(cid:30)ề thi Giải T‰ch H(cid:160)m N¥ng Cao Thời gian: 120 ph(cid:243)t. Kh(cid:230)ng d(cid:242)ng t(cid:160)i liệu

1. Cho x1; :::; xn l(cid:160) n vect(cid:236) (cid:31)ộc lập tuyến t‰nh trong một kh(cid:230)ng gian (cid:31)ịnh chuẩn E. Chứng minh c(cid:226) f1; :::; fn trong E* sao cho fi(xj) = (cid:14)j i , với i; j = 1; 2; : : : ; n v(cid:160) (cid:14)j

i l(cid:160) số Kronecker.

2. Cho E l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) (cid:3) 2 L(E; E). Giả sử c(cid:226) một số

thực d(cid:247)(cid:236)ng (cid:14) sao cho

(cid:14)kuk (cid:20) k(cid:3)(u)k; 8u 2 E:

Chứng minh

i) (cid:3)(E) l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian vect(cid:236) con (cid:31)(cid:226)ng của E.

ii) (cid:3) l(cid:160) một (cid:31)ống ph(cid:230)i từ E v(cid:160)o (cid:3)(E).

3. Cho E v(cid:160) F l(cid:160) hai kh(cid:230)ng gian (cid:31)ịnh chuẩn v(cid:160) (cid:3) 2 L(E; F ). Ta n(cid:226)i (cid:3) l(cid:160) một to¡n tử compắc nếu v(cid:160) chỉ nếu (cid:3)(A) com pắc trong F với mọi tập A bị chặn trong E. Chứng minh

i) (cid:3) com pắc nếu v(cid:160) chỉ nếu c(cid:226) một quả cầu B(a; r) trong E sao cho (cid:3)(B(a; r)) compắc trong F.

ii) Nếu F l(cid:160) một kh(cid:230)ng gian Banach v(cid:160) ((cid:3)n) l(cid:160) một d¢y ¡nh xạ compắc hội tụ về (cid:3) trong L(E; F ), th… (cid:3) c(cid:244)ng compắc.

iii) Cho E, F, G v(cid:160) H l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian (cid:31)ịnh chuẩn, S 2 L(E; F ), T 2 L(F; G), v(cid:160) U 2 L(G; H). Giả sử T l(cid:160) một ¡nh xạ compắc. Chứng minh T (cid:14) S v(cid:160) U (cid:14) T l(cid:160) c¡c ¡nh xạ compắc.

1