zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 16

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:24

Báo xấu

69
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài này, ta sẽ thấy mối lien hệ của spin và moment toàn phần tức là tổng của moment quỹ đạo với moment spin Với quy luật biến đổi của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ Vì spin là đại lượng vector nên giá trị trung bình của nó cũng phải là đại lượng vector.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 16

Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 16 SPIN, MOMENT TOÀN PHẦN VÀ PHÉP QUAY
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong bài này, ta sẽ thấy mốii lien hệ của spin và moment toàn Trong bài này, ta sẽ thấy mố lien hệ của spin và moment toàn phần phần tức là tổng của moment quỹ đạo vớii moment spin tức là tổng của moment quỹ đạo vớ moment spin Vớii quy luật biến đổii của hàm trạng thái theo các phép quay Vớ quy luật biến đổ của hàm trạng thái theo các phép quay không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ không gian hay các phép quay hệ trục toạ độ
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1.Hàm trạng thái với spin ½ trong phép quay hữu hạn. Vì spin là đại lượng vector nên giá trị trung bình của nó cũng phải là đại lượng vector. ˆ ˆ ˆ Vì vậy, nếu chọn các toán tử S x ; S y ; S z dưới dạng các ma trận định thì hàm trạng thái lại phải thay đổi theo một quy luật nhất định trong phép quay không gian Với ˆ ˆ ˆ Sx;Sy ;Sz đã chọn như trong bài 15 thì, nếu tạm thời bỏ qua các toạ độ không gian , giá trị trung bình của chúng sẽ được tính như sau:
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ Ψ =  (ψ * ;ψ * ) 0 1 ψ 1  =  (ψ * ;ψ * )ψ 1  =  (ψ *ψ + ψ *ψ )  1 0 ψ  2 1 2 ψ  2 1 2 + Sx = Ψ Sx 1 2      2 1 2   2   2 (16.1)  0 − i ψ 1   * *  − iψ 2  + Sy = Ψ Sy 2 1 ( ˆ Ψ =  ψ * ;ψ * 2 )    (  i 0 ψ  = 2 ψ 1 ;ψ 2 )   iψ  i 2 (  = − ψ 1*ψ 2 − ψ 2ψ 1 * )   2   1  (16.2)  1 0 ψ 1   * *  ψ1   * + Sz = Ψ Sz 2 1 ( ˆ Ψ =  ψ * ;ψ * 2 )    (  0 − 1ψ  = 2 ψ 1 ;ψ 2 )   −ψ  2 (  = ψ 1ψ 1 − ψ 2ψ 2 * )   2   2 (16.3)
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Như vậy, bộ ba số (ψ ψ* 1 2 + ψ 2ψ 1 * ) ( − i ψ 1*ψ 2 − ψ 2ψ 1 * ) và (ψ ψ* 1 1 − ψ 2ψ 2 * ) phải biến đổi trong phép quay như ba toạ độ của bán kính vector của một điểm. Để đỡ phức tạp, ta hãy xét phép quay hệ trục toạ độ Oxyz quanh trục Oz một góc ϕ, để nhận được trục mớI Ox’y’z’
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, nếu ký hiệu (x,y,z) và (x’,y’,z’)lần lượt là các toạ độ của một điểm M trong các hệ toạ độ “cũ” và “mới”, thì:  x ' = x cos ϕ + y sin ϕ  ' (16.4)  y = − x sin ϕ + y cos ϕ z ' = z  ψ 1'  Tương ứng, yêu cầu về mối liên hệ giữa hàm trạng thái Ψ =  '  ' ψ   2 ψ 1  trong hệ O’x’y’z’ và hàm trạng thái Ψ =  ' ψ   2 trong Oxyz (mô tả cùng một trạng thái của hạt) sẽ là:
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam (  1* 2 2 1) 1 2( 2 1 ) 1 2 (  ψ ' *ψ ' + ψ ' *ψ ' = ψ *ψ + ψ *ψ cos ϕ − i ψ *ψ + ψ *ψ sin ϕ 2 1 )  ' '  ( '* ' ) ( ) ( ) i ψ 1 ψ 2 − ψ 2 ψ 1 = ψ 1*ψ 2 + ψ 2ψ 1 sin ϕ + i ψ 1*ψ 2 − ψ 2ψ 1 cos ϕ * *   (  '* ' '* ' ) ( ψ 1 ψ 1 − ψ 2 ψ 2 = ψ 1*ψ 1 + ψ 2ψ 2 * ) (16.5) Vì các biểu thức ở ba phương trình trên là các biểu thức bậc hai đối với ψ 1 ,ψ 2 nên có thể đoán rằng, để chúng biến đổi giống như ba toạ độ của một điểm khi bị quay một góc -ϕ (ứng với việc quay hệ toạ độ một góc bằng ϕ) thì ψ 1 ,ψ 2 phải biến đổi như kiểu bị quay một góc -ϕ/2.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Và quả vậy, nếu lấy:  '* iϕ ψ 1 = ψ 1 e 2  iϕ * (16.6) − ψ ' = ψ e 2  2 2 t hì: (ψ ψ '* 1 ' 2 '* ) ( + ψ ψ 1' = ψ 1*ψ 2 e − iϕ + ψ 2ψ 1 e iϕ = 2 * ) = ψ ψ 2 ( cos ϕ − i sin ϕ ) − ψ ψ 2 ( cos ϕ + i sin ϕ ) = * 1 * 1 ( 1 * 2 ) ( = ψ ψ 2 + ψ ψ 1 cos ϕ − i ψ ψ 2 + ψ ψ 1 sin ϕ * * 1 * 2 )
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam tức là hệ thức thứ nhất trong (16.5) thoã mãn. Các hệ thức còn lại cũng được chứng minh theo cách đơn giản như vậy. Ta hãy lưu ý đến một trường hợp đặc biệt, khi ϕ=2π. Khi đó, tất cả các điểm trong không gian đều nhận lại các toạ độ cũ như trước khi quay, và ta cũng có thể coi rằng chưa hề có việc thực hiện phép quay nào Tuy nhiên, vì e ± iπ = −1 nên (16.6) lúc đó trở thành: ψ 1' = −ψ 1   ' (16.7) ψ 2 = −ψ 2 
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Hàm trạng thái chỉ trở lại hoàn toàn như cũ khi góc quay bằng 4π, tức là quay lại hai vòng!. Điều này rõ ràng không thể chấp nhận được theo quan điểm cổ điển Tuy nhiên, kêt quả kỳ lạ này không hề phi lý về mặt logic vì các lý do sau. (i) thứ nhất, hàm trạng thái ở đây không đơn giản phụ thuọc vào điểm trong không gian mà còn phụ thuộc cả biến số spin nên không thể nói rằng sau khi quay một vòng thì dứt khoát hàm trạng thái phải nhận lại giá trị cũ. (ii) thứ hai, bản than hàm trạng thái không phải là đại lượng đo được mà chỉ có các biểu thức bậc hai của chúng ψ ψ 1 +ψ ψ 2 * 1 * 2 mới đo được hoặc ψ ψ 2 +ψ ψ 1 * 1 * 2
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì vậy, giá trị của hàm trạng thái có thể xác định sai khác một thừa số dạng e iα (với α là số thực) Do đó,việc Ψ không đổi dấu khi quay đủ một vòng không có gì là phi lý. Như vậy, có thể nói tồn tại của moment riêng (spin) biểu hiện ở sự thay đổi giá trị của hàm trạng thái khi quay hệ trục toạ độ, kể cả khi hàm trạng thái không phụ thuộc toạ độ. Chú ý: Với quy luật biến đổi cho bởi (16.6) người ta nói hàm trạng thái với spin ½ là spinor.  '* iϕ ψ 1 = ψ 1 e 2  iϕ (16.6) ψ ' = ψ e 2 * −  2 2
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hàm trạng thaí với spin ½ trong phép quay vô cùng bé Trước hết, ta vẫn xét phép quay hệ trục toạ độ quanh trục Oz, nhưng lần này, thay cho góc quay là ϕ, ta sẽ xét một góc quay vô cùng bé δϕ. Vì với x đủ nhỏ thì ex ≈ 1+x nên (16.6) trở thành:  '  iδϕ  ψ 1 = ψ 1 1 +    2   (16.8) ψ ' = ψ 1 − iδϕ  2   2   2  Mặt khác, vì:  1   ψ 1  1  1 0 ψ  1 1    ˆ  2 =  ˆ   = S z Ψ =  S .k Ψ 1     − 1 ψ  2  0 − 1ψ 2      2  2 
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  (trong đó k là vector đơn vị của trục Oz, trong trường hợp này là trục quay) nên (16.8) trở thành:  1     ˆ Ψ = 1 +  S .k δϕ  Ψ ' (16.9)     Trong trường hợp tổng quát, khi trục quay không trùng với Oz, vector   k cần được thay bởi vector đơn vị n của trục quay tương ứng, tức là thay cho (16.9), ta có:  1     ˆ Ψ = 1 +  S .n δϕ  Ψ ' (16.10)     Bây giờ ta xét tác động của phép quay lên hàm trạng thái như hàm của ba toạ độ không gian (và tạm bỏ qua biến số spin).
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vẫn xét phép quay quanh trục Oz một góc δϕ Khi đó, các toạ độ (x, y, z) và (x’, y’, z’) của cùng một điểm trong hệ toạ độ cũ và mới sẽ liên hệ với nhau như sau (nếu lấy cosδϕ ≈ 1, sinδϕ ≈ δϕ)  x ' = x + yδϕ  '  y = − xδϕ + y (16.11) z ' = z  '   hay: r = r + δr  trong đó δr có ba toạ độ là yδϕ, -xδϕ và 0    [ Rõ rang, ta có δr = r × k δϕ ]
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  Trong trường hợp trục quay tuỳ ý với vector đơn vị n , ta có:    δr = [ r × n ]δϕ Do đó: '    r = r + [ r × n ]δϕ (16.12) Giả sử hàm trạng thái chỉ phụ thuộc vào điểm trong không gian. Khi đó quy luật phụ thuộc của hàm này vào các toạ độ của điểm buộc phải thay đổi khi quay hệ toạ độ Ký hiệu ψ và ψ ' là biểu thức tương ứng của hàm này trong các hệ toạ độ cũ và mới  ( )  Khi đó phải có: ψ ' r ' = ψ ( r ) hay:  ' ( '  ψ r + δ r =ψ (r ) )
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam tức là: ψ ( r ) = ψ ( r − δr ) ''   (16.13) Mặt khác:       i   ˆ  i     ˆ ψ ( r − δr ) = ψ ( r ) − ∇ψ ( r )δr = ψ ( r ) − δr Pψ ( r ) = ψ ( r ) − [ r × r ]δϕ.P.ψ ( r )   (16.14) [  ]  Áp dụng cộng thức a × b c = −[ a × c ]b      ˆ    ˆ  ˆ r × P  n = − M .n ta được [ r × n] P = −    do đó, kết hợp (16.13) với (16.14) ta được:   i    ˆ  ψ ( r ) = ψ ( r ) +  M .n .δϕ.ψ ( r ) '  
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam hay   i      ˆ ψ ( r ) = 1 +  M .n .δϕ ψ ( r ) ' (16.15)      ˆ trong đó M là toán tử moment quỹ đạo. Bây giờ ta kết hợp (16.10) với (16.15): đối với hàm vừa phụ thuộc x, y, z, vừa phụ thuộc biến số spin, trong phép quay hệ trục toạ độ nó phải chịu tác động của cả hai toán tử:  i     ˆ R1 ( δϕ ) = 1 +  S .n .δϕ      và:  i     ˆ R2 ( δϕ ) = 1 +  M .n .δϕ     
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tác động liên tiếp của hai toán tử này ứng với tích của hai toán tử, Nếu bỏ qua vô cùng bé bậc cao thì toán tử tích sẽ là:  i     ˆ R1 ( δϕ ) R2 ( δϕ ) = 1 +  J .n .δϕ  (16.16)        ˆ ˆ ˆ trong đó J =M +S là toán tử moment toàn phần của hạt. Như vậy, qua phép quay vô cùng bé, hàm ψ 1  Ψ= ψ   2 biến thành:  i   J .n .δϕ  Ψ ˆ Ψ = 1 + '    (16.17)     

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.