 = 8 − x 2 = � x = �2 2  Trường hợp a, b > 0, ta có bài toán mang nội dung hình h ọc nh ư sau: Bài toán: a. Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. b. Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất. • VÍ DỤ 6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 a. + + + + a +b−c b+c− a c+ a −b a b c b. ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) abc  Giải: 1 1 4 a. Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM: x + y x+ y ( x, y > 0 ) 1 1 4 2 + = (1) a + b − c b + c − a ( a + b − c) + ( b + c − a) b 1 1 2 1 1 2 Tương tự + (2), + (3) a +b −c c + a −b a b+c−a c+a−b c Cộng vế ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có đccm. a+b−c = b+c−a Dấu “=” xảy ra � a + b − c = c + a − b � a = b = c b+c −a = c +a −b ⇔ Tam giác đó là tam giác đều. b. Áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM: ( a + b) 2 2ab hay ( a + b ) 2 4ab (với mọi a, b), ta có: 2 � + b − c) + ( b + c − a) � 4( a + b − c) ( b + c − a) (a 2 � � 4b + 4 ( a −b +c ) ( b c a ) − 2 b 2 + a b − c )+ b c a ) − ( (
Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được: a2 ( a + b − c) ( c + a − b) c2 ( b + c − a) ( c + a − b) a, b, c > 0 a+b−c > 0 Do a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên b+c−a > 0 c+a −b > 0 Vì các vế của ba bất đẳng thức trên đều dương nên nhân vế với vế ba bất đẳng thức ta thu được: ( abc ) �a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) � (*) ( 2 2 � � Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh. a+b−c = b+c−a Dấu “=” xảy ra � a + b − c = c + a − b � a = b = c b+c −a = c +a −b ⇔ Tam giác đó là tam giác đều. Chú ý: a+b+c  Nếu gọi p là nửa chu vi tam giác thì p = , khi đó ta có thể 2 viết lại hai bất đẳng thức trên như sau: 1 1 1 � 1 1� 1 + + 2� + + � p −a p −b p −c � b c� a 1 ( p − a) ( p − b) ( p − c) abc 8  Ta có thể chứng minh bất đẳng thức ở phần b. bằng cách khác: ( a + b − c ) ( b + c − a ) = �+ ( a − c ) �b − ( a − c ) � b � �� = b2 − ( a − c ) 2 b2 Tạo thêm hai bất đẳng thức tương tự a2 ( a + b − c) ( c + a − b) c2 ( b + c − a ) ( c + a − b ) rồi nhân vế với vế ba bất đẳng thức. • VÍ DỤ 7. Chứng minh a2 + 8 a. 4 ( ∀a ) a2 + 4 b. ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) 8abc ( a , b, c 0 ) (1+ ) ( a, b 0 ) 2 c. ( 1 + a ) ( 1 + b ) ab  Giải: a. Ta thấy a2 + 8 (a 2 + 4) + 4 2 (a 2 + 4 ) .4 = =4 a2 + 4 a2 + 4 a2 + 4 Dấu “=” xảy ra � a 2 + 4 = 4 � a = 0 b. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
a+b 2 ab b + c ��bc � 2 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) � abc 8 c+a 2 ca Dấu “=” xảy ra � a = b = c c. ( 1 + a ) ( 1 + b ) = 1 + ( a + b ) + ab 1 + 2 ab + ab = ( 1 + ab ) 2 Dấu “=” xảy ra � a = b Chú ý:  Bạn đọc hãy cùng quan sát lại một lần nữa bất đẳng thức ở phần b. Với điều kiện a, b, c > 0 , khi chia cả hai vế của bất đẳng ( a + b) ( b + c) ( c + a) thức cho abc > 0 ta có: 8 abc Thêm vài bước biến đổi nho nhỏ ta được: a+b b+c c+a � b� c� a� � � � + + +�‫8�׳‬ � �1 1 � �1 � �8 a b c � a� b� c� � � Vậy là ta đã thu được một bất đẳng thức mới, cách ch ứng minh bất đẳng thức này cũng hoàn toàn tương tự như bất đẳng thức ban đầu.  Cũng vẫn là bất đẳng thức ở phần b. nhưng nếu cho thêm giả thiết a + b + c = 1 thì ta có bất đẳng thức: ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) 8abc . Sẽ khó khăn hơn khi nhận ra phải sử dụng bất đẳng thức AM- GM để chứng minh bất đẳng thức này.  Một mở rộng khác từ bất đẳng thức b. là một bài toán khá hay như sau: “Cho 2 bộ n số dương a1 , a2 , a3 ,..., an và b1 , b2 , b3 ,..., bn thỏa mãn a1a2 a3 ,...anb1b2b3 ...bn 1 . Chứng minh: ( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ( a3 + b3 ) ... ( an + bn ) 2n .”  Bất đẳng thức ở phần c. có thể mở rộng cho 3 số: ( 1 + a ) ( 1 + b ) ( 1 + c ) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ( ) 3 1 + 3 3 abc + 3 3 ( abc ) + abc = 1 + 3 abc 2 Với bốn số: ( 1 + ab ) ( 1 + cd ) = ( 1 + ab + ) 2 2 2 ( 1+ a) ( 1+ b) ( 1+ c) ( 1+ d ) cd + abcd ( abcd ) = � + abcd ) � = ( 1 + abcd ) (1 2 2 2 4 1 + 2 4 abcd + 4 4 � � � � Cứ như vậy, ta đi đến với kết quả tổng quát: Với n số không âm a1 , a2 , a3 ,..., an ta có: ( 1+ ) n ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ( 1 + a3 ) ... ( 1 + an ) n a1a2 a3 ...an Ta có thể chứng minh bằng phương pháp tương tự như trên hoặc sử dụng bất đẳng thức AM-GM theo cách sau đây:
1 1 1 n + + �� + 1 + a1 1 + a2 1 + an n ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ... ( 1 + an ) a1 a a n n a1a2 ...an + 2 + ��n � + 1 + a1 1 + a2 1 + an n ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ... ( 1 + an ) Cộng vế hai bất đẳng thức trên, ta có: n ( n 1 + n a1a2 ...an ) . Từ đó suy ra đccm. n ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ... ( 1 + an ) • VÍ DỤ 8. a. Cho các số không âm a, b . Chứng minh: a + b a+ b 2( a + b) b. Cho các số không âm a, b, c . Chứng minh: a+b+c a+ b+ c 3( a + b + c ) c. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a +b−c + b+c−a + c+a−b a+ b+ c  Giải: a. Ta có: a + b � a + b � ( a + b ) � a + b ) ( 2 2 �+ + �+ ۳ b a b a 2 ab 0 (đúng với mọi a, b 0 ) ab a=0 Do đó a + b a + b . Dấu “=” xảy ra � ab = 0 � b=0 Mặt khác, áp dụng hệ quả 1 của bất đẳng thức AM-GM: ( x + y ) 2 ( x 2 + y 2 ) với x = a 0 và y = b 0 ta có: 2 ( ) 2� a( ) +( b) � 2( a + b) 2 2 2 a+ b = � � � � � a + b � 2 ( a + b ) . Dấu “=” xảy ra � a = b Vậy a + b a+ b 2( a + b) b. Bằng phương pháp biến đổi tương đương như ở phần a. và sử dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta thu được đccm. Dấu “=” xảy ra � a = b = c = 0 c. Áp dụng kết quả của phần a. ta có: a +b −c + b +c −a + c + a −b a +b−c + b+c −a b + c −a + c + a −b c + a −b + a +b −c = + + 2 2 2 2 � + b − c) + ( b + c − a) � 2 � + c − a) + ( c + a − b) � 2 � + a − b) + ( a + b − c) � (a � � (b � � (c � � + + 2 2 2 2.2b 2.2c 2.2a + + = a+b+c 2 2 2 Dấu “=” xảy ra � a = b = c � Tam giác đó là tam giác đều. • VÍ DỤ 9. Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 1 + + + = 3 . Chứng minh abcd 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 81
 Giải: Ta nhận ra 3 = 1 + 1 + 1 nên ta s ẽ bi ến đ ổi đi ều ki ện c ủa đ ề bài nh ư sau: 1 1 1 1 + + + =3 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1 � 1 �� 1 �� 1 � � = �− 1 � �− + 1 � �− + 1 � 1+ a � 1+ b � � 1+ c � � 1+ d � 1 b c d b c d � = + + �33 � � 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 1+ b 1+ c 1+ d 1 a c d a c d Tương tự, ta cũng có: = + + �� 33 1+ b 1+ a 1+ c 1+ d 1+ a 1+ c 1+ d 1 a b d a b d = + + �� 33 1+ c 1+ a 1+ b 1+ d 1+ a 1+ b 1+ d 1 a b c a b c = + + �� 33 1+ d 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c Nhân vế với vế bốn bất đẳng thức trên, ta có đccm. 1 Dấu “=” xảy ra � a = b = c = d = 3 Nhận xét: Bằng việc linh hoạt trong phép biến đổi, cộng thêm sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta đã có một lời giải “nhanh, gọn, đ ẹp”. Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra cho chúng ta sau khi giải, đó là, liệu bất đẳng thức trên có dạng tổng quát hay không, và đó là gì? Nếu có, ta phải chứng minh như thế nào? Câu trả lời là có. Bất đẳng thức tổng quát của nó như sau: Với n số dương a1 , a2 , a3 ,..., an ( n 3) , thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 + + + �� = n − 1 , chứng minh rằng: + 1 + a1 1 + a2 1 + a3 1 + an 1 a1a2 a3 ...an ( n − 1) . Bạn đọc chứng minh tương tự như ví dụ trên. n • VÍ DỤ 10. a. Chứng minh rằng với mọi x, y, z > 0 , ta có: x3 y3 z 3 + + x+ y+z yz zx xy b. Cho các số a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: a 3 b3 c 3 + + ab + bc + ca b c a  Giải: a. Trước tiên, ta đi chứng minh bất đẳng thức phụ: x 4 + y 4 + z 4 xyz ( x + y + z ) (1) Thật vậy, áp dụng hệ quả 2 của bất đẳng thức AM-GM, ta có: x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 = ( xy ) + ( yz ) + ( zx ) 2 2 2 x4 + y 4 + z 4 xy. yz + yz.zx + zx.xy = xyz ( x + y + z )
Dấu “=” xảy ra � x = y = z 1 Vì xyz > 0 nên nhân cả hai vế bất đẳng thức (1) với xyz > 0 ta có: x 4 + y 4 + z 4 xyz ( x + y + z ) x3 y 3 z 3 � � + + �x + y + z xyz xyz yz zx xy Dấu “=” xảy ra � x = y = z b. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: a3 a3 + ab �� ab = 2a 2 2 b b b3 b3 a 3 b3 c 3 + bc �� bc = 2b 2 � 2 � + + � ( a 2 + b 2 + c 2 ) − ( ab + bc + ca ) 2 c c b c a c3 c3 + ca �� ca = 2c 2 2 a a a 3 b3 c 3 � + + � ( ab + bc + ca ) − ( ab + bc + ca ) = ab + bc + ca 2 b c a (vì a 2 + b2 + c 2 ab + bc + ca ( ∀a, b, c ) theo hệ quả 2 bất đẳng thức AM- GM) II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC x 3 + 16 • VÍ DỤ 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( x) = với x > 0 x  Giải: x 3 + 16 16 8 8 8 8 Tách g ( x) : g ( x) = = x 2 + = x 2 + + �� 3 3 x2 = 12 x x x x x x 8 Dấu “=” xảy ra � x 2 = � x = 2 x Vậy Min g ( x) = 12 � x = 2 • VÍ DỤ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2011x + 2012 1 − x + 2013 2 A= 1 − x2  Giải: ĐK: 1 − x > 0 � x < 1 � x < 1 � −1 < x < 1 2 2 2011x + 2012 1 − x 2 + 2013 2012 ( 1 + x ) + 1 − x Ta có: A = = 2012 + 1− x 2 1 − x2 2 2012 ( 1 + x ) ( 1 − x ) 2012 + = 2012 + 2 2012 ( 1+ x) ( 1− x) 2011 Dấu “=” xảy ra � 2012 ( 1 + x ) = 1 − x � 2012 + 2012 x = 1 − x � x = − 2013
2011 Vậy Min A = 2012 + 2 2012 � x = − 2013 5 − 3x • VÍ DỤ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 − x2 (Đề thi học sinh giỏi thành phố Yên Bái - tỉnh Yên Bái 2011 - 2012)  Giải: ĐK: 1 − x > 0 � x < 1 � x < 1 � −1 < x < 1 2 2 Làm tương tự như VÍ DỤ 12. với lưu ý: 5 − 3x = ( 1 + x ) + 4 ( 1 − x ) • VÍ DỤ 14. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: � 1 � � 1 � M = � 2 + 2 � y 2 + 2 � với x, y > 0 và x + y = 1 x � � y � � x �  Giải: Có thể một số bạn sẽ làm như sau: � 1 �� 1 � 1 1 M = �2 + 2 � y 2 + 2 � 2 x 2 2 2 y 2 2 = 4 x � �� y �� x � y x 1 x2 = 2 y Và kết luận ngay Min M = 4 �� xy = 1 1 y = 2 2 x Đây là một kết luận sai lầm vì đã không để ý đến điều ki ện n ữa c ủa xy = 1 x, y là x + y = 1 . Rõ ràng không thể có x, y thỏa mãn hệ (chứng x + y =1 minh: dùng hệ thức Vi-ét đảo hoặc thế x = 1 − y vào xy = 1 ) . Vì thế, dấu đẳng thức ở bất đẳng thức trên không xảy ra. Tức là M > 4, nghĩa là cách giải của các bạn đã sai. Cách giải đúng như sau: 2 � 1 � � 1 � � 2 y2 +1 � � x 1 � M = �2 + 2 � y 2 + 2 � � x � = �= � + � xy � y �� x � � xy � � xy � 2 � � � 2 � � � 1 � 15 � � 1 15 �= 289 = �xy + � � + �� xy2 + � 16 xy � 16 xy � � � + y �� 16 2 � 16 xy x � 16 � �� 2 �� x, y > 0 x + y =1 1 Dấu “=” xảy ra � xy = 1 � x = y = 2 16 xy x= y 289 1 Vậy Min M = �x= y= 16 2
1 1 15 Chú ý: Tại sao lại biết tách xy thành tổng của 16xy và 16xy ? Câu trả lời là vì ta có thể dự đoán được giá trị nhỏ nhất của M đạt được khi x = y . Mà theo giả thiết x + y = 1 . Như vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi 1 1 x= y= . Từ đây hình thành cách tách xy hoặc xy sao cho khi dấu “=” 2 1 xảy ra thì x = y = . 2 • VÍ DỤ 15. Cho x, y > 0 thỏa mãn x + y = 4 1 1 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 2 + xy + y 2 + xy 6 10 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 2 x + 3 y + x + y  Giải: a. Áp dụng hệ quả 4 của bất đẳng thức AM-GM, tìm ra giá trị nhỏ 1 nhất của A là khi x = y = 2 4 6 10 � x 6 � � y 10 � x + y 3 5 b. B = 2 x + 3 y + + = � + � � + �+ + 18 x y �2 x � �2 y� 2 Vậy Min B = 18 � x = y = 2 • VÍ DỤ 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) = ( x + 3 ) ( 5 − x ) với −3 x 5  Giải: x = −3 Hiển nhiên với −3 x 5 thì y 0 nên Min y = 0 x=5 �x + 3) + ( 5 − x ) � ( 2 Mặt khác y = f ( x) = ( x + 3) ( 5 − x ) � �= 16 � 2 � x � −3;5] [ Dấu “=” xảy ra � � x=4 x+3 = 5− x Vậy Max y = 16 � x = 4 x2 + y2 1 • VÍ DỤ 17. Cho bốn số thực x, y, z , t thỏa mãn điều kiện . Tìm z2 + t2 1 giá trị lớn nhất của biểu thức: P = ( x + z ) + ( y + t ) + ( x − z ) + ( y − t ) 2 2 2 2  Giải: Áp dụng bất đẳng thức: a+ b 2 ( a + b) và hằng đẳng thức ( a + b) + ( a − b ) = 2 ( a 2 + b2 ) , ta có: 2 2
( x + z) + ( y +t) + ( x − z) + ( y −t) 2 2 2 2 P= 2 �x + z ) + ( y + t ) + ( x − z ) + ( y − t ) � ( 2 2 2 2 � � 2 �( x 2 + z 2 ) + 2 ( y 2 + t 2 ) � 2.2 ( x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) 2 � �= 2.2.2 = 2 2 (vì x 2 + y 2 + z 2 + t 2 2 ) 2 Dấu “=” xảy ra � x = y = z = t = � 2 2 Vậy Max P = 2 2 � x = y = z = t = � 2 • VÍ DỤ 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c + + với a, b, c > 0 và a + b + c = 3 1 + b 1 + c 1+ a2 2 2  Giải: a a + ab 2 − ab 2 ab 2 ab 2 ab = =a− a− = a− 1+ b 2 1+ b 2 1+ b 2 2b 2 b bc c ca Tương tự b− , c− 1 + c2 2 1 + a2 2 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có: ( a + b + c) 2 a b c ab + bc + ca 3 3 + + 3− 3− = 1+ b 1+ c 1+ a 2 2 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra � a = b = c = 1 �a b c � 3 Vậy Min � 2 + + 2 � = � a = b = c =1 �+ b 1 + c 1 + a � 2 2 1 • VÍ DỤ 19. Cho a, b, c là các số thực dương có tích bằng 1. Tìm giá trị a 2 + b2 − c2 b2 + c2 − a 2 c2 + a 2 − b2 nhỏ nhất của biểu thức: H = + + c a b  Giải: Ta có: � 2 b2 b 2 c 2 � � 2 c 2 c 2 a 2 � � 2 a 2 a 2 b 2 � a b c 2H = � + + + � � + + + � � + + + � 2 ( a + b + c ) + + − �c c a a �� a a b b �� b b c c � a2 b2 b2 c2 b2 c 2 c 2 a 2 c2 a2 a2 b2 �4 4 � � � + 44 � � � + 44 � � � − 2( a + b + c) c c a a a a b b b b c c 2( a + b + c) 2.3 3 abc = 6 Do đó H 3 . Dấu “=” xảy ra � a = b = c = 1 Vậy Min H = 3 � a = b = c = 1 • VÍ DỤ 20. Cho x, y > 0 luôn thỏa mãn x + y 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 biểu thức S = x 2 + y 2 + xy + 4 xy  Giải:
1 1 � 1 1 � �1 � 5 S= + + 4 xy = � 2 + � � + 4 xy � + + x +y 2 2 xy � +y x 2 2 xy � � xy 4 � 4 xy 4 1 5 � +2 �xy + 4 = 11 ( x + y) 2 2 4 xy �+ y� x 4� � �2 � 1 Dấu “=” xảy ra � x = y = 2 1 Vậy Min S = 11 � x = y = 2 III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG BÀI TOÁN HÌNH HỌC (CỰC TRỊ HÌNH HỌC) • VÍ DỤ 21. Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 30 cm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp tấm nhôm lại (theo đường nét đứt) để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất.  Giải: Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt là x (cm) (0 < x < 15) Thể tích khối hộp tạo thành là V = x ( 30 − 2 x ) = 4 x ( 15 − x ) (cm) 2 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 x + ( 15 − x ) + ( 15 − x ) � 3 2 x ( 15 − x ) ( 15 − x ) � 2 x ( 15 − x 2 ) � 3 1000 3 Do đó V = 4 x ( 15 − x ) 2000 (cm) 2 Dấu “=” xảy ra � 2 x = 15 − x � x = 5 Vậy thể tích khối hộp đạt giá trị lớn nhất bằng 2000 cm khi c ạnh c ủa hình vuông bị cắt bằng 5 cm. • VÍ DỤ 22. Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi H, I, K thứ tự là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB. Tìm vị trí của M để MH 2 + MI 2 + MK 2 đạt giá trị nhỏ nhất.  Giải: Kẻ đường cao AD của ∆ ABC. Hạ ME ⊥ AD. Dễ dàng chứng minh được rằng: ( DE + AE ) 2 AD 2 MH + MI + MK = MH + AM 2 2 2 2 2 DE + AE 2 2 = 2 2 AD 2 Vậy MH 2 + MI 2 + MK 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi M là trung 2 điểm của AD.
• VÍ DỤ 23. Cho tam giác nhọn ABC. Trong tất cả các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M, N ∈ BC, P ∈ AC, Q ∈ AB), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.  Giải: Kẻ AH ⊥ BC. Gọi giao điểm của AH với PQ là I. PQ AI AI .BC BC ( AH − MQ ) Vì PQ // BC nên = � PQ = = BC AH AH AH Do đó BC ( AH − MQ ) .MQ S MNPQ = PQ.MQ = AH BC �AH − MQ ) + MQ � ( 2 BC = �AH − MQ ) .MQ � �( � AH � � AH � 2 � 2 BC AH BC. AH S ABC = =� S MNPQ AH 4 4 2 S ABC Vậy diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất là khi 2 AH AH − MQ = MQ � MQ = � P, Q thứ tự là trung điểm của AC và AB. 2 • VÍ DỤ 24. Cho hình thang ABCD có diện tích bằng S. Biết AC là đường chéo lớn nhất của hình thang. Tìm giá trị nhỏ nhất của AC.  Giải: Kẻ AM ⊥ CD, BN ⊥ CD. Theo bài ra, AC ≥ BD Khi đó CM ≥ DN (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Do đó 2CM ≥ CM + DN = (CN + MN) + (DM + MN) ⇒ 2CM ≥ MN + (CN + MN + DM) = MN + CD = AB + CD (1) Theo định lí Pythagore ta có AC 2 = AM 2 + CM 2 2 AM .CM (2) Từ (1) và (2) suy ra AC AM ( AB + CD ) = 2S ABCD = 2S 2 Bởi thế nên AC 2S Vậy giá trị nhỏ nhất của AC là 2S đạt được khi CM = DN AC = BD � � AM = CM ﾷ ACD = 450 A B C • VÍ DỤ 25. Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để sin sin sin 2 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất?  Giải: A Kẻ phân giác AD của ∆ ABC. Như vậy, sin = sin ﾷ ABD 2 Gọi H là hình chiếu của B trên AD. A BH BD Ta có: sin = sin ﾷ ABD = (1) 2 AB AB (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
BD CD BD + CD BC BC Mặt khác, ta lại có: AB = AC = AB + AC = AB + AC (2) 2 AB. AC (bất đẳng thức AM-GM) A BC Kết hợp (1) và (2), suy ra sin 2 2 AB. AC B AC Lập thêm hai bất đẳng thức tương tự: sin , 2 2 AB.BC C AB sin 2 2 AC.BC A B C 1 rồi nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có sin sin sin 2 2 2 8 A B C 1 Vậy sin sin sin đạt giá trị nhỏ nhất là khi và chỉ khi tam giác 2 2 2 8 ABC là tam giác đều. IV. CÁC ỨNG DỤNG KHÁC • VÍ DỤ 26. Giải phương trình 8 1 − x + 8 1 + x + 8 1 − x 2 = 3  Giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ( 1− x) +1+1+1+1+1+1+1 = 8 − x 8 1− x = 8 ( 1 − x ) .1.1.1.1.1.1.1 8 8 8 1 + x = 8 ( 1 + x ) .1.1.1.1.1.1.1 ( 1+ x) +1+1+1+1+1+1+1 = 8 + x 8 8 8 1 − x 2 = 8 ( 1 − x ) . ( 1 + x ) .1.1.1.1.1.1 ( 1− x) + ( 1+ x) +1+1+1+1+1+1 = 1 8 � 8 1 − x + 8 1 + x + 8 1 − x2 �3 1− x = 1 Dấu “=” xảy ra � 1 + x = 1 � x = 0 . 1 − x2 = 1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 x+ y+z =6 • VÍ DỤ 27. Tìm các số x, y, z > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 + + 2− 4 x y z xyz  Giải: Theo bất đẳng thức AM-GM và hệ quả 4 của nó thì: � 1 1� 4 1 9 4 �+ + � + + =2 � y z � xyz x x+ y+z � + y+z� x 3 (do x + y + z = 6 ) � � � 3 �
1 1 1 4 Từ đó, dễ dàng suy ra x + y + z 2 − xyz 1 1 1 4 Kết hợp với giả thiết ta có: x + y + z = 2 − xyz Nến dấu “=” ở các bất đẳng thức trên xảy ra. Do đó x = y = z = 2 và đây cũng là bộ số duy nhất thỏa mãn đề bài. • VÍ DỤ 28. Có hay không những số dương a, b, c nhỏ hơn 1 và thỏa mãn 1 a ( 1− b) > 2 1 hệ bất phương trình sau đây? b ( 1 − c ) > 4 1 c ( 1− a) > 8  Giải: Nhân vế với vế ba bất phương trình trong hệ ta có: 1 abc ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) > (*) 64 Điều này là không thể xảy ra, thật vậy: abc ( 1 − a ) ( 1 − b ) ( 1 − c ) = a ( 1 − a ) .b ( 1 − b ) .c ( 1 − c ) 2 2 2 � +1− a � � +1− b � � +1− c � 1 a b c � � �� = , trái với (*) � 2 � � 2 � � 2 � 64 Vậy không tồn tại ba số dương a, b, c nào thỏa mãn hệ bất phương trình. • VÍ DỤ 29. Tìm hệ thức liên hệ giữa ba số x, y, z nếu biết ba số đó thỏa mãn � x� y� � � z� 2( x + y + z) �+ �1 + �1 + 1 � � � 2+ (1) � y� z� � � x� 3 xyz  Giải: Xét tích � x� y� z� � � y z z x x y y+z z+x x+ y �+ �1 + �1 + � 2 + + + + + + = 2 + 1 � � = + + � y� z � x� � � x x y y z z x y z 1 1 1 � 1 1� 1 = 2 + ( x + y + z) � + ( x + y + z) � + ( x + y + z) �− 3 = 2 + ( x + y + z) � + + � 3 − x y z � y z� x 3 3 ( x + y + z ) − 3 3 xyz � + ( x + y + z) � 2 −3= 2+ 3 xyz 3 xyz 3( x + y + z ) − ( x + y + z ) 2( x + y + z) 2+ = 2+ (2) (vì 3 3 xyz x + y + z ) 3 xyz 3 xyz � x� y� z� � � 2( x + y + z) Từ (1) và (2) ta có: �+ y �1 + z �1 + x � 2 + 3 1 � � = � �� xyz Do đó dấu “=” ở bất đẳng thức (2) xảy ra, cho ta x = y = z
• VÍ DỤ 30. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, nội tiếp trong đường tròn bán kính R. Biết rằng R ( b + c ) = a bc . Tính số đo các góc của tam giác ABC.  Giải: a b + c 2 bc Từ hệ thức đã cho ta có: =� = 2 a 2R (1) R bc bc Mặt khác, vì đường kính là dây lớn nhất trong một đường tròn nên ta luôn có a 2 R (2). Kết hợp (1) và (2) ta được a = 2 R , tam giác ABC vuông tại A. Dấu “=” ở bất đẳng thức (1) xảy ra nên b = c . Như vậy ∆ ABC vuông cân tại A. C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a+b a. ∀a, b 0 , ab 2 a+b+c 3 b. ∀a, b, c 0 , abc 3 a+b+c+d 4 c. ∀a, b, c, d 0 , abc 4 a + a + ... + an n d. ∀a1 , a2 ,..., an 0 , 1 2 a1a2 ...an n a 2012 + 3 2. Chứng minh: >2 a 2012 + 2 3. Cho x, y > 0 và x 2 + y 2 2 . Chứng minh: −2 x+ y 2 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. ( a + b ) ( ab + 1) 4ab ( a, b 0 ) b. ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) 9abc ( a , b, c 0 ) 1 4 9 c. a 2 + b 2 + c 2 + + + 12 ( a , b, c 0) a 2 b2 c 2 a 5 b5 c 5 d. + + 3abc ( a , b, c > 0 ) bc ca ab 2 a+b a< < ab < c > 0, b > c > 0 thì c ( a − c ) + c ( b − c ) ab a2 b2 9. Cho a, b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức + b −1 a −1