Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán 7 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Tam Dương (Lần 1)

TRƢỜNG THCS TAM DƢƠNG<br /> <br /> ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 7, 8<br /> LẦN 1 NĂM HỌC 2017- 2018<br /> Môn: Toán 7<br /> Thời gian làm bài: 120 phút<br /> <br /> Chú ý: Thí sinh dự thi không được sử dụng máy tính cầm tay!<br /> Bài 1. (2,0 điểm)<br /> 1<br /> 4<br /> <br /> a) Tính giá trị biểu thức A  <br /> b) Tìm x, y, z biết:<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> .<br />   ... <br /> 28 70<br /> 10300<br /> <br /> x 1 y  2 z2  3<br /> và x  2 y  3z 2  18 .<br /> <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> <br /> Bài 2. (2,0 điểm)<br /> ( a  c) 2<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a) Cho dãy tỉ số bằng nhau<br /> . Chứng minh rằng:<br />  (a  b)(b  c)<br /> <br /> <br /> 4<br /> 2007 2009 2011<br /> <br /> b) Cho<br /> <br /> acd a bd a bc bc d<br /> (Với các số a, b, c, d và các tổng b + c + d,<br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> c<br /> d<br /> a<br /> <br /> c + d đều khác 0). Tính giá tị của biểu thức A <br /> <br /> a<br /> a b a bc a bc d<br /> .<br /> <br /> <br /> <br /> bcd cd<br /> d<br /> a<br /> <br /> Bài 3. (3,0 điểm)<br /> a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x  1  x  2  x  3  x  4 .<br /> b) Gọi S(n) là tổng các chữ số của n. Tìm số tự nhiên n, biết: n + S(n) = 94.<br /> c) Tìm các số nguyên dƣơng x, y thỏa mãn<br /> <br /> 1 1 2<br />   .<br /> x y 3<br /> <br /> A<br /> <br /> x<br /> <br /> Bài 4. (2,0 điểm)<br /> a) Cho hình vẽ bên, biết: xAC  yBC  ACB  1800 .<br /> Chứng tỏ Ax // By.<br /> <br /> B<br /> y<br /> <br /> C<br /> <br /> b) Cho góc xAy nhọn. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm B, kẻ tia Bz sao cho tia Ay nằm trong<br /> góc xBz và Ay // Bz. Vẽ tia Am và Bn lần lƣợt là tia phân giác của góc xAy và góc ABz. Chứng tỏ<br /> Am // Bn.<br /> Bài 5. (1,0 điểm)<br /> Cho a và b là các số nguyên dƣơng sao cho a2 + b2 chia hết cho tích ab. Hãy tính A =<br /> <br /> a 2018  b 2018<br /> .<br /> a1009 .b1009<br /> <br /> Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!<br /> ====== HẾT =====<br /> Họ tên học sinh: ………………………….…………… SBD: ………… Phòng thi số: ………….<br /> <br /> TRƢỜNG THCS TAM DƢƠNG<br /> <br /> KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 7, 8<br /> LẦN 1 NĂM HỌC 2017- 2018<br /> (HDC này gồm 02 trang)<br /> <br /> Bài 1: (2,0 điểm)<br /> Phần<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Nội dung trình bày<br /> <br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br />    ... <br /> 4 28 70<br /> 10300<br /> 1 1 1 1<br /> 1<br /> 1 <br />  1     ... <br /> <br /> <br /> 3 4 4 7<br /> 100 103 <br /> a<br /> 1,0 điểm<br /> 1<br /> 1 <br /> 34<br />  1 <br /> =<br /> 3  103  103<br /> Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có<br /> 2<br /> x  1 y  2 z 2  3 x  1  2  y  2  3 z  3<br /> <br /> <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> 4<br /> 2  2.3  3.4<br /> 2<br /> b<br /> x  2 y  3z  6 18  6<br /> <br /> <br /> 3<br /> 1,0 điểm<br /> 8<br /> 8<br /> x 1<br /> 3  x=5<br /> 2<br /> y = 7;<br /> z2 = 9  x =  3<br /> Vậy các bộ số (x; y; z) thỏa mãn là (5; 7; 3); (5; 7; -3)<br /> Bài 2: (2,0 điểm)<br /> Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:<br /> a<br /> b<br /> c<br /> a c<br /> a b<br /> b c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2007 2009 2011 2007  2011 207  2009 2009  2011<br /> a<br /> a c a b b c<br /> <br /> <br /> 1,0 điểm<br /> 4<br /> 2<br /> 2<br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> a b b c<br /> a c a b<br />  ac <br /> .<br /> <br />  <br />  <br /> 2<br /> 2<br /> 4<br /> 2<br />  4 <br /> 2<br /> ( a  c)<br />  (a  b)(b  c)<br /> <br /> 4<br /> acd<br /> abd<br /> abc<br /> bcd<br /> 1 <br /> 1 <br /> 1 <br /> 1<br /> b<br /> c<br /> d<br /> a<br /> a cd b abd c a bc d bc d a<br /> <br /> <br /> <br /> b<br /> c<br /> d<br /> a<br /> Nếu<br /> a<br /> +<br /> b<br /> +<br /> c+<br /> d<br /> =<br /> 0<br /> thì<br /> b<br /> +<br /> c<br /> +<br /> d<br /> =<br /> -a;<br /> a<br /> +<br /> b<br /> =<br /> (c<br /> +<br /> d); a + b + c = - d; b + c +<br /> b<br /> d<br /> =<br /> a.<br /> 1,0 điểm<br /> a<br /> a b a bc a bc d a<br /> ab<br /> d 0<br /> A<br /> <br /> <br /> <br /> =<br /> <br /> <br />  =-3<br /> bcd cd<br /> d<br /> a<br /> a   a  b  d a<br /> Nếu a + b + c + d  0 thì a = b = c = d<br /> 1 2 3 4 25<br /> A=    =<br /> 3 2 1 1<br /> 3<br /> Vậy A = - 4 nếu a + b + c + d = 0 và A = 25/3 nếu a + b + c + d  0<br /> Bài 3: (3,0 điểm)<br /> A = x 1  x  2  x  3  x  4<br /> 2<br /> <br /> a<br /> <br /> Ta có: x  3  x  4  7 Dấu bằng xảy ra khi – 4  x  3<br /> <br /> x  1  x  2  3 Dấu bằng xảy ra khi -2  x  1<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 02,5<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1,0 điểm<br /> <br /> Do đó A  7 + 3 = 10<br /> Dấu bằng xảy ra khi – 4  x  - 2 và 1  x  3 nên -2  x  1<br /> Vậy MinA = 10 khi -2  x  1<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 02,5<br /> <br /> n + S(n) = 94 (*)<br />  n < 94 => S(n) ≤ 8 + 9 =17<br /> n + S(n) = 94  n = 94 – S(n) ≥ 94 - 17 = 77<br /> b<br /> nên 94 > n ≥ 77<br /> 1,0 điểm<br /> n = ab (a, b  N, 9 ≥ a ≥ 7)<br /> n = 9b (*)  90 +b + 9 + b = 94  2b = -5 ( vô lý do b là chữ số )<br /> n = 8b (*)  80 + b + 8 + b = 94  2b = 6  b =3<br /> n = 7b (*)  70 + b + 7 + b = 94  2b = 17 => b = 17/2 (loại)<br /> Vậy n = 83<br /> x và y có vai trò nhƣ nhau nên giả sử x  y<br /> 2 1 1 1 1 2<br /> 2 2<br />      nên   y  3<br /> c<br /> 3 x y y y y<br /> 3 y<br /> 1,0 điểm<br /> Nếu y = 1 thì x = - 3 (loại)<br /> Nếu y = 2 thì x = 6 (thỏa mãn)<br /> Nếu y = 3 thì x = 3 (thỏa mãn)<br /> Vậy các cặp số (x, y) thỏa mãn là: (2; 6); (6; 2); (3; 3)<br /> Bài 4: (2,0 điểm)<br /> Kẻ tia Cz sao cho Cz // Ax<br /> A<br /> (Cz và Ax nằm cùng phía trên nửa mặt phẳng bờ AC)<br /> 1<br /> <br /> a<br /> 1,0 điểm<br /> <br /> b<br /> 1,0 điểm<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> x<br /> <br /> B<br /> y<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> B1  180  A1  C2  180  (180  C1 )  C2  C1 C2<br /> 0<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br />  A1  C1  1800 (trong cùng phía)  A1  1800  C1<br /> Ta có A1  B1  C2  1800 (gt)<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0<br /> <br /> z<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> C<br /> <br /> nên B1  BCz<br />  By // Cz (cặp góc so le trong bằng nhau)<br /> Mà Cz // Ax nên Ax // By<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> x<br /> <br /> Ay // Bz nên xAy = ABz (đồng vị)<br /> 1<br /> 1<br /> xAm  xAy ; ABn  ABz (t/c tia phân giác)<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> m<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> A<br /> y<br /> n<br /> <br /> Do đó xAm  ABn<br /> Suy ra Am // Bn (góc đồng vị bằng nhau)<br /> Bài 5: (1,0 điểm)<br /> Gọi d = (a, b);<br /> Suy ra a = dm, b = dn với m, n  N và (m, n) = 1<br /> a2 + b2 = d2(m2 + n2) và ab = dmn<br /> a2 + b2 chia hết cho ab nên m2 + n2 chia hết cho mn<br /> 1,0 điểm (m, n) = 1 nên m2 + n2 m và m2 + n2 n<br />  m2 n và n2 m<br />  m n và n m<br /> m = n mà (m, n) = 1 nên m = n = 1<br /> 2018<br /> m2018  n2018<br /> a 2018  b2018 d<br />  2018 1009 1009  2<br /> a1009 .b1009<br /> d .m .n<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> B<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> z<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> <br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Giám khảo chú ý: - HDC chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm<br /> cụ thể của HS để cho điểm. Bài 4b không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không chấm điểm.<br /> <br />