Tham khảo Đáp án - Thang điểm Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2013 môn Toán, khối D (Đáp án chính thức) của Bộ GD&ĐT giúp các bạn thí sinh ôn tập, rèn luyện kỹ năng giải đề thi Đại học môn Toán khối D đạt điểm cao nhất.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Đáp án - Thang điểm Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2013 môn Toán, khối D (Đáp án chính thức) - Bộ GD&ĐT
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối D
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
1 a. (1,0 điểm)
(2,0 điểm)
Khi m = 1 ta có y = 2 x3 − 3x 2 + 1.
• Tập xác định: D = \.
0,25
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y ' = 6 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) và (1; + ∞); khoảng nghịch biến: (0; 1).
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yCT = 0; đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 1. 0,25
- Giới hạn: lim y = − ∞; lim y = + ∞.
x→−∞ x→+∞
- Bảng biến thiên:
x −∞ 0 1 +∞
y' + 0 − 0 +
1 +∞ 0,25
y
−∞ 0
• Đồ thị:
y
1
0,25
O 1 x
b. (1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng y = − x + 1 là
0,25
2 x3 − 3mx 2 + (m −1) x +1 = − x +1
⎡x = 0
⇔⎢ 2
⎣ 2 x − 3mx + m = 0 (*). 0,25
Yêu cầu của bài toán ⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
⎧9m 2 − 8m > 0
⇔⎨ 0,25
⎩m ≠ 0
8
⇔ m < 0 hoặc m > . 0,25
9
Trang 1/4
- Câu Đáp án Điểm
2 Phương trình đã cho tương đương với 2cos 2 x sin x + cos 2 x = 0 0,25
(1,0 điểm)
⇔ cos 2 x(2sin x + 1) = 0. 0,25
π π
• cos 2 x = 0 ⇔ x = + k (k ∈ ]). 0,25
4 2
⎡ x = − π + k 2π
⎢ 6
• 2sin x + 1 = 0 ⇔ ⎢ (k ∈ ]).
⎢ x = 7π + k 2π 0,25
⎢⎣ 6
π π π 7π
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = + k , x = − + k 2π, x = + k 2π (k ∈ ]).
4 2 6 6
3
x2
(1,0 điểm) Điều kiện: 0 < x < 1. Phương trình đã cho tương đương với = x−2 x +2 0,25
1− x
x2
+ 2 ⇔ ⎛⎜ + 1⎞⎛ − 2 ⎞⎟ = 0
x x x
⇔ = ⎟⎜ 0,25
(1 − x ) 2
1− x ⎝ 1− x ⎠⎝ 1− x ⎠
x x
⇔ − 2 = 0 (do >0 ) 0,25
1− x 1− x
⇔ x = 4 − 2 3.
0,25
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 4 − 2 3.
4 1 1 1
2x 2x
(1,0 điểm) Ta có I = ⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ dx = dx + 2 dx.
∫ ∫ ∫ 0,25
0
⎝ x +1 ⎠ 0 0
x +1
1 1
• ∫0
dx = x = 1.
0
0,25
1
2x 1
• ∫x
0
2
+1
dx = ln( x 2 +1) 0 = ln 2. 0,25
Do đó I = 1 + ln 2. 0,25
5 n = 120o ⇒ n
BAD ABC = 60o ⇒ ΔABC đều
(1,0 điểm) 0,25
a 3 a2 3
⇒ AM = ⇒ S ABCD = .
S 2 2
n = 45o ⇒ ΔSAM
ΔSAM vuông tại A có SMA
a 3
vuông cân tại A ⇒ SA = AM = .
2 0,25
H 1 a3
A D Do đó VS . ABCD = SA.S ABCD = .
3 4
Do AD||BC nên d ( D,( SBC )) = d ( A,( SBC )).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
0,25
B M C Ta có AM ⊥ BC và SA ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM )
⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A,( SBC )) = AH .
AM 2 a 6
Ta có AH = = ,
2 4
0,25
a 6
suy ra d ( D,( SBC )) = .
4
Trang 2/4
- Câu Đáp án Điểm
6 2
x y −1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1
(1,0 điểm) Do x > 0, y > 0, xy ≤ y −1 nên 0 < ≤ = − 2 = −⎜ − ⎟ ≤ . 0,25
y y2 y y 4 ⎝ y 2⎠ 4
x 1 t +1 t −2
Đặt t = , suy ra 0 < t ≤ . Khi đó P = − .
y 4 t 2 − t + 3 6(t +1)
t +1 t −2 1 7 − 3t 1
Xét f (t ) = − , với 0 < t ≤ . Ta có f '(t ) = − .
t2 −t +3 6(t + 1) 4 2 (t 2 − t + 3)3 2(t +1)
2
0,25
1
Với 0 < t ≤ ta có t 2 − t + 3 = t (t −1) + 3 < 3; 7 − 3t > 6 và t + 1 > 1.
4
7 − 3t 7 − 3t 1 1 1 1 1
Do đó > > và − 2
> − . Suy ra f '(t ) > − > 0.
2
2 (t − t + 3) 3 6 3 3 2(t + 1) 2 3 2
⎛1⎞ 5 7
Do đó P = f (t ) ≤ f ⎜ ⎟ = + . 0,25
⎝ 4 ⎠ 3 30
1 5 7 5 7
Khi x = và y = 2, ta có P = + . Vậy giá trị lớn nhất của P là + . 0,25
2 3 30 3 30
7.a JJJG ⎛ 7 1 ⎞
(1,0 điểm) IM = ⎜ − ; ⎟ . Ta có M ∈ AB và AB ⊥ IM nên đường
B ⎝ 2 2⎠ 0,25
thẳng AB có phương trình 7 x − y + 33 = 0.
A∈ AB ⇒ A(a;7 a + 33). Do M là trung điểm của AB nên
JJJG JJJG
M B ( − a − 9; −7 a − 30). Ta có HA ⊥ HB ⇒ HA. HB = 0 0,25
I ⇒ a 2 + 9a + 20 = 0 ⇒ a = −4 hoặc a = −5.
• Với a = −4 ⇒ A(−4;5), B ( −5; −2). Ta có BH ⊥ AC nên
A H C đường thẳng AC có phương trình x + 2 y − 6 = 0. Do đó
0,25
C (6 − 2c; c). Từ IC = IA suy ra (7 − 2c)2 + (c −1) 2 = 25. Do
đó c = 1 hoặc c = 5. Do C khác A, suy ra C (4;1).
• Với a = −5 ⇒ A(−5; −2), B(−4;5). Ta có BH ⊥ AC nên
đường thẳng AC có phương trình 2 x − y + 8 = 0. Do đó
0,25
C (t ;2t + 8). Từ IC = IA suy ra (t +1)2 + (2t + 7) 2 = 25. Do đó
t = −1 hoặc t = −5. Do C khác A, suy ra C (−1;6).
8.a Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P). Suy ra H (−1 + t ; −1+ t ; −2 + t ). 0,25
(1,0 điểm)
5 2 2 1
H ∈( P) ⇔ (−1+ t ) + (−1+ t ) + (−2 + t ) −1 = 0 ⇔ t = . Do đó H ⎛⎜ ; ; − ⎞⎟ . 0,25
3 ⎝ 3 3 3⎠
JJJG
Gọi (Q) là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có AB = (1;2;3) và vectơ pháp tuyến của (P) là
JG JG 0,25
n = (1;1;1). Do đó (Q) có vectơ pháp tuyến là n ' = (−1;2; −1).
Phương trình của mặt phẳng (Q) là: x − 2 y + z +1 = 0. 0,25
9.a Điều kiện của bài toán tương đương với (3 + i ) z = −1+ 3i 0,25
(1,0 điểm)
⇔ z = i. 0,25
Suy ra w = −1 + 3i. 0,25
Do đó môđun của w là 10. 0,25
Trang 3/4
- Câu Đáp án Điểm
7.b Ta có tâm của (C) là I (1;1). Đường thẳng IM vuông góc với Δ
(1,0 điểm) 0,25
nên có phương trình x = 1. Do đó M (1; a ).
M
Do M ∈ (C ) nên (a −1)2 = 4. Suy ra a = −1 hoặc a = 3.
0,25
Mà M ∉Δ nên ta được M (1; −1).
I N ∈Δ ⇒ N (b;3). Trung điểm của MN thuộc (C)
2
b +1 ⎞
⇒ ⎛⎜
2
−1⎟ + (1 −1) = 4 ⇒ b = 5 hoặc b = −3. 0,25
⎝ 2 ⎠
P N Do đó N (5;3) hoặc N (−3;3).
P ∈Δ ⇒ P(c;3).
JJJG JJG
- Khi N (5;3), từ MP ⊥ IN suy ra c = −1. Do đó P (−1;3). 0,25
JJJG JJG
- Khi N (−3;3), từ MP ⊥ IN suy ra c = 3. Do đó P(3;3).
8.b |(−1) − 2.3 − 2(−2) + 5|
(1,0 điểm) d ( A,( P )) = 0,25
12 + (−2) 2 + (−2) 2
2
= . 0,25
3
JG
Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1; −2; −2). 0,25
Phương trình mặt phẳng cần tìm là x − 2 y − 2 z + 3 = 0. 0,25
9.b 2
2x + 4x − 6
(1,0 điểm) Ta có f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn [0; 2] ; f '( x) = . 0,25
( x +1) 2
Với x∈[0; 2] ta có f '( x) = 0 ⇔ x = 1. 0,25
5
Ta có f (0) = 3; f (1) = 1; f (2) = . 0,25
3
Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 1; giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn [0; 2] là 3. 0,25
------------- Hết -------------
Trang 4/4
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
.jpg){kind=small}
