intTypePromotion=3

Đề cương ôn tập khối 11 môn Toán năm học 2015 - 2016

Chia sẻ: Nguyễn Văn Khang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:43

0
58
lượt xem
13
download

Đề cương ôn tập khối 11 môn Toán năm học 2015 - 2016

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề cương ôn tập khối 11 môn Toán năm học 2015 - 2016 được biên soạn nhằm hệ thống lại những kiến thức về hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; tổ hợp xác suất; dãy số cấp số cộng và cấp số nhân; giới hạn của dãy số và một số kiến thức khác.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề cương ôn tập khối 11 môn Toán năm học 2015 - 2016

  1. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11                                   Phần I: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC  1. Hằng đẳng thức lượng giác: sin cos * tan * cot *sin² α + cos² α = 1 cos sin 1 *tan α . cot α = 1 *1 + tan² α =  2  (α ≠ π/2 + kπ,  k Z ) cosα 1 * 1 + cot² α =  2  (α ≠ kπ,  k Z ) sinα 2. Giá trị lượng giác cung (góc) liên quan: a. Cung đối nhau cos (–α) = cos α sin (–α) = –sin α tan (–α) = –tan α cot (–α) = –cot α b. Cung bù nhau sin (π – α) = sin α cos (π – α) = –cos α tan (π – α) = –tan α cot (π – α) = –cot α c. Cung hơn kém π sin (π + α) = –sin α cos (π + α) = –cos α tan (π + α) = tan α cot (π + α) = cot α d. Cung phụ nhau sin (π/2 – α) = cos α cos (π/2 – α) = sin α tan (π/2 – α) = cot αcot (π/2 – α) =  tan α 3. Công thức cộng cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb sin (a – b) = sina cosb – sinb cosa sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa tan a − tan b tan a + tan b tan (a – b) =  tan (a + b) =  1 + tan a tan b 1 − tan a tan b 4. Công thức nhân hai và nhân ba sin 2a = 2sina cosa cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a 2 tan a tan 2a =  sin 3a = 3sin a – 4sin³ a cos 3a = 4cos³ a – 3cos a 1 − tan 2 a 5. Công thức hạ bậc 1 + cos 2a 1 − cos 2a sin 2a cos² a =  sin² a =  sina cosa =  2 2 2 6. Công thức biến tích thành tổng 1 cosa cosb =  [cos (a – b) + cos (a + b)] 2 1 sina sinb =  [cos (a – b) – cos (a + b)] 2 1 sina cosb =  [sin (a – b) + sin (a + b)] 2 7. Công thức biến đổi tổng thành tích u+v u−v u+v u−v cosu + cosv = 2cos cos cosu – cosv = –2sin sin 2 2 2 2 u+v u−v u+v u−v sinu + sinv = 2sin cos sinu – sinv = 2cos sin 2 2 2 2 sin(u v) sin(u v) tanu+ tanv= tanu­ tanv= cos u cos v cos u cos v *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 1
  2. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. Kiến thức cần nhớ 1. Hàm số sin: y = sinx 3. Hàm số sin: y = tanx TXĐ: D = R π TXĐ: D = R\{ + kπ } TGT: [–1; 1] 2 Hàm số  tuần hoàn với chu kì 2 TGT: (–  ; +  ) π Hàm số tuần hoàn với chu kì  π Hàm số lẻ Hàm số lẻ 2. Hàm số sin: y = cosx 5) Hàm số sin: y = cotx TXĐ: D = R TXĐ: D = R\{ kπ } TGT: [–1; 1] TGT: (–  ; +  ) Hàm số  tuần hoàn với chu kì 2 π Hàm số tuần hoàn với chu kì  π Hàm số chẳn Hàm số lẻ B. Bài tập 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 1 + cosx 1 + cosx π 1) y =    2) y =    3) y = tan( x –  )  s inx 1 − s inx 12 2 − cosx π t anx + cotx 4) y = cot(   – x ) 5) y =  π   6) y =  5 1+tan(x­ ) 1 − sin 2x 3 2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất 1) y = 2cos3x – 6sin3x 2) y = (2 ­  3 )sin2x + cos2x 3) y = (sinx – cosx)2 + 2cos2x + 3sinx.cosx 4) y =(sinx – 2cosx)(2sinx + cosx) ­1  5) y = (3.sinx + 4.cosx ).(3.cosx – 4.sinx) + 1 6) y = 3.sin2x+4.sinxcosx–5.cos2x+2 7) y = 2.(sin4x + cos4x ) + 2.sinx.cosx.cos2x 8) y =  3 1 − cosx + 1 9) y=( sinx –cosx )2 +2.cos2x + 3.sinx.cosx     10) y = 2 cosx + 1       sin x + 2cos x + 1 11) y = 3 – 2 sinx         12) y = sin x + cos x + 2 III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. Kiến thức cần nhớ u = v + k 2π u = v + k 2π + sinu = sinv   + cosu = cosv u = π − v + k 2π u = −v + k 2π + tanu = tanv  � u = v + kπ + cotu = cotv  � u = v + kπ * Chú ý: + sin x = 0  x = kπ, với  k Z + sin x = 1  x = π/2 + k2π, với  k Z + sin x = –1  x = –π/2 + k2π, với  k Z + cos x = 0  x = π/2 + kπ, với  k Z + cos x = 1  x = k2π, với  k Z + cos x = –1  x = (2k + 1)π, với  k Z B. Bài tập 1. Giải phương trình sau. *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 2
  3. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 �π � 1 1 c) cos ( x − 750 ) = 2 a) sin � − x �= b) sin 3 x = �3 � 2 2 2 � π� 2 3 d) cos �2 x + �= − e) 3 tan x − 1 = 0 f) tan (3x – 30°) = – � 6 � 2 3 2. Giải phương trình sau. a. sin (2x – 1) = sin(x + 3) b. sin (3x + 30°) = cos 2x c. sin (4x) + cos (5x –  π/2) = 0 d. 2sin x +  2 sin 2x = 0 e. sin² 2x + cos² 3x = 1 f. tan 3x = tan (5x +  π/4) g. sin (2x + 50°) = –cos (x + 120°) h. tan (x – π/5) + cot x = 0 IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1. Giải phương trình sau. a) 2sin 2 x + 5cos x + 1 = 0 b) 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0 c) 2sin x − 3sin x + 1 = 0 2 d) 6 cos x + 5sin x − 7 = 0 2 2. Giải phương trình sau. 3 a) cos 2 x + 3sin x = 2 b) cos 2 x + cos x + 1 = 0 c) sin 2 2 x − 2 cos 2 x + = 0 d) 4 1 cos 2 x + sin 2 x + sin x = e) tan 4 x − 4 tan 2 x + 3 = 0 f) cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0 4 3. Giải phương trình sau. a) 2 cos 2 x − 5cos x + 3 = 0 b) 1 − 5sin x + 2 cos 2 x = 0 c) 3 3 cot 2 x − 4 cot x + 3 = 0 d) 2 − 4 tan x − 2 = 0 cos x 4. Giải phương trình sau. a) cos 2 x + sin 2 x + 2 cos x + 1 = 0 b) cos 2 x + 5sin x + 2 = 0 5 3 c) sin 2 x − sin x + = 0 d) 2sin 2 2 x + 2sin 2 x = 3 2 2 5. Giải phương trình sau. 3 a) 2 cos 2 2 x + 3 sin 2 x + 1 = 0 b) − 2 3 cot x − 6 = 0 sin 2 x 9 3 1 2 5 c) sin 2 x + 4 tan x = d) tan 2 x − + =0 e) 2 2 cos x 2 3 ( ) 1 − 2 + 2 sin x = 2 2 1 + cot 2 x f) 2 sin x + tan 2 x + ( tan x + cot x ) = 1 6. Giải phương trình sau. 5π 7π a) sin6x+cos4x=cos2x                         b)sin( 2 x + )­3cos( x − )=1+2sinx             2 2 4sin 2 2 x + 6sin 4 x − 9 − 3cos 2 x 1 c) = 0              d) 2tanx+cot2x=2sin2x+ cos x sin 2x V. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. A. Kiến thức cần nhớ Phương trình có dạng asin x + bcos x = c (1) *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 3
  4. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 a b c Chia hai vế phương trình (1) cho  a 2 + b2  ta có  2 2 sin x + 2 2 cos x = 2 2 a +b a +b a +b (2) a b Đặt cos α =  ; sin α =  a 2 + b2 a 2 + b2 c c Phương trình (2) trở thành: sin x cos α + sin α cos x =    sin(x + α) =  a 2 + b2 a 2 + b2  là PTLG cơ bản *Chú ý: phương trình có nghiệm  a² + b² ≥ c² B. Bài tập 1. Giải phương trình sau. b) ( sin x + cos x ) + 3 cos 2 x = 2 2 a) 3 sin x − cos x = 2 c) sin x + 3 cos x = 2 d) 3 sin x − cos x = 2 e) �π � sin � + 2 x �+ 3 sin ( π − 2 x ) = 1 f) cos 2 x − 3 sin 2 x = 1 + sin 2 x �2 � 2. Giải phương trình sau. a) sin x + 3 cos x = 1 b) 5cos 2 x − 12sin 2 x = 13 c) 3sin x − 4 cos x = 1 d) 3 sin 3 x + cos 3x = 2 3. Giải phương trình sau. 6 a) cos x + 3 sin x = 3 b) 3 sin x − cos x = 2 c) sin x + cos x = d) 2 sin x + 3 cos x = 2 e) 3 sin x + cos x = 2sin 7 x f) 2 cos13 x = sin x + cos x g) 2 sin 3x − 6 cos 3 x = −2 h) 2 sin 4 x − 2 cos 4 x = −1 k) 3 sin 5 x − cos 5 x = 2sin 3 x �π � l) cos � + 2 x �− 3 cos ( π − 2 x ) = 1 �2 � 4. Giải phương trình sau. a) sin 3 x − 3cos3 x = 2sin 2 x b) 3 sin 3 x − cos 3x − 2 = 0 c) x x 2sin 2 x cos 2 x + 3 cos 4 x = 2 d) 3 cos − 2 sin = − 5 2 2 e) 3 cos x + sin x = 0 f) sin 4 x + 3 cos 4 x = − 2 VI. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX. A. Kiến thức cần nhớ Phương trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d * cos x = 0  x k  là nghiệm hay không? 4  * cos x   0  x k  chia hai vế của phương trình cho cos² x ta được 4 a tan² x + b tan x + c = d(1 + tan² x)  B. Bài tập 1. Giải phương trình sau. a) sin 2 x + 2sin x cos x − 2 cos 2 x = 1 b) 6sin 2 x − sin x cos x − cos 2 x = 3 c) 4sin x − 3 3 sin 2 x − 2 cos x = 4 2 2 2. Giải phương trình sau. *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 4
  5. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 a) 2sin 2 x − 5sin x cos x + 3cos 2 x = 0 b) 2sin 2 x − 5sin x cos x − cos 2 x = −2 c) 4sin 2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos 2 x = 4 d) cos 2 x − 2sin x cos x + 5sin 2 x = 2 e) 2sin 2 x + 3cos 2 x = 5sin x cos x f) 2 cos 2 x − 3sin 2 x + sin 2 x = 1 3. Giải phương trình sau. a) sin 2 x + 6 3 sin x cos x − cos 2 x = 5 b) sin 2 x − 10sin x cos x + 21cos 2 x = 0 c) sin x − cos x = sin x + cos x 3 3 d) cos 2 x − 3sin x cos x + 1 = 0 e) 1 1 sin x + cos x = f) = 4sin x + 6 cos x g) cos x cos x ( ) 2 − 1 cos 2 x + 2sin x cos x + ( ) 2 + 1 sin 2 x = 2  h) cos 2 x + 2sin 2 x − sin 2 x = 2 + 3 4. Giải phương trình sau. a) 5sin 2 2 x − 3sin 2 x cos 2 x − 2 cos 2 2 x = 0 b) 5sin 2 x − 10sin x cos x + 4 cos 2 x = 0 c) 2sin 2 3 x − 5sin 3 x cos 3 x − cos 2 3 x = −2 2 2 ( ) d) 3sin x − 3 cos x − 3 − 3 sin x cos x = 0 VII. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC. 1. Giải phương trình sau. 11π � � 9 a) sin 2 x + sin 2 3 x = 1 b) tan x + cot x + cos � + 2 x �= c) �2 � 2 1 sin 2 x + sin 2 3 x = cos 2 x + cos 2 3x d) sin x sin 2 x sin 3 x = sin 4 x 4 2. Giải phương trình sau. a) sin x cos x cos 2 x = −1 b) sin 7 x − sin 3 x = cos 5 x c) 3x cos 2 x − sin 2 x = sin 3 x + cos 4 x d) cos 2 x − cos x = 2sin 2 2 3. Giải phương trình sau. 2 a) sin 3 x − 3cos 3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x b) cos 6 x − sin 3 x cos 3x − =0 c) 2 sin 8 x + cos 4 x = 0 d) sin 2 3 x − cos 6 x − 2 = 0 e) sin x − sin 3 x + sin 5 x = 0 f) sin 2 x + sin 2 2 x = sin 2 3 x g) cos 3 x − cos 5 x = sin x h) ( 1 + 2sin x ) cos x = 1 + sin x + cos x 2 4. Giải phương trình sau. 1)cos2x­ cos8x+ cos4x=1                      2)sinx+2cosx+cos2x­2sinxcosx=0 3)sin2x­cos2x=3sinx+cosx­2      4)sin3 x+2cosx­2+sin2 x=0 3 5) 3sinx+2cosx=2+3tanx                        6)  sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0    2 sin 3 x sin 5 x 7) 2sin2x­cos2x=7sinx+2cosx­4             8)   =    3 5 1 5 9) 2cos2x­8cosx+7=                       10) cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cos2x     cos x 4 11) 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x   12) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0          13) sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx­sinx)+3 1 1 14) 2sin3x­ =2cos3x+             15)cos3x+cos2x+2sinx­2=0   sin x cos x 1 16)cos2x­2cos3x+sinx=0         17) tanx–sin2x­cos2x+2(2cosx­ )=0  cos x *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 5
  6. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 1 − cos 2 x 18)sin2x=1+ 2 cosx+cos2x         19)1+cot2x=   sin 2 2 x 1 20) 2tanx+cot2x=2sin2x+             21) cosx(cos4x+2)+ cos2x­cos3x=0     sin 2x 22) 1+tanx=sinx+cosx                             23)  (1­tanx)(1+sin2x)=1+tanx   π 1 1 2 24) 2 2 sin( x + )= +       25) 2tanx+cotx= 3 +         4 sin x cos x sin 2x                              *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 6
  7. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11                             CHƯƠNG II: TỔ HỢP­XÁC SUẤT A. Kiến thức cần nhớ    I. QUI TẮC ĐẾM  .    1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai hành động. Hành  động thứ nhất có thể thực hiện  bởi n cách; hành động thứ 2 có thể thực hiện bởi m cách  (2 hành động này độc lập nhau ).Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.    2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể  thực hiện bởi n cách; Ứng với mỗi cách chọn ở công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách.  Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. Chú ý : quy tắc cộng và nhân có thể mở rộng nhiếu hành động. II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự  định trước là một  hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số  hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số  k ᆬ mà  1 k n . Khi lấy ra k phần tử  trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một  phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu  A kn  là:  n! A kn = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) =      (sử dụng máy tính nPr) ( n − k) ! 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số  k ᆬ  mà  1 k n . Một tập hợp con của A  có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu  Ckn  là:  n! n ( n − 1) ... ( n − k + 1) C kn = = ( sử dụng máy tính nCr) k!( n − k ) ! k! c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: Cho a, k ᆬ * : Ckn = Cnn − k (0 k n) Ckn +1 = Cnk + Cnk −1 (1 k n) III. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON  n ( a + b) n = C0n a n + C1n a n −1b + .. + Ckn a n − k b k + ... + Cnn b n = Ckn a n − k b k k= 0 Nhận xét: ­ Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. ­ Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. ­ Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. ­ Số hạng tổng quát (hay thứ k + 1) kí hiệu Tk+1 thì:  Tk + 1 = Ckn a n − k b k *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 7
  8. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 n Chú ý: ( a + b ) = n Ckn a n − k bk   là khai triển theo số mũ của a giảm dần. k= 0 n ( a + b) n = Ckn a k bn − k  là khai triển theo số mũ của a tăng dần. k= 0 B. Bài tập Bài  1: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu: 1) Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau? 2) Số chẵn gồm 4 chữ số bất kỳ?    Bài  2: Có 4 con đường nối điểm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Đi   từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và   về nếu không muốn dùng đường đi làm đường về trên cả hai chặng AB và BC?     Bài  3: Ở Việt Nam,mọi học sinh đã tốt nghiêp THPT đều có quyền dự thi vào một trường đại   học (có 35 trường) hoặc một trường cao đẳng (có 25 trường) hoặc một trường trung học   chuyên nghiệp (có 21 trường). Hỏi mỗi học sinh đã tốt nghiệp có bao nhiêu cách chọn thi.    Bài  4: Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Từ 8 chữ s ố trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi   số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho 10.     Bài  5: Một người có 6 cái áo, trong đó có 3 áo sọc và 3 áo trắng; có 5 quần, trong đó có 2 quần   đen; và có 3 đôi giày, trong đó có 2 đôi giầy đen. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mặc áo   ­ quần ­ giày, nếu: 1) Chọn áo, quần và giày nào cũng được. 2) Nếu chọn áo sọc thì với quần nào và giày nào cũng được; còn nếu chọn áo trắng thì chỉ  mặc với quần đen và đi giày đen.     Bài  6: Có n người ngồi quanh một bàn tròn (n >3). Có bao nhiêu cách xếp sao cho:    1) Có 2 người ấn định trước ngồi cạnh nhau.    2) 3 người ấn định trước ngồi cạnh nhau theo một thứ tự nhất định     Bài 7:  Một lớp học có 33 học sinh.Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 ban cán sự gồm 3 người (lớp  trưởng, lớp phó, bí thư), biết rằng học sinh nào cũng có thể được chọn. Bài 8: Trong một lớp học có 30 học sinh nam, 20 học sinh nữ. Lớp học có 10 bàn, mỗi bàn có   5 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:    a) Các học sinh ngồi tuỳ ý.    b) Các học sinh ngồi nam cùng 1 bàn, các học sinh nữ ngồi cùng 1 bàn     Bài 9: Với các số: 0, 1, 2, …, 9 lập được bao nhiêu số lẻ có 7 chữ số.        Bài 10: Từ hai chữ số 1; 2 lập được bao nhiêu số có 10 chữ  số trong đó có mặt ít nhất 3 chữ  số 1 và ít nhất 3 chữ số 2.     Bài 11: Tìm tổng các số có 5 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số: 1, 2, 3, 4 , 5     Bài 12: Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho   10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:   1) Các học sinh ngồi tuỳ ý.   2) Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn.     *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 8
  9. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 Bài 13: Với các chữ  số 0, 1, 2, 3, 6, 9 có thể  thành lập được bao nhiêu số  chia hết cho 3 và   gồm 5 chữ số khác nhau        Bài 14: Có 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5. a) Với 6 số đó, ta lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau? b) Với yêu cầu như câu a) nhưng số tạo thành là các số chẵn? c) Với yêu cầu như câu a) nhưng số tạo thành phải lớn hơn 2000 và nhỏ hơn 4000 Bài 15: Có bao nhiêu biển số xe máy nếu mỗi biển chứa một dãy ký tự gồm:một chữ cái,tiếp   đến là một số khác 0 và cuối cùng là năm chữ số. Bài 16: Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3,  4, 5, 6? Bài 17: Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6   và các số đó nhỏ hơn số 345?           Bài 18: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Trong các số  đã lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?      Bài 19: Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có   4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số 50 học sinh trên đi dự Đại   hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào. Hỏi có bao  nhiêu cách chọn.      Bài 20: Với các chữ  số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể  lập được bao nhiêu số có ba chữ  số  khác nhau và không lớn hơn 789?        Bài 21: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 thành lập được bao nhiêu số có 7 chữ số, trong đó chữ  số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần. Bài 22: Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia   số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ  có ít nhất hai học sinh khá.           Bài 23:Thầy giáo có 4 quyển sách toán , 5 quyển lý , 6 quyển hóa đôi một khác nhau.Có  bao nhiêu cách chọn ra 4 quyển  sách có đủ 3 loại để tặng cho 4 học sinh ,mỗi học sinh 1   quyển.(đs: 17280) Bài 24: Ông A có 7 người bạn muốn mời 4 người đi dự  tiệc nhưng trong đó có 2 ngườ  ghét nhau không muốn dự tiệc chung . Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời? Bài 25:Có 16 học sinh gồm 3hs giỏi , 5 hs khá , 8 hs tb. Có bao nhiêu cách chia số hs đó   thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 hs sao cho mỗi tổ đều có hs giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 hs khá . Bài 26: Cho 2 đường thẳng song song song. Trên đường thẳng thứ  nhất có 10 điểm, trên   đường thẳng thứ hai có 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho? Bài 27: Có 12 người , trong đó có 2 cặp vợ  chồng.Chọn ra 5 người , có bao nhiêu cách  trong mỗi trường hợp sau: a)Không có cặp vợ chồng nào b)Có đúng 1 cặp vợ chồng. Bài 28: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7 Có bao nhiêu số có 5 chử số đôi một khác nhau *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 9
  10. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 a) Là số chẵn b) Một trong 3 số đầu tiên  phải bằng 1 c) Chia hết cho 5 d) Số 2 và 3 luôn đứng cạnh nhau Bài 29: Có 4 người Mỹ, 4 người Pháp, 4 người Anh,4 người Nhật cần chọn ra 6 người đi  dự hội nghị.Hỏi có mấy cách chọn sao cho a)Mõi nước đều có đại biểu b)Có đúng 2 nước tham dự c)Không  có nước nào có hơn 2 đại biểu Bài 30: Khai triển các biểu thức : 2 a / (x + 3y)5 b / (3x − 4) 7 c / (3x − 2y) 6 c / (x 2 + ) 6 x 2 10 Bài 31 : Cho biểu thức  (x 3 − ) x2 a)Tìm hệ số chứa  x 20 trong khai triển b)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển c)Tìm số hạng thứ 7 trong khai triển Bài 32: GPT a/   24( Ax3 1 C xx 4 ) 23 Ax4                b/  2A 22x + 50 = A 22x          ( x N ) 7 Px 2 c,   C 1x C x2 C x3 x                    d,   x 4 210                             e,  A 3x + Cxx−2 = 14x    2 Ax 1 .P3 Bài  33: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức: (x2 + 1)n bằng 1024 hãy tìm hệ  số a (a là số tự nhiên) của số hạng a.x12 trong khai triển đó.    Bài  34: Cho đa thức P(x) = (3x ­ 2)10   1) Tìm hệ số của x2 trong khai triển trên của P(x)   2) Tính tổng của các hệ số trong khai triển trên của P(x)  Bài 35 : Biết  hệ  số của  x 2 trong khai triển  (1 − 3x) n bằng 90 . Tìm số hạng thứ 4  Bài 36: Từ một hộp chứa 3 bi trắng, 2 bi đỏ lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 bi. a) Xác định không gian  mẫu. b) Xác định các biến cố: A:"Hai bi cùng màu trắng". B:"Hai bi cùng màu đỏ" C:"Hai bi cùng màu" D:"Hai bi khác màu" Bài 37: Một lớp học có 60 sinh viên trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên  học tiếng Pháp,và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên một sinh  viên. Tính xác suất của các biến cố: a, A:”Sinh viên đựoc chọn học tiếng Anh” b, B:”Sinh viên đựoc chọn học tiếng Pháp” c, C:”Sinh viên đựoc chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” d, D:”Sinh viên đựoc chọn không cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp” *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 10
  11. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 Bài 38: Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả cầu đỏ và 2 quả xanh; hộp  thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lẫy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả.Tính xác suất  sao cho:   a, Cả hai quả đều đỏ   b, Hai quả khác màu   c, Hai quả cùng màu Bài 39(B­2012): Trong một lớp gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi   ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng ghi bài tập. Tính xác suất để  4 học sinh được gọi có cả  nam và nữ. Bài 40(A­2013): Gọi S là tập hợp tất cả  các số  tự  nhiên gồm ba chữ  số  phân biệt được   chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số  từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Bài 41(B­2013): Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ  nhất chứa 4 viên bi đỏ  và 3 viên bi  trắng, hộp thứ  hai chứa 2 viên bi đỏ  và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ  mỗi hộp ra 1   viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu. Bài 42(A­2014) Từ  một hộp chứa 16 thẻ  được đánh số  từ  1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4  thẻ. Tính xác xuất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn. Bài 43(B­2014) Để  kiểm tra chất lượng sản phẩm từ  một công ty sữa, người ta đã gửi   đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và ba 3 hộp sữa nho. Bộ phận   kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để  phân tích mẫu. Tính xác suất để  3 hộp sữa   được chọn có cả 3 loại. CHƯƠNG III. Dãy số ­ Cấp số cộng và cấp số nhân I. Chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp A. Kiến thức cần nhớ Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n,   ta thực hiện như sau:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k   1), chứng minh rằng   mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n   p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; +  Ở  bước 2, ta giả  thiết mệnh đề  đúng với số  nguyên dương bất kì n = k     p và phải   chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. B. Bài tập:  Với mọi số nguyên dương n, CMR:    a)1.2 + 2.5 + … + n(3n ­ 1) = n2(n + 1)    b) a)  n3 + 11n  chia hết cho 6. b)  n3 + 3n2 + 5n   chia hết cho 3. n 2 (n + 1)2   c /1 + 2 + ... + n = 3 3 3 d / 2n > 2n + 1, ∀ n 3 4 1 1 1 e / 11n +1 + 122n −1  chia hết cho 133 ,  ∀ n N * f / + + ... + > 1, ∀ n N * n +1 n + 2 3n + 1 II. DÃY SỐ 1. Dãy số u :ᆬ * ᆬ Dạng khai triển:   (un) = u1, u2, …, un, … n a u(n) 2. Dãy số tăng, dãy số giảm *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 11
  12. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11   (un) là dãy số tăng   un+1 > un với   n   N*. un+1  un+1 – un > 0 với   n   N*    > 1 với  n   N*  ( un >  un 0).   (un) là dãy số giảm   un+1 
  13. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 u +u 3. Tính chất các số hạng: uk = k −1 k +1 với k   2 2 2u + (n − 1)d � n(u1 + un ) n � 4. Tổng n số hạng đầu tiên: Sn = u1 + u2 + ... + un = =  � 1 � 2 2 B. Bài tập Bài 1. Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a. 2, 5, 8,. .. Tìm u15. b.  2 + 3,  4,  2 − 3, . .. Tìm u20. Bài 2. Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. u 2 + u 5 − u 3 = 10 Bài 3. Cho cấp số cộng  u 4 + u 6 = 26 Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Bài 4. Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là  165. Bài 5. Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là  1140. Bài 6. Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số  cộng với công sai là 25. Bài 7. Cho cấp số cộng (un). Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Bài 8. Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80. Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp  số cộng đó. Bài 9. Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và  số hạng đầu là 30. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. Bài 10. Cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = –3. Tính a10. Bài 11. Tính u1, d , S20 trong các cấp số cộng sau đây: S4 = 9 u 3 + u 5 = 14 u 5 = 19 u 3 + u10 = −31 a.  b.  c.  45 d.  S13 = 129 u 9 = 35 S6 = 2u 4 − u9 = 7 2 Bài 17. Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ  hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng? III. Cấp Số Nhân A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân   un+1 = un.q   với n   N* (q: công bội) n −1 2. Số hạng tổng quát: un = u1.q với  n   2 3. Tính chất các số hạng: uk2 = uk −1.uk +1 với k   2 Sn = nu1 i q =1 v�� n 4. Tổng n số hạng đầu tiên: u1(1− q ) Sn = v�� iq 1 1− q B. Bài tập Bài 1. a. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 6 số hạng biết u1 = 243 và u6 = 1. b. Cho cấp số nhân có q = 1/4, S6 = 2730. Tìm u1 và u6. *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 13
  14. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 Bài 2. Cho cấp số nhân có u3 = 18 và u6 = –486. Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q của  CSN đó. u 4 − u 2 = 72 Bài 3. Tìm u1 và q của cấp số nhân biết:  u 5 − u 3 = 144 Bài 4. Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48. u1 + u 2 + u 3 = 13 Bài 5. Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết:  u 4 + u 5 + u 6 = 351 Bài 6. Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng  360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7. Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số  thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. u1 + u2 + u3 + u4 = 15 Bài 8 : Cho CSN (un) sao cho: u12 + u22 + u32 + u42 = 85 a. Tìm u1 và q b. Tinh u15, u20 c. Tinh S10  Chương IV: GIỚI HẠN CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt: 1 lim 1 = 0 (k ᆬ +) lim n = + limn k = + (k ᆬ +) lim = 0 ; n + n n + nk limq n = + (q > 1) n C =C  lim q = 0 ( q < 1) ;   nlim + 2. Định lí: n + 2. Định lí : 1 a) Nếu  lim un = +  thì   lim =0 a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì un  lim (un + vn) = a + b un  lim (un – vn) = a – b b) Nếu lim un = a, lim vn =   thì lim = 0 vn  lim (un.vn) = a.b c) Nếu lim un = a   0, lim vn = 0   un a   lim =   (nếu b   0) u + �a.vn > 0 neu vn b thì lim  n  =  vn − �a.vn < 0 neu b) Nếu un   0,  n và lim un= a d) Nếu lim un = + , lim vn = a  thì a   0 và lim  un = a + neu�a > 0 thì lim(un.vn) =  c) Nếu  un vn , n  và  lim vn = 0  − neu�a < 0 *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 14
  15. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 thì  lim un = 0 d) Nếu lim un = a  thì   lim un = a * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô   3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 0 định:  ,  ,   –  , 0.   thì phải tìm cách khử   0 u1 S = u1 + u1q + u1q  + … =  2    ( q < 1) dạng vô định. 1− q B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:  Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n. 1 1 1+ 1+ − 3 n +1 n = 1 2 n + n − 3n n VD:  a)  lim = lim b)  lim = lim =1 2n + 3 3 2 1− 2n 1 2+ −2 n n 2 2� 4 1� c)  lim(n − 4n + 1) = limn � 1− + �= + � n n2 �  Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức ( a − b ) ( a + b ) = a − b; ( 3 a − 3 b ) ( 3 a2 + 3 ab + 3 b2 ) = a − b ( n2 − 3n − n )( n 2 − 3n + n ) = lim −3n VD:   lim( 2 n − 3n − n ) = lim =− 3 ( n2 − 3n + n ) 2 n − 3n + n 2  Dùng định lí kẹp: Nếu  un vn , n  và  lim vn = 0  thì  lim un = 0 sinn sinn 1 1 sinn VD: a) Tính  lim . Vì   0     và  lim = 0   nên   lim =0 n n n n n 3sinn − 4cosn b) Tính  lim 2 . Vì  3sinn − 4cosn (32 + 42)(sin2 n + cos2 n) = 5 2n + 1 3sinn − 4cosn 5 nên  0    2 2 .   2n + 1 2n + 1 5 3sinn − 4cosn Mà  lim = 0  nên  lim =0 2n2 + 1 2n2 + 1 Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ  số các hệ  số  của luỹ   thừa cao nhất của tử và của mẫu.  Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả  của giới hạn đó là +  nếu hệ số cao nhất   của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –  nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu. C. BÀI TẬP Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 2n + 1 −3n 2 + 4n + 1 n3 + 4 a.  lim b.  lim c.  lim n +1 2n 2 − 3n + 7 5n 3 + n n(2n + 1)(3n + 2) n +1 n(n + 1) d.  lim e.  lim 2 f.  lim 2n 3 + 1 n −2 (n + 4)3 Bài 2. Tìm các giới hạn sau: n +1 n 2 + 3 n3 + 1 + n n b.  lim n + n + 2 3 3 a.  lim c.  lim n +1 n+2 n n2 +1 + 3 *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 15
  16. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 3 n 3 + 3n 2 + 2 d.  lim n + 4 2 e.  lim n−2 n 2 − 4n + 5 Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a. lim( n + 1 − n ) b.  lim( n 2 + 5n + 1 − n 2 − n ) c.  lim( 3n 2 + 2n − 3n 2 − 4n + 8) d.  lim( n 2 − 4n − n − 1) e.  lim(n − n 2 + 3) f.  lim( 3 n 2 − n 3 + n) g.  lim( 3 n − 3 n + 1) h.  lim( 3 n 3 − 3n 2 + 1 − n 2 + 4n ) Bài 4. Tìm các giới hạn sau: 1 − 4n 3n − 4 n +1 3n − 4n + 5n a.  lim b.  lim c.  lim 1 + 4n 3n + 2 + 4n 3n + 4n − 5n Bài 5. Tìm các giới hạn sau: sin nπ sin10n + cos10n a.  lim b.  lim n +1 n 2 + 2n Bài 6. Tìm các giới hạn sau: 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) 1 + 2 + 3 + ... + n a.  lim b.  lim 3n 2 + 4 n2 − 3 1 1 1 12 + 22 + 32 + ... + n 2 c.  lim[ + + ... + ] d.  lim 1.2 2.3 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) Bài 7. Tính các giới hạn sau: 1 1 1 a.  lim[1 − + − ... + (−1) n ] 3 9 3n b. lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + ... + 0,3n) Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số a. 1,1111... b. 2,3333... c. 0,2222... d. 0,212121…. e. 0,23111... GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 16
  17. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 1. Giới hạn đặc biệt: 1. Giới hạn đặc biệt:     xlimx0 x = x0 ;       xlim x0 c = c   (c:   hằng   lim x k = + ; lim x k = + neu �k chan � x + x − − � neu k le � số) 2. Định lí: lim c = c ; c lim =0 x k f (x ) = L   và   lim g(x ) = M x x a) Nếu xlim x0 x x0 1 1 lim− = − ; lim+ = + thì:  xlim [ f (x ) + g(x )] = L + M x 0 x x 0 x x0 1 1 lim [ f (x ) − g(x )] = L − M lim− = lim+ = + x x0 x 0 x x 0 x lim [ f (x ).g(x )] = L.M 2. Định lí: x x0 Nếu  xlim f (x ) = L  0 và  lim g(x ) =  thì: x0 x x0 f (x ) L lim =  (nếu M   0) x x0 g(x ) M + neu �L va� lim g(x ) cung � dau� x x0 lim f (x )g(x ) = b) Nếu f(x)   0 và  lim f (x ) = L   x x0 x x 0 − neu �L va� lim g(x ) trai� � dau x x0  thì  L   0 và  xlim f (x ) = L � lim g(x ) = 0 neu x 0 x x0 f (x ) c) Nếu  xlim f (x ) = L  thì  lim f (x ) = L lim = + � lim g(x ) = 0 va� neu L .g(x ) > 0 x 0 x x 0 x x0 g(x ) x x0 3. Giới hạn một bên: − � lim g(x ) = 0 va� neu L .g(x ) < 0 x x0 lim f (x ) = L     x x0 *   Khi   tính   giới   hạn   có   một   trong   các   dạng   vô   lim− f (x ) = lim+ f (x ) = L 0  x định:   ,   ,     –   , 0.    thì phải tìm cách khử   x0 x x0 0 dạng vô định. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN f ( x ) �0 � 1. Giới hạn của hàm số dạng:  lim g( x) � � x a �0 � o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x­a) hoặc (x­a)2. o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. f ( x) � � 2. Giới hạn của hàm số dạng:  lim g( x) � � x � � o Chia tử  và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu  x +  thì coi như x>0,  nếu  x −  thì coi như x
  18. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 � π� 2 3 2 sin�x − � 1+ x + x + x a)  lim b)  lim 3x + 1 − x   c)  lim � 4� x 0 1+ x x −1 x −1 x π x 2 x −1 x2 − x + 1 x 2 − 2x + 3 d)  lim e)  lim f)  lim x −1 x4 + x − 3 x 2 x −1 x 1 x +1 2 3 1 g)  lim x + 8 − 3 h)  lim 3x − 4 − 3x − 2 i)  lim x 2 sin x 1 x −2 x 2 x +1 x 0 2 Baøi 7: Tìm các giới hạn sau: x3 − x2 − x + 1 x4 −1 x5 + 1 a)  lim b)  lim c)  lim x 1 x 2 − 3x + 2 x 1 x 3 − 2x 2 + 1 x −1 x3 + 1 x 3 − 5x 2 + 3x + 9 x − 5x 5 + 4x 6 xm −1 d)  lim e)  lim f)  lim x 3 x 4 − 8x 2 − 9 x 1 (1− x )2 x 1 xn −1 (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x ) − 1 2 n x 4 − 16 g)  lim h)  lim x + x + ... + x − n i)  lim x 0 x x 1 x −1 x −2 x 3 + 2x 2 Baøi 8: Tìm các giới hạn sau: 3 4x + 1 − 3 x −1 2 a)  lim b)  lim . c)  lim 1+ x − 1 x 2 x2 − 4 x 1 3 4x + 4 − 2 x 0 x x + 2− 2 x 2 + 1− 1 d)  lim e)  lim 2x + 2 − 3x + 1 f)  lim x 2 x + 7− 3 x 1 x −1 x 0 x 2 + 16 − 4 1+ x − 1 x + 3− 2x g)  lim h)  lim i)  lim x + 9 + x + 16 − 7 x 03 1+ x − 1 x −3 x 2 + 3x x 0 x Baøi 9: Tìm các giới hạn sau: 3 3 3 8x + 11 − x + 7 a)  lim 1+ x − 1+ x b)  lim c)  lim 2 1+ x − 8− x x 0 x x 2 x 2 − 3x + 2 x 0 x 1+ 4x − 3 1+ 6x 3 8x + 11 − x + 7 3 2 3 d)  lim e)  lim f)  lim 5− x − x + 7 x 0 x2 x 2 2x 2 − 5x + 2 x 1 x2 −1 3 3 g)  lim 1+ 4x . 1+ 6x − 1 h)  lim 1+ 2x . 1+ 4x − 1 i)  lim x + 1− 1− x x 0 x x 0 x x 0 x Baøi 10: Tìm các giới hạn sau: x2 + 1 2 2x 2 + 1 a)  lim b)  lim 2x − x + 1 c)  lim x + 2x 2 − x + 1 x x−2 x + x 3 − 3x 2 + 2 x 2 + 2x + 3 + 4x + 1 4x 2 − 2x + 1 + 2 − x x x +1 d)  lim e) lim f)  lim x 4x 2 + 1 + 2 − x x 9x 2 − 3x + 2x x + x2 + x + 1 2 x 2 + 2x + 3x x 2 − 5x + 2 g)  lim (2x − 1) x − 3 h)  lim i)  lim x − x − 5x 2 x + 4x 2 + 1 − x + 2 x − 2 x +1 Baøi 11: Tìm các giới hạn sau: � 2 � � 2x − 1− 4x 2 − 4x − 3� a)  lim � x + x − x � b)  lim � � x + � � x + � � � 2 3 3 � � � c)  lim � x + 1 − x − 1� d)  lim � x + x + x − x � x + � � x + � � *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 18
  19. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 e)  lim x + ( 3 2x − 1− 3 2x + 1) f)  lim ( 3 3x 3 − 1+ x2 + 2 ) x − �1 3 � � 1 1 � g)  lim � − � h)  lim � 2 + � 1− x 1− x 3 � x 1 � x 2� x − 3x + 2 x 2 − 5x + 6 � Baøi 12: Tìm các giới hạn sau: x − 15 x − 15 1+ 3x − 2x 2 a)  lim b)  lim c)  lim x + 2 x−2 x − 2 x −2 x + 3 x −3 x2 − 4 2− x 2− x d)  lim e)  lim+ f)  lim− 2 x 2 2x − 5x + 2 2 x 2 2x − 5x + 2 x + 2 x−2 Baøi 13: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 1+ x − 1 khi x > 0 9− x 2 b)  f (x ) = x − 3 khi x < 3 3 a)  f (x ) = 1+ x − 1 tai�x = 0 tai�x = 3 3 1− x khi x 3 khi x 0 2 x 2 − 2x x 2 − 3x + 2 khi x > 2 khi x > 1 c)  f (x ) = 8− x 3 tai�x = 2 d)  f (x ) = x2 − 1 tai�x = 1 x 4 − 16 x khi x < 2 − khi x 1 x −2 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0    xlim f ( x ) = f ( x 0) x 0  Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: B1: Tính   f(x0). B2: Tính  lim f (x )  (trong nhiều trường hợp ta cần tính  lim+ f (x ) ,  lim− f (x ) ) x x0 x x0 x x0 B3: So sánh  xlim x f (x )  với f(x0) và rút ra kết luận. 0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và  lim+ f (x ) = f (a), lim− f (x ) = f (b) x a x b 4.   Hàm số đa thức liên tục trên R.       Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:   Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. f (x )  Hàm số y =   liên tục tại x0 nếu g(x0)   0. g(x ) 6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)
  20. Tổ Toán – Trường THPT Vĩnh Thuận                                           ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KHỐI 11 B. BÀI TẬP Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm xo. x −5 x 2 − 25  khi x > 5  khi x 5 2x − 1 − 3 a. f(x) =  x − 5  tại xo = 5 b.  f (x) =  tại xo = 5 3 9 khi x = 5  khi x 5 2 3 3x + 2 − 2 1 − 2x − 3 khi x 2 khi x 2 x−2 c.  f (x) = 2−x  tại xo = 2 d.  f (x) =  tại xo = 2 3 1 khi x = 2 khi x = 2 4 x4 + x2 −1 khi x −1 x2 khi x < 0 e.  f (x) =  tại xo = –1 f.  f (x) =  tại xo = 0. 3x + 2 khi x > −1 1 − x khi x 0 Bài 2. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R x3 + x + 2 x 2 + 2x − 3  khi x −1  khi x 1 x3 + 1 a.  f (x) = x −1 b.  f (x) = 4 4 khi x = 1  khi x = −1 3 Bài 3. Tìm a để hàm số liên tục trên R x 2  khi x < 1 a 2 x 2  khi x 2 a.  f (x) = b.  f (x) = 2ax − 3 khi x 1 ( 1 − a ) x khi x > 2 x 3 + 2x 2 − 5 khi x 0 Bài 4. Cho hàm số f(x) =  4x − 1 khi x < 0 Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định. Bài 5. Tìm a để hàm số liên tục tại xo. 1− x − 1+ x x+2 −2  khi x < 1  khi x 2 x − 1 a. f(x) =  x2 − 4  tại xo = 2 b.  f (x) =  tại xo = 1 4−x a khi x = 2 a+  khi  1 � x+2 Bài 6. Chứng minh rằng phương trình x³ + 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0;  1) Bài 7. Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 8. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt  nằm trong khoảng (–2; 5) Bài 9. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt a) x² – 3x + 1 = 0 b) x³ + 6x² + 9x + 1 = 0 BÀI TẬP TỔNG HỢP GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ HÀM SỐ Bài 1: Tìm các giới hạn sau: −3x 2 + x − 2 3x 2 + 5x + 1 − 4x 3                a.lim ( x − 5x + 1) 3 b. lim c.lim x 3 x −1 x −3 x 1 3x + 1 + 3 Bài 2: Tìm các giới hạn sau: *Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng*                                                         Trang 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản