Đáp án - Thang điểm Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn Toán, khối B (Đáp án chính thức) - Bộ GD&ĐT

Chia sẻ: đinh Công Chánh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng tham khảo Đáp án - Thang điểm Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn Toán, khối B (Đáp án chính thức) của Bộ GD&ĐT để biết được kết quả làm bài của mình sau khi thử sức mình với đề thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn Toán, khối B (Đề thi chính thức) của Bộ GD&ĐT. Chúc các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh CĐ-ĐH.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đáp án - Thang điểm Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn Toán, khối B (Đáp án chính thức) - Bộ GD&ĐT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm 1 a) (1,0 điểm) (2,0 điểm) Khi m = 1, ta có: y = x3 − 3x 2 + 3 . • Tập xác định: D = \. 0,25 • Sự biến thiên: − Chiều biến thiên: y ' = 3 x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. Các khoảng đồng biến: (− ∞; 0) và (2; + ∞) , khoảng nghịch biến: (0; 2). − Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 3; đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = −1. 0,25 − Giới hạn: lim y = −∞ và lim y = + ∞. x→−∞ x→+ ∞ − Bảng biến thiên: x −∞ 0 2 +∞ y' + 0 – 0 + 3 +∞ 0,25 y −∞ –1 • Đồ thị: y 3 0,25 2 O x −1 b) (1,0 điểm) y ' = 3 x 2 − 6mx; y ' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2m. 0,25 Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi m ≠ 0 (*). Các điểm cực trị của đồ thị là A(0; 3m3 ) và B (2m; − m3 ). 0,25 Suy ra OA = 3 | m3 | và d ( B, (OA)) = 2 | m | . S ∆OAB = 48 ⇔ 3m4 = 48 0,25 ⇔ m = ± 2, thỏa mãn (*). 0,25 Trang 1/4
2 Phương trình đã cho tương đương với: cos 2 x + 3 sin 2 x = cos x − 3 sin x 0,25 (1,0 điểm) ( π ⇔ cos 2 x − = cos x + 3 π 3 ) ( ) 0,25 π π ( ) ⇔ 2 x − = ± x + + k 2π (k ∈]). 3 3 0,25 2π 2π ⇔ x= + k 2π hoặc x = k (k ∈]). 0,25 3 3 3 Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 2 − 3 hoặc x ≥ 2 + 3 (*). (1,0 điểm) Nhận xét: x = 0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. 0,25 1 1 Với x > 0, bất phương trình đã cho tương đương với: x+ + x + − 4 ≥ 3 (1). x x ⎡3 − t < 0 1 Đặt t = x + (2), bất phương trình (1) trở thành t − 6 ≥ 3 − t ⇔ ⎢⎢⎧3 − t ≥ 0 2 0,25 ⎢⎣⎩⎨t 2 − 6 ≥ (3 − t ) 2 x 5 1 5 1 ⇔ t ≥ . Thay vào (2) ta được x+ ≥ ⇔ x ≥ 2 hoặc x≤ 0,25 2 x 2 2 1 ⇔0< x≤ hoặc x ≥ 4. Kết hợp (*) và nghiệm x = 0, ta được tập nghiệm của bất phương 4 0,25 1 trình đã cho là: ⎡⎢0; ⎤⎥ ∪ [4; +∞). ⎣ 4⎦ 4 Đặt t = x 2 , suy ra dt = 2 xdx. Với x = 0 thì t = 0; với x =1 thì t =1. 0,25 (1,0 điểm) 1 1 1 x 2 .2 xdx 1 td t Khi đó I = ∫ = ∫ 2 ( x 2 +1)( x 2 + 2) 2 (t +1)(t + 2) 0,25 0 0 ∫( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 = − dt = ln|t + 2| − ln|t +1| 0,25 2 t + 2 t +1 2 0 0 3 = ln3 − ln2. 0,25 2 5 S Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC. Ta có (1,0 điểm) 0,25 AB ⊥ CD và AB ⊥ SO nên AB ⊥ ( SCD ), do đó AB ⊥ SC . Mặt khác SC ⊥ AH , suy ra SC ⊥ ( ABH ). 0,25 a 3 a 3 a 33 H Ta có: CD = , OC = nên SO = SC 2 −OC 2 = . 2 3 3 0,25 SO.CD a 11 1 11a 2 Do đó DH = = . Suy ra S ∆ABH = AB.DH = . SC 4 2 8 A C 7a O Ta có SH = SC − HC = SC − CD 2 − DH 2 = . D 4 0,25 1 7 11a 3 B Do đó VS . ABH = SH .S ∆ABH = . 3 96 Trang 2/4
6 Với x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1, ta có: (1,0 điểm) 1 0 = ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x( y + z ) + 2 yz =1− 2 x 2 + 2 yz , nên yz = x 2 − . 2 0,25 y 2 + z 2 1 − x2 1 1 − x 2 6 6 Mặt khác yz ≤ = , suy ra: x 2 − ≤ , do đó − ≤ x≤ (*). 2 2 2 2 3 3 Khi đó: P = x5 + ( y 2 + z 2 )( y 3 + z 3 ) − y 2 z 2 ( y + z ) 12 ( = x5 + (1− x 2 ) ⎡⎣( y 2 + z 2 )( y + z ) − yz ( y + z )⎤⎦ + x 2 − 2 x ) 0,25 ⎣⎢ ( ) ( ) 1 = x5 + (1− x 2 )⎡− x(1− x 2 ) + x x 2 − ⎤ + x 2 − 2 ⎦⎥ 1 2 2 5 x = (2 x3 − x). 4 ⎡ 6 6⎤ 6 Xét hàm f ( x) = 2 x3 − x trên ⎢ − ; 2 ⎥ , suy ra f '( x) = 6 x − 1; f '( x) = 0 ⇔ x = ± . ⎢⎣ 3 3 ⎦⎥ 6 ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6 ⎛ 6⎞ ⎛ 6⎞ 6 6 Ta có f ⎜ − ⎟= f ⎜ ⎟=− , f ⎜ ⎟ = f ⎜− ⎟ = . Do đó f ( x) ≤ . 0,25 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 9 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 9 9 5 6 Suy ra P ≤ . 36 6 6 5 6 Khi x = , y = z =− thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là . 0,25 3 6 36 7.a (C1) có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn (C) (C) (1,0 điểm) cần viết phương trình, ta có AB ⊥ OI . Mà AB ⊥ d và 0,25 A d O ∉ d nên OI//d, do đó OI có phương trình y = x. I Mặt khác I ∈ (C2 ), nên tọa độ của I thỏa mãn hệ: B ⎧⎪ y = x ⎧x = 3 0,25 ⎨ 2 2 ⇔⎨ ⇒ I (3;3). ⎪⎩x + y −12 x +18 = 0 ⎩ y = 3 (C1) Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R = d ( I , d ) = 2 2. 0,25 (C2) Vậy phương trình của (C) là ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 8. 0,25 8.a Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S). (1,0 điểm) 0,25 Do I ∈ d nên tọa độ của điểm I có dạng I (1+ 2t ; t ; − 2t ). Do A, B∈( S ) nên AI = BI , suy ra (2t −1) 2 + (t −1) 2 + 4t 2 = (2t + 3) 2 + (t −3) 2 + (2t + 2) 2 ⇒ t =−1. 0,25 Do đó I (−1; − 1; 2) và bán kính mặt cầu là IA = 17. 0,25 Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 + ( z − 2) 2 = 17. 0,25 9.a 4 (1,0 điểm) Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là C25 =12650. 0,25 1 Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là C15 .C103 + C152 .C102 + C153 .C10 1 0,25 = 11075. 0,25 11075 443 Xác suất cần tính là P = = . 0,25 12650 506 Trang 3/4
7.b x2 y2 y Giả sử ( E ): + =1( a > b > 0). Hình thoi ABCD có (1,0 điểm) 0,25 B a 2 b2 H AC = 2 BD và A, B, C, D thuộc (E) suy ra OA = 2OB. A Không mất tính tổng quát, ta có thể xem A(a;0) và C O ( ) x B 0; a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB, 2 0,25 suy ra OH là bán kính của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 = 4. D 1 1 1 1 1 4 Ta có: = = + = + . 0,25 2 2 2 2 4 OH OA OB a a2 x2 y 2 Suy ra a 2 = 20, do đó b2 = 5. Vậy phương trình chính tắc của (E) là + = 1. 0,25 20 5 8.b Do B ∈ Ox, C ∈ Oy nên tọa độ của B và C có dạng: B(b; 0; 0) và C (0; c; 0). 0,25 (1,0 điểm) b c ( Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra: G ; ; 1 . 3 3 ) 0,25 JJJJG x y z−3 Ta có AM = (1;2; −3) nên đường thẳng AM có phương trình = = . 1 2 −3 0,25 b c −2 Do G thuộc đường thẳng AM nên = = . Suy ra b = 2 và c = 4. 3 6 −3 x y z Do đó phương trình của mặt phẳng (P) là + + = 1, nghĩa là ( P) : 6 x + 3 y + 4 z − 12 = 0. 0,25 2 4 3 9.b Phương trình bậc hai z 2 − 2 3 i z − 4 = 0 có biệt thức ∆ = 4. 0,25 (1,0 điểm) Suy ra phương trình có hai nghiệm: z1 = 1 + 3 i và z2 = −1 + 3i. 0,25 π π • Dạng lượng giác của z1 là z1 = 2⎛⎜cos + isin ⎞⎟. 0,25 ⎝ 3 3⎠ 2π 2π • Dạng lượng giác của z2 là z2 = 2⎛⎜cos + isin ⎞⎟. 0,25 ⎝ 3 3⎠ ---------- HẾT ---------- Trang 4/4