Tham khảo tài liệu 'cơ sở tự động học, chương 12', kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: cơ sở tự động học, chương 12
- Chương 12:
TRẠNG THÁI CỦA HỆ THỐNG
Trong các chương trước, ta đã khảo sát vài phương pháp thông
dụng để phân giải các hệ tự kiểm. Phép biến đổi Laplace đã được
dùng để chuyển các phương trình vi phân mô tả hệ thống thành các
phương trình đại số theo biến phức S. Dùng phương trình đại số
này ta có thể tìm được hàm chuyển mô tả tương quan nhân quả
giữa ngõ vào và ngõ ra.
Tuy nhiên, việc phân giải hệ thống trong miền tần số, với biến
phức, dù là kỹ thuật rất thông dụng trong tự động học, nhưng có rất
nhiều giới hạn. Sự bất lợi lớn nhất, đó là các điều kiện đầu bị bỏ
qua. Hơn nữa, phương pháp ấy chỉ được áp dụng cho các hệ tuyến
tính, không đổi theo thời gian. Và nó đặc biệt bị giới hạn khi dùng
để phân giải các hệ đa biến.
Ngày nay, với sự phát triển của máy tính, các điều khiển
thường được phân giải trong miền thời gian. Và vì vậy, cần thiết
phải có một phương pháp khác để đặc trưng hóa cho hệ thống.
Phương pháp mới, là sự dùng”biến số trạng thái” (state
variable) để đặc trưng cho hệ thống. Một hệ thống có thể được
phân giải và thiết kế dựa vào một tập hợp các phương trình vi phân
cấp một sẽ tiện lợi hơn so với một phương trình độc nhất cấp cao.
Vấn đề sẽ được đơn giản hóa rất nhiều và thật tiện lợi nếu dùng
máy tính để giải.
Giả sử một tập hợp các biến x1(t), x2(t)...xn(t) được chọn để
mô tả trạng thái động của hệ thống tại bất kỳ thời điểm cho sẳn
t=t0 nào, các biến này mô tả hoàn toàn trạng thái quá khứ ( past
history ) của hệ cho đến thời điểm t0. Nghĩa là các biến x1(t0),
x2(t0) . . . xn(t0), xác định trạng thái đầu của hệ tại t=t0. Vậy khi
có những tín hiệu vào tại t >= t0 được chỉ rõ, thì trạng thái tương
lai của hệ thống sẽ hoàn toàn được xác định .
Vậy, một cách vật lý, biến trạng thái của một hệ tuyến tính có
thể được định nghĩa như là một tập hợp nhỏ nhất các biến
- x1(t),x2(t),... xn(t), sao cho sự hiểu biết các biến này tại thời điểm
t0 bất kỳ nào cộng thêm dữ kiện về sự kích thích (excitation) ở ngõ
vào được áp dụng theo sau, thì đủ để xác định trạng thái của hệ tại
bất kỳ thời điểm t >=t0 nào.
Cái ngắt điện, có lẽ là một thí dụ đơn giản nhất về biến trạng
thái. Ngắt điện có thể ở vị trí hoặc ON hoặc OFF, vậy trạng thái
của nó có thể là một trong hai trị giá khả hữu đó. Nên, nếu ta biết
trạng thái hiện tại (vị trí) của ngắt điện tại t0 và nếu có một tín
hiệu đặt ở ngõ vào, ta sẽ có thể xác định được trị giá tương lai
trạng thái của nó.
II. PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI VÀ PHƯƠNG TRÌNH
OUTPUT.
Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyến
tính với p input và q output. Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởi
tập hợp sau đây của n phương trình vi phân cấp 1, gọi là những
phương trình trạng thái.
Trong đó :ĠĬ, … ,Ġ là các biến trạng thái
Ġ.Ĭ, … ,Ġ là các input
- Ġ : hàm tuyến tính thứ i.
Các output của hệ thống liên hệ với các biến trạng thái và các
input qua biểu thức sau.
Ġ : hàm tuyến tính thứ k .
Phương trình (4.2) gọi là phương trình output của hệ. Phương
trình trạng thái và phương trình output gọi chung là các phương
trình động của hệ.
Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input và một output
được mô tả bởi phương trình vi phân :
Hàm chuyển mô tả hệ thống dễ dàng có được bằng cách lấy
biến đổi Laplace ở hai vế, với giả sử các điều kiện đầu bằng 0.
Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống còn có thể mô tả bởi một tập hợp
các phương trình động như sau :
Trước nhất, ta định nghĩa các biến trạng thái
- Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hàm bậc cao
nhất ở vế trái:
Bây giờ phương trình 4.6 và 4.7, thay thế các hệ thức định
nghĩa của biến trạng thái vào 4.8 . Ta sẽ có những phương trình
trạng thái:
Chỉ có phương trình (4.9c) là tương đương phương trình ban
đầu (4.3). còn hai phương trình kia chỉ là phương trình định nghĩa
biến trạng thái.
Trong trường hợp này, output c(t) cũng được định nghĩa như
là biến trạng thái x1(t), (không phải luôn luôn như vậy). Vậy
phương trình (4.5) là phương trình output.
Tổng quát hơn, nếu áp dụng phương phương pháp mô tả ở
trên, thì phương trình vi phân cấp n:
- Sẽ được trình bày bởi các phương trình trạng thái sau :
Và phương trình output giản dị là :
Phương pháp định nghĩa các biến trạng thái được mô tả ở trên
không thích hợp khi vế phải của (4.10) có chứa những đạo hàm của
r(t).
Trong trường hợp này, những hệ thức của các biến trạng thái
cũng phải chứa r(t).
Các biến trạng thái được định nghĩa như sau:
Với các giá trị ở đó :
- Dùng (14) và (15) ta đưa phương trình vi phân cấp n(4.13) vào
n phương trình trạng thái sau đây dưới dạng bình thường :
Phương trình output, có được từ biểu thức thứ nhất của(4.14):
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
