intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 30

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:24

Thêm vào BST
Báo xấu
92
lượt xem 11
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong những bài toán đặc trưng của Cơ học lượng tử là bài toán sau. Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc trưng đại lượng vật lý L nào đó. Giả sử L có phổ là L1, L2,…, Ln,…, và ở thời điểm t0 = 0, hạt ở trạng thái cơ bản tức là mô tả bởi hàm riêng (x có thể là một hoặc bộ tọa độ)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 30

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc l­îng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 30 PHƯƠNG PHÁP NHIỄU LOẠN THỨ HAI
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Một trong những bài toán đặc trưng của Cơ h ọc lượng t ử là bài toán sau. Xét một hạt hoặc “một hệ hạt” theo một đặc tr ưng đại lượng vật lý L nào đó. Giả sử L có phổ là L1, L2,…, Ln,…, và ở thời điểm t0 = 0, hạt ở trạng thái cơ bản n tức là mô tả bởi hàm riêng ψ n = ψ n ( x ) (x có thể là một hoặc bộ tọa độ) Sau thời gian t, hạt sẽ ở trạng thái mới là ψ ( x, t ) như vậy theo giả thiết thì ψ ( x,0 ) = ψ n ( x )
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Nói chung, trong trạng thái ψ ( x, t ) đại lượng L không có giá trị cụ thể nào Bây giờ, nếu tiến hành đo đại lượng L thì ta sẽ nhận được một trong các giá trị L1, L2,…. cm ( t ) 2 Xác suất để nhận được giá trị thứ m (tức là Lm) sẽ là , nếu ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x ) (30.1) k c m ( t ) (phụ thuộc t) gọi là xác suất chuyển dời sau thời gian t 2 từ trạng thái n m vào trạng thái
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Việc tìm xác suất đó chính là mục đích của bài toán v ề chuy ển dời lượng tử. Để giải những bài toán như vậy, ta cần sử dụng phương pháp nhiễu loạn thứ hai
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1. Nội dung của phương pháp nhiễu loạn thứ hai Xét phương trình Schrodinger: ∂ψ i = H 0ψ + W( x, t )ψ ˆ ˆ (30.2) ∂t W( x, t ) là nhiễu loạn nhỏ. ˆ Đại lượng L ta xét ở đây sẽ là năng lượng của hạt, với các ˆ mức E1, E2,… là các trị riêng của H 0 Hàm trạng thái của hạt ta sẽ viết dưới dạng: − iEk ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x )e t  (30.3) k
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam xác suất chuyển dời từ trạng thái n m pm ( t ) = cm ( t ) 2 ∂ψ vẫn là i = H 0ψ + W( x, t )ψ ˆ ˆ ∂t − iE k ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x )e t Thế (30.3) vào (30.2)  iE k k ( x)e t sau đó nhân hai vế với ψ * m  rồi lấy tích phân theo x, ta được:
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam dc m i = ∑ Wmk ( t ) e c k ( t ) iω mk t (30.4) dt k Wmk ( t ) = ∫ψ m ( x )W ( x, t )ψ k ( x ) dx * ˆ (30.5) Em − Ek ω mk = (30.6)  Rõ ràng, để tìm được các biểu thức của xác suất pm(t), ta cần phải giải hệ (30.4) để tìm ra các hàm cm(t) với điều kiện là: c k ( 0 ) = δ nk (30.7) ˆ nếu trạng thái ban đầu là ψ n - hàm riêng của H 0 ứng với trị riêng En
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Để giải bài toán này, ta dùng phương pháp đặc biệt sau đây. Trước hết, chọn một bộ hàm số c1( 0 ) ( t ) , c 20) ( t ) ,... Tùy ý ( (thỏa mãn điều kiện ban đầu(30.7)), sau đó tìm bộ hàm số c(1) 1 ( t ) , c ( t ) ,... sao cho: ( 2) 1 (1) dc i m = ∑W ( t )e mk iω mk t c k0 ) ( (30.8) dt k cứ thế theo tiến trình quy nạp,ta tìm bộ hàm số ( p) c 1 ( t ) , c ( t ) ,... (q) 2 dc mp ) ( i = ∑ Wmk ( t ) e iωmk t c k p −1) ( (30.9) dt k
  10. Ho ng Duc Unive rs ity dc 307 Le Lai Str. iThanh m =City, Thanh(hoa,iωmk t c k ( t )  Hoa ∑ Wmk t ) e Viet nam dt k .v.v… Khi đó, nếu cho p → + ∞ ta sẽ có c ( p ) ( t ) → c ( t ) ,... m m và cố nhiên c mp −1) ( t ) → c m ( t ) ,... nên c m ( t ) ,... thỏa mãn (30.4). ( Bộ hàm số đầu tiên c m ( t ) có thể lấy dựa vào suy luận sau 0 Do các hàm Wmk(t) là nhỏ nên trong xấp xỉ thô, ta có thể thay (30.4) bởi hệ: dc m i =0 (30.10) dt Ta sẽ lấy c m ( t ) từ điều kiện (30.10). 0 Khi đó c m ( t ) phải là các hằng số 0
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Do điều kiện (30.7) nên ta có c ( t ) = δ nk 0 k dc m1) ( i = ∑ Wmk ( t ) e iωmk t δ nk =Wmn ( t ) e iωmn t (30.11) dt k t i Do đó: c m1) ( t ) = ∫ Wmk ( s ) e iω s ds + δ mn ( mk (30.12)  0 dc m2 ) ( Ta lại có i = ∑ Wmk ( t ) e iωmk t c k1) ( t ) ( (30.13) dt k từ đó ta tìm được bộ hàm số c ( 2) 1 (t) , c ( 2) 2 (t) ,… Sau một số bước, ta sẽ được bộ c( p) 1 (t) , c ( p) 2 (t) ,…
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Rất may mắn là với Wmn rất nhỏ thì ngay sau bước thứ hai, ta đã được kết quả rất chính xác, tức là có thể lấy c m2 ) ( t ) thay cho ( cm ( t ) Bây giờ ta xét một trường hợp đơn giản nhưng quan trọng: Nhiễu loạn xuất hiện vào thời điểm 0 và chấm dứt ở thời điểm T. Trong trường hợp này, Wmp(t) = 0 khi t ≥ T Vì vậy, nếu t ≥ T thì: t T i i c ( t ) = − ∫ Wmn ( s ) e (1) m iω mn s ds + δ mn = δ mn − ∫ Wmn ( s ) e iωmn s ds = const  0  0
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Đặc biệt , nếu niễu loạn không phụ thuộc thời gian, tức là Wmn(s) = Wmn = const, thì: T i c m = δ mn − Wmn ∫ e iωmn s ds (1) (30.14)  0 với m ≠ n, (30.14) trở thành: i c m = − Wmn (1)  1 iω mn e [ iω mnT −1 =] Wmn Em − En [ 1 − e iωmnT ] (30.15) Đồng thời: i c n = 1 − WmnT (1) (30.16)  Thế (30.15) vào (30.13), ta được: dc m2) ( ) ( Wkn iω mn t  i  i = ∑ Wmk e iω mk t 1− e iω knT +Wmn e 1 − WmnT  dt k ≠n Ek − En    từ đó dễ dàng tìm được c m2 ) (
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3, Tổng quát hóa cho phổ tùy ý Ở ® y ta đã làm việc với phổ năng lượng rời rạc. © Bây giờ ta xét phổ tùy ý, gồm tập hợp các giá trị E1, E2,… với các hàm riêng tương ứng ψ1, ψ 2,… và các giá trị E(α), với α là một tham số liên tục, và các hàm riêng tương ứng là ψ(α, x). Khi đó, khai triển của hàm trạng thái ở th ời điểm t có dạng: iE k iE ( α ) − − ψ ( x, t ) = ∑ c k ( t )ψ k ( x ) e + ∫ c( α , t )ψ ( α , x )e t t   dα (30.17) k Ta sẽ coi rằng các hàm ψ ( α , x ) được chuẩn hóa vềδ ( α − α ') tức là: ∫ ψ * ( α , x )ψ ( α ' , x ) dx = δ ( α − α ') (30.18)
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tương tự trường hợp phổ rời rạc, ta có: t i [ E ( α ) − En ] i − c ( α , t ) = − ∫ Wαn ( s )e t (1)  ds (30.19)  trong đó: Wαn ( t ) = ∫ψ * ( α , x )W ( x, t )ψ n ( x ) dx (30.20) (với giả thiết là lúc đầu hạt ở trạng thái n ứng với phần phổ rời rạc) Để cho đơn giản, ta chỉ xét nhiễu đơn sắc : Wαn ( t ) = W ( x ) e iωt + W * ( x ) e −iωt (30.21) Khi đó: Wαn ( t ) = Wαn e iωt + Wα*n e −iωt (30.22) Thế (30.22) vào (30.19), ta được :
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam i i [ E ( α ) − En +  ω ] t [ E ( α ) − En −  ω ] t 1− e  * 1− e  c ( α , t ) = Wαn (1) + Wαn (30.23) E (α ) − En +  ω E (α ) − En −  ω Chú ý rằng về giá trị tuyệt đối thì tử số ở hai số h ạng trong (30.23) là ngang cấp. Mặt khác, trong các bài toán thực tế, ta luôn có En0, ω>0 nên E ( α ) − En −  ω <
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi đó, nếu dừng ở xấp xi bậc 1 mật độ xác suất chuyển sang trạng thái với mức năng lượng E(α) sau thời gian t là : i 2 [ E ( α ) − En −  ω ] t 1− e  (30.25) (α , t ) 2 2 c (1) = Wαn E (α ) − En −  ω 2 Nói cách khác, xác suất để sau thời gian t hệ chuyển (từ trạng thái n ) sang một trạng thái có năng lượng nằm trong kho ảng E(α),E(α+dα) bằng : i 2 [ E ( α ) − En −  ω ] t 1− e 2 Wαn dα E (α ) − En −  ω 2
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chú ý rằng, để nhËn được công thức cho trường hợp nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, cần lấy ω=0
  19. Ho ng Duc Unive rs ity Danh s¸ch nh÷ Str. Thanh HoavÖ tiÓu luËn vµ chuyªn ® 307 Le Lai ng­êi b¶o City, Thanh hoa, Viet nam ng Ò: 1. Qu¸ch V¨n B¶o: Bµi to¸n nhiÔu lo¹n vµ hiÖu øng Zeeman 2. Lª ThÞ Hµ: Spin vµ sù tån t¹i positron theo quan ® iÓm lý thuyÕt 3. Lý Hoµng Liªn: S¬l­îc vÒ sù h× thµnh c¸c häc thuyÕt vÒ nh cÊu t¹o nguyªn tö 4. Ph¹m V¨n TiÕn: B¶ng hÖ thèng tuÇn hoµn theo quan ® iÓm CHLT 5. NguyÔn ThÞ BÐ: líp 3 d ® l¹i). Ó 6. §ç ThÞ Th¶o: Lý thuyÕt thuËn tõ ® iÑn tö 7. Lª H¶i Anh: M« h× electron liªn kÕt yÕu nh 8. Lª Träng Duy: 4 f 9. TrÇn V¨n Ng·i: HiÖu øng xuyªn ngÇm 10.NguyÔn §¨ng Nguyªn: T­¬ t¸c spin-spin ng 11.Lª Gia Ph¸n: Ph­¬ tr­êng trung b× hiÖu dông ng nh 12. Khuyªn 13. Lª V¨n Phong: Dao ® éng tö ® iÒu hßa (Rotato)
  20. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2