Đa đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 lần 1 môn Toán - Trường ĐH Khoa học

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh "Đa đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 lần 1 môn Toán - Trường ĐH Khoa học". Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận có kèm lời giải chi tiết và đáp án. Cùng tìm hiểu và tham khảo nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đa đề thi thử THPT Quốc gia năm 2015 lần 1 môn Toán - Trường ĐH Khoa học

TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC A THI THÛ THPTQG NM 2015 - LN 1 KHÈI CHUYN THPT MÆN: TON C¥u 1. Cho h m sè y = x2x +2 câ ç thà (C). a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè. b) T¼m iºm M thuëc ç thà (C) sao cho ti¸p tuy¸n vîi ç thà (C) t¤i M song song vîi d : 4x − y = 0. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) • Tªp x¡c ành: D = R\{−2}. Ta câ y0 = (x +4 2)2 > 0, ∀x ∈ D. = 2 ⇒ y = 2 l ti»m cªn ngang cõa ç thà (C). 2 • lim y = lim x→±∞ x→±∞ 1 + x2 = −∞ v lim y = lim = +∞ n¶n x = −2 l ti»m cªn ùng 2x 2x lim y = lim x→−2+ x→−2+ x + 2 x→−2− x→−2− x + 2 cõa ç thà (C). • B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ −2 +∞ y0 + + +∞ 2 y 2 −∞ H m sè çng bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; −2) v (−2; +∞). • ç thà: y 2 −2 O x 1
b) Ta câ d : y = 4x. Gåi ∆ l ti¸p tuy¸n vîi (C) t¤i M . • V¼ ∆ k d n¶n ∆ câ d¤ng ∆ : y = 4x + m, m 6= 0. • ∆ ti¸p xóc vîi (C) khi v ch¿ khi h» sau câ nghi»m 2x    = 4x + m (1) x+2 4  =4 (2) (x + 2)2  Ta câ (2) ⇔ (x + 2) = 4 ⇔ xx==−4. 2 0 Thay x = 0 v o (1) ta câ m = 0 (khæng thäa m¢n). • Thay x = −4 v o (1) ta câ m = 20 (thäa m¢n). Do â ∆ : y = 4x + 20 v M (−4; 4). • Vªy M (−4; 4). C¥u 2. √ a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh sin 2x + 3 π (x ∈ R). = 2 sin x + 2 3 b) Cho sè phùc z thäa m¢n z+ 2·z 1+i = 5 − 4i. T¼m mæun cõa sè phùc z. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi 2π π π π π sin 2x + sin = 2 sin x + ⇔ 2 sin x + cos x − = 2 sin x + 3 3  3 π 3 3 π π sin x + =0 ⇔ sin x + cos x − −1 =0⇔ 3π 3 3 cos x − =1 3  π x = − + kπ ⇔  π3 , k ∈ Z. x = + k2π 3 Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S = − π3 + kπ, π3 + k2π
k ∈ Z . n
o b) i·u ki»n: z 6= 0. °t z = x + yi, x, y ∈ R. Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi x + yi + (1 − i)(x − yi) = 5 − 4i ( ( 2x − y = 5 x=4 ⇔(2x − y) − xi = 5 − 4i ⇔ ⇔ −x = −4 y = 3. √ Do â z = 4 + 3i v |z| = 42 + 32 = 5. C¥u 3. Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 2 log4(3x + 1) + log2(3 − x) ≤ 3 (x ∈ R) Ph¥n t½ch-Líi gi£i. ( i·u ki»n: ⇔ x ∈ − ;3 . 3x + 1 > 0 1 3−x>0 3 B§t ph÷ìng tr¼nh tr÷ìng ÷ìng vîi log2 (3x + 1) + log2 (3 − x) ≤ 3 ⇔ log2 (3x + 1)(3 − x) ≤ 3 x≤1 " 2 2 ⇔ − 3x + 8x + 3 ≤ 8 ⇔ 3x − 8x + 5 ≥ 0 ⇔ 5 x≥ . 3 Vªy tªp nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l S = − 13 ; 1 ∪ 53 ; 3 . 2
C¥u 4. T¼m t§t c£ c¡c gi¡ trà thüc cõa m º h» ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m ( 4x3 − (y + 8)x2 + 2xy = 3m (x, y ∈ R). x2 + 2x − y = 1 − m Ph¥n t½ch-Líi gi£i. H» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi ( (x2 − 2x)(4x − y) = 3m (1) (x2 − 2x) + (4x − y) = 1 − m °t u = x2 − 2x, v = 4x − y. Ta câ u = (x − 1)2 − 1 ≥ −1 v h» (1) trð th nh ( ( uv = 3m u2 + (m − 1)u + 3m = 0 (2) ⇔ u+v =1−m v =1−m−u Vîi u ≥ −1, ta câ −u2 + u (2) ⇔ m(u + 3) = −u2 + u ⇔ m = (3) u+3 2 X²t h m f (u) = −uu ++3 u , u ≥ −1. Ta câ (3) ⇔ m = f (u) (4) Do â h» ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m khi v ch¿ khi (4) câ nghi»m u ≥ 1 (5) √ −u2 − 6u + 3 u = −3 − 2√ 3 (lo¤i) f 0 (u) = =0⇔ (u + 3)2 u = −3 + 2 3. lim f (u) = −∞. x→+∞ B£ng bi¸n thi¶n: √ x −1 −3 + 2 3 +∞ t0 + 0 − √ 7−4 3 t −1 −∞ √ Tø b£ng bi¸n thi¶n ta câ (5)⇔ m ≤ 7 − 4 3. C¥u 5. T½nh t½ch ph¥n 2 dx. Z x + 2 ln x I= 1 (x + 2)2 Ph¥n t½ch-Líi gi£i. °t u = x + 2 ln x v dv = (x +1 2)2 dx, ta câ du = x +x 2 dx v v = − x +1 2 . Do â
2 Z 2 x + 2 ln x
1 d 1 1
2 1 1 B=−
+ x = − ln 2 − + ln x
= ln 2 − .
x+2
1 x 2 6 1 2 6 1 Vªy I = 12 ln 2 − 61 . C¥u 6. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh thang ABCD vuæng t¤i A v B, BC : y = 1, ÷íng th¯ng CD qua iºm M (8; −2), ÷íng th¯ng AB qua N (−2; 7), E l trung iºm cõa o¤n th¯ng AB , ÷íng th¯ng qua A vuæng gâc vîi DE ct ÷íng th¯ng qua B vuæng gâc vîi CE t¤i F , EF : x − 3y + 10 = 0. T¼m tåa ë c¡c ¿nh A, B , C , D. 3
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. N A D H G F E I C B M Gåi H l giao iºm cõa AF vîi DE , I l giao iºm cõa BF vîi CE v G l giao iºm cõa EF vîi CD. • ÷íng th¯ng AD qua D v song song vîi BC n¶n câ ph÷ìng tr¼nh AD : y = 7. A ∈ AD ⇒ A(a; 7). ÷íng th¯ng AB qua A vuæng gâc vîi BC n¶n câ ph÷ìng tr¼nh AB : x = a. B l giao iºm cõa AB vîi BC n¶n B(a; 1). E l trung iºm cõa AB n¶n E(a; 4). Ta câ E ∈ F E ⇔ a − 12 + 10 = 0 ⇔ a = 2. Do â A(2; 7), B(2; 1). • Ta câ EH · ED = EA2 = EB 2 = EI · EC ⇒ EH EC = EI ED . M HEI \ n¶n ∆EHI ∼ ∆ECD. [ = CED Suy ra EHI \ . Tù gi¡c EHF I nëi ti¸p n¶n EF [ = ECD [I = EHI \ . Tø â ta câ [ = ECD F \ EC + ECD \=F [I = 900 ⇒ EGC EC + EF \ \ = 900 . Tùc l CD ⊥ EF ⇒ CD : 3x + y − 22 = 0. C l giao iºm cõa BC vîi CD n¶n C(7; 1). D l giao iºm cõa CD vîi AD n¶n D(5; 7). Vªy A(2; 7), B(2; 1), C(7; 1), D(5; 7). C¥u 7. H¼nh châp S.ABCD câ ¡y l h¼nh chú nhªt, AB = SA = a, ÷íng th¯ng SA t¤o vîi m°t ¡y mët gâc 600, tam gi¡c SAC vuæng t¤i S v n¬m trong m°t ph¯ng vuæng gâc vîi m°t ¡y. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABCD v kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SCD). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa S tr¶n AC , K l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n CD, T l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n SK . • Ta câ   (SAC) ⊥ (ABCD)  (SAC) ∩ (ABCD) = AC ⇒ SH ⊥ (ABCD).  SH ⊂ (SAC)  SH ⊥ AC Suy ra AC l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa SA l¶n m°t ¡y (ABCD). Do â (SA, \ [ = 600 . (ABCD)) = SAC √ 2 √ √ • SH = SA sin SAC = [ a 3 [ = a , AC = SA = 2a, AD = AC 2 − AB 2 = a 3. , AH = SA sin SAC 2 2 AH 4
S T A D H K I B C √ SABCD = AB · AD = a2 3. Vªy 1 a3 VS.ABCD = SH · SABCD = . 3 2 • HC = AC − AH = 3a 2 n¶n d(A, (SCD)) = HC AC d(H, (SCD)) = 34 d(H, (SCD)). Ta câ CD ⊥ SH v CD ⊥ HK n¶n CD ⊥ (SHK) ⇒ CD ⊥ HT . M HT ⊥ (SK) n¶n HT ⊥ (SCD). Suy ra d(H, (SCD)) = HT ⇒ d(A, (SCD)) = 34 HT. • HK k AD n¶n √ HK HC 3 3 3a 3 = = ⇒ HK = AD = . AD AC 4 4 4 HT l ÷íng cao cõa tam gi¡c vuæng SHK n¶n √ 1 1 1 16 4 52 3a 3 = + = + = ⇒ HT = √ . HT 2 HK 2 HS 2 27a2 3a2 27a2 2 13 √ Vªy d(A, (SCD)) = 13 . 2a 39 C¥u 8. Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho ÷íng th¯ng d : x −2 3 = −1 y = z−5 −2 v iºm A(7; 1; 4). a) T¼m h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa iºm A l¶n ÷íng th¯ng d. b) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u (S) câ t¥m A, ct d t¤i hai iºm B, C sao cho tam gi¡c ABC vuæng. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa −→ A l¶n d. H ∈ d ⇒ H(2a + 3; −a; −2a + 5). Vectì ch¿ ph÷ìng cõa ÷íng th¯ng d l −→ u = (2; −1; −2), AH= (2a − 4; −a − 1; −2a + 1). Ta câ −→ −→ AH ⊥ d ⇔ u · AH= 0 ⇔ 4a − 8 + a + 1 + 4a − 2 = 0 ⇔ a = 1. Do â H(5; −1; 3). 5
b) Ta câ AH = √22 + 22 + 12 = 3. Tam gi¡c ABC c¥n t¤i A n¶n vuæng c¥n t¤i A. Do â tam gi¡c ABH vuæng c¥n t¤i H . Suy ra √ √ AB = AC = AH 2 = 3 2. √ M°t c¦u (S) câ t¥m A v câ b¡n k½nh AB = 3 2 n¶n câ ph÷ìng tr¼nh (S) : (x − 7)2 + (y − 1)2 + (z − 4)2 = 18. C¥u 9. Mët hëp üng 19 bi xanh ÷ñc ¡nh sè tø 1 ¸n 19, 8 bi ä ÷ñc ¡nh sè tø 1 ¸n 8 v 6 bi v ng ÷ñc ¡nh sè tø 1 ¸n 6. Chån ng¨u nhi¶n tø hëp 3 bi. T½nh x¡c su§t º 3 bi ÷ñc chån kh¡c m u v kh¡c sè. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Gåi A l bi¸n cè "chån ÷ñc 3 bi kh¡c m u v kh¡c sè". Trong hëp câ 19 + 8 + 6 = 33 bi. Chån ng¨u nhi¶n 3 bi tø hëp câ C333 c¡ch chån n¶n khæng gian m¨u Ω câ sè ph¦n tû l 3 |Ω| = C33 = 5456. Qu¡ tr¼nh chån 3 bi kh¡c m u v kh¡c sè ÷ñc ti¸n h nh theo tu¦n tü c¡c b÷îc nh÷ sau • Chån 1 bi v ng tø 6 bi v ng th¼ sè c¡ch chån l 6. • Chån 1 bi ä tø 8 bi ä v kh¡c sè vîi bi v ng câ 7 c¡ch chån. • Chån 1 bi xanh tø 19 bi xanh v kh¡c sè vîi bi v ng v bi ä th¼ câ 17 c¡ch chån. Vªy sè kh£ n«ng thuªn lñi cho bi¸n cè A l |ΩA | = 6 · 7 · 17 = 714. Do â x¡c su§t cõa bi¸n cè A l |ΩA | 357 P (A) = = . |Ω| 2728 C¥u 10. Cho a, b, c, d l c¡c sè thüc thäa m¢n a + 3b = 10 v 4c − d = 17. T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc p p p P = a2 + b2 + c2 + d2 + (a − c)2 + (b − d)2 . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. X²t ∆1 : x + 3y − 10 = 0, ∆2 : 4x − y − 17 = 0, A(a, b), B(c, d). Ta câ p p p A ∈ ∆1 , B ∈ ∆2 , OA = a2 + b2 , OB = c2 + d2 , AB = (a − c)2 + (b − d)2 . Do â b i to¡n quy v· t¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P = OA + OB + AB. b Giao iºm cõa ∆1 vîi ∆2 l I . 61 23 ; 13 13 Tr÷íng hñp 1: iºm B thuëc tia Iy. Ta câ OIy d > 900 n¶n OB ≥ OI v do â P = (OA + AB) + OB ≥ OB + OB = 2OB ≥ 2OI. y a B ∆1 A I x O ∆2 Tr÷íng hñp 2: iºm A thuëc tia Ix. Ta câ d > 900 OIx n¶n OA ≥ OI v do â P = (OB + AB) + OA ≥ OA + OA = 2OA ≥ 2OI. 6
y a B ∆1 I b A x O ∆2 Tr÷íng a hñp 3: iºm A thuëc tia èi tia Ix, iºm B thuëc tia èi tia Iy. y ∆1 A C I x B O ∆2 Gåi C l trung iºm cõa o¤n AB . Ta câ AIB [ ≥ 900 n¶n AB ≥ 2IC . Ta câ −→ −→ −→ −→ −→ OA + OB ≥ | OA | + | OB | ≥ | OA + OB | = 2| OC | = 2OC. Do â √ 10 170 P ≥ 2(OC + CI) ≥ 2OI = . 13 √ Khi A ≡ B ≡ I , ngh¾a l a=c= 61 13 v b = d = 13 , th¼ P = 13 n¶n 23 10 170 gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc P √ l 10 170 13 . 7