Đề thi Giải tích hàm nâng cao

Đề thi Giải Tích Hàm Nâng Cao<br /> Thời gian: 120 phút.<br /> Không dùng tài liệu<br /> 1. Cho x1 , ..., xn là n vectơ độc lập tuyến tính trong một không gian định<br /> j<br /> chuẩn E. Chứng minh có f1 , ..., fn trong E* sao cho fi (xj ) = δi , với<br /> j<br /> i, j = 1, 2, . . . , n và δi là số Kronecker.<br /> 2. Cho E là một không gian Banach và Λ ∈ L(E, E). Giả sử có một số<br /> thực dương δ sao cho<br /> δ u ≤ Λ(u) , ∀u ∈ E.<br /> Chứng minh<br /> i) Λ(E) là một không gian vectơ con đóng của E.<br /> ii) Λ là một đống phôi từ E vào Λ(E).<br /> 3. Cho E và F là hai không gian định chuẩn và Λ ∈ L(E, F ). Ta nói Λ là<br /> một toán tử compắc nếu và chỉ nếu Λ(A) com pắc trong F với mọi tập<br /> A bị chặn trong E. Chứng minh<br /> i) Λ com pắc nếu và chỉ nếu có một quả cầu B(a, r) trong E sao cho<br /> Λ(B(a, r)) compắc trong F.<br /> ii) Nếu F là một không gian Banach và (Λn ) là một dãy ánh xạ compắc<br /> hội tụ về Λ trong L(E, F ), thì Λ cũng compắc.<br /> iii) Cho E, F, G và H là các không gian định chuẩn, S ∈ L(E, F ),<br /> T ∈ L(F, G), và U ∈ L(G, H). Giả sử T là một ánh xạ compắc.<br /> Chứng minh T ◦ S và U ◦ T là các ánh xạ compắc.<br /> <br /> 1<br /> <br />